资源简介

三 二次函数综合应用 ........................................................... 10
【题型 1】 增长率问题 ...............................................10
目录 【题型 2】 利润问题 ...................................................10
中考知识点及复习方向分析 .............................................................3 【题型 3】 围栏问题 .................................................10
模块一 初一初二相关中考高频知识点 ...........................................3 【题型 5】 拱桥问题 ................................................... 11
一、数与式 ............................................................................... 3 【题型 6】 抛球问题 ...................................................12
【知识点 1】 实数相关－－相反数，绝对值，比较大 【题型 7】 喷水问题 .................................................12
小，简单计算，无理数，平方根和算术平方根，立方 【题型 8】 刹车减速问题 ...........................................12
根. .....................................................................................3 【题型 9】 二次函数含参问题（最值和不等式） ...12
【知识点 2】 整式运算－－同底数幂的乘除法，乘方 【题型 10】 铅垂高求面积 .........................................13
运算，整式乘除加减 ......................................................3 【题型 11】 二次函数与几何结合----特殊四边形的存
【知识点 3】 二次根式 .................................................3 在性问题（等同于特殊三角形的存在性） ................14
【知识点 4】 科学计数法 .............................................3 【题型 12】 二次函数与几何结合----角的存在性 ....14
【知识点 5】 分式及分式方程 .....................................3 【题型 13】 二次函数与几何结合----相似三角形的存
【知识点 6】 一元二次方程的根的情况 .....................3 在性问题 ........................................................................15
【知识点 7】 简单概率题 .............................................3 四 圆的概念 ........................................................................... 15
【知识点 8】 解不等式 .................................................3 【知识点 1】 弦的定义：连结圆上任意两点的线段.15
【知识点 9】 因式分解简单应用 .................................3 【知识点 2】 一条弦对应两条弧. ..............................15
【知识点 10】 统计数据的简单应用 ...........................3 【知识点 3】 弧的定义：圆上任意两点间的部分. ..15
二、几何 ................................................................................... 3 【知识点 4】弧的种类有三种；分别是半圆、优弧（大
【知识点 1】 平行线“三线八角” .............................3 于半圆的弧，三个字母表示）和劣弧（小于半圆的弧，
【知识点 2】 表面展开图及三视图 .............................3 两个字母表示）. ...........................................................15
【知识点 3】 中心对称图形及轴对称图形的判断 .....3 【知识点 5】 等圆：半径相等的圆。 .......................15
【知识点 4】 解含特殊角的三角形 .............................4 【知识点 6】 等弧：能够重合的弧。 .......................15
【知识点 5】 常见勾股数及特殊角的三角函数值（记 【知识点 7】 点与圆的位置关系：若 r表示圆的半径；
忆） ..................................................................................4 d表示点到圆心的距离. ................................................15
【知识点 6】 三角形简单应用 .....................................4 五 确定圆的条件 ................................................................... 15
【知识点 7】 三角形有关线段－－中线、角平分线、 【知识点 1】 确定圆的条件：不在同一直线上的三个
高线. .................................................................................4 点确定一个圆。确定一个圆要同时确定圆心和半径.15
【知识点 8】 坐标系中点的简单对称和平移 .............5 【知识点 2】 如何找圆心：作任意两条不平行弦的中
【知识点 9】 作图（包含分类讨论及尺规作图）－－ 垂线，交点即为圆心. ...................................................15
－－中垂线、角平分线的作法，无图分类讨论 ..........5 【知识点 3】 三角形的外接圆：经过三角形各个顶点
【知识点 10】 中垂线（垂直平分线）的性质与判定5 的圆. ...............................................................................15
【知识点 11】 三角形中位线的应用 ...........................5 【知识点 4】 三角形的外心是三角形三条边的垂直平
【知识点 12】 四边形----平行四边形，矩形、菱形、 分线的交点， ................................................................15
正方形的性质与判定，正方形还要能联想到 k字全等6 【知识点 5】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直
【知识点 13】 图形翻折（轴对称） ...........................6 角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在
【知识点 14】 图形旋转 ...............................................7 三角形的外部. ...............................................................15
【知识点 15】 含 30度的直角三角形 .........................7 【知识点 6】 直角三角形的外接圆是以斜边为直径的
【知识点 16】 直角三角形斜边中线定理及推论 .......7 圆. ...................................................................................15
【知识点 17】 等腰三角形 ...........................................7 【知识点 7】 拓展公式：三角形外接圆半径 =
4
三、一次函数与反比例函数 ................................................... 7 （ , , 为三角形的三边长， 为三角形面积） .........15
【知识点 1】 看图象解不等式（一次函数与反比例函 六 图形的旋转 ....................................................................... 15
数比大小） ......................................................................7 【知识点 1】 图形的旋转三要素：旋转中心，旋转方
【知识点 2】 过两点求一次函数解析式 .....................7 向和旋转角度. ...............................................................15
【知识点 3】 一次函数行程问题 .................................7 【知识点 2】 掌握旋转画法：①将△ABC 绕点 O逆
【知识点 4】 反比例函数 .............................................8 时针方向旋转 70°得到△A'B'C'，作出旋转后的图形.15
模块二 初三相关中考高频知识点 ...................................................8 【知识点 3】 找旋转中心的方法：连结两组对应点的
一 二次函数的概念 ................................................................. 8 线段，分别作线段的中垂线，交点即为旋转中心. ...16
【知识点 1】 二次函数的概念 .....................................8 【知识点 4】 如图，△ABC 绕点 O 逆时针方向旋转
【知识点 2】 二次函数的形式 .....................................8 70°得到△A'B'C'，利用八字或对角互补证明 AC与直
【知识点 3】 二次函数图象的顶点坐标和对称轴 .....8 线 A’C’的夹角∠A’DC=70°： ....................................16
二 二次函数的图象与性质 ..................................................... 8 七 垂径定理 ........................................................................... 16
【知识点 1】 二次函数的图象与性质 .........................8 【知识点 1】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
【知识点 2】 二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的画 并且平分弦所对的弧. ...................................................16
法 ......................................................................................9 【知识点 2】 逆定理 1：平分弦（不是直径）的直径
【知识点 3】 二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图 垂直于弦，并且平分弦所对的弧. ...............................16
象与 、 、 及 2 4 的符号之间的关系： .............9 【知识点 3】 逆定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所
【知识点 4】 二次函数图象的对称性 .........................9 对的弦. ...........................................................................16
【知识点 5】 二次函数函数值大小的比较方法 .........9 【知识点 4】重点模型：已知弓高和弦长，求半径（构
【知识点 6】 二次函数的平移规律（左加右减，上加 造 Rt△COE） ............................................................... 16
下减） ..............................................................................9 八 圆心角、圆周角相关概念和定理 ................................... 18
【知识点 7】 求二次函数最值的方法 .........................9 【知识点 1】 圆心角定义：顶点在圆心的角. ..........18
【知识点 8】 二次函数与一元二次方程及不等式的关 【知识点 2】 弧的度数等于所对圆心角的度数. ......18
系 ....................................................................................10 【知识点 3】 以一推四（关系定理，五对量）：在同
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圆或等圆中，五对量：两个圆心角，两条弦，两条弧， 【知识点 4】 一线三等角 ...........................................21
两个弦心距，两个圆周角；只要有一对量相等，其余 【知识点 5】 手拉手相似（旋转相似）： ...............22
对应的各对量都相等. ...................................................18 【知识点 6】 斜边高模型 ...........................................22
【知识点 4】 圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧 【知识点 7】 三角形内接矩形 ...................................22
上圆心角度数的一半. ...................................................18 十八 相似多边形的定义和性质 ........................................... 23
【知识点 5】 圆周角定理的推论（直径与 90°圆周角 【知识点 1】 相似多边形定义：对应角相等，对应边
的关系）： ....................................................................18 成比例的两个多边形相似． ........................................23
【知识点 6】 同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的 【知识点 2】 相似多边形性质：周长比等于相似比，
圆周角所对的弧相等. ...................................................18 面积比等于相似比的平方． ........................................23
九 圆内接四边形及正多边形 ............................................... 19 十九 位似图形有关的概念与性质 ....................................... 23
【知识点 1】 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对 【知识点 1】 定义：对应点连结所在的直线相交于同
角互补，外角等于内对角. ...........................................19 一点，且这个点到对应点的距离之比都相等. ...........23
【知识点 2】 正多边形定义：各边相等，各内角也相 【知识点 2】 ①位似中心：经过各对应两点的直线的
等的多边形 ....................................................................19 交点叫做位似中心. .......................................................23
【知识点 3】 正多边形每个内角的度数=( 2)×180° = 【知识点 3】 位似图形的性质： ...............................23
° 360° 二十 锐角三角函数 ............................................................... 24180
.................................................................... 19 【知识点 1】 正弦，余弦，正切的计算公式 ...........24
360
【知识点 4】 正多边形每个外角的度数= . ...........19
【知识点 2】 特殊角的三角函数值（9个，死记硬背）
十 弧长及扇形的面积 ........................................................... 20 ........................................................................................24

