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2026 年甘肃省武威第十二中学数学中考第一次模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题 3 分，共 30 分）
1．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ）
A． B． C． D．
2．实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a 1 B． a b 0 C． a b > 0 D． a b
3．如图， MON 100 ，点 A在射线OM 上，以点 O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON
于点 B．若分别以点 A，B为圆心， AB长为半径画弧，两弧在 MON 内部交于点 C，连接
AC，则 OAC的大小为（ ）
A．80 B．100 C．110 D．120
4．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马
日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走
240里，跑得慢的马每天走 150里．慢马先走 12天，快马几天可以追上慢马？设快马 x天
可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ）
A． 240x 150(x 12) B． 240x 150(x 12)
C．150x 240(x 12) D．150x 240(x 12)
5．四边形 ABCD中，AD∥BC， B 90 , AB 8cm, AD 10cm,BC 16cm．动点M 从点 B
答案第 1页，共 23页
出发，以2cm / s的速度沿边 BA、边 AD向终点D运动；动点 N从点C同时出发，以1cm / s
的速度沿边CB向终点 B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运
动．设运动的时间为 ts．当 t 2s时，点 M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当 t 6s时，CN DM ；
②当1 t 2时， BMN的最大面积为26cm2；
③ t有两个不同的值满足 BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 EFGH 与正方
形OABC的顶点均为整点．若只将正方形 EFGH 平移，使其内部（不含边界）有且只有 A，
B，C三个整点，则平移后点 E的对应点坐标为（ ）
7 ,11 8 , 23 3 , 2 3 9 A． B． C． D．5 5 5 10 2
,
2 4
7．如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB AC，分别以点B、C为圆心、BC的长为半径画
弧，与 BA、CA的延长线分别交于点D、E．若 BC 4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． 2π 4 B． 4π 4 C．8π 8 D． 4π 8
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O 0,0 ，A 2,1 ，B 1,2 ，以原
点O为位似中心，在第三象限画△OA B 与△OAB位似，若△OA B 与△OAB的相似比为 2 :1，
则点 A的对应点 A 的坐标为（ ）
答案第 2页，共 23页
A． 2, 1 B． 4, 2 C． 1, 2 D． 2, 4
9．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个
小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的
概率为（ ）
A 1
1 2
． 4 B． C
1
．
3 2
D．
3
10．如图，在 ABC中， AB 16，BC 12，CA 10， ABC的平分线 BP与 AC相交于点
D．在线段 AD上取一点K，以点C为圆心，CK 长为半径作弧，与射线 BP相交于点M 和
1
点 N，再分别以点M 和点 N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射
2
线CQ，与 AB相交于点 E，连接DE．则 DAE的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题
11．若 3x 3在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是_______．
12．某地区七年级共有 2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中
随机抽取了 100名男生，测得他们的BMI数据（单位： kg/m2），并根据七年级男生体质健
康标准整理如下：
等级 低体重 正常 超重 肥胖
BMI ≤15.4 15.5 ~ 22.1 22.2 ~ 24.9 ≥25.0
人数 6 75 15 4
答案第 3页，共 23页
根据以上信息，估计该地区七年级 2000名男生中BMI等级为正常的人数是_______．
1 2
13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 a，b．如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠
3 5
合在一起，形成长为 81的纸条，则a b ______．
14．如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 P，A均在格点上．
（1）线段 PA的长为____________；
（2）直线 PA与 ABC的外接圆相切于点 A, AB BC ．点M 在射线 BC上，点N在线段BA
的延长线上，满足CM 2AN ，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的
网格中，画出点 M，N，并简要说明点 M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．
15．2025年 3月是第 10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快
降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1 12对应的点均匀分布在一个圆上，数
字 0对应圆心．图中以数字0 12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的
都不相等．若该圆的半径为 1，则这条线段的长为______．（参考数据： sin15 6 2 ，
4
sin 75 6 2 ）
4
