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2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二）
数　学（解析卷）
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
答案速查表
1 2 3 4 5
A D C A B
6 7 8 9 10
D D B ABD ACD
11 12 13 14 15
ACD （1） （2）
16 17 18 19
（1）证明见解析 （2） （1） （2）中位数，平均数 （3） （1） （2） （3）小明更有机会进入面试环节 （1）证明见解析 （2） （3）
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】由 可得：，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限.
【点拨】本题考查复数的除法运算与几何意义，分子分母同乘分母的共轭复数是化简的关键.
2. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ 　　）
A. 11 B. 13 C. 22 D. 33
【答案】D
【解析】将该组数据从小到大排列为：2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据.
因为 ，不是整数，
所以这组数据的上四分位数（即第75百分位数）是从小到大排列的第7个数据，即33.
【点拨】本题考查百分位数的计算，注意先将数据从小到大排序，再根据 是否为整数决定取值方式.
3. 设，，且A，B相互独立，则（ 　　）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
【答案】C
【解析】因为事件A，B相互独立，所以 ，
又因为 ，，所以 ，解得 ，
所以 .
【点拨】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及和事件的概率公式，熟记公式 是解题关键.
4. 已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】对于A，，所以 ，故A正确；
对于B，设 ，则 ，即 ，无解，故B错误；
对于C，设 ，则 ，即 ，无解，故C错误；
对于D，设 ，则 ，即 ，无解，故D错误.
【点拨】本题考查平面向量共线基本定理，利用待定系数法建立方程组判断即可.
5. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=a米，如图，则该球体建筑物的高度为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设球心为O，半径为R，则球体建筑物的高度为2R.
由题意可知，最大仰角即为视线与球相切时的仰角.
在B处最大仰角为60°，则 ，在Rt中，.
在C处最大仰角为20°，则 ，在Rt中，.
因为 ，所以
.
所以 .
【点拨】本题考查解三角形在实际测量中的应用，将最大仰角转化为直角三角形中的线段关系，并结合三角恒等变换是解题关键.
6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】由正弦定理 可得：
.
因为 ，所以 ，
所以 或 .
【点拨】本题考查正弦定理的应用，注意根据已知角和边长关系判断未知角的取值范围，避免漏解.
7. 下列条件一定能确定一个平面的是（ 　　）
A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线
【答案】D
【解析】对于A，若三个点在同一直线上，则不能确定唯一平面，故A错误；
对于B，若点在直线上，则不能确定唯一平面，故B错误；
对于C，若两条互相垂直的直线是异面直线，则不能确定唯一平面，故C错误；
对于D，由平面的基本性质推论可知，两条相交直线能确定唯一的一个平面，故D正确.
【点拨】本题考查平面的基本性质及其推论，熟记确定平面的三个推论（相交直线、平行直线、直线及直线外一点）是解题关键.
8. 在平面四边形ABCD中，，，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在平面四边形ABCD中，，，
所以 是边长为2的等边三角形.
以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则 ，，.
设 ，因为P为边BC上的动点，所以 .
则 ，.
所以 .
因为 ，所以当 时， 取得最小值 .
【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，利用建系法将向量数量积转化为二次函数求最值是常用且高效的方法.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的有（ 　　）
A. 复数的实部为3 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数
【答案】ABD
【解析】对于A，复数 的实部为3，故A正确；
对于B，复数 的共轭复数为 ，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，为实数，故D正确.
【点拨】本题考查复数的基本概念与四则运算，熟练掌握共轭复数的定义及复数除法的分母实数化是解题关键.
10. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ 　　）
A. 该校高一学生总人数为800
B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D. 按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人
【答案】ACD
【解析】对于A，由扇形图可知选科是政史地组合的学生所占比例为25%，由条形图可知选科是政史地组合的学生人数为200，故该校高一学生总人数为 ，故A正确；
对于B，由条形图可知选科是生史地组合的学生人数为160，其所占比例为 .
依题意，选择物化地和物化政组合的人数相等，因此选科是物化政组合的学生所占比例为 ，所以物化政组合的学生人数为 ，故B错误；
对于C，该校高一学生中选择物理的学生所占比例为 ，选择历史的学生所占比例为 ，因为 ，所以选择物理的人数比选择历史的人数多，故C正确；
对于D，选科是生史地组合的学生所占比例为20%，按分层抽样抽取40人，生史地组合应抽取 人，故D正确.
【点拨】本题考查统计图表的识读与分层抽样，理清扇形图中的比例关系与条形图中的具体人数的对应是解题关键.
11. 正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当P为正方形ABCD的中心时，三棱锥外接球的表面积为
B. 当P在线段BD上时，的最小值为4
C. 满足直线与上底面所成角为60°的点P的轨迹长度为
D. 当P为CD中点时，过A，P，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段BQ长度的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，当P为正方形ABCD的中心时， 平面 ，且 平面ABCD，所以 平面 . 在三棱锥 中，，，
，.
设 外接圆半径为r，由正弦定理得 ，即 .
过 的外心作平面 的垂线与 的垂直平分线交于点O，则外接球半径 .
所以三棱锥 外接球的表面积 ，故A正确；
对于B，当P在线段BD上时，将平面ABD与平面 沿BD展开到同一平面内，当A，P， 三点共线时， 取得最小值，最小值为展开图中的线段 的长. ，故B错误；
对于C，过P作 平面 交 于M，则 就是直线 与上底面所成角. ，则 . 所以点P的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆弧上，圆心角为 ，所以轨迹长度为 ，故C正确；
对于D，当P为CD中点时，设 中点为N，易得四边形 为平行四边形，即截面为四边形 . 设点B到平面APN的距离为h，在 中，，，. 由 得 ，即 ，解得 ，即线段BQ的最小值为 . 当Q在 处时，线段BQ取得最大值 . 所以线段BQ长度的取值范围为 ，故D正确.
【点拨】本题考查正方体中的外接球、动点轨迹及截面问题，综合性强，难度大. 求解外接球半径时，利用截面圆半径与球心距构造直角三角形是通法.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，，，
则 .