【知识点 1】 弧长公式： = ............................... 20 【知识点 3】 锐角三角函数之间的关系 ...................24
180
2 1 二十一 解直角三角形 ........................................................... 24
【知识点 2】 扇形面积公式： = = ..........20
360 2 【知识点 1】 对实际问题的处理 ...............................24
十一 圆锥相关公式 ............................................................... 20 【知识点 2】 常见解直角三角形图形（利用直角三角
十二 比例线段、比例的性质 ............................................... 20 形，没有直角三角形的构造直角三角形） ................24
【知识点 1】 定义:在四条线段 a,b,c,d 中，如果 二十二 直线与圆的位置关系 ............................................... 25
a b c d 二十三 切线的判定与性质 ................................................... 25和 的比等于 和 的比，那么这四条线段
二十四 切线长定理 ............................................................... 26
a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段． ......... 20 【知识点 1】 切线长定义 ...........................................26
a 互推= c a±b = c±d ......20 【知识点 2】 切线长定理 ...........................................26【知识点 2】 合比性质：b d b d ．
a c a+c a c 【知识点 3】 推论（需证明） ...................................26
【知识点 3】 等比性质：b = d = b+d = b d ........... 20 二十五 三角形的内切圆 ....................................................... 27
【知识点 4】 比例中项：如果三个数 a,b, c满足比例 【知识点 1】 内切圆定义 ...........................................27
a
式 = b（或 b = ac），那么 b是 a,c的比例中项.20 【知识点 2】 三角形的内心 .......................................27b c
【知识点 5】 黄金分割： ...........................................20 【知识点 3】 常用结论 ...............................................27
十三 平行线截线段成比例 ................................................... 20 二十六 圆幂定理（需证明） ............................................... 27
【知识点 1】平行线分线段成比例定理:三条平行线截 【知识点 1】 相交弦定理 .................................................... 27
两条直线,所截得的对应线段成比例. ..........................20 模块三 中考重要方法和技巧 .........................................................28
十四 相似三角形的判定 ....................................................... 21 一 解题技巧 ........................................................................... 28
【知识点 1】 预备定理（只针对 A字和 8字）：平行 二 如何防止低级错误 ........................................................... 28
于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相 三 重要公式（拓展） ........................................................... 28
交，所构成的三角形与原三角形相似. .......................21 四 重要几何方法：设角（ 或 ） ...................................... 28
【知识点 2】 判定定理 1：简述为：两角对应相等， 五 建系解决几何问题 ........................................................... 28
两三角形相似． ............................................................21
【知识点 3】 判定定理 2：简述为：两边对应成比例
且夹角相等，两三角形相似． ....................................21
【知识点 4】 判定定理 3：简述为：三边对应成比例，
两三角形相似． ............................................................21
十五 相似三角形的性质 ....................................................... 21
【知识点 1】 相似三角形对应角相等，对应边成比
例． ................................................................................21
【知识点 2】 相似三角形周长比等于相似比． .......21
【知识点 3】 相似三角形对应高的比，对应中线的比
和对应角平分线的比都等于相似比． ........................21
【知识点 4】 相似三角形面积比等于相似比的平
方． ................................................................................21
十六 重心 ............................................................................... 21
【知识点 1】 重心定义：三角形三条中线的交点叫做
三角形的重心. ...............................................................21
【知识点 2】 重心性质：三角形的重心分每一条中线
成 1:2的两条线段. ........................................................21
十七 相似三角形的几种基本图形 ....................................... 21
【知识点 1】 A字（有公共角）： ........................... 21
【知识点 2】 8字（对顶角相等）： ........................21
【知识点 3】 母子型（有一个公共角，一条公共边）
........................................................................................21
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中考知识点及复习方向分析 ②若△=b －4ac=0，方程有两个相同的实数根.
姓名__________ ③若△=b －4a＜0，方程没有实数根.
模块一 初一初二相关中考高频知识点 2、注意：一元二次方程的二次项系数不为 0！
一、数与式
【知识点 7】简单概率题
【知识点 1】实数相关－－相反数，绝对值，比较大小，
考察形式：选择或填空 难度：简单
简单计算，无理数，平方根和算术平方根，立方根.
1 Tips：注意放回或不放回，审题清楚，会画树状图解决知识点： 、无理数的主要表现形式：①化简后带π的;
②化简后带根号的;③1.01010010001 1 问题（每两个 之间依
次多一个 0）
【知识点 8】解不等式
2、 = .
1、解题步骤优先去分母.
3、a( ≥ 0)的平方根是± . 2、易错点注意：两边同除以负数，不等号的方向要改
4、a( ≥ 0)的算术平方根是 . 变！
5、a的立方根是 . 3、大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小
知识点较简单，重点是审题仔细（务必保证正确） 取不了.
【知识点 2】整式运算－－同底数幂的乘除法，乘方运 【知识点 9】因式分解简单应用
算，整式乘除加减 1、分解步骤：①有公因式先提取公因式；②再看能否
知识点：1、同底数幂的乘法： = + . 用乘法公式；③确认因式分解是否彻底.
2、同底数幂的除法： ÷ = . 2、乘法公式：完全平方公式： 2 ± 2 + 2 = ( ± )2.
3、幂的乘方运算： = . 平方差公式： 2 2 = ( + )( ).
4、积的乘方运算： = .
【知识点 10】统计数据的简单应用
【知识点 3】二次根式 1、众数：①出现次数最多的数（可以有多个众数）
知识点：1、有意义的条件：被开方数≥0. ②众数代表一组数据的大多数水平.