16．如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC， B = 90°， AB 8，BC 4，点 E在边 AB上，
AE 3，连接CE，且 DCE BCE．点 F 在BC的延长线上，连接DF若DF DC，则
答案第 4页，共 23页
线段CF的长为______．
17．如图，因地形原因，湖泊两端 A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测
量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得 A点的俯角为60 ，测得
B点的俯角为30 （ A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 A，B的距离为________m
（结果保留根号）．
18．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点O，AC 8，BD 12，点 E在线段OA
上，AE 2，点 F 在线段OC上，OF 1，连接 BE，点G为 BE的中点，连接 FG，则 FG的
长为___________．
三、解答题
2
19．（1）计算： 9 1 2 2sin 45 1
3
（2）分解因式： 2x3 8x
20．如图．四边形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 E， AC AD，点 F 在 ED上，
BAF EAD．
答案第 5页，共 23页
(1)求证： ABC≌ AFD；
(2)若 BE FE，求证： AC BD．
21．为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校 a名学生，根据
统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空： a的值为____________，图①中m的值为____________，统计的这组学生每月参
加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；
(2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校共有 1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是 4h
的人数约为多少？
22．如图 1，图 2，正方形 ABCD的边长为 5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线 BD上，
且不与点D重合，半径OE 2，点 E，F 分别在边 AD，CD上，DE DF (DE 2)，扇形
OEF的弧交线段OB于点M ，记为 E MF．
(1)如图 1，当 AE 3时，求 EMF 的度数；
答案第 6页，共 23页
(2)如图 2，当四边形OEMF 为菱形时，求DE的长；
(3)当 EOF 150 时，求 E MF的长．
23．如图，在 ABC中， AC BC，以 AB为直径作 O，与 AC相交于点D．连接OC，
与 O相交于点 E．
(1)如图 1，连接DE，求 ADE的度数；
(2)如图 2，若点D为 AC的中点，且 AC 6，求D E的长．
24．（1）如图 1，在 ABC与△DCB中， BAC CDB，AC与DB相交于点 P，PB PC，
求证：△ABC≌△DCB；
（2）如图 2，将图 1中的△DCB绕点 B逆时针旋转得到 D C B，当点D的对应点 D 在线段
BA的延长线上时，BC 与 AC相交于点M ：若 AB 2，BC 3， ABC 60 ，求CM的长；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接CC 并延长，与 BD 的延长线相交于点 N，连接MN，
求 AMN的面积．
25．综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切
割线．
［模型］已知矩形 ABCD（数据如图 2所示）．作一条直线MN，使MN与 BC所夹的锐角为
45 ，且将矩形 ABCD分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
答案第 7页，共 23页
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图 4，淇淇的方法如下：
如图 3，嘉嘉的思路如下： ①在边 BC上截取 BG AB，连接 AG；
①连接 AC， BD交于点O； ②作线段GC的垂直平分线 l，交 BC于
②过点O作 EF BC，分别交 BC， AD于点 点M ；
E， F ③在边 AD上截取 AN GM ，作直线
…… MN．
(1)图 2中，矩形 ABCD的周长为______；
(2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图 4中的直线MN符合要求．
(4)如图5，若直线 PQ将矩形 ABCD分成周长相等的两部分，分别交边 AD，BC于点 P，Q，
过点 B作 BH PQ于点 H ，连接CH ．
①当 PQC 45 时，求 tan BCH的值；
②当 BCH最大时，直接写出CH 的长．
26．项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高
于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈
正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，
形成了如下活动报告．
答案第 8页，共 23页
项目
景物的测量与计算
主题
驱动
如何测量内栏墙围成泉池的直径
问题
活动
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
内容
图1为该景，点俯视图的示意图，点 A，D是正八边形中一组平行边的中点，
BC为圆的直径图中点 A、B、C、D在同一条直线上．
图 2为测量方案示意图，直径 BC所在水平直线与外栏墙分别交于，点 E，F ，
外栏墙 AE与DF均与水平地面垂直，且 AE DF．BE，CF均表示步道的宽，
方案
BE CF．图中各点都在同一竖直平面内．
说明
活动
过程
数据 在点 A处测得，点 B和点C的俯角分别为 DAB 37 ， DAC 8.5 ，
测量 AD 26米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流
……
展示
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 BC的长（结果精确到1米．参考数据：
sin8.5 0.15，cos8.5 0.99，tan8.5 0.15，sin37 0.60，cos37 0.80，tan37 0.75）．
答案第 9页，共 23页
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2 bx c 经过点 A(0,3)，B(6,3)，顶点为 P．抛
1
物线 y a(x 3)2 d (a 0) C

