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2026年春季九年级诊断考试
数学 参考答案
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B D A C A B C
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．11a -2或-2+11a（任一种均可） 12．
13．3 14．4
三、解答题（本题共5个小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分）
15．解：（1）原式
；
（2）原式
，
解得，
不等式的非负整数解为0、1、2，
且，
且，
，
则原式．
16．（1）解：总人数是（人），
读完2部的人数是（人），
∵，，
∴中位数是2部．
（2）解：“4部”所在扇形的圆心角为，
由（1）可知读完2部的人数是6人，补全条形图为
（3）解：将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故他们恰好选中同一名著的概率为．
17．解：在Rt△ADE中，∵ tan∠ADE＝，∠ADE＝54°，
∴
又∵，
∴
答：旗杆AB的高度约为23 m．
18．（1）将点代入反比例函数，
，
，
将点B(-6,n)代入，
得-6n=6，
解得n=-1，
，
将，点坐标代入一次函数，
得，
解得，
．
（2）解：过点作关于轴对称，连接交轴于点，如图所示：
则此时最大为，
根据对称可知，
设的解析式：，
代入和，
得，
解得，
的解析式：，
当时，解得，
．
（3）不等式的解集是：或．
19．（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE，
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（2）设AE＝x，
∵AE：EC＝1：2，
∴EC＝2x，
∴AC＝AE+EC＝x+2x＝3x，
由（1）得：△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AE AC，即AB2＝x 3x，
∴AB＝x，
又∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝2x，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°．
B卷（共50分）
四、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分.其中第24题每空2分）
20．2 21．4046
22．2 23．6
24．(1) 2 (2)
五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，第26小题10分，第27小题12分，共30分）
25．（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得解得．
设6台机器人每天服务客人的人数为w人，
则．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大．
26．（1）证明： 四边形是平行四边形，
，，，
，
、分别是、的中点，
，
在△ABE和△CDF中，
，
，
；
（2）解： 连接、，
选择条件①，四边形是矩形；
证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
四边形是矩形；
选择条件②，四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
四边形是菱形．
27．（1）解：把和代入，得
，
解得，
∴；
（2）解：设，
∵轴，
∴，
∴．
∵与y轴相切，
∴，
解得，（舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵以为直径作，，
∴，
∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，
∴，
∵过点作轴，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴．
如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．
∵，与y轴相切，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即面积的最大值为．
（说明：如果考生有其他不同的解法，只要方法正确，过程合理，答案正确均可得分）2026年春季九年级诊断考试
数学 试卷
注意事项：
1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分.考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）.
2.考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号.
3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分.在试题卷、草稿纸上答题无效.作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑.
4.考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回.
A卷（共100分）
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．若电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为（ ）
A．2层 B．层 C．8层 D．层
2．下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．若与互为余角，且，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
4．体积为80的正方体的棱长在（ ）
A．8到9之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
5．下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
6．用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C．D．
7．下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
8．在数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛五羊二，值金十两；牛二羊五，值金八两，问牛羊各值金几何 ”译文：五头牛和两只羊共值金10两，两头牛和五只羊共值金8两，问一头牛和一只羊各值金多少两 若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ）
①x=1是二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向下；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧；
④不等式4a+2b+c>0一定成立．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置.本题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．a 的11倍再减去2可以表示为 ．
12．如图，把长方形纸片ABCD沿折叠后使两部分重合，若，则 .
13．若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________．
14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为 ．
三、解答题（本题共5个小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分）
15．（1）计算：.（5分）
（2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解．（5分）
16．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查所得数据的总人数是________人，中位数是________部．（2分）
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；并补全条形图．（2分）
(3)从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．（4分）
17．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B处15米的C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）
18．已知一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；（3分）
(2)M是x轴上一点，满足最大，求点M的坐标．（3分）
(3)求不等式kx＋b－＜0的解集．（直接写出答案）（2分）
19．如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，∠ADB∠ACB．
（1）求证：∽；（5分）
（2）若AB⊥AC，AE：EC1：2，求∠ABC的度数．（5分）
B卷（共50分）
四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置.本题共5个小题，每小题4分，共20分）
20.如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ．
21．若是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
22．如图，△ABC是的内接三角形，于点，若，则 ．
23．如图，△ABC是等边三角形，是△ABC的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ．
24．如图，在△ABC中，，．是内部的一个角，和与分别交于点D和点E，已知．
（1）图中与相似的三角形有 个.（2分）
（2）若，，则的长为 ．（2分）
五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，第26小题10分，第27小题12分，共30分）
25．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元．
(1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？（4分）
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？（4分）
26．如图，在中，，相交于点，、分别是、的中点．
(1)求证：．（5分）
(2)连接，，已知 （从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．（5分）
27．如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式．（3分）
(2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标．（4分）
(3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．（5分）

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