资源简介

2026年普通高等学校招生全国统一考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合题目要求。
1. 样本数据6，8，4，5，12的中位数为
A.5 B.6 C.8 D.9
2. 已知平面向量 ， 不共线，且 ，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知集合 ，，则
A.
B.
C.
D.
4. 曲线 在点 处的切线方程为
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线 和 均经过点 ，则 的焦点与 的焦点之间的距离为
A.12 B.
C.6 D.
6. 已知函数 的最大值为 ，则
A. B.1
C. D.2
7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市。该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 行中塔的座数记为 ，其中，，，且 ，，， 是一个首项为7、公差为2的等差数列。将 ，，， 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 的等差数列，则
A.2 B.4 C.6 D.8
8. 设 为空间中64个点构成的集合，点 。记样本空间 ，从 中随机取一个点。对 中的每个点 ，令 ，则 的数学期望为
A. B.
C.0 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多项符合要求。
9. 设 ，则
A. B.
C. D.
10. 在空间中，， 为两个定点，动点 到直线 的距离为2，动点 到直线 的距离为1。若二面角 为 ，则
A.
B.
C. 当 时， 平面
D. 当 平面 时，
11. 已知圆 ，圆 ，圆 。直线 与 ，， 均有两个交点，记 被 ，， 截得的弦长分别为 ，，，则
A. 可以取任意实数
B. 满足 的直线 共有3条
C. 满足 的直线 多于3条
D. 当 时， 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 双曲线 的离心率为 。
13. 已知 是偶函数， 在区间 单调递增，则 ， 。
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15.（13分） 如图，在直三棱柱 中，，，， 分别为 ， 的中点。
（1） 证明： 平面 ；
（2） 设 ，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 到平面 的距离。
16.（15分） 已知在 中，，，。
（1） 求 ；
（2） 设 ， 两点满足： 在 的延长线上，，。若 ，求 。
17.（15分） 设整数 。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次。当且仅当投中1次或 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立。记 为停止练习时该同学的投篮次数。
（1） 当 ， 时，求 的分布列；
（2） 设 ， 均为自然数。
（i） 当 时，求 ；
（ii） 当 时，证明 。
18.（17分） 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 。
（1） 求 的方程；
（2） 设 为坐标原点，过 且斜率大于0的动直线 与 交于 ， 两点，其中 在第三象限，直线 与 的另一个交点为 。
（i） 若 的面积是 的面积的3倍，求 的方程；
（ii） 求 的最小值。
19.（17分） 已知函数 的定义域为 ，且当 时，。对任意 ，定义集合
（1） 若当 时，，求 ；
（2） 若 是奇函数，，且 ，证明：；
（3） 设 满足： 若 ，则 ； 当 时，。
（i） 证明：；
（ii） 证明： 在区间 单调递增。
答案
题号 答案或结论
1 B，6
2 A， ，
3 C，
4 D，
5 D，
6 B，
7 B，
8 A，
9 A、C、D
10 B、C
11 B、C、D
12
13 ，
14
15 （1） 证明见解析；（2） 距离为1。
16 （1） ；（2） 。
17 分布列与证明见解析。
18 （1） ；（2）（i） ；（ii） 最小值 。
19 （1） ；其余证明见解析。
答案
1. 中位数
将数据从小到大排列为4，5，6，8，12， 中间的第3个数为6。
答案：B。
2. 平面向量
由
得
因为，不共线， 所以线性无关， 故
，
因此，。
答案：A。
3. 集合运算
，，
所以
，
故
（此处原始图片中的内容可能有缺失，按现有内容还原）
答案：C。
4. 切线方程
，
在处斜率为13， 过点的切线为
即
答案：D。
5. 抛物线焦点
过 ，故
过 ，故
对 ，焦点为 ；对 ，焦点为 。因此
，
两焦点距离为
答案：D。
6. 函数最大值
求导得
若最大值在 处取得，则必要条件为 ，即