2、性质①： = ( ≥ ). 2、中位数：①先将数据从小到大排列，如有 n（奇数）
= = , ≥
+1
性质②： . 个数据，则取第 个数据为中位数；如有 n（偶数）个 , ≤ 2
3、最简二次根式：分母中不含根号，根号中没有分母. 数据，则取中间两个数（第 个，第 +1个）的平均数为2 2
4 = × = = 中位数。、 分 母 有 理 化 ： ① ； ②
× + ②中位数代表一组数据的中等水平
× = .（利用平方差公式） 3、平均数：代表一组数据的平均水平.
+ ×
4 、方差：①公式： = ( ) + ( ) + +
【知识点 4】科学计数法 ( ) .
知识点：1、 × (1 ≤ | | < 10, 为整数) ②方差：代表一组数据的波动程度，方差越小，波动越
2、亿=108；万=104；千=103. 小，越稳定.
Tips：满足科学计数法要求，不要数错。
二、几何
【知识点 5】分式及分式方程 【知识点 1】平行线“三线八角”
知识点： 会找同位角，内错角，同旁内角。
1.分式有意义的条件：分母不为 0.
2.分式为 0的条件：①分子为 0；②分母不为 0. 【知识点 2】表面展开图及三视图
3.分式化简：①通分：分子分母同乘； 考察形式：选择题 难度：简单
②约分：先因式分解，再分子分母同除，约去相同的式 Tips：注意要求（主视，侧视，俯视不要看错）
子.
4.分式方程解题步骤：①去分母（两边同乘，等式两边 【知识点 3】中心对称图形及轴对称图形的判断
的每一项都要乘最简公分母） 知识点：1、倒置图形，若图形和原图形一样，则是中
②移项：带 x的移到等号左边，不带 x的移到等号右边 心对称图形；
（移项要变号） 2、对折图形，能够重合的是轴对称图形.
③系数化 1：两边同除以 x的系数
④检验：分式方程务必检验
Tips：注意分式化简和分式方程的区别。
【知识点 6】一元二次方程的根的情况
知识点：
1、先将一元二次方程化成一般式，
①若△=b －4ac＞0，方程有两个不同的实数根.
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【知识点 4】解含特殊角的三角形 【知识点 7】三角形有关线段－－中线、角平分线、高
线.
1、中线：
（1）性质
知识点：①中线平分三角形面积；②三角形三条中线交
于一点，叫做“重心”，重心将中线分成 1:2的两部分.
③等腰三角形的“三线合一”；④两线合一证等腰.
看到等腰三角形底边中点能联想到“三线合一”解决相
关问题；
（2）倍长中线法（辅助线）
原型解题攻略：在△ABC中，D是 BC的中点，
结论：①△ABD≌△ECD；②AB∥CE；③四边形 ABEC
是平行四边形.
变式解题攻略：倍长中线法往往应用在平行+中点题型
中，用来延长构造 8字形全等来解题.
【知识点 5】 常见勾股数及特殊角的三角函数值（记忆）
1、常见勾股数：①3,4,5；6,8,10；9,12,15；12,16,20； 2、高线：
15,20,25；18,24,30； （1）等面积法
②5,12,13；7,24,25；9,40,41. 先求出三角形面积（可用面积公式或割补法），再根据
③8,15,17 底边求高.（在三角形面积易求的前提下使用等面积法）
2、特殊角的三角函数值：
（2）设未知数根据勾股定理列方程（双勾股）
已知 AB = c，AC = b，BC = a；
设 BD = x，则 CD = a x，
在 Rt△ABD 中，AD2 = AB2 BD2，即AD2 = c2 x2
在 Rt△BCD 中，AD2 = AC2 CD2，即AD2 = b2 (a
x)2
∴c2 x2 = b2 (a x)2，
解方程求得 x的值，再根据勾股定理求出 AD的长.
【知识点 6】三角形简单应用
1、三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
2、内角和=180°，外角和=360°
3、外角性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角之
和.
4、全等判定：SSS，AAS，ASA，SAS，HL（注意 SSA
无法判定全等）
5、相似判定：①角角；②三边对应成比例；③两边对
应成比例+夹角相等.
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3、角平分线 ③作对称:在 BC上找一点 G使 BG=BF.
1、性质定理（辅助线：垂两边）
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线最重要的性质－－－－－－－－－－－角平
分线联想到最重要的辅助线：垂两边
④构造双平等腰
【知识点 8】坐标系中点的简单对称和平移
知识点：1、对称
2、性质定理的逆定理（角平分线的判定） ①P（m，n）关于 x轴对称的点坐标( ， ).
性质定理的逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的 ②P（m，n）关于 y轴对称的点坐标( ， ).
平分线上. ③P（m，n）关于原点对称的点坐标( ， ).
例 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角 ④P（m，n）关于 y=x 对称的点坐标( ， ).
∠ACD，求证：AE平分外角∠CAF. 2、平移
点的平移，向右平移横坐标增加，向左平移横坐标减小；
向上平移纵坐标增加，向下平移纵坐标减小.
【知识点 9】作图（包含分类讨论及尺规作图）－－－
－中垂线、角平分线的作法，无图分类讨论
Tips：无图需要自己画图的，一般有多解，运用知识点
3、掌握角平分线的几个模型： 通常是等腰三角形，圆，全等，勾股定理，简单相似。
①双平等腰：AD∥BC,∠1=∠3→AB=AD. 重要提醒：题目要求只能使用无刻度直尺，则不能使用
O=90° + 1②双内角平分线：∠ ∠A. 圆规.
2
90° 1 A 基本作图：（1）如图 1，作一条线段等于已知线段；（2）③双外角平分线：∠F= ∠ .
2 如图 2，作一个角等于已知角；（3）如图 3，作一个
角的平分线；（4）如图 4，作线段的垂直平分线；（5）
过一点作已知直线的垂线；①如图 5，过直线上一点
作己知直线的垂线；②如图 6，过直线外一点作己知首
线的垂线.
双平等腰 双内角平分线 双外角平分线
1
④一内一外角平分线：∠E = ∠A.
2
⑤平角双平分：OB⊥OD
⑥平行线双平分：AE⊥BE.
【知识点 10】中垂线（垂直平分线）的性质与判定
1、中垂线的性质：①垂直且平分线段.
②中垂线上的点到线段两段的距离相等.
2、中垂线的判定：到线段两段距离相等的点在这条线
一内一外 平角双平分 段的中垂线上.
【例 1】如图，AB=AC，证：AO垂直平分 BC
平行线双平分 分线段成比例
⑦（难）角平分线分线段成比例定理：
AD = 是角平分线， .
证：∵AB=AC，OB=OC
4、角平分线常见的辅助线作法 ∴AO是 BC的垂直平分线
①垂两边（主要方法）：过角平分线上的点作角两边的 ∴AO垂直平分 BC.
垂线段. 【知识点 11】三角形中位线的应用
②垂中间：过角平分线上一点作 FG⊥BD，得到 BF=BG. 1、中位线性质：连结三角形两边中点的线段，平行于
第三边且等于第三边的一半.
2、出现中点或两倍线段关系要联想到构造中位线.
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【知识点 12】四边形----平行四边形，矩形、菱形、正 【例 1】在平行四边形 ABCD 中，E是 BC中点，将△
方形的性质与判定，正方形还要能联想到 k字全等 CDE沿 DE翻折至△FDE，延长 DF交 AB于点 G.
知识点：
1、平行四边形
性质：①对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③
对角线互相平分.
判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
核心结论：①△BEG≌△FEG；②根据中点，构造 8字
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
全等，△CDE≌△BHE；③双平等腰，DG=GH.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【例 2】如图，在平行四边形 ABCD 中，将△CDE 沿
2、矩形 CE翻折至△CFE，E，F，B三点共线.
性质：①具有平行四边形一切性质；②四个角都是直角；
③对角线相等.
判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③三个角都是直角的四边形是矩形.
3、菱形
性质：①具有平行四边形一切性质；②四条边相等；③
核心结论：①双平等腰 BC=BE；②△ABE≌△FCB.
对角线互相垂直且平分对角.
【例 3】如图在平行四边形 ABCD中，△ABE沿 AE翻
判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
折至△AFE.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是菱形.
4、正方形
性质：具有平行四边形、矩形、菱形一切性质.
判定：①有一个角是直角的菱形是正方形;
②有一组邻边相等的矩形是正方形.
【例 1】十字架模型 经典辅助线作法：构造双平等腰，延长 EQ交 AD的延
长线于点 H，可证 AH=EH.
【例 4】如图，菱形 ABCD中，将△ADE沿 AE翻折至
AFE，F落在 BC上.
核心结论：①图①中由全等可得 AE=BP；

