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第42课时　等比数列
[考试要求]　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．
1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为 (　　)
A． 　　B．－3　 　C．－　 　D．－3或
2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝ (　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
3．(湘教版选择性必修第一册P26例2改编)下列结论中正确的是 (　　)
A．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac
B．当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列
C．如果数列{ln an}为等差数列，则数列{an}是等比数列
D．若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
4．(人教B版选择性必修第三册P37练习BT5改编)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝___________，q＝___________．
5．(苏教版选择性必修第一册P161习题4.3(1)T13改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为___________．
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比都等于__________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的___________，通常用字母q表示，数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．
3．等比数列的通项公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝___________， 其推导方法是累乘法．通项公式的推广：an＝amqn-m．
(2)①当q>1，a1>0或0②当q>1，a1<0或00时，数列{an}是递减数列；
③当q＝1时，{an}是常数列．
4．等比数列的前n项和公式
(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝___________；当q≠1时，Sn＝___________＝，其推导方法是错位相减法．
(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．
提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
1．抓住基本量：首项a1和公比q．
2．抓住常用性质：已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则
(1)项的性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝．
(2)片段和性质：等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，}，{an·bn}，仍是等比数列．
考点一　等比数列基本量的运算
[典例1]　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝ (　　)
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中涉及a1，n，q，an，Sn五个量，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．
[巩固迁移]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，anan+2＝且a6a9＝2a4a10，则＝ (　　)
A． B．
C． D．17
2．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位) (　　)
A．此人第五天走的路程为12里
B．此人第三天走的路程为42里
C．此人前三天共走的路程为330里
D．此人最后三天共走的路程为42里
3．已知等比数列{an}共有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q＝___________．
考点二　等比数列的判定与证明
[典例2]　记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an+2＋an+1－6an＝0(n∈N*)．
(1)证明：{an+1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判定一个数列为等比数列的常见方法
[巩固迁移]
4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn．
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
考点三　等比数列性质的应用
[典例3]　(1)(2025·江苏南通三模)在等比数列{an}中，a5a6a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝ (　　)
A．36 B．±6
C．－6 D．6
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝ (　　)
A．81 B．71
C．61 D．51
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：应用等比数列性质的两个关注点
[巩固迁移]
5．等比数列的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ (　　)
A．12　 　B．10　 　C．5　 　D．2log35
6．(多选)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是 (　　)
A．0C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
7．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝___________．
第42课时　等比数列
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．C　3．C　4．2　3　5．1，3，9或9，3，1
No2．储备知识要点
1．2　同一个常数　公比
2．G
3．(1)a1qn-1
4．(1)na1　
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)D　(2)2　[(1)设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则
解得
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．
(2)法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1．由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2．
法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝16，又q>0，所以q＝2．]
巩固迁移
1．A
2．AD　[由题意可得此人每天走的路程构成一个公比q＝的等比数列，且S6＝378，
所以S6＝＝378，解得a1＝192，
所以an＝a1qn-1＝192×(1≤n≤6，n∈N*)．
对于A，因为a5＝192×＝12，故A正确；
对于B，因为a3＝192×＝48，故B错误；
对于C，S3＝＝336，故C错误；
对于D，此人最后三天共走的路程为S6－S3＝378－336＝42，故D正确．故选AD．]
3．2　[依题意，知a1＋a3＋a5＋…＋a2n+1＝85，
即a2q＋a4q＋…＋a2nq＝84，
而a2＋a4＋…＋a2n＝42，所以q＝2．]
考点二
典例2　解：(1)证明：由题意得，＝2，所以{an+1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知an+1＋3an＝5·2n-1(n∈N*)，
则an+1＝－3an＋5·2n-1，
设an+1＋x·2n＝－3(an＋x·2n-1)，
则an+1＝－3an－5x·2n-1，则x＝－1，
故an+1－2n＝－3(an－2n-1)，又a1－20＝1，
所以{an－2n-1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，所以an－2n-1＝1×(－3)n-1，
an＝2n-1＋(－3)n-1，
Sn＝，
故an＝2n-1＋(－3)n-1，Sn＝2n－．
巩固迁移
4．解：(1)由题意可得，
