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射阳县实验初中2026年春学期八年级数学巩固练习
分值：150分时间：120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x﹣1＝0
C．2x2+y﹣2＝0 D．x2x﹣1＝0
2、甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（ ）
A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定
3、已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18cm2 B．18πcm2 C．27cm2 D．27πcm2
4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
5、中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．x（x﹣12）＝864×2
C．x（x+12）＝864 D．x（x+12）＝864×2
6、如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
7、如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于（ ）
A．2π B． C． D．4π
8、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．3
二、填空题
9、一组数据3，﹣1，8，10，5则这组数据的极差为________．
10、⊙O的半径是5cm，同一平面内，若点P到点O的距离是6cm，则点P与⊙O的位置关系为________.
11、数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学期末总评成绩是________分．
12．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于________．
13、如图，正方形ABCD边长为2，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为________．
14、圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为________m．
15、AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝4，∠BAC＝30°．在图中作弦AD，使AD＝2，则∠CAD的度数为________．
16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在Rt△ABC内部且满足∠AEC＝90°，若AE＝6，DE＝3，则AB的长为________．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
18．先化简，再求值：（），其中a满足a2+a﹣1＝0．
19．在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“+1”和“﹣1”，B盒里有三张卡片，分别标有“+2”“﹣2”和“+3”．这些卡片除数字外其他都相同．
（1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“+1”的概率是________．
（2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标．求这个点在第一象限的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20．某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、10分．
为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；
【分析与估计】
平均数（分） 众数（分） 中位数（分）
第1小组 7.5 a 8
第2小组 b 1 3
第3小组 5.9 5 c
（2）由上表填空：a＝________，b＝________，c＝________；
（3）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数；
【评价与建议】
（4）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议．
21、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）连接OA、OB，则∠AOB＝________．
（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．
（3）在（2）的条件下，Rt△ABC的外心和内心的距离等于________________
22．某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件．
（1）当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件；
（2）直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________；
（3）为了尽可能地让利于顾客,该童装销售定价为每件多少元时,商场销售该品牌童装可盈利1200元
23、如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
24、（1）如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝60°，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得PD平分∠BPC；
（3）如图3，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，圆是△ABC的外接圆，只用无刻度尺的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得．
25、我们给出定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M（1，1）,则b=________，c=________．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论n（n≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝nx+2n+1的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
26、已知关于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1＜1＜x2，求整数k的值；
（3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D．点P（a，）在平面内运动，
①若点P在⊙M上，求a的值；
②若△PAB为锐角三角形，请直接写出a的取值范围．
27、【概念认识】
自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，∠APB是点P对线段AB的视角．
【问题探究】
如图2，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．
【数学思考】
（1）请说明图2中，∠AP1B＞∠AP2B；
【问题解决】
（2）在平面直角坐标系中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的坐标是________．
【实际应用】
如图3，矩形COEF是足球场的示意图，分别以直线OE、直线OC为x轴和y轴建立如图所示平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为（0，a），（0，b），摄像机P在OE上移动拍摄．
（3）请求出当摄像机P对球门AB的视角最大时点P的坐标．（用含a，b的代数式表示）
（4）在足球比赛中，足球对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门AB＝8米，AC＝BO，一名球员从点M处带球，沿MN方向跑动，MN⊥AB，MN＝18米，BN＝2米．
①这名球员从点M处继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？
②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对AB的视角为45°（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽OC＝60米，若摄像机P位于对MN的视角最大的位置，在Q点移动的过程中，P、Q水平距离最近时相距________米．
参考答案
一、选择题
DABDCDBB
二、填空题
9、11 10、点P在⊙O外
11、91 12、2023
13、 14、1.3
15、30°或90° 16、
三、解答题
17、（1）,-------------3分
（2），-------------3分
18、原式-----------------4分
当a2+a﹣1＝0时，原式-----------------4分
19、（1）-------------3分
（2）P----5分【树状图或者表格3分，6种等可能结果1分，概率结果1分】
20、（1）
-------------2分
（2）-------------每个2分，共6分
（3）110人-------------2分
（4）加强对数学小作文的学习和巩固【言之有理即可】-------------2分
21、（1）135°-------------2分
（2）-------------3分
（3）-------------3分
22、（1）40-------------2分
（2）-------------2分
（3），
∵尽可能地让利于顾客
∴-------------4分【100没有舍去的扣1分】
23、（1）连接OD，证明OD⊥CD即可（过程略）-------------4分
（2）-------------4分
24、作图（1）---2分（2）——3分（3）————3分，方法不唯一，比如
25、（1）-------------1分+1分
（2）-------------2分+2分
（3）-------------2分+2分
26、（1）证明：由题意可得：Δ＝（k+5）2﹣4×5k＝（k﹣5）2≥0，
∴方程一定有两个实数根；-------------2分
（2）-------------2分
（3）①-------------4分
②-------------4分
27、（1）【略】-------------2分
（2）（1，0）-------------3分
（3）P点坐标为-------------3分
（4）①------------3分
②------------3分参考答案
一、 选择题
DABD CDBB
二、 填空题
9、 11 10、点 P在⊙O 外
11、 91 12、 2023
13、 14、 1.3
15、30°或 90° 16、6√5
三、解答题
17、（1） = 1 + √2 , = 1 √2 -------------3 分
（2） = 1 ， = -------------3 分
18、原式= -----------------4 分
当 a2+a﹣1＝0 时，原式= 1 -----------------4 分
19、（1） -------------3 分
（2）P= ----5 分【树状图或者表格 3分，6种等可能结果 1分，概率结果 1分】
20、（1）
-------------2 分
（2） = 10， = 3.35， = 5 -------------每个 2分，共 6分
（3）110 人 -------------2 分
（4）加强对数学小作文的学习和巩固【言之有理即可】-------------2 分
21、（1）135° -------------2 分
（2） = 2 -------------3 分
（3）√5 -------------3 分
22、（1）40 -------------2 分
（2） = 2 + 240 -------------2 分
（3） = 90 ， = 100
∵尽可能地让利于顾客
∴ = 90 -------------4 分【100 没有舍去的扣 1分】
23、（1）连接 OD，证明 OD⊥CD 即可（过程略）-------------4 分
√
（2） 阴 = -------------4 分
24、作图（1）---2 分 （2）——3分 （3）————3分，方法不唯一，比如
F
D
25、（1） 2√2 ， 1 -------------1 分+1 分
（2） = 或 -------------2 分+2 分
（3） = 1 ， = 2 -------------2 分+2 分
26、（1）证明：由题意可得：Δ＝（k+5）2﹣4×5k＝（k﹣5）2≥0，
∴方程一定有两个实数根； -------------2 分
（2） = 1 -------------2 分
√ √
（3）① = ， = -------------4 分
√ √
② 1 < < 或者 < < 5 -------------4 分
27、（1）【略】 -------------2 分
（2）（1，0） -------------3 分
（3）P点坐标为 √ ，0 -------------3 分
（4）①18 2√5 ------------3 分
②5√37 4√2 ------------3 分

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