②图②中由相似可得 =

【例 2】60°角的菱形
核心结论：①AB=AF，即△ABF 为等腰三角形，常见
辅助线为作底边上的高.
②构造双平等腰，AF=HF.
核心结论：若菱形的有一个内角是 60°，则可得△ABD 【例 5】如图，菱形 ABCD，∠A=60°，将△AEF翻折
和△BCD都是等边三角形. 至△GEF，G落在边 BC.
【知识点 13】图形翻折（轴对称）
知识点：
①动态翻折或对称后的点一般轨迹为圆（圆心为折痕定
点）；
②判断是否存在双平等腰模型；
③判断是否存在全等；
④设未知数用勾股定理或相似列方程； 重要结论：①作 GH∥CD，△BGH 是等边三角形，△
⑤轴对称重要性质：对应点连结的线段被对称轴垂直平 BEG≌△HMG.
分 ②构造双平等腰 GF=GH=AF，利用正 8 相似△AEF∽
BEH，△BMG∽DMF 解题.
第 6 页
【例 6】如图，矩形 ABCD中，E为 BC中点，将△ABE 于点 F、G，若点 F 是 AG 的中点，EB=8，DG=2，则
沿 AE翻折至△AFE. EG 6 5的长为 .
5
核心结论：①AE垂直平分 BF；②∠BFC=90°；③AE 核心方法：可证 AC 是直径，∴∠AEC=90°，∵F 是
∥CF；④CF=2GE.（若改为平行四边形 ABCD也成立） AG中点，∴这里要得到 EF=FG=AF.
【知识点 14】图形旋转 【知识点 17】等腰三角形
知识点：①考虑是否出现手拉手模型；②旋转的点的轨 考察形式：几何和函数都可出，必考知识点
迹也是圆（圆心为旋转中心）；③考虑是否出现对角互 Tips：①掌握根据顶角求底角，根据底角求顶角；②掌
补或 8字模型；④基本是需要用勾股定理或相似找等量 握三线合一；③常见辅助线：作底边上的高；④分类讨
关系，该设未知数的不要吝啬 论存在性问题。
一定要注意几何题型中的等腰三角形，一般都是解题关
【知识点 15】含 30度的直角三角形 键！
一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 【例 1】如图，若 AO=AC，常见的辅助线作法为过点 A
是 30°. 作 AD⊥OC于点 D.
【例 1】（2026·鹿城二模）如图，平行四边形 ABCD
中，AB=4，BC=8，点 E在边 BC上，连结 AE，构造等
腰直角三角形 AEF，斜边 AF恰好经过 BD中点 O，若
∠BAF=90°，则 OF的长为 12 6 3.
三、一次函数与反比例函数
【知识点 1】看图象解不等式（一次函数与反比例函数
1
核心结论：在 Rt△ABC中， = ，∴∠ACB=30°.
2 比大小）
第一步：以交点 A，B及 y轴（因为反比例函数 x≠0）
【例 2】（2026·慈溪二模）如图，在矩形 ABCD中， 为界作垂直于 x轴的三条垂线.分成四块区域（①，②，
AD=6，点 E，F分别为 AB、BC的中点，连结 DE，作 ③，④）
点 A 关于直线 DE 的对称点 G，连结 GF，当 GF∥AB 第二步：根据图象判断哪块区域的y1 > y2（y1的图象在y2
时，AB的长为 4 3. 的图象上方）
第三步：写出对应的 x的取值范围
1
核心结论：在 Rt △ DGH 中， = ，∴∠
2
DGH=30°.
【知识点 16】直角三角形斜边中线定理及推论
斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
. 【知识点 2】过两点求一次函数解析式半
AD=CD=BD ABC=90 . 1、不过原点的直线：设 y=kx+b，再代入两点求出 k，b推论（需证明）：①若 ，则∠ °
2、过原点的直线（正比例函数）：设 y=kx，再代入一
点求出 k.
【知识点 3】一次函数行程问题
1、若图像是单人路程与时间的关系，则有 = （k为
②若∠ABC=90°，且 AD=BD（或 BD=CD），则 D是 斜率）
AC的中点. 2、若图像是两人之间的距离与时间的关系，则要考虑
是同向而行还是相向而行，若同向而行，则速度之差= ，
若相向而行，则速度之和= .
【例 1】（2026·宁波二模）如图，矩形 ABCD内接于
圆 O，点 E是弧 AD上一点，连结 EB、EC分别交 AD
第 7 页
【例 1】（2026·杭州二模）一辆快车从甲地驶往乙地， 模块二 初三相关中考高频知识点
一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶， 一 二次函数的概念
两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往 【知识点 1】 二次函数的概念
甲地，快车维修好后按原速继续驶向乙地，两车到达各 形如 = + + (其中 ， ， 是常数， ≠ )的函数
地终点后停止，两车之间的距离 s（km）与慢车行驶的 叫做二次函数.
时间 t（h）之间的关系如图，则点 B 点的坐标为 例如，二次函数 = － + 58 －112 的二次项系数 =
( . , ). － ，一次项系数 = ，常数项 = － ；
二次函数 = 的二次项系数 = ，一次项系数 = ，
常数项 = .
【知识点 2】 二次函数的形式
1.一般形式： = + + (其中 ， ， 是常数， ≠ 0)
2.顶点式： = + -----当题目中出现顶点或对
+ = = 160 称轴时，可设顶点式，也要掌握从表达式看出顶点坐标为核心结论：第一段：相向而行， 快 慢 ； , ，对称轴是直线 = .
第二段，只有慢车在行驶， 慢 = = 60. 3.交点式： = ( )( )-------当题目中出现抛物
线与 轴的交点坐标时，可设交点式，也要掌握从表达式中
【知识点 4】反比例函数 看出抛物线与 轴的两个交点的坐标为( , )，( , ).
1、k的几何意义 例如，①若二次函数经过（ 1，0），（3，0），（0，3），
根据（-1，0），（3，0）可设 = ( + )( )，再
将（0，3）代入可得 的值.
②二次函数 = ( + 1)( 3)与 x轴的交点坐标为(
， ），（ ， ）.
S = k S = k 需要注意的是交点式最后要化为一般式作为最终结果△POD 2 矩形AOBP 【知识点 3】 二次函数图象的顶点坐标和对称轴
2、面积模型 1.公式法求顶点坐标或对称轴：
二 次 函 数 = 2 + + ( ≠ 0) 的 顶 点 坐 标 是

, ，对称轴是直线 = .

2.配方法求顶点坐标或对称轴：
将二次函数从一般式配方成顶点式，根据顶点式得到顶点
S△AOC=S 梯形BCDE S△AOB=S 梯形ABED 坐标和对称轴.
3、会设点坐标（常设反比例函数上的点） 例 =
4、增减性：必须有前提条件，在每个象限内! = ( ) ---------------------------提取二次项系数
5 、k＞0，反比例函数图象在第一、三象限； = ( + ) ------------------配平
k 0 ＜ ，反比例函数图象在第二、四象限. = ( ) ------------------------将－4 从括号内拿
会画图理解分析反比例函数图象上点的大小关系（会分 出来要×括号前面的系数 2=－8

类讨论两个点在同一象限还是不同象限）. = ( ) 9---------------------------根据顶点式，得到顶
点坐标( ,－ )，对称轴为直线 =
【例 1】（2026杭州二模）如图，在平面直角坐标系中， 3.代入法求顶点坐标（推荐）
1
4ABC 2各顶点均在反比例函数 = 的图象上，AB经过 例如，求 =
2
+1的顶点坐标.
原点 O，延长 AC交 x轴于点 D，且 AC=CD.若△ABC 解： = = = -------顶点横坐标. ×( )
的面积为 6，则 k=_______.
令 = ， = × ( )
( ) + =
∴ 顶点坐标为（ ， ）.
二 二次函数的图象与性质
【知识点 1】 二次函数的图象与性质
1.二次函数 = ( ≠ 0)的图象顶点是坐标原点（0，0），
对称轴是直线 = （或写 y轴）；
2.二次函数 = 的图象的顶点坐标是 , ，对
CO 称轴是直线 = .核心结论：①连结 ，中线平分三角形面积，可得△
AOC 3 = . 3.二次函数
= + 的图象的顶点坐标是 , ，
面积为 ；② △ 梯形 ACEF 对称轴是直线 = .

