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数学试题
考试时间：120分钟，满分：120分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．近年来，长治聚焦产业转型升级，以潞安化工、漳泽电力等重点企业为龙头，推动能源、医药、制造等多元产业协同发展．下面几家企业的LOGO，其中除文字外是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．山西坚持藏粮于地、藏粮于技，粮食播种面积、单产、总产实现“三增”，农业生产稳中有进，筑牢粮食安全底线，助力全国粮食“二十二连丰”．2025年，山西省粮食总产量达亿公斤，创历史新高，同比增长，占全国粮食总产量比约，为国家粮食安全提供坚实支撑．亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
6．如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角，第二次拐角处有一路灯、白天某一时刻，路灯的影子与的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．近年来，长治市全力打造“壮美太行 久安长治”文旅品牌，在“金秋文旅嘉年华”活动中，某景区特别设置了一款幸运转盘互动装置．转盘被平均分成4个扇形区域，分别标注“最”“美”“长”“治”四个汉字，游客可自由转动转盘，指针停在某一区域即获得该区域对应的汉字（若指针落在分割线上，则重新转动）活动规则：每位游客可连续转动转盘两次，若两次指针所指汉字恰好能组成宣传语“长治”，即可获得景区全年免费畅游资格．求一位游客转动两次转盘后中奖的概率（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知是的直径，点为圆上一点，连结，过点作，与交于点，连结，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位（）和时间（）的部分数据，猜想当时间为时，受水壶中水位的高度为（ ）．
... 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 ...
... 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 ...
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧交边于点，以为圆心，为半径画弧交边于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．4
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： ．
12．2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为，可列方程为 ．
13．学校正在为“长治市中小学生运动会”选拔参赛队员，甲、乙、丙、丁四名同学参加了200米选拔赛，在相同条件下各位同学的成绩情况如下表所示，若要从中选择出一个位参加比赛，那么应选 ．
选手/分值 甲 乙 丙 丁
平均分 90 92 88 92
方差 2.8 3.2 2.8 3.5
14．如图，直线与轴、轴分别相交于点、，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则 ．
15．如图，正方形的边长为8，点为上靠近的三等分点，连接，将正方形沿折叠，点的对应点为，点的对应点为，延长，交于点，与交于点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）解方程组：
17．（本题9分）如图，线段，相交于点，且，于点．
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若，请证明四边形是平行四边形．
18．（本小题7分）为推动区域物流高质量发展，长治市全力推进“晋东南次日达”物流快捷通道建设，着力提升本地快递物流分拣与配送效率．某快递分拣中心响应政策号召，率先引进智能分拣机器人推进智能化改造，全面优化分拣作业流程．经实际运营统计，该中心引进智能机器人后，每小时快递分拣数量较传统人工分拣提升，完成件快递的分拣工作，所用时间比传统人工分拣少1小时．求该中心传统人工分拣模式下，每小时可分拣快递多少件？
19．（本题7分）为“学校安全教育平台”系统地、科学地从家居安全、交通安全、火灾、水灾、户外活动、社会恶性事件、校园安全等方面对安全教育所涵盖的主要内容做了全面、详尽、科学、完备的阐述，这不仅能够培养孩子的自我保护能力，教会孩子如何远离危险，而且能让孩子拥有良好的应急心态． 某校政教处从全体学生中随机抽取了部分学生“学校安全教育平台”中消防安全知识的分数（满分为100分）进行了统计，以下是根据抽取学生的分数制作的不完整的频率分布表和频数分布直方图
组别 分组 频数 频率
1 9 0.18
2
3 21 0.42
4 0.06
5 2
请根据图表，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）若小勇同学的测试成绩是所抽取学生成绩的中位数，那么小勇同学的测试成绩在什么范围内？
（3）规定：得分在的为“优秀”，如果小勇同学所在学校共有2000名学生，那么估计得分为“优秀”的学生共有多少名？
20．（本小题9分）为迎接2026年山西省第十七届运动会在长治举办，落实“体教融合”与全民健身要求，长治市多所中小学升级校园体育设施．如图是某校新安装的标准篮球架的侧面示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角（参考数据：，，，，）
（1）求支架的顶端到地面的距离的高度（精确到米）；