【点拨】本题考查平面向量的坐标线性运算，直接代入坐标计算即可.
13. 已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且，，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】0.6
【解析】因为随机事件A和B互斥，所以 ，
又 ，，则 .
因为B和C对立，所以 .
【点拨】本题考查互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率性质.
14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求的点称为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.若点P为的费马点，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由 ，化简得 .
由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .
由 得 ，
由余弦定理 得 ，即 ，解得 .
因为点P为 的费马点，所以 .
.
又
.
而 .
所以 ，解得 .
所以 .
【点拨】本题以数学文化“费马点”为背景，考查解三角形与平面向量数量积的综合应用，利用面积分割法建立等量关系是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）设是实数，复数，（是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1） 由 ………………………… 2 分
因为复数 在复平面内对应的点 在第一象限，
所以 ………………………………………………………………………… 4 分
解得 ，
即 的取值范围是 ……………………………………………………………… 6 分
（2） 由 得 …………………………………………………………… 8 分
则 ………………………… 10 分
所以 ………………………………… 12 分
因为 为实数，所以 ，当 时， 取得最小值20，
因此 的最小值为 ………………………………………………… 13 分
【点拨】本题考查复数的四则运算、几何意义及复数模的最值问题，将模的最值转化为二次函数的最值是常用方法.
16. （15分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，有余弦定理：，，.
（1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
（2）若，，，求的面积.
【答案】（1） 证明见解析 （2）
【解析】解：（1） 证明：在 中，设 ，，，
根据平面向量的减法运算法则可得 ………………………………………… 2 分
两边平方得： ………………………………………… 4 分
即 …………………………………………………… 6 分
所以 …………………………………………………………… 7 分
(同理可证另外两个等式，任选其一证明即可)
（2） 由 及正弦定理 得：
，即 ……………………………………………… 9 分
因为 ，所以 ……………………………………………………… 10 分
由余弦定理得 ………… 12 分
联立方程组整理得：，
解得 或 （舍去） …………………………………………………………… 14 分
所以 ……………………………… 15 分
【点拨】本题考查余弦定理的向量法证明及正余弦定理的综合应用，熟练进行边角互化是解题关键.
17. （15分）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图5所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.
（1）求的值；
（2）估计样本的中位数与平均数；
（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？
【答案】（1） （2） 中位数，平均数 （3）
【解析】解：（1） 由频率分布直方图的性质可知，各组频率之和为1，
且组距为5，各组的矩形高度分别为 ，
所以 …………………………………………………… 2 分
即 ，解得 …………………………………………………………… 3 分
（2） 设样本的中位数为 ，
因为前两组的频率之和为 ，
前三组的频率之和为 ，
所以中位数 ………………………………………………………………… 5 分
则 ，解得 ，
所以样本中位数的估计值为 （或） ………………………………………… 7 分
平均数估计为：. …… 9 分
（3） 依题意，“良好”的频率为 ，“优秀”的频率为 ，
所以“良好”的人数为 人，“优秀”的人数为 人，
成绩优秀与良好的人数比为 ……………………………………………… 11 分
所以采用分层抽样的方法抽取的5人中，有优秀3人，良好2人 …………………… 12 分
将优秀的3名学生记为A，B，C，成绩良好的2名学生记为a，b，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个基本事件 ………………… 13 分
记“恰有一人是优秀”为事件M，则事件M包含的基本事件有：
Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共6个 …………………………………………………… 14 分
所以 …………………………………………………………………… 15 分
【点拨】本题考查频率分布直方图的识读、中位数与平均数的计算以及古典概型，注意直方图中纵坐标为“频率/组距”.
18. （17分）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）求小红两轮总分得60分的概率；
（3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
【答案】（1） （2） （3） 小明更有机会进入面试环节
【解析】解：（1） 对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，
设小明只能答对的4个问题的编号为：a，b，c，d，
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，样本空间包含的基本事件有：
{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{c,d}，{c,e}，{d,e}，共10种 …… 2 分
小明在第一轮得40分，即选出的两题都在他能答对的4题中，包含的基本事件有：
{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}，共6种 …………………………………… 4 分
则小明在第一轮得40分的概率为： …………………………………… 5 分
（2） 设“小红两轮总分得60分”为事件A，
因为小红第一轮得分为40分或0分，第二轮得分为60分、30分或0分，
所以小红两轮总分得60分只能是“第一轮得0分且第二轮得60分” …………………… 7 分
小红第一轮答对两题的概率为 ，则第一轮得0分的概率为 ，
小红第二轮答对两题的概率为 ………………………………………… 9 分
所以 ……………………………………………… 11 分
（3） 依题意，两人能够晋级面试，即两轮总积分不低于60分，
包含三种情况：第一轮40分且第二轮30分；第一轮40分且第二轮60分；第一轮0分且第二轮60分.
小红晋级面试的概率为：
…… 14 分
由（1）知，小明第一轮得40分的概率为0.6，得0分的概率为0.4，
小明第二轮答对1题的概率为 ，答对2题的概率为 ，
小明晋级面试的概率为：
…… 16 分
因为 ，所以小明更有机会进入面试环节 ……………………………… 17 分
【点拨】本题考查古典概型与相互独立事件概率的综合应用，理清得分规则并分类讨论是解题关键.
19. （17分）如图，在梯形ABCD中，，，.把沿BD翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是BD和BC中点.
（1）求证：平面平面AMN；
（2）若，求点M到平面AND的距离；
（3）若二面角的余弦值为，求.
【答案】（1） 证明见解析 （2） （3）
【解析】解：（1） 证明：图1中，因为 ，，，
易知四边形ABND为正方形，所以 . ………………………………………… 2 分
把 沿BD翻折，如图2：则 ， …………………… 4 分
又 平面AMN，，
所以 平面AMN …………………………………………………………………… 5 分
又 平面BCD，所以平面 平面AMN ………………………………… 6 分
（2） 因为 ，，所以 即为二面角 的平面角.
所以 ……………………………………………………………… 7 分
过点A作 于H.