核心方法：设 A（ ， ），根据中点得到 C（ ， ），
2 4.二次函数 =
+ 的图象的顶点坐标是 , ，对称轴
列出关于面积的等量关系. 是直线 = .
5. 二 次 函 数 = 2 + + ( ≠ 0) 的 顶 点 坐 标 是
第 8 页
,

= ，对称轴是直线 . 于对称轴对称的点为________.

> 推理过程：∵（1,2），（3,2）关于对称轴对称，若 ，开口向上， +
∴对称轴：直线 = = ，（横坐标之和的一半）

x 当 ≤ 时，y随 x的增大而减小；
设与（0,5）关于对称轴对称的点为（m，5），
则 m+0=2×2（横坐标之和是对称轴的两倍）
当 x≥ 时，y随 x的增大而增大. ∴m=4，对称的点坐标为（4,5）
x= y

当 时， 有最小值，
=
.
【知识点 5】 二次函数函数值大小的比较方法
若 < ，开口向下， 1.直接代入法：代入 x求出 y值比较大小.
x y x 2.利用离对称轴的远近比较大小：当 ≤ 时， 随 的增大而增大；
（1）确定对称轴及开口方向；
当 x≥ 时，y随 x的增大而减小. （2）若 a＞0，开口向上，离对称轴越远的点的 y值越大；

当 x= 时，y有最大值， = 若 a＜0，开口向下，离对称轴越远的点的 y值越小.（利用 横坐标的值判断与对称轴的远近，画图理解）
【知识点 2】 二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的画法
1 = 2 + 【知识点 6】 二次函数的平移规律（左加右减，上加下描点法：（ ）运用配方法将二次函数的一般式
+ ( ≠ 0)化成 = 2 + . 减）的形式
2 法一：直接应用（ ）确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标
3 =
2 + + 向左平移 2个单位 = ( + ) + ( + )+ ；
（ ）在对称轴两侧对称取点（一般取与 轴的交点，与 x换成 x+2
轴的交点），最后连点成抛物线. = 2 + + 向右平移 2个单位 = ( ) + ( )+ ；x换成 x 2
= 2 + + 向上平移 3个单位 = + + + ；
【知识点 3】 二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象 直接在函数后+3
= 2 + + 向下平移 3个单位 2 4 =
+ + .
与 、 、 及 的符号之间的关系： 直接在函数后 3
符号 图象特征
0 ☆法二：将二次函数化为顶点式后再进行平移变换（左加＞ 开口向上
右减，上加下减）.（推荐）＜0 开口向下
= ( )
2 + 向左平移 2个单位 = ( + ) + ；
越大 开口越小
越小 开口越大 = ( )
2 + 向右平移 2个单位 = ( ) + ；
=0 对称轴为 y 轴 = ( )2 +
向上平移 3个单位 = ( ) + + ；
直接在函数后+3
＞0( 、 同号) 对称轴在 y 轴左 = ( )2 + 向下平移 3个单位 = ( ) + .
直接在函数后 3侧（左同）
＜0( 、 异号) 对称轴在 y 轴右 【知识点 7】 求二次函数最值的方法
侧（右异） 1.在实数范围内求最值，就是求其图象顶点的纵坐标.
=0 经过原点 2.若自变量的取值范围是 1 < < 2，则需分情况讨论： ＞0 与 y 轴正半轴相 （1）若顶点横坐标在所给范围内，则顶点纵坐标为其中一
交于（0，c） 个最值，另一个最值需从 1， 2两个临界点中找到（判断
＜0 与 y 轴负半轴相 与对称轴的远近）.
交（0，c） 【例 1】已知二次函数 y＝﹣x2+4x+5，若﹣3≤x≤8，求 y的
2 4 =0 与 x 轴只有一个
2 取值范围． 4 交点（顶点） = 解： = ，在﹣3≤x≤8内-------判断对称轴（顶点横
2 4 ＞0 与 x 轴有两个不
坐标）是否在范围内
同的交点
2 = < 4 ∵ ，-------------------开口向下，顶点为最高点，＜0 与 x 轴没有交点
离对称轴越远，对应的 y越小
∴当 = 时，
【知识点 4】 二次函数图象的对称性
= + × + = -------------确定
顶点纵坐标为最大值
二次函数图象上关于对称轴对称的两个点 A（ 1, ），B 当 =8时， = + × + =
（ 2, ）， + = × (
) ；
（确定两个端点中，8到对称轴的距离比－3到对称轴的距
文字记忆：横坐标之和是对称轴的两倍（或对称轴是横坐 离更远.）
标之和的一半） ∴y 的取值范围是－27≤x≤9-----------------------根据最小
关于对称轴对称的两个点的特征是纵坐标相等. 值和最大值确定 y的取值范围.
根据此性质可以快速根据题目信息求出对称轴或对称点的
横坐标。
【例 1】已知二次函数 y=ax2+bx+c中，函数 y与自变量 x
的部分对应值如表：
x…﹣1 0 1 2 3…
y… 10 5 212…
根据表格可得，二次函数的对称轴为________，（0,5）关
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三 二次函数综合应用
（2）若顶点横坐标不在所给的范围内，则从两个临界点的 【题型 1】 增长率问题
纵坐标确定最大值和最小值. 【例 1】某工厂 1月份的产值是 200万元，平均每月产
【例 2】已知二次函数 y＝﹣x2+4x+5，若 3≤x≤8，则 y的 值的增长率为 x（x>0），则该工厂 3月份的产值 y关于
取值范围是 ． x的函数解析式为 = ( + ) .
= 解： = ，不在 3≤x≤8内--------------判断对称轴（顶