（2）求篮框到地面的距离（精确到米）．
21．（本题8分）阅读下列材料，并完成相应的任务
数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】将和2分别作为的两条直角边，如图1所示，，，则 将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则 将与如图3所示放置，使点与点重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据）
任务：
（1）直接写出材料中的依据为： ；
（2）写出求解长的解题过程；
迁移应用：长治市上党门是全国重点文物保护单位，也是长治的城市地标．如图，上党门城楼的南北两侧分别有一座钟楼和鼓楼，城楼下方有一条东西走向的主街．已知钟楼到主街的垂直距离为2米，鼓楼到主街的垂直距离为3米，两座楼在主街上的垂足之间的距离为6米．按照材料中数形结合的方法，直接写出主街上一点到钟楼和鼓楼的总距离的最小值为 米（结果保留根号）．
22．（本题共12分）综合与实践
【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模．为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一条抛物线．
【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，棚顶在地面上的跨度（即底端点和点之间的距离）为30米．
【问题解决】
（1）请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式．
（2）为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管．
①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：）．
②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即轴），底端固定在地面上，顶端贴合棚顶轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（棚顶左侧最低点）水平距离的，请计算这两根立柱之间的水平距离．
23．（本题13分）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到．
操作发现：
（1）如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，试判断的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
实践探究：
在整个旋转过程中，当在下方，且的边恰好与垂直时，请直接写出的长．2026年长治市九年级数学卷参考答案
数 学
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C B A C D A A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．
12．
13．乙
14．12
15．4
三、解答题（共75分）
16．（每小题5分，共10分）
（1）解：原式（3分）
（4分）
（5分）
（2）解方程组：
①②得，
解得，（7分）
将代入②得，
解得（9分）
∴方程组的解为．（10分）
17．（本小题9分）
（1）解：如图所示，即为所求．（3分）
（2）证明：，
，，
又，
（），
，
，，
，，
又，
（），
，
∴四边形是平行四边形．（9分）
18．（本小题7分）
解：设传统人工每小时分拣件，则智能机器人每小时分拣件，依题意得：（1分）
（3分）
解得（5分）
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．（6分）
答：传统人工分拣模式下每小时可分拣快递6000件．（7分）
19．（本小题8分）
（1）3，0.3，15；（3分）
（2）解：抽取的学生共有50名，中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据在第3组，所以小勇的测试成绩在范围内；（5分）
（3）解：，
估计得分为“优秀”的学生共有80名．（7分）
20．（本小题9分）（1）求的高度
解：在中，，
（米）（4分）
答：支架顶端到地面的距离约为米．
（2）求篮框到地面的距离
解：过作于，
在中，（米）（6分）
篮框到地面距离：（米）（8分）
答：篮框到地面的距离约为3.1米．（9分）
21．（本题8分）
（1）依据：两点之间，线段最短．（1分）
（2）求解的长
解：过作交延长线于，
由题意得，．（4分）
在中，．（6分）
最小值：．（8分）
22．（本题12分）
解：由温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，，可知抛物线的顶点坐标为（1分）
设与的函数关系式为
∵当时，，，解得（3分）
（4分）
根据题意得：通风管距离地面的高度为3米，
所以令时，
解得，
米（8分）
设左侧立柱的横坐标为，那么纵坐标为，
将代入
化简得
（舍去），，
∴两根立柱之间的水平距离为米．（12分）
23．（本题13分）
（1）的形状为等边三角形，（1分）
根据旋转的性质可得
，，
，，
，
，
为等边三角形，（4分）
四边形的形状为菱形，（5分）
∵在中，，为的中点，
又
为等边三角形，，（7分）
根据旋转的性质可得，，
，，
∴四边形为平行四边形（9分）
又
∴四边形为菱形．（10分）
（3）6，，，（或）（13分）
【评分说明：写出一个正确答案得1分，全部正确得3分，最后一种情况只要算出
就算对】

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