因为平面 平面AMN，平面 平面 ， 平面AMN，
所以 平面BCD …………………………………………………………………… 8 分
又 ，所以 .
所以 ……………………………… 10 分
在 中，，，所以 .
又 ，
所以 ……………………………………………… 11 分
设M到平面AND的距离为h，
则
解得 .
即M到平面AND的距离为 …………………………………………………… 13 分
（3） 因为
所以 …… 14 分
又因为 ……………………………………… 15 分
所以 ，
所以 ………………………………………… 17 分
【点拨】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及线面垂直的证明、等体积法求点面距离及射影面积法求二面角，综合性强，对空间想象能力要求较高.
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（ 　　）
A. 11 B. 13 C. 22 D. 33
3. 设，，且A，B相互独立，则（ 　　）
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9
4. 已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=a米，如图，则该球体建筑物的高度为（ 　　）
A. B.
C. D.
6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B=（ 　　）
A. B. 或 C. D. 或
7. 下列条件一定能确定一个平面的是（ 　　）
A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点
C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线
8. 在平面四边形ABCD中，，，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的有（ 　　）
A. 复数的实部为3 B. 复数的共轭复数为
C. D. 为实数
10. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ 　　）
A. 该校高一学生总人数为800
B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D. 按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人
11. 正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当P为正方形ABCD的中心时，三棱锥外接球的表面积为
B. 当P在线段BD上时，的最小值为4
C. 满足直线与上底面所成角为60°的点P的轨迹长度为
D. 当P为CD中点时，过A，P，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段BQ长度的取值范围为
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，则 ＿＿＿＿＿＿.
13. 已知随机事件A，B，C，A和B互斥，B和C对立，且，，则 ＿＿＿＿＿＿.
14. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求的点称为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.若点P为的费马点，则 ＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）设是实数，复数，（是虚数单位）.
（1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值.
16. （15分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，有余弦定理：，，.
（1）在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；
（2）若，，，求的面积.
17. （15分）某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图5所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.
（1）求的值；
（2）估计样本的中位数与平均数；
（3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？
18. （17分）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对A，B类每个问题的答对的概率均为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
（1）求小明在第一轮得40分的概率；
（2）求小红两轮总分得60分的概率；
（3）试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
19. （17分）如图，在梯形ABCD中，，，.把沿BD翻折，使得二面角的大小为，M，N分别是BD和BC中点.
（1）求证：平面平面AMN；
（2）若，求点M到平面AND的距离；
（3）若二面角的余弦值为，求.
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（二）
数　学（试卷说明）
一、命题说明
1. 结构与范围
本卷采用新高考19题结构，解答题依次考查复数、解三角形、统计、概率、立体几何，全面覆盖人教A版必修第二册的核心教学内容，无超纲模块.
2. 难度梯度
选择题前4题及填空题第12题为基础送分题，解答题第19题第（3）问为探究压轴题.整体难度比例约为2:6:2，难度曲线呈波浪式上升，区分度良好.
3. 情境与创新
试卷包含5道情境题（如第3题马拉松分配、第18题招聘面试），并在第14题引入“费马点”数学文化，考查学生在陌生情境下的建模与知识迁移能力.
4. 素养导向
第11题正方体截面与轨迹探究、第19题立体几何翻折，深度考查直观想象与逻辑推理素养；第17题分层抽样则强化了数据分析与数学运算能力.
5. 易错点预警
第6题正弦定理求角易漏解，第16题边角互化易方向不明，第18题概率决策需理清得分规则.这些题目能有效诊断学生思维的严密性，提供教学反馈.
二、双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注
1 单选 5 复数 复数除法化简与象限判定 0.90 基础送分
2 单选 5 统计 百分位数的计算与理解 0.85 基础送分
3 单选 5 概率 古典概型的基本计算 0.80 基础送分
4 单选 5 平面向量 向量共线的坐标运算求参数 0.85 基础送分
5 单选 5 立体几何 实际情境中的球与圆锥切接问题 0.65 情境建模
6 单选 5 解三角形 正弦定理求角 0.70 中档过渡
7 单选 5 立体几何 平面的基本性质与截面 0.65 中档过渡
8 单选 5 平面向量 平面四边形背景下的数量积最值 0.35 小题压轴
9 多选 6 复数 复数概念、模、共轭综合判定 0.65 多选基础
10 多选 6 统计 统计图表分析与分层抽样综合 0.60 情境建模
11 多选 6 立体几何 正方体外接球、轨迹与截面综合 0.30 多选压轴
12 填空 5 平面向量 向量共线与坐标运算 0.85 基础送分
13 填空 5 概率 互斥与对立事件概率计算 0.70 中档过渡
14 填空 5 解三角形 费马点背景下的几何最值 0.25 创新题
15 解答 13 复数 （1）复数方程求参数(B)；（2）复数模的最小值(B) 0.65 解答基础
16 解答 15 解三角形 （1）正弦定理边角互化证明(B)；（2）结合余弦定理求面积(B) 0.60 解答中档
17 解答 15 统计 （1）频率分布直方图求参数(B)；（2）分层抽样求均值与方差(B)；（3）分层抽样与古典概型(B) 0.65 情境建模
18 解答 17 概率 （1）古典概型列举计算(B)；（2）独立事件综合概率(B)；（3）概率比较与决策(C) 0.55 情境建模
19 解答 17 立体几何 （1）翻折问题线面垂直证明(B)；（2）点面距离计算(B)；（3）二面角逆求平面角(C) 0.35 探究压轴
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三）
数　学(解析卷)
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
答案速查表
1 2 3 4 5
B A D A B
6 7 8 9 10
C D A BC ABD
11 12 13 14 15
ACD ； （1） （2） （3）
16 17 18 19
（1） （2） （1） （2） （1）证明见解析 （2） （3） （1） （2），反向单位向量为 （3）
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴的虚部为.
【点拨】复数的除法运算常通过分子分母同乘分母的共轭复数来实现，注意虚部是一个实数，不包含.
2. 已知向量，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵向量，，且，
∴，解得.
【点拨】若两平面向量，共线，则其坐标满足交叉相乘相等，即.