点横坐标）是否在范围内 【例 2】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实
∵ = < ，-------------------开口向下，顶点为最高点， 惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 16 元降为 y
离对称轴越远，对应的 y越小 元，设平均每次降价的百分率是 x，则 y 关于 x的函数
∴当 = 时， = + × + = ---------确定当 表达式为 = ( ) .
= 为最大值，离对称轴最近
当 =8时， = + × + = -----确定 【题型 2】 利润问题
两个端点中，8到对称轴的距离比－3到对称轴的距离更远. 【例 1】某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出
∴y 的取值范围是－27≤x≤8-----------------------根据最小 300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价 0.5元，每
值和最大值确定 y的取值范围. 星期可多卖出 10件. 已知商品的进价为每件 40元，如
【知识点 8】二次函数与一元二次方程及不等式的关系 何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
1 二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)，当 y=0时，得到一元 分析：也可以思考为每降价 1元，每星期多卖出 20件
二次方程 2 + + =0。一元二次方程的解就是二次函数 解法一（设降价 x 元）：
的图象与 x 轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与 x 解：设所获利润为 w元，每件降价 元
轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
2 则降价后的每件利润为 ( )元，每星期销量2 二次函数 = + + ( ≠ 0)与一次函数 = +
，方程 + + = + 的解就是二次函数图象与 为: + = ( + )件 .
一次函数图象交点的横坐标. 由利润公式得： = ( )( + )
3.根据图象直接写出一元二次不等式的解 整理得： = ( . ) +
【例 1】如图，已知二次函数 = 2 + + ( < 由二次函数的性质可知，当 ≤ ≤ . 时，w随 x
0)与一次函数 = + 1( > 0)的图象交于 的增大而增大；
( 3, )， (1, )两点，则关于 的不等式 2 + 当 . < ≤ 时，w随 x 的增大而减小.
故当 = . 时，w取得最大值，最大值为 6125元
+ > + 1的解集为 ＜ ＜ . 即定价为： . = . 元时，所获利润最大，
最大利润为 6125元
解法二（设售价 x 元）：
解：设所获利润为 w元，降价后每件售价为 元.
则降价后的每件利润为（ ）元，每星期销量为
[300+20（ ）]件
由利润公式得： = [ + ]
A B x 2 整理得： = .
+
分析：第一步：以交点 ， 为界作垂直于 轴的 条
∴当 x=57.5时（在取值范围内）， = .
垂线，分成三块区域（①，②，③）
+ + > ∴定价为 57.5 元时，所获利润最大，最大利润为 6125第二步：根据图象判断哪块区域的
元.
+ （ + + 的图象在 + 的图象上方） 解法三（设一次函数）：
第三步：写出对应的 x 的取值范围 解：设所获利润为 w元，降价后每件售价为 元，
【例 2】已知二次函数 = 2 + 2 + 3 如图所示： 设销售量 y=kx+b，
当 x=60时，y=300；当 x=59时，y=320.
代入 y=kx+b 解得 k=－20，b=1500.
∴y=－20x+1500.
由利润公式得： = － +
整理得： = +
对称轴为直线 = = = .
×
（1） 2 + 2 + 3≤0的解集为 ≤ 或 ≥ . ∴当 x=57.5 时（在取值范围内）， = .
（2） 2 + 2 + 3 >0的解集为 < < . － × . + = .
（3） 2 + 2 + 3 ≤ 3的解集为 ≤ 或 ≥ . ∴定价为 57.5 元时，所获利润最大，最大利润为 6125
（4） 2 + 2 + 3 >3的解集为 < < . 元.
【例 3】不 等 式 3 2 + 6 2 ≤ 2 的 解 集 为
_________.
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【题型 3】 围栏问题 （2）设 BC=x米
【例 1】例 1 小王准备用一段长为 50 米的篱笆在家修 甲：由题意：0＜x≤6，
建一个一边靠墙的矩形花圃(矩形 ABCD)，墙长为 25米. 20 1 2 20 = · = +
设花圃的一边长 AD为 x米. 3 3 3
对称轴：直线 x=10，不在 0＜x≤6范围内.
x=6 20 6∴当 时， = ·6 = 283
乙：AB=CD=26 2
3
> 6
1 2 由题意 26 2 > 0，解得 6 < < 13图 图
3
（1）如图 1，直接写出花圈的面积 S（平方米）与 x（米） 26 2 2 26
. = · =
2 +
的函数关系式并求出最大面积 3 3 3
13
（2）如图 2，为方便进出，小王决定在 BC边上留一处 对称轴：直线 = ，在 < < 范围内.
2
长为 1米的门，求最终围成的花圃的最大面积. 13 26 13 13 169∴当 x= 时， = · = .
分析：①靠墙一边不用材料，总材料=AB+CD+BC 2 ； 3 2 6169
②保证平行于墙的一边 0＜BC≤墙长，AB＞0，求出 x ∵28＜ 6
169
的取值范围. ∴按乙方案吗，最大面积是 m .
6
③有门的把门用额外的材料补上，就变成总材料为 51
米（无门）的题目了. 【题型 4】几何面积最值转化成二次函数最值
解：（1）四边形 ABCD为矩形 【例 1】如图，在矩形 ABCD中，AB=3cm,BC=4cm.设
∴AB=CD，AD=BC P,Q分别为 BD,BC上的动点，点 P自点 D沿 DB方向作
∵篱笆总长为 50米，AD为 x米， 匀速移动的同时，点 Q自点 B沿 BC方向向点 C作匀速
∴AB=CD=50 米 移动，移动的速度均为 1cm/s,设 P，Q移动的时间为 t(0
2
= (50 ) = 1 + 25 ≤t≤4).求△PBQ 的面积 S(cm )与时间 t(s)之间的函数∴花圃的面积
2 2 表达式，当 t为何值时，S有最大值 最大值是多少
对称轴：直线 x=25，即 BC≤墙长，符合题意
∴当 x=25时，S取最大值 312.5m .
（2）由题意 AB=CD= 米
2
1 51
∴花圃的面积 = = +
2 2 2
对称轴：直线 x=25.5，不在 x≤25内，
∴当 x=25时，S取最大值 325m . 分析：①会用 t表示各边长， = = ， = 5 .
②求△BPQ面积的思路：
【例 2】某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长 法一：以 BP为底，过点 Q作 QE⊥BP，利用反 A相似
为 6 米的墙，现准备用 20 米的篱笆围两间矩形花圃， △BQE∽△BDC（或用三角函数）求出 QE 长（用 t 表
中间用篱笆隔开.小俊设计了如图所示的两种方案： 示）
方案甲中 AD的长不超过墙长；方案乙中 AD的长大于 法二：以 BQ为底，过点 P作 PF⊥BC，利用正 A相似
墙长. △BPF∽△BDC（或用三角函数）求出 PF长（用 t表示）
= ( 答案： ) + ( ≤ ≤ ) ,

= 当 时，S有最大值

【题型 5】 拱桥问题
(1)若按方案甲施工，且围成面积为 25平方米的花圃， 【例 1】某地有一座抛物线形拱桥(如图①),桥下水面宽
则 AD的长是多少米 度AB为 48m，拱顶高出水面 18m(即CD=18m, CD⊥AB)，
(2）按哪种方案施工，可以使围成的矩形花圃的面积最 现有一艘宽 14m,船舱顶部高出水面 16.5m 的货船要经
大？最大面积是多少？ 过这里，此货船能顺利通过这座桥吗
分析：①甲中 0＜BC≤墙长，AB＞0，可得 x 的取值范
围
②乙中 BC＞墙长，AB＞0，可得 x 的取值范围.
③这里设 BC为 x 以便于更好求 x 的取值范围.
④超过墙长的可以拆墙用额外的材料补上，变成没有墙 分析：①首先先建立合适的平面直角坐标系，这里我们
的题目去理解. 以 D为原点建立直角坐标系.
解：（1）设 BC=x米，可得 0＜x≤6 ②C（0,18）为顶点，设顶点式 = 2 + 18，代入 B（24,0）
AB=CD=20 ∴ 米
3 求出 =
1
，∴ = 1 2 + 18.
32 32
20
则 · = 25，解得 1 = 5 , 2 = 15（舍）. ③如图，令 EF为 14m，只要求出 FG（求出 F纵坐标即3
∴AD长为 5米 可）的长，若 FG＞船高 16.5，则能过；反之，则不能.
1
令 = 7， = × 72 + 18 ≈ 16.47 < 16.5，∴不能.
32
第 11 页
【例 2】如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面 3m 【题型 7】 喷水问题
时，水面宽为 4m. 若水面下降 1m,则此时水面宽度为多 【例 1】消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛
少 m.(结果允许保留根号的形式) 物线，水流的高度 y（单位：m）与离高楼的水平距离 x
（单位：m）之间具有二次函数关系，从地面离高楼水
平距离 9m的点 A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平
距离为 3m处达到最高，高度为 18m，水流落到高楼的
点 B处.
分析：①首先建立平面直角坐标系，以 O为原点建立平
面直角坐标系.
②顶点为（0，0），设顶点式 = ，代入 B（2， ）
= 求出 ，∴ = .
（1）求水流抛物线的解析式；
③∵下降 1m，令 = ，解得 = , =

