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23.4 实际问题与一次函数
一．选择题（共5小题）
1．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克
B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克
C．服药后第8小时，血液中不含药
D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时
2．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（　　）
A．4min B．5min C．5.2min D．6min
3．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（　　）
A．甲车的速度是120km/h
B．两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达B地
D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
4．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
5．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
6．学校发起为儿童福利院捐书包的活动，每个书包60元．张华现有积攒的零花钱480元，记他用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元，写出y关于x的函数解析式（不要求注明自变量取值范围）　 　 ．
7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB．当AM+BN的值最小时，CM的长为 　 　 ．
8．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　 　 元．
9．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　 　 ．
10．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发　 　 小时后和乙相遇．
11．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a﹣b＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
12．随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用y（单位：元）与游泳次数x（单位：次）之间的关系如图所示．
（1）分别求甲、乙两种方案所需费用y（单位：元）与游泳次数x（单位：次）之间的函数关系式；
（2）请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由．
13．中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等．
（1）求A，B两种类型月饼的单价．
（2）该商店计划购买A，B两种类型的月饼共100盒，且A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，请计算该商店购买两种类型月饼各多少盒时费用最少，最少费用是多少元？
14．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　 　 千米/时，t＝　 　 小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
15．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
16．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：由题意得，当成人按规定剂量服药后，2小时血液含药量最高，此时，血液中的含药量达每毫升6毫克，以后逐步减少，故A说法正确，不符合题意；
当成人按规定剂量服药后5小时，血液中的含药量为每毫升3毫克，故B说法正确，不符合题意；
当2＜x≤8时，设其解析式为y＝k1x+b，由题意，得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣x+8（2＜x≤8）．∴y＝0时，x＝8，
∴服药后第8小时，血液中不含药，故C说法正确，不符合题意；
当0≤x≤2时，设其关系式为y＝kx由题意，得，
6＝2k，
解得：k＝3，
∴y＝3x（0≤x≤2）．
当y＝3时，有3x＝3，x＝1；3＝﹣x+8，x＝5，
∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是：5﹣1＝4（时），故D说法错误，符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意得：快递车的速度为3a÷6（m/min），
快递车行驶8am所需时间为8a16（min），
∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为（26﹣16）÷2＝5（min）．
故选：B．
3．【解答】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，
甲车出发1.5小时就追上乙，因此速度差为60÷1.5＝40千米/小时，
故甲车的速度为100千米/小时，故选项A不合题意；
甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷40＝2（小时），
甲车行全程需要2+1.5＝3.5（小时），
全程为100×3.5＝350千米，故选项B不合题意；
此时乙车出发3.5+1＝4.5（小时），故选项C符合题意；
甲车休息小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5＝5（小时），
此时乙车距B地350﹣60×5＝50（千米），
返回时相遇时间为50÷（100+60）小时，
此时甲车行驶的时间为3.5+0.54（h），故选项D不合题意．
故选：C．
4．【解答】解：甲的速度为：8÷2＝4（米/秒）；
乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）；
b＝5×100﹣4×（100+2）＝92（米）；
5a﹣4×（a+2）＝0，
解得a＝8，
c＝100+92÷4＝123（秒），
∴正确的有①②③．
故选：A．
5．【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t，
又当t时，y甲＝50，此时乙还没出发，
当t时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
6．【解答】解：由题意得，
y＝480﹣60x，
故答案为：y＝480﹣60x．
7．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC2，
∵AH⊥BC，
∴BH＝AH＝1，
∴AH＝BH＝CH＝1，
∴AM+BN，
欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最小值，如图1中，
作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，
此时直线EF′的解析式为y＝（1）x，
当y＝0时，x＝2，
∴AM+BN的值最小时，CM的值为2，
解法二：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM+BN＝AM+ME，
∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，
∵AD∥EC，
∴，
∴CM1＝2．
故答案为：2．
8．【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y＝10x，
1千克苹果的价钱为：y＝10，
设射线AB的解析式为y＝kx+b（x≥2），
把（2，20），（4，36）代入得：，
解得：，
∴y＝8x+4，
当x＝3时，y＝8×3+4＝28．
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30（元），
30﹣28＝2（元）．
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．
9．【解答】解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
∵8分钟后的放水时间，8，
∴a，
故答案为：．
10．【解答】解：乙提高后的速度为：（20﹣2）÷（4﹣1﹣1）＝9，
由图象可得：y甲＝4t（0≤t≤5）；y乙；
由方程组，解得t．
故答案为．
11．【解答】解：从图1，可见甲的速度为60，
从图2可以看出，当x时，二人相遇，即：（60+V乙）120，解得：乙的速度V乙＝80，
∵乙的速度快，从图2看出乙用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，
a﹣b，
故答案为．
三．解答题（共5小题）
12．【解答】解：（1）由题意，设甲方案的函数解析式为y1＝k1x，
∵（6，60）在函数图象上，
∴将（6，60）代入解析式，得6k1＝60．
∴k1＝10．
∴y1＝10x．
设乙方案的函数解析式为y2＝k2x+b，
∵（0，60）和（8，100）在函数图象上，
∴将（0，60）和（8，100）代入解析式，得，
∴．
∴y2＝5x+60；
（2）由题意，令y1＝y2，
∴10x＝5x+60，则x＝12．
∴由图可知，当0＜x＜12时，选择甲；当x＝12时，甲与乙均可；当x＞12时，选择乙．
13．【解答】解：（1）设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为（x+15）元，
∵用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等，
∴，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，
∴x+15＝45，
答：A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元；
（2）设购买A型月饼a盒，则购买B型月饼（100﹣a）盒，总费用为w元，
w＝45a+30（100﹣a）＝15a+3000，
∴w随a的增大而增大，
∵A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，
∴a≥2（100﹣a），
解得a≥66，
∵a为整数，
∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝4005，100﹣a＝33，
答：购买A型月饼67盒，购买B型月饼33盒时，总费用最少，最少费用为4005元．
14．【解答】解：（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
＝720÷6
＝120（千米/小时）
∴t＝360÷120＝3（小时）．
故答案为：60；3．
（2）①当0≤x≤3时，设y＝k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1＝360，
解得k1＝120，
∴y＝120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y＝360．
③4＜x≤7时，设y＝k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得
解得
∴y＝﹣120x+840（4＜x≤7）．
综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
＝300÷180+1
（小时）
②当甲车停留在C地时，
（480﹣360+120）÷60
＝240÷60
＝4（小时）
③两车都朝A地行驶时，
设乙车出发y小时后两车相距120千米，
则60y﹣[120（y﹣1）﹣360]＝120，
所以480﹣60y＝120，
所以60y＝360，
解得y＝6．
综上，可得
乙车出发后两车相距120千米．
15．【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
16．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y＝10x+150，普通消费：y＝20x；
（2）由题意可得：当10x+150＝20x，
解得：x＝15，则y＝300，
故B（15，300），
当y＝10x+150，x＝0时，y＝150，故A（0，150），
当y＝10x+150＝600，
解得：x＝45，则y＝600，
故C（45，600）；
（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：
当0＜x＜15时，普通消费更划算；
当x＝15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15＜x＜45时，银卡消费更划算；
当x＝45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x＞45时，金卡消费更划算

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