3. 为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（ 　　）
A. 全校学生体育达标的人数
B. 样本学生体育达标的人数
C. 全校学生体育达标率
D. 全校学生体育达标率的估计值
【答案】D
【解析】∵表示样本中体育达标的人数，
∴表示样本的体育达标率，
在简单随机抽样中，用样本频率估计总体，即为全校学生体育达标率的估计值.
【点拨】理解指示变量（0-1变量）求和的实际意义是频数，除以样本容量即为频率，频率可用于估计总体的比例.
4. 已知圆柱的高为2，球内切于圆柱，则球的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵球内切于圆柱，
∴球的直径等于圆柱的高，即，解得球的半径.
∴球的体积.
【点拨】球内切于圆柱时，球的轴截面内切于圆柱的轴截面（正方形），此时球的直径等于圆柱的底面直径与高.
5. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，，则塔高为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设塔高，
在中，仰角，则；
在中，仰角，则.
在中，由余弦定理得，
即，化简得，
解得或（舍去）.
∴塔高为.
【点拨】解空间测量问题时，常将空间几何关系转化为平面图形（如直角三角形和一般三角形），利用公共边（塔高）建立方程.
6. 设是两个平面，是两条直线，则（ 　　）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】对于A，若，，，则与可能平行、相交或异面，故A错误；
对于B，若，，，则与可能平行或相交，故B错误；
对于C，若，，，则与可能平行或异面，故C错误；
对于D，∵，，∴，又，由线面垂直的性质可知，故D正确.
【点拨】判断空间线面位置关系时，可借助正方体模型寻找反例，或严格依据线面平行与垂直的判定定理和性质定理进行推导.
7. 某射击运动员每次击中目标的概率为，连续射击两次，各次射击互不影响，则至少击中一次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设“至少击中一次”为事件，其对立事件为“两次均未击中”.
∵每次击中目标的概率为，∴每次未击中的概率为.
∵各次射击互不影响，∴，
∴.
【点拨】遇到“至少”问题时，正向分类计算较繁琐，通常采用“正难则反”的策略，利用对立事件的概率公式求解.
8. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，为三角形的三边）.在非直角中，为内角所对应的三边，若且，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，由正弦定理得，
即，展开得，
∴.
∵（若，则，不合题意），∴，
由正弦定理得.
由题干公式，代入，得
.
当即时，的面积取得最大值.
【点拨】处理三角形面积最值问题时，利用正弦定理将边化角，得到边长比例关系，再代入面积公式转化为关于某一边长或角度的函数，利用二次函数或三角函数求最值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数满足，则（ 　　）
A. 为纯虚数
B. 对应的点在第四象限
C.
D. 和是方程的两个根
【答案】BC
【解析】由，得，
整理得，解得.
对于A，不是纯虚数，故A错误；
对于B，，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故和是方程的两个根，故D错误.
【点拨】解复数方程时，可将看作整体解出，再利用复数的几何意义、共轭复数及模的定义逐项判断.
10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ 　　）
A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万
B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线
【答案】ABD
【解析】由图2知2025年高明线的参与人数为3万，∵2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，∴2016年高明线的参与人数为万.
对于A，由图1知2016年高明线占比，∴2016年总参与人数为（万），故A正确；
对于B，2016年南海线人数为（万），顺德线人数为（万），两者之和为万，而2025年顺德线人数为万，，故B正确；
对于C，2016年三水线人数为（万），增加（万），而高明线增加（万），增加最少的是高明线，故C错误；
对于D，南海线增长率为，顺德线增长率为，禅城线2016年人数为（万），增长率为，三水线增长率为，高明线增长率为，增长率最高的是南海线，故D正确.
【点拨】解答统计图表综合题，关键是找到两图之间的关联数据（高明线人数），求出基准总量，再逐一计算各部分具体数值进行比对.
11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设直三棱柱为，，，则底面外接圆圆心为斜边的中点.
∵侧棱长与底面斜边长相等，设，则球心为矩形的中心.
过球心作截面，若截面平行于侧面，所得截面为矩形，且内接于截面圆，如选项D；
若截面为平面，由于，截面为正方形，内接于球的大圆，如选项B；
若截面平行于底面，则截面过三条侧棱的中点，截面为等腰直角三角形，内接于截面圆，如选项C；
由于球心在侧面上，过球心的截面截直三棱柱所得的三角形不可能是球的大圆的内接等腰直角三角形，故A不可能.
【点拨】直棱柱的外接球球心位于上下底面外接圆圆心连线的中点.通过想象不同角度的过球心截面，观察其与棱柱表面的交线形状即可判断.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，∴，
方向上的单位向量为.
在方向上的投影向量.
【点拨】向量在方向上的投影向量公式为，即投影乘以方向的单位向量.
13. 某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为＿＿＿＿＿＿（单位：分）.
【答案】
【解析】将这6名同学的数学成绩从小到大排列为：83，85，87，90，92，93，
因为，不是整数，
所以向上取整为5，即第75百分位数为第5个数，
故这6名同学数学成绩的第75百分位数为92.
【点拨】计算百分位数时，先将数据从小到大排序，再计算，若结果不是整数则向上取整，若为整数则取该位置与下一位置的平均数.
14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设正方体为，顶点在平面内，则到平面的距离.
与相邻的三个顶点分别为，已知它们到平面的距离分别为.
在正方形中，中心到平面的距离等于对角线端点到平面距离之和的一半，即，∴.
同理在正方形中，；
在正方形中，；
在正方形中，.
∴其余四个顶点到平面的距离之和为.
