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(共22张PPT)
6.1 用树状图或表格求概率
第2课时 借助概率判断游戏的公平性
1.能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等.
2.能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件,求其发生的概率.（重点、难点）
利用树状图或表格，可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
（1）画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法，树状图法是将实验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，以此类推……把事件所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复或遗漏，既形象直观又条理分明.
（2）列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要方法，当一次试验涉及两个步骤时，将其中一个步骤作为行，另一个步骤作为列，列出表格，将事件所有可能的结果列在表格中.
通过试验估计和理论计算，小明、小刚和小凡发现前面的游戏并不公平，所以他们决定改做“石头、剪刀、布”游戏（如图）.游戏规则如下：
由小明和小凡玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小刚为游戏的获胜者；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小凡中的获胜者为游戏的获胜者.
假设小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，那么你认为这个游戏对公平吗？你是怎么做的？与同伴进行交流.
解：因为小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，
两人手势相同的结果有3种：（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布），
所以小刚获胜的概率为 = ；
小明胜小凡的结果有3种：（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），
所以小明获胜的概率为 = ；
小凡胜小明的结果也有3种：（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布），
所以小凡获胜的概率为 = .因此，这个游戏对三人是公平的.
列表：
小明
小凡 石头 剪刀 布
石头
剪刀
布
（石头、石头）
（剪刀、石头）
（布、石头）
（石头、剪刀）
（剪刀、剪刀）
（布、剪刀）
（石头、布）
（剪刀、布）
（布、布）
你能用列表的方法来解答吗？
做一做
小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下：每人从1,2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可能出现的结果：
从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7，概率最大！
第一次
第二次
例1 小凡利用三张卡片设计了一个抽奖游戏:三张卡片形状和大小相同，上面分别画有图书、文具和球拍的图案。将每张卡片从中间剪开成上下形状、大小相同的两部分，把三张卡片的上半部分都放在第一个盒子中，下半部分都放在第二个盒子中，并分别混合均匀。抽奖者从每个盒子中各随机地抽出一片，如果抽出的两片恰好能拼成原来的图案，那么就得到对应图案的奖品。小明参加了这个游戏，求:
（1）小明得到图书的概率；
（2）小明得到奖品的概率.
第一个盒子
第二个盒子
A
C
B
c
b
a
c
b
a
c
b
a
总共有9种可能的结果.由于每片都是被随机抽出，所以每种结果出现的可能性相同.
为了方便，我们将图案为图书、文具和球拍的三张卡片的上半部分依次记为A，B，C；下半部分依次记为a，b，c.可以用树状图列出所有可能的结果：
所有可能出现的结果
(A,c)
(A,b)
(A,a)
(B,c)
(B,b)
(B,a)
(C,c)
(C,b)
(C,a)


例2 如图，有A，B 两个可以自由转动的均匀转盘，转盘A 被平均分成了4 份，每份分别标上1，2，3，4 四个数；转盘B被平均分成了6 份，每份分别标上1，2，3，4，5，6 六个数，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，游戏规则如下：
(1)同时自由转动转盘A 与B.
(2)当转盘停止后，指针各指向一个数(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一个数为止)，把所指的两个数相乘，若得到的积为偶数，则甲胜；若得到的积为奇数，则乙胜.你认为这样的游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一个公平的游戏规则.
解：列表如下：
转盘B
转盘A 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
1.判断游戏公平性的方法：
2.把不公平的游戏变公平的方法:
归纳总结
游戏的公平性是通过比较游戏双方获胜的概率来判的．在条件相同的前提下，若参加游戏的每一方获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．
（1）改变游戏规则，使双方获胜的概率相等.
（2）改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等.

B
2.一个箱子中装有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后不放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏(　　)
A．公平 B．不公平
C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大
A
3.小明和小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子。
（1）若两人掷得的点数之和为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）若两人掷得的点数之积为奇数，则小军获胜，否则小明获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？
2.对于游戏不公平的问题，可以利用相应问题中的可能情形改动游戏规则，使修改后游戏是公平的，而修改游戏规则的方式有多种情形，只要合理即可，一般采用使所获得的概率相等达到目的.
1.找全所有可能结果是解题的关键.(共25张PPT)
第六章 概率的进一步认识
连续掷两枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率是多少？你知道如何解决这个问题吗？
你们班有2个同学的生日相同吗？有人
说，50个人中很可能有2个人的生日相同，
你同意这种说法吗？
★本章将进一步研究随机事件发生的概率，探索用列表、画树状图的方法计算一些较复杂的等可能事件发生的概率，用试验的方法估计一些随机事件发生的概率.
6.1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率
1.会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率;
（重点）
2.能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有可能情况.（难点）
3.会用概率的相关知识解决实际问题.
1.什么叫事件的概率？
2.一般地，如果在一次试验中有n种可能结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率
P（A）= .