经过点 , 2

．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为 L2 1，
L2．
(1)求b， c的值及点 P的坐标．
L 23(2)点D在 1上，到 x轴的距离为 ．判断 L2能否经过点D，若能，求 a的值；若不能，请4
说明理由．
(3)直线 AE : y kx n(k 0)交 L1于点 E，点M 在线段 AE上，且点M 的横坐标是点 E横坐
标的一半．
①若点 E与点 P重合，点M 恰好落在 L2上，求 a的值；
②若点M 为直线 AE与 L2的唯一公共点，请直接写出 k的值．
答案第 10页，共 23页
《2026 年甘肃省武威第十二中学数学中考第一次模拟试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A C A D B C B
11． x 1
12．1500
13．99
14．（1） 2
15 6 2．
2
18
16．
5
17．120 3
18． 13
19．解：（1）原式 3 2 1 2 9 5；
2
（2）原式 2x x 4 2x x 2 x 2 ．
20．（1）证明：∵ BAF EAD，
∴ BAF CAF EAD CAF，即 BAC FAD，
又∵ AC AD，
∴ ABC≌ AFD；
（2）证明：∵ ABC≌ AFD，
∴ AB AF ，
∵ BE FE，
∴ AE BF ，即 AC BD .
21．（1）解： a = 5+6 +10 +14 +5 = 40；
答案第 11页，共 23页
∴m 25；
∵在该组数据中 4出现的次数最多，
∴众数为 4；
中位数为排序后的第 20位和 21位的平均数，
3 3
∴中位数为 3；
2
故答案为：40，25，4，3；
5 6 10 14 5
（2）解：该组数据的平均数为 x = 1 + 2 +3 + 4 +5 = 3.2，
40 40 40 40 40
∴这组数据的平均数是3.2；
（3）解： 在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是 4h的学生占35%，
根据样本数据，估计该校 1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是 4h的学生约占35%，
有1000 35% 350 .
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是 4h的人数约为 350．
22．（1）∵正方形 ABCD的边长为 5．
∴ AD CD 5
∵当 AE 3时
∴ ED DF 2
∵OE OF 2
∴ ED DF OE OF
∴四边形 EOFD是菱形
∵ EDF 90
∴四边形 EOFD是正方形
∴ EOF 90
1
∴ EMF EOF 45 ；
2
（2）∵四边形OEMF 为菱形
∴ EM MF OE OF
∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线 BD上，
∴OE OM EM 2
∴△OEM 是等边三角形
如图所示，连接 EF交BD于点 G
答案第 12页，共 23页
∴ EF BD
MEG 1∴ MEO 30
2
MG OG 1∴ EM 1
2
∴ EG EM 2 MG2 3
∵ EDG 45
∴ EGD是等腰直角三角形
∴ EG DG 3
∴ ED EG2 DG2 6；
（3）如图所示，当 E MF是劣弧时，
∵ EOF 150 ，半径OE 2
E MF 150π 2 5π∴ ；
180 3
如图所示，当 E MF是优弧时，
∵ EOF 150 ，半径OE 2
∴360 150 210
答案第 13页，共 23页
E MF 210π 2 7π∴ ．
180 3
综上所述， E
5π 7π
MF的长为 或 ．3 3
23．（1）解：连接OD，
∵CA CB,OA OB,OC OC，
∴ OAC≌ OBC SSS ，
∴ AOC BOC，
∵ AOC BOC 180 ，
∴ AOC BOC 90 ，
∵OA OD OE ，
∴ OAD ODA, ODE OED，
设 OAD ODA x, ODE OED y，
在四边形OADE中，∵ OAD ADE OED AOC 360
∴ x x y y 90 360 ，
∴ ADE ADO ODE x y 135 ；
（2）解：连接OD，
∵ AOC=90 ，D为 AC中点，
∴OD AD
1 1
AC 6 3，
2 2
∴OD OA AD 3，
答案第 14页，共 23页
∴△ADO为等边三角形，
∴ AOD 60 ，
∴ DOE 90 60 30 ，
30 3 1∴DE的长为： ．180 2
24．解：（1）∵ PB PC，
∴ PBC PCB，即 DBC ACB，
∵∠BAC ∠CDB，BC CB，
∴ ABC≌ DCB AAS ；
（2）∵△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D C B，
∴ BAC C D B， AB D C 2， AC BD ，
作 AE BC于点 E，
∵ ABC 60 ，
∴ BAE 30 ，
BE 1∴ AB 1， 2 2 ，
2 AE AB BE 3
∴CE BC BE 2，
∴ AC AE 2 CE 2 7 ，
∴ BD AC 7，
∵ BAC C D B，
∴ AM∥C D ，
∴ BAM ∽ BD C ，
BA AM 2 AM
∴ ，即 ，
BD C D 7 2
∴ AM 4 7 ，
7
答案第 15页，共 23页
CM AC AM 3 7∴ ；
7
（3）设 BC C ，
由旋转的性质得 BC BC，则 BC C BCC ，
∵ ABC D C B 60 ， NBC BCN BNC 180 ，
BC C BC D D C N 180 ，
∴ BNC 120 ， D C N 120 ，
∴ BNC D C N 120 ，
∵ AM∥C D ，
∴ ANC ACN ，
∴ AN AC 7，
作CF BN于点 F ，
∵ ABC 60 ，
∴ BCF 30 ，
∵ BC 3，
∴ BF
3
，
2
∴CF BC 2 BF 2 3 3 ，
2
S 1 AN CF 1 7 3 3 3 21∴ ACN ，2 2 2 4
4 7 3 7
∵ AM ，CM ，即 AM :CM 4 : 3，
7 7
S 4 S 3 21∴ AMN ACN ．7 7
25．（1）解： 四边形 ABCD是矩形，
AB CD， AD BC
答案第 16页，共 23页
AB 1， AD 4，
AB CD 1， AD BC 4，
矩形 ABCD的周长为 2 AB CD 2 1 4 10，
故答案为：10；
（2）解：如下图所示，
以点 E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M ，延长MO交 AD于点 N，线段MN即为所求，
EF BC，
BEF 90 ，
EM EO，
EOM 是等腰直角三角形，
OME 45 ，
矩形 ABCD的对角线交于点O，
AO CO，
四边形 ABCD是矩形，
AD BC， AD BC，
AON COM，
OAN OCM

