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2025-2026学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共10小题）
1．雪花是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花．雪花的形状极多，每片雪花都是一幅极其精美的图案．下列雪花形状的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．掷一枚骰子，朝上的点数是6
B．任意画一个三角形，内角和为180°
C．明天会下雨
D．打开电视，正在播放新闻
3．已知2x＝3，则2x+4的值是（　　）
A．8 B．24 C．40 D．48
4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
5．如图，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠A+∠B＝180° B．∠A＝∠C
C．∠C+∠B＝180° D．∠A＝∠D
6．下面四个图形中，过△ABC顶点作高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线0℃时，电阻为10Ω，温度每增加1℃，电阻会增加0.01Ω，则电阻R与温度t的关系是（　　）
A．R＝10+0.01t B．R＝10t+0.01
C．R＝10t D．R＝0.01t
8．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝96°，∠C′＝46°，则∠B的度数为（　　）
A．28° B．38° C．48° D．58°
9．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　）
A．3条高线的交点处 B．3条中线的交点处
C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处
10．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系图象．下列说法中，错误的是（　　）
A．a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大
B．t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等
C．t2℃时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度
D．t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g
二．填空题（共5小题）
11．若（x+1）0＝1，则x应满足条件 　 　 ．
12．为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下：
种子总数 100 400 800 1400 3500 7000
发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6294
发芽的频率 0.91 0.895 0.905 0.903 0.903 0.899
根据以上数据，可以估计该花卉种子发芽的概率为 　 　 （结果精确到0.01）．
13．某种计算机完成一次基本运算的时间为1.2×10﹣9s，将1.2×10﹣9用小数表示时，小数点后“0”的个数是　 　 ．
14．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠CBD＝44°时，∠CDE的度数为 　 　 ．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，v的值为 　 　 ．
三．解答题（共9小题）
16．计算：（m+1）2﹣（m+1）（m﹣3）．
17．先化简，再求值：[（a﹣2b）2+（a﹣2b）（a+2b）﹣2a（2a﹣b）]÷2a，其中a＝1，．
18．在抽奖现场，一个不透明的袋中装有1个红球，1个黄球，1个白球，3个黑球，从袋中随机摸出1个球，摸到红球表示抽中一等奖，奖金50元；摸到黄球表示抽中二等奖，奖金30元；摸到白球表示抽中三等奖，奖金20元；摸到黑色表示未中奖．小明有两次抽奖机会，第1次摸出球后，放回袋中并摇匀，再摸第2次．求小明两次获得奖金不低于50元的概率．
19．综合实践小组探究香燃烧时剩余长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系．下面的表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题：
燃烧时间x/min 0 5 10 15
剩余长度y/cm 20 16 12 8
（1）根据表中信息可知，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ；
（2）当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是多少厘米？
20．如图，两条笔直的公路a和b交于点O，点P在公路b上，为方便市民出行，政府部门要过点P修一条新的公路与公路a平行，请用尺规在图中画出此公路．
21．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：
（1）△ABC≌△ADE．
（2）DA平分∠BDE．
22．如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
23．【问题背景】如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．可使用倍长中线法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
（1）【探究应用】如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；
（2）【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由．
24．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图（1），△ABC中，AB＝8，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）求得AD的取值范围是 　 　 ．
【问题解决】
（3）如图（2），AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】轴对称图形
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可．
解：根据轴对称图形概念，逐项分析判断如下：
A、选项中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、选项中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、选项中图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、选项中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握该知识点是关键．
2．【考点】随机事件；三角形内角和定理
【分析】根据各选项描述的事件性质进行判断即可．
解：A．掷骰子可能出现1至6点，点数是6仅为一种可能，属于随机事件，不符合题意；
B．根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为180°，属于必然事件，符合题意；
C．明日的天气具有不确定性，可能下雨也可能不下，属于随机事件，不符合题意；
D．打开电视可能播放新闻，也可能播放其他内容，属于随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查必然事件的概念，必然事件指在一定条件下必定发生的事件，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用法则，将2x+4变形为2x×24 然后把2x＝3代入计算即可解．
解：∵2x＝3，
∴2x+4
＝2x×24，
＝3×24
＝3×16
＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
4．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长．
解：分两种情况讨论：
①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7，
此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7，
∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件，
∴此种情况不存在；
②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3，
此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3，
∵3+7＞7，满足构成三角形的条件，
∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
5．【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
解：A、由∠A+∠B＝180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到AD∥BC，不能得到AB∥CD；
B、由∠A＝∠C，不能得到AB∥CD；
C、由∠C+∠B＝180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD；
D、由∠A＝∠D不能得到AB∥CD；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
6．【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
解：A、BD不是△ABC的高，不符合题意；
B、BD不是△ABC的高，不符合题意；
C、AD不是△ABC的高，不符合题意；
D、CD是△ABC的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7．【考点】函数关系式
【分析】利用待定系数法是确定函数关系式的主要方法．利用待定系数法解得即可．
解：设电阻R与温度t的关系为R＝kt+b，由条件可得：．
解得：．
∴电阻R与温度t的关系为：R＝10+0.01t．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的关系式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
8．【考点】轴对称的性质
【分析】根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∠C＝∠C′＝46°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质和三角形内角和定理．理解轴对称图形，对应角相等是解题关键．
