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2025-2026学年第二学期八年级数学期末压轴专练01 平行四边形
【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。
题型01.平行四边形判定证明 题型02.平行四边形存在性问题
题型03.平行四边形与坐标系综合 题型04.平行四边形与折叠问题
题型05.平行四边形最大值问题 题型06.平行四边形最小值问题
题型07.平行四边形等积变换问题 题型08.平行四边形中位线综合问题
题型09.平行四边形角平分线综合 题型10.平行四边形多结论问题
题型11.平行四边形平移问题 题型12.平行四边形旋转问题
题型13.平行四边形动点问题 题型14.平行四边形证线段和差问题
题型01.平行四边形判定证明
1．如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．周长的最小值为
2．如图，与是等边三角形，连接，取的中点O，连接并延长至点F，使，连接交于点G，连接．下列四个结论：
①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中正确的是____________．（填写所有正确结论的序号）
3．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，写出图中所有与长度相等的线段．
题型02.平行四边形存在性问题
4．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________．
5．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒．
(1)① （用含t的式子表示）
②若，求的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________．
题型03.平行四边形与坐标系综合.
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积．
(2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且．
(1)求两点坐标；
(2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形．
①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长．
②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系．
题型04.平行四边形与折叠问题
10．如图，在中，，，，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，点F恰好落在边上．则的长为______．
11．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（ ）
A．四边形不是平行四边形
B．
C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若，则点E到的距离为1
12．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：．
（2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：．
题型05.平行四边形最大值问题
13．如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________．
14．如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是________．

15．如图，在下方的直线．
(1)P为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值．
题型06.平行四边形最小值问题
16．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____．
17．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
18．如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值．
题型07.平行四边形等积变换问题
19．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________．
20．如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为
________．

21．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，．
(1)求点的坐标和的对称中心的坐标；
(2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？
(3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
题型08.平行四边形中位线综合问题
22．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______．
23．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________．
24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长；
(3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
题型09.平行四边形角平分线综合
25．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号）
.
26．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________．
27．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的两条直线分别交边于点E，F，G，H．且，，，求出的长，使直线把四边形的面积四等分．
题型10.平行四边形多结论问题
28．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的______．
29．为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号)
30．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（ ）个．
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
题型11.平行四边形平移问题
31．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为_______，线段的最小值为_______．
32．如图，面积为28的平行四边形纸片ABCD中，AB=7，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　．
33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．
(1)请求出直线的解析式；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12.平行四边形旋转问题
34．如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在平行四边形中，，且，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则线段的最小值为______．
36．综合与实践：

(1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
(2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形．
(3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．
题型13.平行四边形动点问题
37．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______．
38．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
39．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为．
(1)求和的长度；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
题型14.平行四边形证线段和差问题
40．在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____．
41．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______．
42．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点．
(1)如图1，若，，则________；________；
(2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：．
答案与解析
题型01.平行四边形判定证明
1．如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．周长的最小值为
【答案】C
【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值，
此时，
，解得，
的最小值为，
的最小值为，故A结论正确，不符合题意；
当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值．
如图，作于，
，
，解得，
，
，
在中，，
的最大值为，
的最大值为，故B结论正确，不符合题意；
如图，以为一边作，过作交于，
，，
，
当，，三点共线，且时，取最小值，
，
，
，
的最小值为，故C结论错误，符合题意；
如图，过作，过作，与相交于，
作关于的对称点，分别连接，，，与交于，
则，，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
当，，三点共线时，最小值，最小值为，
的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意．
2．如图，与是等边三角形，连接，取的中点O，连接并延长至点F，使，连接交于点G，连接．下列四个结论：
①；②；③；④当时，是等腰直角三角形．其中正确的是____________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【分析】①根据等边三角形的性质得，进而得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判断；②设与交于点，由得，再根据得，据此可对结论②进行判断；③根据点为的中点，可判定四边形为平行四边形，从而得，然后根据平行线的性质可对结论③进行判断；④当时，根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，进而得，再根据四边形为平行四边形得，由此可得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵与是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
故结论①正确；
②设与交于点，如图所示：
.