在 AON和 COM中， AO CO ，

AON COM
AON≌ COM ，
AN CM ，
DN BM，
AN AB BM CM CD DN，
直线MN把矩形 ABCD分成周长相等的两部分；
（3）证明： 四边形 ABCD是矩形，
B 90 ， AD BC，
BG AB，
答案第 17页，共 23页
AGB 45 ，
AN MG，
四边形 AGMN是平行四边形，
MN AG，
NMG AGB 45 ，
直线 l是GC的垂直平分线，
GM CM，
GM CM AN，
BM BC CM ，DN AD AN，
BM DN，
AN AB BM CM CD DN，
MN把矩形 ABCD分成了周长相等的两部分，
直线MN符合要求；
（4）①解：如下图所示，过点 H 作HG BC，连接 AC交 PQ于点O，过点 P作 PK BC
于点K，过点O作OT BC，
四边形 ABCD是矩形，且直线 PQ将矩形 ABCD分成周长相等的两部分，
则点O是矩形 ABCD的对角线 AC与 BD的交点，
点O是 AC的中点，
1
BT CT BC 2，
2
AP CQ， PD BQ， AB DC PK 1，
PQC 45 ，
PQK 是等腰直角三角形，
PK QK 1，
PQ PK 2 QK 2 12 12 2，
四边形 ABCD是矩形，
AD BC，
APQ CQP 45 ，
答案第 18页，共 23页
AOP COQ
在 AOP和 COQ 中， APO CQP ，