解得所以an＝3n-1，Sn＝．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋×3n，则＝3．
故存在常数λ＝是等比数列．
考点三
典例3　(1)D　(2)C　[(1)等比数列{an}中，a5a6a7＝＝8，a2＋a6＝20，∴a6＝2，a2＝18，
∴a4＝±＝±6，由于a2>0，故a4>0，所以a4＝6．故选D．
(2)由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，
所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，
即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，
则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，
S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，
所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61．故选C．]
巩固迁移
5．B
6．ABD　[对于A，a1>1且a6a7>1>0 q>0，而<0 a6－1和a7－1异号，
由a1>1知a6－1>0，a7－1<0，即a6>1，a7<1，0对于B，从前面的求解过程知a1>1，0那么0对于C，因为是正项数列，所以Sn没有最大值，故C项错误；
对于D，从前面的分析过程可知的前6项均大于1，从第7项起均小于1，所以Tn的最大值为T6，故D项正确．
故选ABD．]
7．－2　[法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8，②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．
法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，而a2a4a5＝a3a6，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]
5/5(共82张PPT)
第42课时　等比数列
第六章　数列
[考试要求]
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
以题引理·激活思维
1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，则a2的值为(　　)
A．
√
D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得
q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－．∴a2＝或－3．故选D．]
2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
C　[根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]
√
3．(湘教版选择性必修第一册P26例2改编)下列结论中正确的是
(　　)
A．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac
B．当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列
C．如果数列{ln an}为等差数列，则数列{an}是等比数列
D．若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
√
C　[对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，但三个数a，b，c不成等比数列；对于B，首项a1正负不知；对于D，不能排除公比q＝－1的情况．故ABD错误，故选C．]
4．(人教B版选择性必修第三册P37练习BT5改编)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝_________，q＝________．
2　3　[由等比数列的性质可得a1a3＝＝36．又a2＋a4＝a2(1＋q2)＝60，所以a2>0，a2＝6，所以1＋q2＝10，解得q＝±3．当q＝3时，由a2＝a1q＝6，解得a1＝2；当q＝－3时，由a2＝a1q＝6，解得a1＝－2，不满足递增等比数列的条件，舍去．综上，a1＝2，q＝3．]
2
3
5．(苏教版选择性必修第一册P161习题4.3(1)T13改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_________________．
1，3，9或9，3，1　[设这三个数为，a，aq，则
解得∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]
1，3，9或9，3，1
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示，数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2
同一个常数
公比
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．
G
3．等比数列的通项公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_______， 其推导方法是累乘法．通项公式的推广：an＝amqn-m．
(2)①当q>1，a1>0或0②当q>1，a1<0或00时，数列{an}是递减数列；
③当q＝1时，{an}是常数列．
a1qn-1
4．等比数列的前n项和公式
(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝ ____________，其推导方法是错位相减法．
(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．
提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
na1
1．抓住基本量：首项a1和公比q．
2．抓住常用性质：已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则
(1)项的性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝．
(2)片段和性质：等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，仍是等比数列．
考点一　等比数列基本量的运算
[典例1]　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_____________．
精研考点·提升素养
√
2
(1)D　(2)2　[(1)设等比数列的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则
所以a6＝a1q5＝3．
故选D．
(2)法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1．由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2．
法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝16，又q>0，所以q＝2．]
名师点评：等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中涉及a1，n，q，an，Sn五个量，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．
[巩固迁移]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，anan+2＝＝(　　)
A．
D．17
√
A　[因为anan+2＝，且an≠0，所以{an}为等比数列．因为a6a9＝2a4a10，所以a5a10＝2a4a10，
因为a10≠0，所以a5＝2a4，即{an}的公比q＝＝2．
所以．故选A．]
2．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(　　)
A．此人第五天走的路程为12里
B．此人第三天走的路程为42里
C．此人前三天共走的路程为330里
D．此人最后三天共走的路程为42里
√
√
AD　[由题意可得此人每天走的路程构成一个公比q＝的等比数列，且S6＝378，
所以S6＝＝378，解得a1＝192，
所以an＝a1qn-1＝192×(1≤n≤6，n∈N*)．
对于A，因为a5＝192×＝12，故A正确；
对于B，因为a3＝192×＝48，故B错误；
对于C，S3＝＝336，故C错误；
对于D，此人最后三天共走的路程为S6－S3＝378－336＝42，故D正确．故选AD．]
3．已知等比数列{an}共有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q＝_____________．
2　[依题意，知a1＋a3＋a5＋…＋a2n+1＝85，
即a2q＋a4q＋…＋a2nq＝84，