【点拨】利用正方形对角线互相平分的性质，平行四边形相对顶点到平面距离之和相等（即）是解决此类空间距离问题的核心技巧.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计停车费为24元的频率；
（2）估计停车时长的第85百分位数；
（3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天停车费收入.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】解：（1）由题意，停车时间在小时，收费元，超过6小时收费封顶为24元，
由直方图可知超过6小时的频率为 …………………… 3 分
所以估计停车费为24元的频率为0.1 …………………………………………………… 4 分
（2）停车时间在的频率为 …… 6 分
停车时间在的频率为，
所以估计停车时长的第85百分位数位于区间内 ……………………………… 7 分
该百分位数为，
所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时 ………………………………………… 9 分
（3）停车时长为的车辆估计有辆，收费0元；
停车时长为的车辆估计有辆，收费元；
停车时长为的车辆估计有辆，收费元；
停车时长为的车辆估计有辆，收费元；
停车时长为的车辆估计有辆，收费元；
停车时长为的车辆估计有辆，收费元；
停车时长超过6小时的车辆估计有辆，收费元 …… 12 分
估计该商场节假日一天的停车费收入为元 …… 13 分
【点拨】解决此类问题需准确理解收费规则与时间区间的对应关系，利用直方图面积求频率，再将频率视为概率估算频数与总费用.
16. （15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）∵，
由正弦定理可得 ……………………………… 2 分
即 ……………………………………………………………… 4 分
∵在中，，
∴ …………………………………………………………………… 6 分
∵，∴，解得 ………………………………………… 7 分
（2）∵，且，
∴，解得 ……………………………………………… 10 分
由余弦定理得，
即 ………………………………………… 12 分
∴，
则，解得 ………………………… 14 分
∴的周长为 ………………………………………… 15 分
【点拨】遇到“边乘余弦之和”的形式，首选正弦定理“边化角”并结合两角和的正弦公式化简；求周长时，常利用余弦定理与完全平方公式的代数变形.
17. （15分）豆包是由中国字节跳动公司开发的人工智能助手，在文本写作、语言翻译、逻辑推理、编程辅助等多个领域都有广泛的应用场景.为提高豆包的应用能力，某公司组织、两部门的员工参加豆包培训与测试.
（1）已知该公司、部门分别有名领导，此次豆包培训需要从这名部门领导中随机选取人组成评估小组，假设每人被抽到的可能性都相同，求选出的人来自不同部门的概率；
（2）培训结束后进行应用能力测试，每轮测试甲员工通过的概率为，乙员工通过的概率为，各轮测试结果互不影响，甲、乙两人测试也互不影响.若甲、乙两人各进行两轮测试，求两人合计通过次测试的概率.
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）从6名部门领导中随机选取2人组成评估小组，共有种不同结果 …… 3 分
选出的2人来自不同部门的事件包含的结果有种 …………………… 5 分
故选出的2人来自不同部门的概率 ……………………………… 7 分
（2）甲、乙两人各进行两轮测试，两人合计通过3次测试，包含两种互斥情况：
情况一：甲通过2次，乙通过1次.
其概率 …………………… 10 分
情况二：甲通过1次，乙通过2次.
其概率 …………………… 13 分
故两人合计通过3次测试的概率 …………………… 15 分
【点拨】对于多轮独立重复试验，计算复杂事件的概率时，应先将其分解为若干个互斥的基本情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算.
18. （17分）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为.分别是直线上一点，且平面，记平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若与所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：在平面内，过作，记.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴ …………………… 2 分
∵，为中点，∴ …………………… 3 分
又，平面，∴平面
∵平面，∴平面平面 …………………… 5 分
（2）解：由（1）知平面，又平面，∴，
又，所以为二面角的平面角 …………………… 7 分
三棱锥的体积
由解得 …………………… 9 分
在中，
即二面角的正弦值为 …………………… 10 分
（3）解：∵平面，平面，平面平面，
∴ …………………… 11 分
故与所成角等于与所成角，即， …… 12 分
在中，，
，
①当在线段上时，
…………………… 14 分
在中，由正弦定理，即，
解得，则，此时 …… 15 分
②当在线段的延长线上时，
…………………… 16 分
同理由正弦定理得，解得，
则，此时
综上所述， …………………… 17 分
【点拨】处理立体几何中线面平行性质时，牢记“线面平行，过该线的平面与已知平面相交，则交线与该线平行”；解三角形时注意动点位置带来的多解情况，需分类讨论.
19. （17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，我们称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”.
（1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值；
（2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量；
（3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值.
【答案】（1） （2），反向单位向量为 （3）
【解析】解：（1）由题意知，向量的生成函数为 …………………… 2 分
当时，，即 …………………… 3 分
又，则 …………………… 4 分
所以，解得 …………………… 5 分
（2）因为 …………………… 6 分
…………………… 8 分
故函数的生成向量 …………………… 9 分
则，
与反向的单位向量为 …………………… 11 分
（3）由题意得，，
在中，，因为，因此 …………………… 12 分
设外接圆半径为，根据正弦定理，，即，故，
所以 …………………… 13 分
…………………… 15 分
，
因为，所以，，
代入可得 …………………… 16 分
当时，，上式取得最大值 …………………… 17 分
【点拨】处理新定义问题时，首要是准确“翻译”规则.本题的难点在于第（3）问，利用向量的线性运算将未知向量转化为外接圆半径向量（起点为外心），从而利用外心到各顶点距离相等的性质大幅简化数量积的计算.
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ 　　）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
3. 为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（ 　　）
A. 全校学生体育达标的人数
B. 样本学生体育达标的人数
C. 全校学生体育达标率
D. 全校学生体育达标率的估计值
4. 已知圆柱的高为2，球内切于圆柱，则球的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
5. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，，则塔高为（ 　　）
A. B. C. D.
6. 设是两个平面，是两条直线，则（ 　　）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7. 某射击运动员每次击中目标的概率为，连续射击两次，各次射击互不影响，则至少击中一次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
8. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，为三角形的三边）.在非直角中，为内角所对应的三边，若且，则面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数满足，则（ 　　）
A. 为纯虚数
B. 对应的点在第四象限
C.
D. 和是方程的两个根
10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ 　　）
A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万
B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线
11. 已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（ 　　）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为＿＿＿＿＿＿.
13. 某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为＿＿＿＿＿＿（单位：分）.
14. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计停车费为24元的频率；
（2）估计停车时长的第85百分位数；
（3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天停车费收入.
16. （15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，且，求的周长.