由结论①正确得：，
∴，
∵，
∴，故结论②正确；
③∵点为的中点，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，故结论③正确；
④当时，
∵是等边三角形，
∴是线段的垂直平分线，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵不能判断为，
∴是等腰三角形，故结论④错误．
综上所述：正确的结论是①②③．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解等边三角形的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键．
3．如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，写出图中所有与长度相等的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型02.平行四边形存在性问题
4．如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________．
【答案】或或
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可．
【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，，
当点P到达点D时所用时间为，
根据题意，得，
当时，四边形为平行四边形，此时，
解得；
当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时，
根据四边形为平行四边形，此时，
解得；
当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时，
根据四边形为平行四边形，此时，
解得；
当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时，
根据四边形为平行四边形，此时，
解得，大于，舍去，
故答案为：或或．
5．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒．
(1)① （用含t的式子表示）
②若，求的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，或12
【分析】（1）①由运动知，即可得出结论；
②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①由运动知，，
∵在线段上取点E，使得，
∴，
故答案为：；
②作于M，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：存在，或；理由如下：
分以下两种情况讨论：
（ⅰ）当点Q、E在线段上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得：；
（ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则，
，
解得：．
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒．
6．如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________．
【答案】(1)或
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可；
（2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可；
（3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；
如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（2）解：存在，使得
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图所示，设交于点O，
由题意得，，
同理可得，
∴同理可得，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为，
由对称性可得，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点，
∵，
∴由轴对称的性质可得，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或．
题型03.平行四边形与坐标系综合.
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点为轴上一点，将沿翻折得，若点落在第二象限且，则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】如图，过点作轴，过点作轴，根据题意，可得、、，设，通过勾股定理得，解方程，推得，设、，再利用勾股定理得，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
四边形是平行四边形，且顶点的坐标为，
，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，，
，
在中，，
设，，，
，
解得：，
，
，
设，则，
，，，
在中，，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折图形的性质，平面直角坐标系中坐标的特点，勾股定理，根据题意添加适合的辅助线是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积．
(2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)点的坐标为，
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.
（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点；
（2）根据 ，利用三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可，
（3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可.
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵点的坐标为， 点的坐标为，；
∴点的坐标为，；
（2）解：根据题意得： ，
∴，
即： ，
∴ ，
解得：.
即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半；
（3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
此时轴， 轴，， ，
根据平行四边形的性质，可知 ，
即；即： 即：
故答案为：点的坐标为或或．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且．
(1)求两点坐标；
(2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形．
①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长．
②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标；
（2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解．
②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可．
【详解】（1）解：，
，解得：，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴
②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当点在原点左侧时，过点作交于点，
同理可证，四边形是平行四边形，，
，，
，
，
即，
综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或．
题型04.平行四边形与折叠问题
10．如图，在中，，，，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F，点F恰好落在边上．则的长为______．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，，，，则，，由折叠的性质可得，从而可得，进而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（ ）
A．四边形不是平行四边形
B．
C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若，则点E到的距离为1
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得，，结合四边形是平行四边形，得到，，，继而得到，得到得到，得到；，继而得到，可判定四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，得到，根据折叠的性质，得到，从而得到；根据，结合平行四边形的面积是8，得到四边形等于，设点E到的距离为h，则，解得，解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识．
【详解】根据折叠的性质，得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∴；，
∴，
∴四边形是平行四边形；
故A，B都错误；
∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，
∴，根据折叠的性质，得到，
∴；
故C正确；
∴，平行四边形的面积是8，
∴四边形等于，
设点E到的距离为h，
则 ，
解得，
故D错误．
故选C．
12．（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：．
（2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出；
（2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出．
【详解】证明：（1）四边形为平行四边形，
，，
．
在和中：
，
．
证明：（2）由（1）知，．
由折叠的性质可知，，，
，．
，
，
．
在和中：
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键．
题型05.平行四边形最大值问题
