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2026年河北省初中学业水平模拟考试
数学试卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数、满足，则（ ）
A．4 B．12 C．． D．
4．如图，线段，相交于点，，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
9．如图，在中，点，分别在边，上，下列条件中，不能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知溶液中溶质的质量溶液质量×浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
12．如图，点为矩形对角线的交点，，，点是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点．将矩形沿折叠，点，的对应点分别是点，，直线和直线相交于点，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（ ）
A．
B．当点和点不重合时，
C．
D．当在直线上方时，点到直线距离的最大值为
卷Ⅱ（非选择题，共84分）
注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．
2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上．
题号 二 三
17 18 19 20 21 22 23 24
得分
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分）
13．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则________．
14．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则________．
15．如图，点在线段上，图中共有3条线段：、、，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．若时，点是线段的“二倍点”，则________．
16．如图，一个秋千的摆长为，当点绕着点摆动到同样高度的点时，，则的长度为________．（结果精确到，参考数据：，，，）
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分6分）
（1）解不等式：；
（2）解不等式：；
（3）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（本小题满分8分）
先化简，再求值：，其中．
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）任务一：第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________；
（2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值．
19．（本小题满分8分）
如图，在菱形中，点、分别在边、上，且．连接、，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（本小题满分9分）
某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了户家庭，并对每户的用水量（单位：）进行收集、整理、描述和分析，过程如下：
【收集数据】随机调查的户家庭的用水量（单位：）如下：
【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图：
【分析数据】
户家庭用水量的平均数、中位数及众数（单位：）如下表：
平均数 中位数 众数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上表中的值为________；
（2）为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励．
①如果家庭用水量的标准定为，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户；
②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由．
用水量频数分布表
用水量 频数
用水量频数分布直方图
21．（本小题满分9分）
如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板、3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒．
现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：
裁剪方法 纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法
裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数
（1）①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含的代数式表示；
②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题；
（2）当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案．
22．（本小题满分9分）
如图，在中，，是的外接圆．过点A作，交的平分线于点D，交于点E，连接并延长，交的延长线于点F．
（1）若，求线段的长；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，，用含a的代数式表示线段的长．
23．（本小题满分11分）
已知二次函数的图象与x轴交于、两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，设抛物线的顶点为D点，连接，点E是线段上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值；
（3）如图2，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点Q．设点P的横坐标为t，，，．
①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当y的值取最大时，求点P的坐标．
24．（本小题满分12分）
我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
（1）如图1，在正方形中，，交于点，则________（填比值）；
【探究证明】
（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点．
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，，求折痕的长；
【拓展运用】
（4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．2026年河北省初中学业水平模拟考试
数 学 答 案
1-6 7-12
13．
14．111
15．20或或
16．1.4
17．（1）解：，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：； 2分
（2）解：整理得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得； 4分
（3）解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集为，
∴它的所有整数解为，，0，1． 6分
18．（1）一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； 2分
（2）解：，
=
=
=
=，
当时，
=
=
=． 8分
19．（1）证明：∵四边形是菱形，
，
； 3分
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
，
．
，
，
．
．
． 8分
20．（1）； 2分
（2）解：①（户）；
答：估计获奖家庭有170户； 5分
②中位数，理由如下：
因为从样本情况看，四月份用水量不超过（中位数）的有户，占被调查家庭数量的一半，可以估计，如果用四月份用水量的中位数作为标准，将有一半左右的家庭获奖． 9分
21．（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有块，正方形纸板有块，
，
； 3分
②当时，依题意得：，
解得：，
∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板．
（个），
答：最多能做6个无盖长方体纸盒； 6分
（2）解：设能做个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板块，正方形纸板块，
∴按图1方法裁剪张，按图2方法裁剪张，
，
解得：，
为整数，
的最大值为13，
检验，当时，需要小长方形纸板块，正方形纸板块，
取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图
2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件，
答：最多能做13个无盖长方体纸盒． 9分
22．（1）解：∵，
．
平分，
．
，则； 3分
（2）证明：如图1，过点作于点，则．
∵在中，，
．
由垂径定理知，经过的圆心．
是的半径．
，
，则，
，垂足为，
是的切线； 6分
（3）解：如图2，过点作于，
由（1）知，，
，
．
，
，
，
．
由题及（1）知，，
，，
则，
，
即，解得，．
，
，．
，
，
，
，则．
，
，
，
即解得，． 9分
23．（1）解：依题意得，解得，
∴这个二次函数的表达式为； 2分
（2）解：，
，
，
∵点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，
要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件．
过作于，
∵点、均为动点
∴此时线段的长就是的最小值．
，
，
； 5分
（3）解：①，
，
令，则，
∴点，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，如图，
设，则，
，
又，
轴，，
，
，
，
8分
②，
∴当取值最大时，，
，
11分
24．（1）； 2分
（2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；
四边形是矩形，
，，
，，
∴四边形、均为平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
；
乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
∵四边形是矩形，
，，，
∴四边形、均为矩形，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
； 5分
（3）解：由矩形的性质可得，，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
即，
解得，
的长为； 8分
（4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，
，，，
∴四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，（不合题意舍去），，
，
由（2）知，，
又，
，，
，，
． 12分

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