而a2＋a4＋…＋a2n＝42，所以q＝2．]
2
【教用·备选题】
1．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动．在一次数学实践课上，某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形的斜边长为(　　)
A．
√
A　[由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，
所以斜边长为．
故选A．]
2．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝__________，数列{an}所有项的和为_____________．
48
384
48　384　[∵数列{an}的后7项成等比数列，an>0，设公比为q，则q>0，
∴a7＝＝48，∴a3＝＝3，
∴公比q＝＝2，∴a4＝3×2＝6，
又该数列的前3项成等差数列，
∴数列{an}的所有项的和为
＋378＝384．]
考点二　等比数列的判定与证明
[典例2]　记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an+2＋an+1－6an＝0(n∈N*)．
(1)证明：{an+1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
[解]　(1)证明：由题意得，＝2，所以{an+1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知an+1＋3an＝5·2n-1(n∈N*)，
则an+1＝－3an＋5·2n-1，
设an+1＋x·2n＝－3(an＋x·2n-1)，
则an+1＝－3an－5x·2n-1，则x＝－1，
故an+1－2n＝－3(an－2n-1)，又a1－20＝1，
所以{an－2n-1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，所以an－2n-1＝1×(－3)n-1，an＝2n-1＋(－3)n-1，
Sn＝，
故an＝2n-1＋(－3)n-1，Sn＝2n－．
名师点评：判定一个数列为等比数列的常见方法
[巩固迁移]
4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．
(1)求an及Sn．
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意可得，
解得所以an＝3n-1，Sn＝．
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．
因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，此时Sn＋×3n，
则＝3．
故存在常数λ＝是等比数列．
【教用·备选题】
1．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an+1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an+1}是公比为q的等比数列
D．数列的等比数列
√
√
AD　[对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an+1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an+1}的项中有0，不是等比数列；对于D，的等比数列．故选AD．]
2．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1．
[证明]　选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝Aqn-2(q－1)，
因为{an}是等比数列，
所以，
解得q＝2，所以a2＝2a1．
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以数列{an}的公比q＝2，
所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝2na1，
因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝Aqn-2(q－1)．
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝Aqn-2(q－1)＝A·2n-2＝a1·2n-1，所以＝2(n≥2)，又因为a2＝2a1，所以{an}为等比数列．
3．已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an+1＝an＋2bn，bn+1＝2an＋bn．
(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；
(2)求{anbn}的前n项和Sn．
[解]　(1)证明：因为an+1＝an＋2bn，bn+1＝2an＋bn，
所以an+1＋bn+1＝3(an＋bn)，
an+1－bn+1＝－(an－bn)，
又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，
所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．
(2)由(1)得an＋bn＝5×3n-1，an－bn＝(－1)n-1，
所以an＝，bn＝，
所以anbn＝
，
所以Sn＝＝．
考点三　等比数列性质的应用
[典例3]　(1)(2025·江苏南通三模)在等比数列{an}中，a5a6a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(　　)
A．36 B．±6
C．－6 D．6
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　)
A．81 B．71
C．61 D．51
√
√
(1)D　(2)C　[(1)等比数列{an}中，a5a6a7＝＝8，a2＋a6＝20，∴a6＝2，a2＝18，
∴a4＝±＝±6，由于a2>0，故a4>0，所以a4＝6．故选D．
(2)由题可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，
所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(－3)2＝S3×9，得S3＝1，
则此等比数列的首项是1，公比是－3，那么S12－S9＝a10＋a11＋a12＝9×(－3)＝－27，
S15－S12＝a13＋a14＋a15＝－27×(－3)＝81，
所以S15＝1＋(－3)＋9＋(－27)＋81＝61．故选C．]
名师点评：应用等比数列性质的两个关注点
[巩固迁移]
5．等比数列的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12 B．10
C．5 D．2log35
√
B　[因为{an}是各项均为正数的等比数列，a5a6＋a4a7＝18，
所以a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，即a5a6＝9，
则a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝9，
记S＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10，
则S＝log3a10＋log3a9＋…＋log3a1，
两式相加得2S＝log3＋…＋log3＝10×log39＝20，
所以S＝10，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝10．
故选B．]
6．(多选)设等比数列
<0，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
√
√
√
ABD　[对于A，a1>1且a6a7>1>0 q>0，而<0 a6－1和a7－1异号，
由a1>1知a6－1>0，a7－1<0，即a6>1，a7<1，0对于B，从前面的求解过程知a1>1，0那么0对于C，因为是正项数列，所以Sn没有最大值，故C项错误；
对于D，从前面的分析过程可知的前6项均大于1，从第7项起均小于1，所以Tn的最大值为T6，故D项正确．
故选ABD．]
7．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝
－8，则a7＝_____________．
－2　[法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①
又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8，②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．
－2
法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，而a2a4a5＝a3a6，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]
【教用·备选题】