17. （15分）豆包是由中国字节跳动公司开发的人工智能助手，在文本写作、语言翻译、逻辑推理、编程辅助等多个领域都有广泛的应用场景.为提高豆包的应用能力，某公司组织、两部门的员工参加豆包培训与测试.
（1）已知该公司、部门分别有名领导，此次豆包培训需要从这名部门领导中随机选取人组成评估小组，假设每人被抽到的可能性都相同，求选出的人来自不同部门的概率；
（2）培训结束后进行应用能力测试，每轮测试甲员工通过的概率为，乙员工通过的概率为，各轮测试结果互不影响，甲、乙两人测试也互不影响.若甲、乙两人各进行两轮测试，求两人合计通过次测试的概率.
18. （17分）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为.分别是直线上一点，且平面，记平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若与所成角的正弦值为，求的值.
19. （17分）已知坐标平面内一点为坐标原点，给定函数，我们称向量为函数的“生成向量”，同时称函数为向量的“生成函数”.
（1）记向量的生成函数为，若当且时，求的值；
（2）设，求的生成向量，并求出与反向的单位向量；
（3）已知向量为函数的生成向量，在中，，，若点为的外心，求的最大值.
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（三）
数　学（试卷说明）
一、命题说明
1. 结构与教学范围契合度
本卷采用19题新高考结构，解答题依次考查统计、解三角形、概率、立体几何、平面向量，完美覆盖必修第二册核心章节.
2. 难度曲线设计
选择题前3题、填空题第12题为基础送分题，解答题遵循“低起点、高落点”原则，第19题压轴，整体难度比约2:6:2，区分度良好.
3. 情境与创新题布局
全卷设置5道情境题（如第5、7、15、17题），第8题融入我国古代数学名著《数书九章》，第19题引入“生成向量”新定义探究，考查即时学习能力.
4. 素养导向与思维考查
第14题截面最值与第18题立体几何综合，深度考查直观想象与逻辑推理；第17题豆包情境要求剥离表象进行数学建模.
二、双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注
1 单选 5 复数 复数的除法运算与虚部概念 0.90 基础送分
2 单选 5 平面向量 向量平行的坐标运算求参数 0.85 基础送分
3 单选 5 统计 简单随机抽样或分层抽样概念 0.85 基础送分
4 单选 5 立体几何 圆锥或圆柱的侧面积/体积计算 0.80 基础达标
5 单选 5 解三角形 仰角/俯角或航海距离的实际测量 0.70 情境建模
6 单选 5 立体几何 空间线面平行与垂直的命题判定 0.65 易错辨析
7 单选 5 概率 相互独立事件或互斥事件的概率计算 0.60 真情境应用
8 单选 5 解三角形 结合数学文化（如三斜求积术）的综合计算 0.30 数学文化/小题压轴
9 多选 6 复数 复数模长、共轭、几何意义综合判断 0.80 基础多选
10 多选 6 统计/概率 统计图表读取与概率性质综合 0.65 跨章节融合
11 多选 6 立体几何 动点轨迹长度或外接球表面积综合 0.35 多选压轴
12 填空 5 平面向量 向量夹角或数量积的基本计算 0.85 基础送分
13 填空 5 统计 第p百分位数的计算 0.75 基础达标
14 填空 5 立体几何 截面面积最值或内切球/外接球极值 0.25 填空压轴/探究
15 解答 13 统计 （1）直方图求参数(A)；（2）平均数/方差估算(B) 0.75 基础解答题
16 解答 15 解三角形 （1）正余弦定理边角互化(B)；（2）周长或面积最值(B) 0.60 经典大题
17 解答 15 概率 （1）古典概型计算(B)；（2）独立事件与情境结合(B) 0.55 时代情境题
18 解答 17 立体几何 （1）线面垂直/平行证明(B)；（2）二面角或点面距离(C) 0.40 核心大题
19 解答 17 平面向量 （1）新定义理解(B)；（2）特征值计算(B)；（3）综合探究(C) 0.20 新定义压轴题
第 2 页，共 17 页2025 2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一）
数　学（解析卷）
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
答案速查表
1 2 3 4 5
A A C A D
6 7 8 9 10
A C C ABC ABD
11 12 13 14 15
ABD 1； （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）78.3；69 （3） （1）北偏东 （2） （1）证明见解析 （2） （3） （1）； （2）成立，证明见解析 （3）2；证明见解析
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　）
A. 3 B. 3i C. 4 D. 4
【答案】A
【解析】∵，∴.
则.
∴.
故其虚部为3.
【点拨】本题考查复数的四则运算及共轭复数的概念，注意复数的虚部是一个实数，不包含.
2.　若，，若，则的值是（ 　　）
A. B. C. 3 D. 3
【答案】A
【解析】∵，，且，
∴，
解得.
【点拨】本题考查平面向量垂直的坐标表示，两向量垂直的充要条件是它们的数量积为0.
3.　已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ 　　）
A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30
【答案】C
【解析】由题可知分层抽样比为：，
故五所学校抽取人数分别为：15，20，30，25，10，排序后分别为10，15，20，25，30.
因为，所以该组数据的第40百分位数为.
故选：C.
【点拨】本题考查分层抽样与百分位数的计算.计算百分位数时，务必先将数据从小到大排序，若为整数，则取该项与下一项的平均数.
4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，圆锥的底面直径为2，则底面半径.
又母线长，则圆锥的高.
∴该圆锥的体积.
【点拨】本题考查圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的轴截面性质（母线、高、底面半径构成直角三角形）是解题关键.
5.　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从6道题中任取2道，共有种不同的取法.
“所取的2道题都是同一类题”包含两种互斥的情况：“2道都是甲类题”或“2道都是乙类题”.
2道都是甲类题的取法有种；
2道都是乙类题的取法有种.
∴所取的2道题都是同一类题的概率.
【点拨】本题考查古典概型的概率计算，利用分类加法计数原理理清符合条件的事件数是解题的核心.
6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　）
A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】∵，
由正弦定理可得，，
即，∴.
∵，∴.
∴或，
即或.