13．如图，在中，，点A为上一动点（不与点M、N重合），作，分别交于点B、C，作关于直线的对称，连接，则周长的最大值________．
【答案】
10
【分析】根据题意得到是等腰三角形，，则，证明四边形是平行四边形，得到，如图所示，连接，当最小时，的值最大，即周长的值最大，结合三角形三边关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，则，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，则，
∵关于直线的对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴当最小时，的值最大，即周长的值最大，
∵关于直线的对称，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即，则，此时周长的值最大，最大值为10，
故答案为：10 ．
14．如图，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点为中点，连接，则的最大值是________．

【答案】
【分析】以为边向上构造等边，连接，，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由平行四边形的判定方法得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得 ，作，取中点，连接，，由勾股定理得，，由，即可求解．
【详解】解：以为边向上构造等边，连接，，
，
，
、是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
同理可证：，
，
，
，
四边形为平行四边形，
点为中点，
过点，
，
如图，作，取中点，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为；
故答案：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，勾股定理等；掌握相关的判定方法及性质，构建等边三角形，找出取得最大值的条件是解题的关键．
15．如图，在下方的直线．
(1)P为直线上一动点，连接，．若，．
①如图1，求证：四边形是平行四边形；
②如图2，，，作于点，连接，若，求的长；
(2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①通过等角转化即可证出两组对边平行；
②根据边的关系，设和，用勾股定理求出，再用等面积即可得出，然后用未知数把的边长用未知数表示出来，再利用勾股定理建立方程即可求解．
（2）由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可．
【详解】（1）①证明：，
，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形．
②解：过作于点，交于点，则四边形是矩形，
设，则，
，
根据等面积可得：，，
，
，
，
，
，即，
解得，
，，
．
（2）解：如图，过作交于点，作交于点，则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
取中点，连接、，则，
在中，，
是直角三角形，是中点，
，
根据三角形三边关系可得，，
最大值为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
题型06.平行四边形最小值问题
16．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解．
【详解】解：连接，过作于，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
则要求的最小值只需求的最小值；
当时，最小，最小值为的长度，
在平行四边形中，，，
，
，
，
，
，
，即的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
17．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识．
连接，根据菱形定义得，根据三角形中位线性质得，当时，最小，得到最小值，根据是等腰直角三角形得，得的最小值为．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，周长为16，
∴，
∵G，H分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，
最小，得到最小值，
则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
18．如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值．
【答案】
【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值．
【详解】解：如图，过点作于点，则．
，
，
，
．
∵四边形是平行四边形，
，
，
．
∵点在对角线上运动，是锐角三角形，
∴当时，取得最小值．
由平行四边形的性质知，，
∴此时，
，
的最小值为．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
题型07.平行四边形等积变换问题
19．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】15
【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为
________．

【答案】12
【分析】连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．
【详解】解：连接，过作交的延长线于，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
边上的高和的边上的高相同，
的面积和的面积相等，
同理：的面积和的面积相等，
阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，
设上的高为，
平行四边形的面积，
∵，
∴，
的面积是12，
，
，
阴影部分的面积是．
21．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，．
(1)求点的坐标和的对称中心的坐标；
(2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？
(3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为；
(2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半；
(3)点M的坐标为或或
【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点；
（2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可，
（3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可，
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，；
∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，
（2）解：根据题意得：，
∴，
即：，
，解得：，
故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半，
（3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，

此时轴，轴，，，，，
根据平行四边形的性质，可知，，
∴，即，，即：，，即：，
故答案为：点M的坐标为或或．
题型08.平行四边形中位线综合问题
22．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______．
【答案】
【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，平分，
，，
，，
，即，，
，
是的中位线，
．
23．如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，，，则_______________．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理．
取中点H，连接与，过点E作交于I，由平行四边形的性质得到，进而得到，，即，，根据勾股定理得到，，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：如图，取中点H，连接与，过点E作交于I，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可知，
∴（负值舍去），
由勾股定理可知，
∴（负值舍去），，
∵H是中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，H为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：．
24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长；
(3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证．
（）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可．
（）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴∠，
∴．
（2）解：延长交于,
由（）知，点为中点，，
∴，
∴,
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
∴∠，，
∴，，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴；
同理可证,
∴是的中点，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∴．
（3）解：如图，
过作交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴,,，
由（）知，
∴，
∴，
∵,
∴，
由（）可知，，,，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
题型09.平行四边形角平分线综合
25．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_______．（请写序号）
.