(多选)(2025·湖北武汉二模)下列命题正确的是(　　)
A．若也是等比数列
B．若为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列
C．若为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
D．若数列为递增数列”的充分不必要条件
√
√
BD　[对于A，若a1＝－b1且数列{an}，{bn}公比相等，则a1＋b1＝0，显然{an＋bn}不是等比数列，A错误；
对于B，设{an}的公比为q，而S3＝a1(1＋q＋q2)，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1(q3＋q4＋q5)＝q3S3，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a1(q6＋q7＋q8)＝q3(S6－S3)，
所以S3，S6－S3，S9－S6是公比为q3的等比数列，B正确；
对于C，同B分析，Sn＝a1(1＋q＋…＋qn-1)，
S2n－Sn＝a1(qn＋qn+1＋…＋q2n-1)，S3n－S2n＝a1，
当n为偶数，q＝－1时，显然各项均为0，不为等比数列，C错误；
对于D，若an>0，则Sn＝Sn-1＋an>Sn-1(n≥2)，易知为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则Sn>Sn-1 Sn-1＋an>Sn-1(n≥2)，显然{an}为－1，2，2，2，…满足，但an>0不恒成立，必要性不成立，所以“an>0为递增数列”的充分不必要条件，D正确．故选BD．]
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝(　　)
A．15 B．9
C．－9 D．±9
B　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a5＝a3q2＝3q2>0，由等比中项的性质可得＝a3a7＝3×27＝81，故a5＝9．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课后作业(四十二)　等比数列
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2025·山东滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝(　　)
A．12 B．24
C．48 D．96
√
D　[设数列{an}的公比为q，由a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，
可得＝q＝2，
所以a7＋a8＝(a2＋a3)q5＝3×25＝96．故选D．]
3．设Sn为等比数列的前n项和，已知S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比q＝(　　)
A．2 B．－2
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得，
S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝＝2．
故选A．]
4．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[因为数列为等比数列，且公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则，
即，解得S4＝32或S4＝2．
设等比数列的公比为q，则q≠1，
＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(2025·豫湘名校联考)在等比数列{an}中，记其前n项和为Sn，已知a3＝－a2＋2a1，则的值为(　　)
A．2 B．17
C．2或8 D．2或17
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[由题意可得a1q2＝－a1q＋2a1，
整理得q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2．
当q＝1时，＝2；
当q＝－2时，＝1＋q4＝17．
所以的值为2或17．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则(　　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[设数列的公比为q，首项为a1，
若m＋t＝p＋s，则qp+s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．数列{an}中，a1＝2，am+n＝aman，若ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[∵a1＝2，am+n＝aman，令m＝1，则an+1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25×(210－1)，
∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　)
A．3 B．18
C．54 D．152
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[因为{an}为等比数列，an+1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，
由等比数列的性质可得，＝a1 ·a3 ，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
9．设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则
(　　)
A．a＝－1 B．的公比为2
C．an＝2n D．S9＝1 023
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BC　[因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8．
因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误；
等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确；
因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确；
因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an+1＝3an＋2n，则
(　　)
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列是等比数列
C．an＝2×3n－2n+1
D．Sn＝2(3n－2n)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD　[由题意得an+1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
，
又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
11．(2025·广东揭阳三模)已知正项等比数列{an}满足a1＝1，6a1，a3，4a2成等差数列，则其公比为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3
3　[设{an}的公比为q(q>0)，
又因为6a1，a3，4a2成等差数列，
所以2a3＝6a1＋4a2，可得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍去)．]
12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n-1a2n+1，则an＝_____________，Tn＝_________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[由题意得a1＝1－a1，故a1＝．
当n≥2时，由得an＝Sn－Sn-1＝－an＋an-1，
则，故数列{an}是以为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝．
由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n-1a2n+1＝，
所以数列{a2n-1a2n+1}是以为公比的等比数列，
则Tn＝＋…＋．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
四、解答题
13．(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1－3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　(1)因为2Sn＝3an+1－3，故当n≥2时，2Sn-1＝3an－3，
所以2an＝3an+1－3an(n≥2)，即5an＝3an+1，故等比数列{an}的公比q＝，