∴一定是等腰三角形或直角三角形.
【点拨】本题考查正弦定理在判断三角形形状中的应用.将边化角后，由得出两角相等或互补是易错点，切勿漏解.
7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】C
【解析】对于A，若，，，，当时，与可能相交，故A错误；
对于B，若，，在空间中直线可能平行、相交或异面，故B错误；
对于C，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故C正确；
对于D，若，，则直线可能平行于，也可能在平面内，故D错误.
【点拨】本题考查空间中点、线、面位置关系的判定.对于此类命题判断，常借助正方体模型寻找反例进行排除.
8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵是单位向量，且，
∴.
由可化为.
设向量的终点为，向量的终点为，
则点在以为圆心，1为半径的圆上运动.
又，即圆心到原点的距离为.
∴的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即.
【点拨】本题考查平面向量模的最值问题.将向量的模转化为平面几何中点到点的距离，利用圆的几何性质求最值是处理此类问题的通用策略.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ 　　）
A. 平均数为3 B. 众数为2和3 C. 方差为 D. 第85百分位数为4.5
【答案】ABC
【解析】将这组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.
对于A，平均数，故A正确；
对于B，数据中2和3均出现了3次，出现次数最多，故众数为2和3，故B正确；
对于C，方差，故C正确；
对于D，∵，不是整数，
∴第85百分位数为排序后的第9项数据，即5，故D错误.
【点拨】本题考查统计学基本数字特征的计算.计算百分位数时，若不是整数，则向上取整取对应项的值，这是常考易错点.
10.　已知事件发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则事件相互独立
B. 若事件互斥，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若事件发生时事件一定发生，则
【答案】ABD
【解析】∵，，∴，
∴事件，相互独立，则，相互独立，A正确；
由A，B互斥，则，B正确；
∵相互独立，则，
∴，C错误；
∵发生时一定发生，∴，则，D正确.
故选：ABD
【点拨】本题考查互斥事件与独立事件的概率计算.理清事件之间的包含、互斥、独立关系，并准确运用对应的概率加法和乘法公式是解题关键.
11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　）
A. 四面体的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 二面角的正切值为
D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，在正方体中，，，，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
为上一动点，，
正方体的棱长为2，
，
四面体的体积为定值，故A正确；
对于B选项，当为中点时，平面，证明如下：
取的中点，的中点，连接，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，
平面，平面，，
分别为中点，，
平面，平面，平面，，
分别为中点，，
在正方形中，，，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
即存在点，使平面，故B正确；
对于C选项，过作于点，过作于点，
在直角三角形中，，，，
，，
在中，，，，
，，
，，
，点与重合，
是二面角的平面角，
，故C错误；
对于D选项，取的中点，连接，
在直角三角形中，，
又由B选项中可知，平面，平面，
，
，，，为四面体的外接球的球心，
外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
【点拨】本题考查立体几何的综合探究.利用线面平行转化点到平面的距离是求动态四面体体积的常用技巧；寻找外接球球心时，注意观察几何体中隐含的直角三角形.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿＿＿（用向量表示）.
【答案】 1；
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：；.
【点拨】本题考查向量模的平方运算及投影向量的定义.牢记投影向量的计算公式可快速求解.
13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，
由圆台的侧面积公式得，解得，
由勾股定理得，
由圆台的体积公式得，
故答案为：.
【点拨】本题考查圆台的侧面积与体积计算.圆台的轴截面是等腰梯形，利用梯形的高、母线与底面半径之差构成的直角三角形求高是常规思路.
14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得：
，
.
∴.
设，其中.
∵，∴.
要使在上有最大值，必须存在使得，即.
∵，∴.
∴且.
即且.
解得，即.
∴实数的取值范围是.
【点拨】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合.利用正弦定理将边化角，再借助辅助角公式化简，结合自变量的范围探讨最值存在的条件是解题的核心.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　（13分）已知复数，.
（1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1） 依题意有 2 分
解得 3 分
得. 4 分
. 5 分
（2） . 6 分
由得 8 分
消去得 10 分
. 11 分
当时，取最小值，. 13 分
【点拨】本题考查复数的几何意义及复数相等的充要条件.处理第二问时，将复数问题转化为三角函数的最值问题，利用配方法求解是关键.
16.　（15分）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成，，…，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自观展时间在和的概率.
【答案】（1） （2）78.3；69 （3）
【解析】解：（1） 由频率分布直方图可知：，解得. 3 分
（2） 观展时间在区间的频率之和为：，
观展时间在区间的频率之和为：，
所以样本数据的第75百分位数在区间内，
设所求百分位数为分钟，则，
解得，所以估计样本数据的第75百分位数为78.3分钟. 6 分
估计样本的平均数
分钟. 9 分
（3） 由题意知，抽出的5名观展人员中，观展时间在的有人，设为，
观展时间在的有人，设为，先从观展时间在的2人中抽一人，再从观展时间在的3人中抽一人， 10 分
则样本空间为，
， 12 分
设事件“两人分别来自观展时间在和”
则，， 14 分
因为抽取样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此，
所以两人分别来自观展时间在和的概率为. 15 分
【点拨】本题考查频率分布直方图的应用及古典概型.计算百分位数时，利用面积等式构建方程；求古典概型概率时，采用列举法可确保不重不漏.
17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成.
其中分别为三角形在顶点处的内角.
（1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
（2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值.
【答案】（1）北偏东 （2）
【解析】解：（1）因为，由正弦定理， 1 分
得， 2 分
即，
即， 4 分
因为，故，解得， 5 分
因为，故， 6 分
故巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行. 7 分
（2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有， 8 分
解得， 9 分
又因为 10 分
化简得，， 11 分
因为， 13 分
即，故，当且仅当时取等号， 14 分
的最大值为. 15 分
【点拨】本题考查解三角形在实际问题中的应用.处理中线问题时，利用中线长公式或在两个小三角形中运用余弦定理是常规方法；求最值时，灵活运用基本不等式可简化运算.