【答案】②③④
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确，符合题意．
26．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________．
【答案】
【分析】构造平行四边形，先由平行四边形性质得到相关边的数量及平行关系，再证得、是等腰三角形，然后证得，设，得出长，在中，由勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示：
在平行四边形中，，，，，
，
四边形是平行四边形，
则，，，
平分，
，
，
，
，即，
同理，由平分可得，，
，
，则，
，
，
，
设，
，，
在中，，，，则由勾股定理可得．
27．在平行四边形中，对角线相交于点O，过点O的两条直线分别交边于点E，F，G，H．且，，，求出的长，使直线把四边形的面积四等分．
【答案】
【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论．
【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，
由平行四边形是中心对称图形可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，直线，把四边形的面积四等分．
题型10.平行四边形多结论问题
28．如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的______．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，可证正确；根据平行四边形对边相等，可证，从而可证成立；根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得：，根据平行线的性质可证，等量代换可得，可证正确，
由可知是直角三角形，可知，根据平行四边形的面积公式可得：，可知错误．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，
,
，
,
故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故正确；
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
平分，
故正确；
由可知，
，，
，
，
故错误．
综上所述，正确的有．
故答案为： ．
29．为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，，交于点H，连接和，直线交线段的延长线于点．下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论是______．(写出所有正确的序号)
【答案】①②④
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行四边形的性质．①根据，得，，进而得，由此可对结论①进行判断；②证明是等腰直角三角形得，进而可判定和全等，则，，再根据即可对结论②进行判断；③假设，根据，得，则点H是线段的中点，根据已知条件无法判定点H是线段的中点，由此可对结论③进行判断；④证明得是等腰直角三角形，则，再证明是等腰直角三角形，则，根据是等腰直角三角形得，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①，，
，，
，故结论①正确；
②，，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，故结论②正确；
③假设，
，
，
，
，
点H是线段的中点，
根据已知条件无法判定点H是线段的中点，故结论③不正确；
④，，
，
在中，，
，，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
30．如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（ ）个．
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵，，，
∴点O为的中点，点E为的中点，
∴，，故②正确；
∵，
∴，
∵，，平分，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，即，
∴，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③．
题型11.平行四边形平移问题
31．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为_______，线段的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可．
【详解】解：过点作交于点，连接，
∵平行四边形的面积为
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
以点为圆心，半径为画圆，为，
∵沿某一方向平移个单位长度后得到，
∴在上运动，连接，，，
在中，，
∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为；
∴的最大值为；
过点作且，
以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，
∵，，
∴，
∵点在上运动，，
∴在上运动，
在中，，
∴当与重合时，此时有最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：；．
32．如图，面积为28的平行四边形纸片ABCD中，AB=7，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．
则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　．
【答案】/
【分析】根据裁剪平移翻转的性质得到， AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，推出PM=PN，∠MPQ+∠RPN=∠DAB=45°，根据平行四边形对角相等的性质，推出∠DAB=∠DCB=45°，得到∠MPN=90°，△MPN是等腰直角三角形，当AE取最小值时，PM最小，对角线MN最小，当AE⊥BD时，AE值最小，过D作DF⊥AB于F，根据平行四边形ABCD的面积为28，AB=7，推出DF=4．根据∠DAB=45°，得到∠ADF=45°，推出AF=DF=4，得到BF=3，推出BD==5，根据，得到AE=，推出MN=AE=．
【详解】解：由裁剪平移翻转知，△ABE≌△CDF≌△QPM，
∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ．
同理△ADE≌△BCG≌△PRN，
∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，
∴PM=PN，∠MPQ+∠RPN=∠DAB=45°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN是等腰直角三角形．
当AE取最小值时，PM最小，对角线MN最小，
当AE⊥BD时，AE取最小值，
过D作DF⊥AB于F，
∵平行四边形ABCD的面积为28，AB=7，
∴DF=4．
∵∠DAB=45°，
∴∠ADF=45°，
∴AF=DF=4，
∴BF=3，
∴BD==5，
∵
∴AE=，
∴MN=AE=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了裁剪，平移，轴对称，平行四边形，等腰直角三角形，垂线段，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握裁剪性质，平移性质，轴对称性质，平行四边形性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短的性质，面积法求三角形的高，勾股定理解直角三角形．
33．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．
(1)请求出直线的解析式；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)平行四边形，