，
所以 。当 时，
函数 在 处等于 ，且可验证 当 ， 当 ，故最大值确为 。
答案：B。
7. 由题意
，
总和为 。所有数均为奇数，所以任意两数之和为偶数。若 个组和构成公差为 的等差数列，其平均值为
逐项考察选项：
若 或 ，则对应的 个组和均为奇数，不可能；
若 ，对应等差数列会出现小于最小组和或大于最大组和的项，不可能；
若 ，6个组和可为 ，，，，，，且有配对 ，，，，，， 组和正好为上述等差数列。
故 。
答案：B。
8. 数学期望
全集 关于每个坐标对称，且 ，故在 上 的总和为0。删去点 后，删去的 ，剩余样本点数为63，于是
答案：A。
9. 复数
，则 ，
A正确； ，
B错误； ，
C正确；
D正确。
答案：A、C、D。
10. 空间距离与二面角
以 为轴，将点 ， 到 的垂直分量分别记为 ，，则 ，，
且二面角为 ，所以
若 ， 在 方向上的坐标差为 ，则 ，
故 ，B正确。
若 ，则 ， 在 方向上的坐标相同， 无 方向分量。又
，
所以 。同时 ，故 平面 ，C正确。
A可取反例使 很小；D中 平面 只能推出 ，，不能推出 。
答案：B、C。
11. 三圆弦长
三个圆心为
，，，
半径均为1。直线 到三个圆心的距离分别为
，，
弦长公式为 。
A项：要与三个圆都有两个交点，须三个距离均小于1。某些斜率方向下三个圆心在法向上的宽度等于2，无法同时严格小于1，故 不能任取，A错。
B项： 等价于 ，即
由 得 或 。若 ，得 ；若 ，得 。共3条，B正确。
C项：取 。令 ，可得
方程 有 与 两组解，故对应直线多于3条，C正确。
D项：当 时，令 ，则
，
求导并令导数为0：
最大值为
D正确。
答案：B、C、D。
12. 双曲线离心率
于是 ，，双曲线中 ，故
答案： 。
13. 三角函数
为偶函数。若 ， 函数为常数， 不可能单调递增， 故 。由偶性可得
，
即
，
故 ， 所以 或 。
若 ，则 ， 不可能在 单调递增。故
，
要使 在 单调递增， 需 或 。这两种情形均有
答案： ，。
15. 直三棱柱
设 ，。建立坐标系：
，，，
并令竖直方向为 轴，则
，，
， 分别为 ， 中点，故
，
于是
（1） 平面 的方程为 ，其方向向量可取 ，。向量 的 分量为 ，故 平面 。
（2） 平面 的方程为 ，法向量为 。直线 与该平面所成角为 ，故
解得 。由于 平面 ，直线到平面的距离等于点 到平面 的距离，即
答案：距离为 。
16. 三角形
（1） 由余弦定理，
故 。再由余弦定理，
（2） 取
，
因 ，，可取
由平行关系可得
，
所以 。又
，
故 ，从而 。于是
答案： ，。
17. 投篮概率
记 。
（1） 当 ， 时，。若 ，，， 事件 表示前 次未中，第 次命中，故
当 时，包括第4次首次命中与4次全未中，因此
所以分布列为
1 2 3 4
（2）（i） 当 时， 等价于前 次均未投中，所以
（2）（ii） 若 ，则
又 ， 由 （i） 得 ，故
18. 椭圆与直线
（1） 左焦点为 ，故 。离心率 ，所以 ，
故椭圆方程为
（2） 设过 的直线为
，
代入椭圆方程得
记两个交点为 ，，其中 在第三象限。由根与系数关系
，
（i） 因 是椭圆中心，直线 与椭圆另一交点 。点 到直线 的距离是点 到 的距离的2倍，故
题设该比值为3，所以 ，即 。沿直线方向比较 坐标，得
，
代入根与系数关系可化为
，
故
，
因此
（ii） 由二次方程可写出
，
设 ，。计算可得
由均值不等式
，
等号当 ，即 时取得。故最小值为
19. 函数与集合 \（D（x） \）
（1） 当 时 ，当 时 。因为
，
要求 。令 。
若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，得 。合并为
于是
故
（2） 若 为奇函数，则 ，且当 时
因此
若 ，则
若 ，则
下面分情况验证：若 ，，由 得 ，从而 ；若 ，，由 得 ，从而
若 ，，则 ，并有
另一异号情形不可能满足 。故 。
（3）（i） 反设 。由于 当 ，可取 ，使
令 ，则 。由条件 ，
取 ，则
所以
即 。但 ，由条件 得 ，故 ，矛盾。因此
（3）（ii） 先证明一个基本事实： 当 时， 。事实上， 由条件 知 ， 故 。若存在 使 ， 则由条件 有 ， 从而 。但 ， 于是
，
与 矛盾。因此对一切 ， 都有 。令 ， 因 ， 得 。
下面证明单调性。任取 ， 反设 。由条件 ， 有
设 。对任意足够小的 ， 取
若 取到使 ， 则 ， 于是 ， 即
若 ， 则取 。由上面的基本事实 ， 再把条件 用于 与 ， 可将 “从 平移到 是增值” 的信息沿同一平移量传递到负半轴， 和 在 上严格递增相矛盾。因此必有 ， 上述 总可选取。
由 （1） 可知， 在0的右侧总能找到比 更大的函数值。将同样的论证用于区间端点 与 ， 并按欧几里得辗转相减过程反复进行， 会得到一列趋向于 的正数 满足
而 时已知 。另一方面， 若 ， 同理可推出 且进一步得到 与 的传递矛盾。故反设不成立。
因此对任意 ， 均有 ， 即 在 上单调递增。

展开更多......

收起↑