18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）若，当二面角的正切值为 2时，求直线与平面所成的角.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】解：（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得， 2 分
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以， 4 分
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以. 6 分
（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 8 分
所以. 11 分
（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以， 13 分
所以，
因为，所以为等边三角形.
不妨设菱形的边长为，.
则在直角中，，，，所以， 15 分
因为平面，所以为直线与平面所成的角.
则，所以直线与平面所成的角为 17 分
【点拨】本题考查空间线面垂直的证明及线面角的计算.证明线线垂直常转化为证明线面垂直；求线面角时，关键是找到平面的垂线，构建直角三角形.
19.　（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似地，我们可以把有序复数对看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.
（1）设，，求和；
（2）验证复向量结合律：是否成立；
（3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.
【答案】（1）； （2）成立，证明见解析 （3）2；证明见解析
【解析】解：（1）∵，，
∴
1 分
由新定义加法得： 2 分
∴ 3 分
（2）设，，
6 分
8 分
∴成立 9 分
（3）∵，，设，其中 ().
11 分
13 分
当时，取得最小值4，
即的最小值为2 15 分
此时，，.
对于任意的，设.
16 分
∴
.
得证 17 分
【点拨】本题考查复数与平面向量结合的新定义问题.解题的关键是严格遵循题目给出的“反常规”运算法则（如加法对应坐标相减，数乘对应乘共轭），切忌主观臆断.
第 2 页，共 17 页2025 2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　设（为虚数单位），则的虚部是（ 　　）
A. 3 B. 3i C. 4 D. 4
2.　若，，若，则的值是（ 　　）
A. B. C. 3 D. 3
3.　已知五所学校的人数分别为750，1000，1500，1250，500.按分层随机抽样方法抽取100名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为（ 　　）
A. 15 B. 20 C. 17.5 D. 30
4.　底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
5.　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
6.　在中，角所对的边分别为，如果，则一定是（ 　　）
A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.　已知平面和直线，下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.　已知是单位向量，.若向量满足，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ 　　）
A. 平均数为3 B. 众数为2和3
C. 方差为 D. 第85百分位数为4.5
10.　已知事件发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则事件相互独立
B. 若事件互斥，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若事件发生时事件一定发生，则
11.　已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ 　　）
A. 四面体的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 二面角的正切值为
D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　已知单位向量满足，则＿＿＿＿＿＿，在方向上的投影向量等于＿＿＿＿＿＿（用向量表示）.
13.　已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为＿＿＿＿＿＿.
14.　在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　（13分）已知复数，.
（1）若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；
（2）若，求的最小值.
16.　（15分）2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元.“一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成，，…，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自观展时间在和的概率.
17.　（15分）如图，一艘巡逻艇从小岛出发，沿北偏东的方向航行海里后到达小岛，然后从小岛出发，继续沿某一方向航行海里后到达小岛.小岛与小岛相距海里.三个小岛构成.
其中分别为三角形在顶点处的内角.
（1）若满足关系式：，求巡逻艇从小岛直接航行到小岛时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
（2）巡逻艇从小岛向小岛直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻艇在点抛锚.若从小岛直接前往救援，需行驶2海里到达点.若满足关系式：，求的最大值.
18.　（17分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）若，当二面角的正切值为 2时，求直线与平面所成的角.
19.　（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似地，我们可以把有序复数对看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.
（1）设，，求和；
（2）验证复向量结合律：是否成立；
（3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练（一）
数　学
一、命题说明
1. 结构与范围
本卷采用19题结构，解答题依次考查复数、统计概率、解三角形、立体几何、向量新定义，100%覆盖必修二核心模块.
2. 难度梯度
选择题前3题、填空题第12题为基础送分题，第8、11、14题为小题压轴，解答题第19题最后一问为探究压轴，整体难度比约4:11:4.
3. 情境与创新
第3、5、16、17题融入抽样调查、展会统计、巡逻救援等真实情境；第19题创设“复向量”反常规运算法则，重点考查即时学习与知识迁移能力.
4. 素养导向
第17题要求学生在航海情境中建立解三角形模型，第11、18题通过截面与翻折探究强化直观想象，第19题深度考查数学抽象与逻辑推理.
二、双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注
1 单选 5 复数 复数的四则运算与共轭复数虚部 0.90 基础送分
2 单选 5 平面向量 向量的坐标表示与垂直条件 0.85 基础送分
3 单选 5 统计 分层抽样与百分位数计算 0.80 真实情境
4 单选 5 立体几何 简单几何体（圆柱/圆锥）的体积计算 0.75 基础达标
5 单选 5 概率 古典概型与互斥事件概率加法 0.70 真实情境
6 单选 5 解三角形 正弦定理与余弦定理的综合应用 0.65 知识交汇
7 单选 5 立体几何 空间点、直线、平面位置关系的判断 0.60 空间想象
8 单选 5 平面向量 向量数量积与模长的最值问题 0.45 小题压轴
9 多选 6 统计 平均数、方差的性质与数据分析 0.70 多维判断
10 多选 6 概率 独立事件与复杂事件的概率计算 0.60 易错辨析
11 多选 6 立体几何 截面问题、外接球或动点轨迹探究 0.35 探究压轴
12 填空 5 平面向量 投影向量或向量夹角的计算 0.80 基础送分
13 填空 5 立体几何 旋转体（圆台/球）的侧面积与体积 0.65 空间计算
14 填空 5 解三角形 结合三角恒等变换的周长/面积最值 0.40 填空压轴
15 解答 13 复数 （1）复数相等求参数(B)；（2）复数模的最值(B) 0.75 基础解答
16 解答 15 统计与概率 （1）频率分布直方图与分层抽样(B)；（2）古典概型(B) 0.70 情境应用
17 解答 15 解三角形 （1）正余弦定理求角/边(B)；（2）实际情境中的距离/角度最值(B) 0.60 情境建模
18 解答 17 立体几何 （1）线面平行/垂直的证明(B)；（2）几何体体积或线面角的计算(B) 0.50 综合推理论证
19 解答 17 平面向量 （1）向量新定义理解(B)；（2）新定义下的最值/范围探究(C) 0.30 创新压轴
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