（即
（2）已知高楼的点 C处，离地面的高度是 16m.
C 的横坐标为 ，D的横坐标为 ）.∴CD 长（即 ①若在地面点 A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的

水流恰好落到高楼的点 C处，求水枪竖直升高的高度；
水面宽度）为 m.
②若在地面点 A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的
水流恰好落到高楼的点 C处，直接写出水枪水平移动的
【题型 6】 抛球问题 方法.
【例 1】在 2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我 分析：①根据顶点设顶点式，求出二次函数解析式.
国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军.郑钦 ②升高高度，本质是将二次函数向上平移.
文在一次击球过程中，将球从 O点正上方 0.6m的 A处 ③水平移动使水流落在 C处，本质是将二次函数向左平
击打出去，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行 移.
的水平距离 x（m）满足关系式 = ( 8)2 + ．已知 答案：（1） = . ( ) + .（2）①2.5m；②
球网与 O点的水平距离为 12m，高度为 0.91m，球场的 1m或 5m
边界距 O点的水平距离为 24m.
【题型 8】 刹车减速问题
【例 1】某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（s 单位：
m）关于行驶时间 t（单位：s）的函数解析式是 = 30
5 2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了
______m.
分析：刹车后停下来是距离最远的时候（即顶点），时
（1）当 h=1.4时，求 y与 x的关系式；(不要求写出自 间为顶点横坐标，前进的距离是顶点纵坐标.
变量 x的取值范围)
（2）当 h=1.4时，球能否越过球网？球会不会出界？请 【题型 9】 二次函数含参问题（最值和不等式）
说明理由； 【例 1】已知二次函数 = 2 2 4 + 2 + 2 + 2，
（3）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边 （1）该函数在－1≤x≤2时有最小值 2，求 a的值.
界（可压边界），求 h的取值范围. 分析：开口向上，讨论最小值，和顶点有关，所以我们
分析：①判断能不能过网，只要令 x=12，求出 y（球的 对于对称轴的位置讨论三种情况：
高度），若 y≥球网高，则能过网；反之则不能. ①若对称轴＜－1，即当 x=－1时，y取最小值 2；
②判断会不会出界，只要令 x=24，求出 y，若 y＞0，则 ②若－1≤对称轴≤2，即当 x=对称轴时，y取最小值 2
球还在飞，将会出界；若 y≤0，则球已经落地或者刚好 （顶点）；
落在界上，则不会出界. ③若对称轴＞2，即当 x=2时，y取最小值 2.

答案：（1） = ( ) + . ；（2）当 = 时, =

（2）该函数在－1≤x≤2时有最大值 3，求 a的值.× ( ) + . = . > . ，所以能过网；
分析：开口向上，讨论最大值，和顶点无关，所以我们
当 = 时, = × ( ) + . = . < ，
对于对称轴的位置讨论两种情况：
. 3 > . 1 2 + 所以不会出界 （ ） 先算出两端点－ 和 的中间数： = .


①若对称轴＜ （2 比－1 离对称轴更远），即当 =

时，y取最大值 3；

②若对称轴≥ （－1比 2离对称轴更远），即当 =

时，y取最大值 3；
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（3）该函数在－1≤x≤2时最大值与最小值的和为 1， 【例 3】已知二次函数 y = ax －2ax－3a（a ≠ 0），若
求 a的值. 当－1 ≤ x ≤ 4时，y的最大值为 5，求 a的值
分析：同时讨论最大值和最小值，我们对于对称轴的位 分析：此二次函数对称轴确定，范围确定，但是开口方
置讨论四种情况： 向不知道，所以要对开口方向进行分类讨论.
1 2 + 先算出两端点－ 和 的中间数： = .
解：对称轴: = 1；① > 0；当 = 4 时， = 16
①若对称轴＜－1，即当 x=－1时，y取最小值 ymin； 8 3 = 5，解得 = 1；② < 0
当 x=2时，y取最大值 ymax，ymax+ymin=1. 当 = 1 = 2 3 = 5 = 5时， ，解得
4
②若－1≤对称轴≤ ，即当 x=对称轴时，y取最小值 y
min
； 综上， = 1 或 = 5.
当 x=2时，y取最大值 ymax，ymax+ymin=1. 4

③若 ≤对称轴≤2，即当 x=对称轴时，y取最小值 y
min
； 【题型 10】 铅垂高求面积
当 x=－1时，y取最大值 ymax，ymax+ymin=1.
④若对称轴＞2，即当 x=2时，y取最小值 ymin；
当 x=－1时，y取最大值 ymax，ymax+ymin=1.
【例 2】在直角坐标系中，抛物线 = 2 + + 1（a，
b是常数， ≠ 0）与y轴相交于A点．已知 < 0， ≠ 0，
若抛物线经过B( 2, )，C( 3, )和D( , 1)，且1 < ①过点 A 作 AD∥y 轴交 BC 于点 D，S△ABC=S△ABD+S△
< ，求 t的取值范围． ACD
1
这里可以推出铅垂高的面积公式， △ = · 2
分析：先根据 A（0,1）和 D（t，1）得到对称轴：直线 ，其中 AD 为铅垂高， 为点 B 和点 C 的水
= .
平距离。

①代入法：对称轴 = = ，得 = . 解题步骤：

= + 第一步：求出 BC所在直线的解析式，∴二次函数 （将 用 代换掉，以
第二步：求出 D点坐标，
便计算）
第三步：表示出 AD的长将 B，C代入 = +
第四步：求出面积
得 = + + ， = + + ； ②水平方向的铅垂高面积公式
∵ < < ， 过点 A作 AE∥x轴交直线 BC于点 E，S△ABC=S△ABE－S
∴ < ，即 1＜ + + ，解得 t＜－3； =1ACE ·
< ，即 + + < + + △ ，解得 t＞ 2
－5. 【例 1】如图，已知抛物线与 x轴交于 A（﹣1，0）、B
∴ < < （3，0）两点，与 y轴交于点 C（0，3）．
②距离法：开口向下，离对称轴越近，y越大. （1）求抛物线的解析式；
根据 1＜n＜m，∴D离对称轴最远，B离对称轴最近； （2）点 D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、
> ∴可列 >
B不重合），过点 D作 DF⊥x轴于点 F，交直线 BC于
> >
点 E，连接 BD、CD．设点 D的横坐标为 m，△BCD
∴ ，两边平方得 ，
的面积为 S．求 S关于 m的函数解析式及自变量 m的
解得 t＜－3； 取值范围，并求出 S的最大值；

> ，两边平方得 >


，

解得 t＞－5.
∴ < <
③图象法：如图画出对应的点，（－2，m）关于对称轴 （1）解：抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）＝a
对称的点为（t+2，m） （x2 2x 3），
要使 1 < < ，则 t＜－3＜t+2，∴ 5 < < 3 将点 C坐标代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：设直线 BC的函数解析式为 y＝kx+b，
∵直线 BC过点 B（3，0），C（0，3），
= + =
∴ { = ，解得 { = ，
∴y＝﹣x+3，------------第一步：先求直线 BC的解析式
设 D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），------------
第二步：设 D，E的坐标
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∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，----- （2）E是抛物线上一动点，F是平面内任意一点，当以
第三步：算出铅垂高 DE 点 B，C，E，F 为顶点，BC为边的四边形是矩形时，
∴ = = ( + ) = + = 求出点 E的坐标；

( ) + ( < < ) ，--利用铅垂高公式求

出面积
∵ < ，


∴当 m = 时，S有最大值，最大值 = ；-------

最后一步：根据取值范围求出最大值.
解题方法：讨论矩形，本质是讨论直角三角形，所以这
---- = 里只要讨论△BCE是以 BC为边的直角三角形即可.还可掌握第二种方法：割补法 △ 四边形 第一步，先求出直线 BC的解析式 = + ；
△ = △ + △ △
2 第二步：根据直线 CE1与直线 BC 垂直求出直线 CE1解：连结 OD，设 D（m，﹣m +2m+3）
的解析式（斜率之积为－1）；
∴ △ = = ， 第三步：求出直线 CE1与抛物线的交点 E1坐标.
【例 2】抛物线 = 2 + 2 + 3，P是直线 AC上抛物 同理可得 E2坐标.