做一做 小明、小刚、小凡一起参加课外体育活动，小明想打篮球，小刚想踢足球小凡想打乒乓球，谁也说服不了谁，最后三人决定一起做游戏，谁获胜就听谁的.游戏规则如下：
连续抛掷两枚均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小刚获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜.
小明
小刚
小凡
连续掷两枚质地均匀的硬币，估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率.
（1）两人一组，一人掷硬币，一人记录试验结果。每组做20次试验，根据实验结果填写下面的表格：
试验 第1次 第2次 第3次 … 第20次
实验结果
（2）请你设计一个统计表，汇总全班同学的试验数据，并统计当试验次数为20次、40次、60次、80次、100次……时上述三个事件发生的概率.然后绘制相应的折线统计图.
（3）你能分别估计上述三个事件发生的概率吗？根据估计结果,你认为这个游戏公平吗？
通过大量的重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率.所以，这个游戏是不公平的，它对小凡比较有利.
议一议
在上面掷硬币的试验中，
（1）掷第一枚硬币，可能出现哪些结果，它们发生的可能性是否相同？
（2）在第一枚硬币为正面朝上的情况下，掷第二枚硬币可能出现哪些结果，它们发生的可能性是否相同？如果第一枚硬币反面朝上，情况又是怎样的呢？与同伴进行交流.
探究体会：
硬币质地均匀，因此掷第一枚硬币时，出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相等.而无论掷第一枚硬币的结果如何，掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率仍相等.
所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的.
为了方便和直观，我们常常用树状图或表格列出所有可能出现的结果：
开始
正
正
第一枚硬币
树状图
反
（正，正）
（正，反）
反
正
反
（反，正）
（反，反）
第二枚硬币
所有可能出现的结果
表格
正 反
正
反
第一枚硬币
第二枚硬币
（正，正）
（反，正）
（正，反）
（反，反）
总共有4中结果,每种结果出现的可能性相同.
小明获胜的结果有1种：(正，正)，所以小明获胜的概率是： ； 小刚获胜的结果有1种：(反，反)，所以小刚获胜的概率也是： ；
小凡获胜的结果有2种：(正，反)(反，正)，所以小凡获胜的概率是： .
因此，这个游戏是不公平的，它对小凡比较有利.
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率.
特别提醒
1.用列表法或画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等.
2.当试验包含两步时，用列表法比较方便，当然此时也可用画树状图法.
归纳总结
例1 某班有 1 名男生、2 名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有 2 名男生、2 名女生获演奏奖.从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率.
解：记两名领奖学生都是女生为事件 A，两种奖项各任选 1 人的结果用“树状图”来表示.
开始
获演唱奖的
获演奏奖的
男
女″
女′
女1
男2
男1
女2
女1
男2
男1
女1
男2
男1
女2
女2
例2 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1，2，…，6. 试分别计算如下事件的概率.
(1)抛出的点数之和等于 8；
(2)抛出的点数之和等于 12.
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第 1 枚骰子可能掷出 1，2，……，6 中的每一种情况，第 2 枚骰子也可能掷出 1，2，……，6 中的每一种情况. 用“列表法”表示出所有可能的结果如下：
第2枚
骰子
第1枚骰子
结
果
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种. 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.


归纳总结 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.


C
D
3.《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”,晨旭同学用这些图片做成了四个大小一样，背面颜色也一样的卡片.将这些卡片背面朝上，洗匀后，扣在桌面上，随机抽取一张，记下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张，她两次都抽到清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率是_____.

4.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌.
(1) 摸出两张牌的数字之和为 4 的概率为多少？
(2) 摸出两张牌的数字相等的概率为多少？
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的牌面数字
2


3
3
2
1
(2，3)
1
画树状图法
求概率的方法
列表法(共14张PPT)
6.1 用树状图或表格求概率
第3课时 ”配紫色“游戏
1.会用树状图或列表法求简单事件发生的概率.
2.能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等.
小颖为学校联欢会设计一个“配紫色”游戏：如图所示是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
问题：（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果.
（2）游戏者获胜的概率是多少？
红
白
黄
蓝
绿
转盘A
转盘B
树状图
画树状图如图所示：
开始
白色
红色
黄色
绿色
转盘A
转盘B
蓝色
黄色
绿色
蓝色
列表法
黄色 蓝色 绿色
白色 (白，黄) （白，蓝） （白，绿）
红色 （红，黄） （红，蓝） （红，绿）
转盘B
转盘A
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.
转盘A
红
蓝
转盘B
蓝
红
120°
做一做
小颖画出了下面的树状图：
开始
蓝
红
蓝
红
转盘A
转盘B
蓝
红
小明则先把转盘A的红色区域等分成2份，分别记“红1”，“红2”，然后列出了下表：
红 蓝
蓝 (蓝，红) （蓝，红）
红1 （红1，红） （红1，蓝）
红2 （红2，红） （红2，蓝）
转盘B
转盘A
红
蓝
120°
红1
红2

你认为谁做得对？说说你的理由.
小颖的做法不正确.因为右边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同,因而指针落在这两个区域的可能性不同.
小明的做法是解决这类问题的一种常用方法.
问题2：利用画树状图和列表的方法求概率时应注意些什么
利用画树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.
例1 一个盒子中装有2个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球.求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
1
1
2
2
解：先将两个红球分别记作“红1”“红2”，两个白球分别记作“白1”“白2”，然后列表如下.
红1 红2 白1 白2 蓝
红1 （红1,红1） （红1,红2） (红1,白1) （红1,白2） （红1,蓝）
红2 （红2,红1） （红2,红2） (红2,白1) （红2,白2） （红2,蓝）
白1 （白1,红1） （白1,红2） (白1,白1) （白1,白2） （白1,蓝）
白2 （白2,红1） （白2,红2） (白2,白1) （白2,白2） （白2,蓝）
蓝 （蓝,红1） （蓝,红2） (蓝,白1) （蓝,白2） （蓝,蓝）
第二次
第一次

归纳总结

B
2.用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 ．

3.小明和小亮通过一个“配紫色”游戏决定谁去观看校艺术节汇演.规则是：有两个相同的转盘(甲盘，乙盘),每个转盘被分为三个面积相等的扇形，同时转动两个转盘，若一转盘转出红色而另一转盘为蓝色，则可以配成紫色，此时小明获胜.否则小亮获胜.
(1)转动转盘甲一次，转出蓝色
的概率是 _;
(2)请用树状图或列表法分析这个
游戏是否公平.

游戏不公平
1.用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性必须相同.
2.“配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它启示我们:概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.

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