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江西吉安市四所重点县二中2025-2026学年高二下学期6月学科素养阶段训练数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的首项为，公差不为，且成等比数列，则等于( )
A. B. C. D.
3.设随机变量的概率分布列为
则( )
A. B. C. D.
4.若在处取得极大值，则的值为
A. 或 B. 或 C. D.
5.某种植园种植的脐橙单果质量单位：近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于的脐橙个数约为( ) 附：若，则，，．
A. B. C. D.
6.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项的和为
10.在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回．设事件“第次抽到代数题”，“第次抽到几何题”，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是
A. 是函数的极大值点
B. 的对称中心为
C. 在上恒有
D. 若与在有唯一交点，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，，则 ．
13.设，分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等式的解集是 ．
14.已知数列满足，为其前项和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数 的图象过点，且．
求，的值；
求函数的极值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
数列满足，记数列的前项和为，求证．
17.本小题分
已知数列，，
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前天调查情况数据如下：
宣传天数
不了解的人数
若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程；
从前天的调查表中随机抽取份调查表，整理得如下列联表：
性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计
了解 不了解
老年
青年
合计
依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？
按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取份调查表，再从这份调查表中任意抽取份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，，
独立性检验常用小概率值和相应的临界值：，
19.本小题分
已知函数
当时，讨论的单调性
若，，讨论方程的根的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
由题意得，解得；
由得，，，
令，解得或，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
故当时，有极大值为，
当时，有极小值为，
综上，函数的极大值为，极小值为．

16.解：因为，
当时，，
由得，即，
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为，
所以；
由得，，所以，
所以，
所以
所以．

17.解：由，知，，
所以，又，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
由得，
所以，
，
所以
，
所以．

18.解：根据题干可知，
，，，
，
，
，
，
所以关于的回归方程为：
假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关；
由题知显著性水平：，即；
统计量：
，
因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关；
按分层抽样抽取老年调查表份，青年调查表份，
，
．
所以的分布列为：
期望：

19.解：的定义域为，
导函数，
令，解得，，
当时，恒成立，
无递增区间，递减区间为；
当时，，令，得，
令，得，
的递增区间为，递减区间为，；
当时，，令，得，
令，得，
的递增区间为，递减区间为，；
综上所述，当时，无递增区间，递减区间为，
当时，的递增区间为，递减区间为，，
当时，的递增区间为，递减区间为，；
若，，，
，
令，，
在上单调递增，
上式中满足：，
，可得，
令，，
当时，，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，
当时，，
则，画出的大致图象如图所示．
综上所述，当时，该方程有个根，
当或时，该方程有个根，
当时，该方程有个根．
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