(3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为；
（3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为．
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
题型12.平行四边形旋转问题
34．如图，是的对角线，将绕点D旋转一定角度得（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得，，，由旋转的性质得，，，分别求出，，过点作于点，延长交于点，交于点，得四边形为矩形，分别证明、是等腰直角三角形，得，再由勾股定理得，从而可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由旋转得：，
又，
∴，
∴，
过点作于点，延长交于点，交于点，如图，
则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
35．如图，在平行四边形中，，且，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】在上取，使得，延长交于，作等边，点在上，连接，过作于，利用三角形全等得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，则可得点的轨迹，然后根据轴对称可得的最小值为，最后利用平行四边形和直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，在上取，使得，延长交于，作等边，点在上，连接，过作于，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
，
∵，，
，
，，
∴，
，
为等边三角形，
，，
又∵，
，
，
，
，
在的平分线上，
为等边三角形，
∴垂直平分，
，
（当且仅当，点共线时，等号成立），
的最小值为，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
即线段的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确构造全等三角形是解题关键．
36．综合与实践：

(1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
(2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形．
(3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析；理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解；
（2）观察可得：，即可得出比值；
（3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
是边上的中点，
，
，
；
（2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形，
，
；
（3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形；
理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，
，，
，
∴点在同一直线上，
同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
题型13.平行四边形动点问题
37．如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值．
【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，，
∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
，
，
又，
∴，
∴要使最小，则需最大，
∵点为边上的一动点，
∴点与点重合时，最大此时，
的最小值为，
故答案为．
38．如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】过A作于H，在ED上截取，连接，由含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到，即可得到线段的最小值．
【详解】解：过A作于H，在ED上截取，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是AP的中点，E是的中点，
是的中位线，
，
，
线段取得最小值是
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线．
39．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为．
(1)求和的长度；
(2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】(1)，
(2)的值为2或4
【分析】（1）求出，则，利用勾股定理可得，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可；
（2）由，可知和是该平行四边形的一组对边，则，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，和是该平行四边形的一组对边，
∴，
由题意知，两点停止运动的时间为，，
当时，，
∴，
解得；
当时，
，
∴，
解得；
综上所述，当的值为2或4时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．
题型14.平行四边形证线段和差问题
40．在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____．
【答案】9
【分析】根据平行四边形的性质及已知条件证明和是等腰三角形，进而证得，利用平行四边形面积求出的面积，从而得到的值，结合勾股定理，利用完全平方公式即可求出的值．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵平行四边形的面积为8.5，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
41．四边形中，对角线，，点分别是的中点，连接，取中点，连接，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，，由三角形中位线性质可得，，由，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而证明，得到，，设，，则，，在、、分别可得，，，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于，过点作的延长线于点，则，，
∵点分别是的中点，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，，则，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
42．如图，平行四边形中，且，点为平行四边形外一点，连接、，且于点．
(1)如图1，若，，则________；________；
(2)如图2，延长、交于点，过点作交的延长线于点，若，为的中点，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）过点作交的延长线于点，根据平行四边形的面积，得出，勾股定理求得，，再证明，得出，求得，进而勾股定理，即可求解；
（2）延长至，使得，证明，即可得出，进而得出，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∵平行四边形中，且，，
∴， ，则
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴
在中，；
（2）证明：如图，延长至，使得，
，
，
，
∵，
，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
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