故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)由等比数列的前n项和公式得
Sn＝．
设数列{Sn}的前n项和为Tn，
则Tn＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列．
(1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　(1)由题意知，因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4．因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝×(4n－1)．
(2)因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1，所以
，又a1＝1，所以an＝×(4n2－1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
谢 谢 ！课后作业(四十二)　等比数列
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝ (　　)
A．15 B．9
C．－9 D．±9
2．(2025·山东滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝ (　　)
A．12 B．24
C．48 D．96
3．设Sn为等比数列的前n项和，已知S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比q＝ (　　)
A．2 B．－2
C．
4．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2025·豫湘名校联考)在等比数列{an}中，记其前n项和为Sn，已知a3＝－a2＋2a1，则的值为 (　　)
A．2 B．17
C．2或8 D．2或17
6．已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则 (　　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
7．数列{an}中，a1＝2，am+n＝aman，若ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，则k＝ (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn＋2，则a4的值为 (　　)
A．3 B．18
C．54 D．152
二、多项选择题
9．设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则 (　　)
A．a＝－1 B．的公比为2
C．an＝2n D．S9＝1 023
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an+1＝3an＋2n，则 (　　)
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列是等比数列
C．an＝2×3n－2n+1
D．Sn＝2(3n－2n)
三、填空题
11．(2025·广东揭阳三模)已知正项等比数列{an}满足a1＝1，6a1，a3，4a2成等差数列，则其公比为___________．
12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n-1a2n+1，则an＝___________，Tn＝___________．
四、解答题
13．(13分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1－3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和．
14．(15分)对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列．
(1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式．
课后作业(四十二)
1．B　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a5＝a3q2＝3q2>0，由等比中项的性质可得＝a3a7＝3×27＝81，故a5＝9．故选B．]
2．D
3．A　[由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得，
S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝＝2．故选A．]
4．B　[因为数列为等比数列，且公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则＝S4·，
即＝S4·，解得S4＝32或S4＝2．
设等比数列的公比为q，则q≠1，
＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．故选B．]
5．D
6．B　[设数列的公比为q，首项为a1，
若m＋t＝p＋s，则qm+t-2＝qp+s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．]
7．C　[∵a1＝2，am+n＝aman，令m＝1，则an+1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n．
又∵ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k+1(210－1)＝25×(210－1)，
∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．]
8．C　[因为{an}为等比数列，an+1＝2Sn＋2，
所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，
a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，
由等比数列的性质可得，＝a1 ·a3 ，
即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，
所以a1＝2或a1＝－1(舍)，
所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54．
故选C．]
9．BC　[因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8．
因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误；
等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确；
因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确；
因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．]
10．ABD　[由题意得an+1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
＋1＝＋1＝，
又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．]
11．3　[设{an}的公比为q(q>0)，
又因为6a1，a3，4a2成等差数列，
所以2a3＝6a1＋4a2，可得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍去)．]
12．　[由题意得a1＝1－a1，故a1＝．
当n≥2时，由得an＝Sn－Sn-1＝－an＋an-1，
则，
故数列{an}是以为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝．
由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n-1a2n+1＝，
所以数列{a2n-1a2n+1}是以为公比的等比数列，
则Tn＝＋…＋．]
13．解：(1)因为2Sn＝3an+1－3，故当n≥2时，2Sn-1＝3an－3，
所以2an＝3an+1－3an(n≥2)，即5an＝3an+1，故等比数列{an}的公比q＝，
故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝．
(2)由等比数列的前n项和公式得Sn＝．
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝n＝n－．
14．解：(1)由题意知，因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4．因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝×(4n－1)．
(2)因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1，所以，又a1＝1，所以an＝×(4n2－1)．
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