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2025-2026学年第二学期初二数学第十四周滚动练习
一．选择题（共8小题）
1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线
C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线
2．小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．AB＝DC C．AB∥CD D．∠B＝∠D
6．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2.过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．求xy的值（　　）
A．2 B． C．1 D．没法求出
第5题第6题第7题
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD、BC于点E，F，连接AF和CE，若EF＝BF+DE，则边BC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，，点M为BE中点，若CD＝2，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，D是BC上的一点，DA＝DC，E为BD的中点，连接AE．若∠ADB＝2∠BAE，则的值为 　 　 ．
第8题第9题
10．二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
11．计算：　 　
12．若代数式x2+4的值与﹣5x的值相等，则x＝　 　 ．
13．某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，设平均每月利润增长的百分率为x，则可列方程为 　 　 ．
14．如图，A，B两地被建筑物遮挡，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若DE的长为36m，则A，B两地距离为　 　 m．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点E是AB的中点，连接OE，OE＝2.5，DB＝6，则AC的长为 　 　 ．
第14题第15题第16题
16．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则DE的长为 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．计算：
（1）； （2）．
18．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．方寸之间，一览千年．博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂．为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信．苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 　 　 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，扇形D对应的圆心角度数是 　 　 °；
（3）若该校初二年级共有学生1500人，试估计参与A和B项目的学生共有多少人？
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（8，0），C（11，4）（网格中每个小正方形的边长为1）．
（1）以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△A1BC1和△A2BC2，使得画出的图形与△ABC的相似比为1：2．
（2）在（1）的作图下，连接A1C2和A2C1：
①直接写出四边形A1C2A2C1的形状．
②求四边形A1C2A2C1的面积．
22．已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
23．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：AC＝EC；
（2）若∠AOD＝120°，AB＝2.5cm．求矩形的面积．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
（1）已知：，则 　 　 ；
（2）化简： 　 　 ； 　 　 ；
（3）计算：．
25．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
（1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？
26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD的中点，连接BE交AC于点F．
（1）求证：AF＝2FC；
（2）若菱形边长为8，且∠ABC＝60°，求EF的长．
27．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F．DG∥EF，FG∥DE．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若点E为边AB的中点，求证：DE平分∠ADF；
（3）当四边形DEFG为正方形时，记正方形DEFG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2．若，求的值．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
第7题第8题
8．【答案】C
【解答】解：延长ED到点F，使FD＝ED，连接AF，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，2，∴，AC＝2BC，AD垂直平分EF，
∴△ABC∽△AED，ABBC，AF＝AE，
∴∠BAC＝∠EAD，，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠EAD﹣∠CAD，，
∴∠BAD＝∠CAE，，∵AF＝AE，AD⊥EF，∴∠FAD＝∠EAD，∴∠FAD＝∠BAC，
∴∠FAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠FAB＝∠DAC，∴△FAB∽△DAC，
∴，∵CD＝2，∴BFCD2，
∵点M为BE中点，点D为FE中点，∴DMBF，故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【答案】．【解答】解：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠ADB＝2∠BAE，∴2∠BAE＝2∠C，∴∠BAE＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△EBA∽△ABC，
∴，∴AB2＝BE BC，∵∠B＝90°，E为BD的中点，
∴AB2＝DA2﹣BD2，BD＝2BE，DA＝DC＝BC﹣2BE，
∴AB2＝（BC﹣2BE）2﹣（2BE）2＝BC2﹣4BE BC，∴BC2﹣4BE BC＝BE BC，
∴BC＝5BE或BC＝0（不符合题意，舍去），∴AB2＝5BE2，
∴ABBE或ABBE（不符合题意，舍去），∴，故答案为：．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△EBA∽△ABC是解题的关键．
10．【答案】x≥﹣2．
【解答】解：二次根式有意义，则2+x≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
11．【答案】
【解答】解：．故答案为．
【点评】归纳提炼：
分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
12．【答案】﹣1，﹣4
【解答】解：∵代数式x2+4的值与﹣5x的值相等，∴x2+4＝﹣5x，∴x2+5x+4＝0，
即（x+1）（x+4）＝0，∴x+1＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4．故答案为：﹣1，﹣4．
【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，注意掌握十字相乘法分解因式的知识是关键．
13．【答案】2500（1+x）2＝3600．
【解答】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600．
故答案为：2500（1+x）2＝3600．
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程﹣平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数＝增长后的量．
14．【答案】72
【解答】解：∵点D，E分别为CA，CB的中点，∴AB＝2DE＝72m，故答案为：72．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．【答案】8．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OCAC，OBBD＝3，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BC＝2OE＝5，∴OC4，
∴AC＝2OC＝8，故答案为：8．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
16．【答案】．
【解答】解：延长AB′、DC，它们相交于点G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，AB∥CD，
∵四边形ABCD绕点A逆时针旋转到 AB′C′D′的位置，
∴AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，C′D′＝CD＝3，∠BAB′＝∠DAD′，
∵∠BAB′＝∠DAD′，，∴△ABB′∽△ADD′，
∴，即，
解得DD′，∴C′D＝C′D′﹣DD′＝3，
∵CG∥AB，∴△GCB′∽△ABB′，
∴，即，解得GB＝GB′＝9，
∵AB′∥C′D，∴△C′DE∽△B′GE，∴，
即，解得DE．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三．解答题（共11小题）
17．【答案】（1）4；（2）29+12．
【解答】解：（1）2 ＝42＝4；
（2）＝9+1220＝29+12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．【答案】（1）x1＝1，x2＝1；（2）x．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1，∴x1＝1，x2＝1；
（2），去分母得：x＝2（2x﹣1）+3，解得：x，
经检验x是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程和解分式方程的方法是解题的关键．
（2）解：∵x，∴x1，x2＝﹣1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m＝1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
23．【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∵CE∥DB，∴四边形DCEB是平行四边形，∴BD＝CE，∵AC＝BD，∴AC＝CE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AOAC，ODBD，AC＝BD，∴AO＝OD，
∵∠AOD＝120°，∴∠ADO（180°﹣120°）＝30°，∴BD＝2AB＝5（cm），
∴AD，∴矩形的面积＝AD AB．
【点评】考查矩形性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到四边形DCEB是平行四边形．
24．【答案】（1）2；（2），；（3）1012．
【解答】解：（1）由题意，∵（）（）＝18﹣x﹣（6﹣x）＝12，且，∴ 2．故答案为：2．
（2）由题意得，，．
故答案为：，．
（3）由题意，
＝（）×（）
（）（2025﹣1）＝1012．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的计算是关键．
25．【答案】（1）月平均增长率是20%；（2）售价应降低19元．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，根据题意得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（98﹣y﹣65）元，每天的销售量为（24+4y）件，
根据题意得：（98﹣y﹣65）（24+4y）＝1400，整理得：y2﹣27y+152＝0，
解得：y1＝19，y2＝8（不符合题意，舍去），答：售价应降低19元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．【答案】（1）证明见解答；（2）EF的长是．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵E为CD的中点，
∴CECDAB，∵CE∥AB，∴△CEF∽△ABF，∴，∴AF＝2FC．
（2）解：作EH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵菱形ABCD的边长为8，且∠ABC＝60°，∴BC＝CD＝8，∠ECH＝∠ABC＝60°，
∴CECD＝4，∠CEH＝90°﹣∠ECH＝30°，∴CHCE＝2，
∴BH＝BC+CH＝10，EH2，
∴BE4，
∵△CEF∽△ABF，∴，∴BF＝2EF，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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