9．【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案．
解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．【考点】函数的图象
【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
解：由图象可知：
A．a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，
故选项A说法正确，不符合题意；
B．当温度升高至t1℃时，a，b两种物质的溶解度相等，
故选项B说法正确，不符合题意；
C．t2℃时，b物质的溶解度小于a物质的溶解度，
故选项C说法错误，符合题意；
D．t2℃时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g，
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【考点】零指数幂
【分析】根据a0＝1（a≠0）即可得出答案．
解：由题意得x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
12．【考点】利用频率估计概率
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.90左右，从而得出结论．
解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.90左右，
∴该花卉种发芽的概率为0.90，
故答案为：0.90．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握利用频率估计概率．
13．【考点】科学记数法—原数
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
解：1.2×10﹣9＝0.0000000012，1.2×10﹣9用小数表示时，小数点后“0”的个数是8，故答案为：8．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
14．【考点】平行线的性质
【分析】先利用平行线的性质求出∠BDC和∠BDE的度数，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
解：∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝70°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE＝180°﹣∠DBC＝136°，
∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝66°，
故答案为：66°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【分析】设运动的时间为t秒，则BP＝2t厘米，CQ＝vt厘米，CP＝（8﹣2t）厘米，根据AB＝AC＝12厘米，D为AB的中点得∠B＝∠C，AD＝BD＝6厘米，当△BPD与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，有以下两种情况：①BD＝CP，且BP＝CQ时，△BPD≌△CQP，由BP＝CQ可得出v的值；②当BD＝CQ，且BP＝CP时，△BPD≌△CPQ，先由由BD＝CP得t＝2（秒），再由BD＝CQ可得出v的值，综上所述即可得出答案．
解：设运动的时间为t秒，
依题意得：BP＝2t厘米，CQ＝vt厘米，
∴CP＝（8﹣2t）厘米，
∵AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，D为AB的中点，
∴∠B＝∠C，AD＝BDAB＝6厘米，
当△BPD与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，有以下两种情况：
①BD＝CP，且BP＝CQ时，△BPD≌△CQP，
由BP＝CQ，得：2t＝vt，
∴v＝2（厘米/秒）；
②当BD＝CQ，且BP＝CP时，△BPD≌△CPQ，
由BD＝CP，得：2t＝8﹣2t，
∴t＝2（秒），
由BD＝CQ，得：6＝vt，
∴2v＝6，
解得：v＝3（厘米/秒），
综上所述：v的值为2或3厘米/秒．
故答案为：2或3厘米/秒．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解等腰三角形的性质是解决问题的关键；分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
三．解答题（共9小题）
16．【考点】整式的混合运算
【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
解：（m+1）2﹣（m+1）（m﹣3）
＝（m2+2m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）
＝m2+2m+1﹣m2+2m+3
＝4m+4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将a＝1，代入计算即可．
解：原式＝[（a2﹣4ab+4b2）+（a2﹣4b2）﹣（4a2﹣2ab）]÷2a
＝（﹣2a2﹣2ab）÷2a
＝﹣a﹣b，
当a＝1，时，原式．
【点评】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简．
18．【考点】列表法与树状图法；概率公式
【分析】列表法得出所有等可能的结果，利用求概率的方法即可求解，
解：列表如下：
第二次第一次 红 黄 白 黑1 黑2 黑3
红 红、红 黄、红 白、红 黑1、红 黑2、红 黑3、红
黄 红、黄 黄、黄 白、黄 黑1、黄 黑2、黄 黑3、黄
白 红、白 黄、白 白、白 黑1、白 黑2、白 黑3、白
黑1 红、黑1 黄、黑1 白、黑1 黑1、黑1 黑2、黑1 黑3、黑1
黑2 红、黑2 黄、黑2 白、黑2 黑1、黑2 黑2、黑2 黑3、黑2
黑3 红、黑3 黄、黑3 白、黑3 黑1、黑3 黑2、黑3 黑3、黑3
一共有36种等可能结果，小明两次获得奖金不低于50元的有14种，
∴小明两次获得奖金不低于50元的概率．
【点评】此题考查了画列表法或树状图求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果．
19．【考点】函数的表示方法；常量与变量
【分析】（1）随着燃烧时间的变化，剩余长度在变化，以此得到自变量和因变量．
（2）根据表格中的数据计算得出时间每增加 1min，长度减少0.8cm，从而可以求出20分钟时，香剩余的长度．
解：（1）自变量是燃烧时间，因变量是剩余长度．
故答案为：燃烧时间；剩余长度；
（2）根据表格每增加 1min，长度减少0.8cm，
∴当时间为20分钟时，香剩余的长度为20﹣0.8×20＝4（cm），
答：当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是4cm厘米．
【点评】本题考查用表格法表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律得到自变量和因变量变化关系是解题的关键．
20．【考点】作图—应用与设计作图
【分析】根据同位角相等两直线平行，作出直线c即可．
解：如图，直线c即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
21．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝AD，可得∠ADE＝∠ADB＝∠B，即可得结论．
证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴∠ADE+∠3＝∠B+∠1，
∴∠B＝∠ADE，且AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，且∠B＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴AD平分∠BDE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
22．【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数．
解：（1）∵AC∥DE，
∴∠C＝∠1，
又∵∠AFD＝∠1，
∴∠C＝∠AFD，
∴DF∥BC．
（2）∵∠1＝70°，DF∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝70°，
又∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝70°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝70°．
故∠B的度数为70°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质和判定是解此题的关键．
23．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．
解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）BE+CF＞EF，理由如下：
延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB，理由如下：
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
24．【考点】三角形综合题
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可，据此即可判定；
（2）根据全等得出BE＝AC＝9，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出9﹣8＜2AD＜9+8，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证得△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质即可证得．
（1）解：∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝9，AE＝2AD，
由三角形三边之间的关系可得：BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即9﹣8＜2AD＜9+8，
解得，
故答案为：；
（3）证明：如图：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC与△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝MB，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键
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