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数学模拟（三）参考答案及评分标准
-、1-10.DCDDD
ABDCA
二11.3：12.(a+b(a+2b):13.35°；14.2；15.(5,1)或(7,1).
三、16.(1)
(周'-+4+c60+-号-2023y
=5-3+5x+14分
3+
2￥
--5分
a(名+
2x+1
=x+12+x-1
(x-102
x-1
带甜
=-1
-1
--3分
当x=1或-1时，原分式无意义，
-1,x可以取得整数为0，
1
当x=0时，原式=0一-1.
-5分
17.解：如图过点B作BE⊥CD,垂足为E,过点A作AF⊥BE,垂足为F,-1分
B
D
C
由题意得：AC=EF=224米，AF=CE,
-一2分
在Rt△ABF中，∠BAF=18°，AB=3.2米，
,.AF=AB:c0s18°≈3.2
19=3.04米，
20
--3分
BF=4B.sinl8°≈3.2x3
=0.96米，
10
六BE=BF+EF=0.96+2.24=3.2米，----4分
在RtaBED中，∠BDE=67°，
..DE=-
BE3.24
an6712=3米，
-6分
5
CD=CB-DE=AF-DB=3.04-号≈1,71米，
3
此时遮阳删在地面上形成的阴形宽度CD的长约为1.71米.一-7分
18.(1)4,10:
---3分
补全频数分布直方图如下：
◆频数/人数
14
10
8
4
0
3分
60708090100
成绩/分
(2)解：1800×10+4=1260，
20
所以估计约有1260人的成绩在80分及以上：
5分
(3)解：画树状图为：
开始
男
男
男女女男女女男
男女男男女
共有12种等可能的结果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
、所以抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率=。-子，
---8分
12
19.（1)解：旋转，
CD=CE,
·∠DCE=∠ACB,
∴.∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，
.∠ACD=∠ECB,
.CA=CB,
∴.△CAD2△CBE:
-一-=4分
(2)CA=CB,∠CBA=60°，
'三角形ABC为等边三角形，
.∠BAC=60°，
..∠CAD+∠BAD=60°，
由(1)知：△CAD2△CBE,
.∠CBE=∠CAD,
∴.∠CBE+∠BAD=60°.
=8分
20,（1)解：结论：CD是⊙0的切线--
-1分
理由连接OC
.OC=OB,2026年九年级综合训练模拟试题（三）
数 学
2026.5
本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：（每小题3分，本题满分共30分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．
1．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．无解
6．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为步，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空（每小题3分，共15分）
11．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________．
12．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：________．
13．如图，已知，直线与直线，分别交于点，．按如下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是________．
14．如图，已知，且，，，点、分别在、上滑动．点是的中点，点是的中点，则的最小值是________．
15．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为________．
三、解答下列各题（满分75分）
16．（每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值．
17．（本小题满分7分）为预防电动自行车引发火灾，保护居民生命财产和公共安全，某小区物业为电动自行车建立了集中停放和充电点，并安装了遮阳棚，方便居民使用（如图1）．在如图2所示的侧面示意图中，遮阳棚长3.2米，与水平线的夹角为，立柱的高为2.24米，当太阳光线与地面的夹角为时，求此时遮阳棚在地面上形成的阴影宽度的长．（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）．
18．（本小题满分8分）某学校举行了数学文化知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“数学知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
71 65 68 92 81 84 95 93 87 89
78 88 81 75 86 82 96 73 89 86
整理分析数据：
成绩x（单位：分） 频数/人数
2
a
b
4
（1）统计表中________，________；并补全频数分布直方图；
（2）根据上面统计结果估计该校初一年级1800人中，约有多少人的成绩在80分及以上；
（3）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，利用树状图或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．（本小题满分8分）如图，在三角形中，，D是三角形内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接，，．
（1）求证:．
（2）当时，求与的度数和．
20．（本小题满分9分）如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C，过点C作，交的延长线于点D，连接．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
21．（本小题满分9分）综合与实践：
【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示：
销售单价（元/盒） 月销售量（盒）
65 1300
60 1400
70 1200
（1）【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
销售单价（元/盒） 60 ________ ________
月销售量（盒） ________ ________ ________
（2）【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的70%．
设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？
22．（本小题满分12分）在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则的值为多少？
（2）当时，的最小值为，求出的值；
（3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围
23．（本小题满分12分）点在矩形的对角线上，于点，交于点．
（1）如图1，若平分，求证：；
（2）如图2，取的中点，若，，．
①求的长度；
②求的值；
（3）如图3，过的中点作于点，延长交于点，连接交于点．若，求证：．

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