AP CQ
AOP≌ COQ，
PO QO 2 ，OT QT
1
，
2 2
CQ CT QT 2 1 5 ，
2 2
BQ BC CQ 4 5 3 ，
2 2
BQH PQC 45 ，
BH PQ于点 H ，
BHQ 90 ，
BHQ是等腰直角三角形，
1 1 3 3 5 3 13
HG GQ BQ ，CG CQ GQ ，
2 2 2 4 2 4 4
3
tan BCH HG 4 3 13 ；CG 13
4
②解：如下图所示，连接 BD交 PQ于点O，
PQ把矩形 ABCD分成了周长相等的两部分，
点O为 BD和 PQ的中点，
BH PQ，
点 H 在以 BO为直径的 L上，
当CH与 L相切时， BCH最大，
AB 1， AD 4，
BD 12 42 17，
BO 1 BD 17 ，
2 2
答案第 19页，共 23页
17
LH BL OL ，
4
过点 L作 LT BC，
BTL 90 ，
四边形 ABCD是矩形，
BCD 90 ，
TL CD
则 BLT∽ BDC，
BL LT BT
，
BD CD BC
17
4 LT BT ，
17 1 4
LT 1 ， BT 1，
4
CT BC BT 4 1 3，
CL2 TL2 CT 2 145 ，
16
CH是 L的切线，
CHL 90 ，
2
CH CL2 HL2 145
17 145 17
8 2 2．16 4 16 16
26．解：由题意得， AEF 90 ，四边形 AEFD为矩形，
∴ EF AD 26， AD∥EF ，
∴ ABE DAB 37 ， ACE DAC 8.5 ，
设 BE CF x米，则CE (26 x)米， BC (26 2x)米，
AE
在Rt△ABE中， AEB 90 ， tan ABE ，
BE
∴ AE BE tan ABE x tan37 ，
答案第 20页，共 23页
AE
在Rt ACE中， AEC 90 ， tan ACE ，
CE
∴ AE CE tan ACE 26 x tan8.5 ，
∴ x tan37 26 x tan8.5 13，解得 x ，
3
13
∴ BC 26 2 17（米），
3
答：内栏墙围成泉池的直径 BC的长约为17米．
27．（1）解：∵抛物线 y x 2 bx c 经过点 A(0,3)， B(6,3)，顶点为 P
c 3
∴
36 6b c 3
解得：b 6,c 3，
2
∴ y x2 6x 3 x 3 12，
∴ P 3,12 ；
L 23 23（2）∵点D在 1（第一象限）上，到 x轴的距离为 ．则 yD 4 4
y 23
23
∴当 时， x2 6x 34 4
x 1 x 11解得： 或
2 2
D 1 , 23 11 23 ∴ 或 ，
2 4 2 4
1
∵抛物线 y a(x 3)2

d (a 0) 经过点C , 2 ，对称轴为直线 x 3
2
∴ L
1 11
2经过点C , 2 和 , 2
2 2
∴ L2不能经过点D ,
（3）①∵ A(0,3)， P 3,12
当 E,P重合时，则 E 3,12
∵M 是 AE的中点，
3
∴M ,
15
,
2 2
∵点M
3
,
15 1
2 2
恰好落在 L2上， L2经过点C , 2
2
答案第 21页，共 23页

2 1
2
3 a d
2
∴
15 3
2
3 a d
2 2
a 11
8
解得：
d 339
；

32
②∵直线 AE : y kx n(k 0)交 L1于点 E， A(0,3)，
∴ n 3，
∴直线 AE的解析式为 y kx 3，
∵ y a(x 3)2
1
d (a 0) C 经过点 , 2 ，
2
2 25∴ a d，
4
d 2 25∴ a，
4
y a(x 3)2 2 25 a ax 2∴ 6ax
11
a 2
4 4

y ax 2
11
6ax a 2
联立 4
y kx 3
2
消去 y得， ax kx 11a 6ax 1 0
4
6a k 6a k 6ak k 2
∴ x1 x2 ，则 E , 32a a a
∵点M 的横坐标是点 E横坐标的一半．
M 6a k , 6a k k 3
6a k 6ak k 2
∴ 即 , 3 ，
2a 2a

2a 2a


将 E代入 y x2 6x 3，
6ak k2 3 6a k
2
∴ 6a k 2 6 3①，a a a
整理，得，
6a2k ak 2 k 2 6ak，
由 k 0，
答案第 22页，共 23页
则6a2 ak k 6a，
整理得， a 1 k 6a a 1 ，
则 a 1或 k 6a，
∵点M 为直线 AE与L2的唯一公共点，
∴Δ k 6a 2 4 11a a 1
0②
4
则 a 1或 k 6a，
当 a 1时，代入②解得，
a 1 a 1
或 ，
k 6 15 k 6 15
当 k 6 15时，交点不在 L2公共点不在第一象限，不符合题意，
∴ k 6 15．
当 k 6a时，代入②解得 a 0，不符合题意，
故 k 6 15
答案第 23页，共 23页

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