线上的动点，求 的最大值.

（3）P 是直线 AC 上一动点，点 Q 是平面内一点，当
以点 B,C,P,Q为顶点的四边形是菱形时，求出点 P的坐
标.
解题方法：讨论菱形，本质是讨论等腰三角形，所以这
里只要讨论△BCP为等腰三角形即可.
第一步：写（设）出三点顶点坐标，B（1,0），C（0,3），
设 P（－1，m）.

分析：将 转化为 （PE和 BF均为铅垂高） 第二步：根据两点间的距离公式，求出 BC =10，BP
= + = +
3
， CP = +
【例 】如何表示 PN的长度. + ；
第三步：分类讨论求 m值①BC =BP ；②BC =CP ；
③BP =CP .
第四步：写出 P点坐标.
分析：先利用铅垂高求出MN，再利用△MNP∽△COA， 【题型 12】 二次函数与几何结合----角的存在性
2
求出 PN的长. 【例 1】如图，抛物线 = 2 + 3与 x轴交于 A,B
两点(点 A 在点 B 的 y 的右侧)，与 y 轴交于点 C.，点
【题型 11】 二次函数与几何结合----特殊四边形的存 M（0,1）.
在性问题（等同于特殊三角形的存在性）
【例 1】如图，抛物线 = 2 2 + 3 与 x轴交于 A,B
两点(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C.
（1）在抛物线上找点 P 使∠BMP=∠OBM，求点 P 坐
标.
（1）在平面内是否存在点 D，使得以 A，B，C，D为
顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出点 D的坐标；
若不存在，请说明理由；
解题方法：第一步：写（设）四个顶点坐标，D（m，n），
A（－3,0），B（1,0），C（0.3）.
第二步：分类讨论,
+ = +
①以 AB，CD为对角线，则 + = + ，求出
D坐标.
+ = + ②以 AC，BD为对角线，则 + ，求出
解题方法：①求 P1：过点 M作 P1M∥OB，可得 P1坐
= + 标；
D坐标.
+ = +
②求 P2：方法 1：构造等腰△BDM，可得直线 DM 找
③以 AD，BC为对角线，则 + = + ，求出 到 P2，设 OD=m，BD=DM=3－m，利用 Rt△ODM，
D坐标. 可得 m 的值，再求出直线 DM 的解析式，最后求直线
DM与抛物线的交点来求出 P2坐标.
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方法 2：在 P1M上找点 E（－2，1），先求出直线 BM 四 圆的概念

的解析式为 y= + ，如图EE’的中点F在直线BM上， 【知识点 1】弦的定义：连结圆上任意两点的线段.

' + = 【知识点 2】一条弦对应两条弧.设点F（m， + ），根据中点坐标公式
' + =
，
【知识点 3】弧的定义：圆上任意两点间的部分.

可求的 E’坐标为（2m+2， + ），直线 EE’和直线 【知识点 4】弧的种类有三种；分别是半圆、优弧（大

BM互相垂直，∴直线 EE’与直线 BM斜率之积为－1， 于半圆的弧，三个字母表示）和劣弧（小于半圆的弧，
可求出直线 EE’的解析式为 y=－3x－5，将 E’代入可求 两个字母表示）.
得 E’坐标，然后求出直线 E’M 的解析式，最后求出直 【知识点 5】等圆：半径相等的圆。
线 E’M与抛物线的交点 P 坐标. 【知识点 6】等弧：能够重合的弧。2
1 【知识点 7】点与圆的位置关系：若 r表示圆的半径；d
（2）在抛物线上找点 Q使 tan∠QBM= .
2 表示点到圆心的距离.
则有 d＞r，点在圆外；d=r，点在圆上；d＜r，点在圆
内.
例 1 半径为 2cm的○O中有长为 2 3cm的弦 AB,则弦
AB所对的圆周角度数为 60°或 120°（一条弦对应两
条弧）
解题方法（通用）：①构造 Rt△BDM，使∠BMD=90°，
令 tan ∠DBM= ，构造 k字相似△BOM∽△MED，求

出 D坐标，再求出直线 BD解析式，最后求出 Q坐标.
②在直线 BM 上找一整点 F（3,2），构造 Rt△BFG，
五 确定圆的条件
∠BFG=90°，令 tanFBG= ，构造 k 字相似△BFH∽
【知识点 1】确定圆的条件：不在同一直线上的三个点
△FGI，求出 G坐标，再求出直线 BG 的解析式，最后 确定一个圆。确定一个圆要同时确定圆心和半径.
求出 Q坐标. 【知识点 2】如何找圆心：作任意两条不平行弦的中垂
若此题改为找点 Q使∠QBM=45°，方法一样，只不过 线，交点即为圆心.
是构造 k字全等. 【知识点 3】三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的
（3）在抛物线上找点 Q使∠QBM=2∠ABM 圆.
这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的
内接三角形.
【知识点 4】三角形的外心是三角形三条边的垂直平分
线的交点，
外心到三角形三个顶点的距离相等.
【知识点 5】锐角三角形的外心在三角形的内部；直角
解题方法：构造等腰三角形 BDM，∠ODM=2∠ABM，
求出 tan∠ODM的值，则 tan∠QBM=tan ODM 三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角∠ ，接
2 形的外部.下来方法同（ ）.
【知识点 6】直角三角形的外接圆是以斜边为直径的
【题型 13】 二次函数与几何结合----相似三角形的存 圆.
在性问题 【知识点 7】拓 展 公 式 ： 三 角 形 外 接 圆 半 径

【例 1】如图，抛物线 = 2 2 3与 x轴相交于 A、 = （ , , 为三角形的三边长， 为三角形面积）4
B两点，与 y轴相交于点 C,点M为抛物线的顶点. 直线
CM 交 x轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点， 【例 1】能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的
是否存在以点 P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似. 最小覆盖圆.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，则△ABC
若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 的最小覆盖圆的半径是 .

分析：直接用公式或画图根据外心性质找等量关系
六 图形的旋转
【知识点 1】图形的旋转三要素：旋转中心，旋转方向
和旋转角度.
【知识点 2】掌握旋转画法：①将△ABC 绕点 O 逆时
解题方法：讨论三角形相似，两个三角形一般已有一个 针方向旋转 70°得到△A'B'C'，作出旋转后的图形.
角对应相等，先找到这个角. 例如此题，∠PEO=∠ ②作△ABC关于 O成中心对称的图形 A1B1C1.
ABC=45°，所以接下来我们只要讨论两种情况：
= = ① ；② . 根据相似的对应边之比求出 EP

的长度，最后来求出对应 P的坐标.
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七 垂径定理
【知识点 1】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧.
根据作出的图形，写出如下性质：
①△ABC≌△ ' ' '；②OA=O ' ,OB=OB’, OC=OC’;
③∠AOA’=∠BOB’=∠COC’=70°
∵直径 AB⊥CD（或写 OA⊥CD，OE⊥CD）
【知识点 3】找旋转中心的方法：连结两组对应点的线 ⌒ ⌒
段，分别作线段的中垂线，交点即为旋转中心. ∴CE=DE，AC=AD= C
⌒D，B⌒C=B⌒D= C⌒BD
例；下列图中将 AB旋转至 CD的旋转中心坐标为（0，
0 . 【知识点 2】逆定理 1：平分弦（不是直径）的直径垂） （作出中垂线）
直于弦，并且平分弦所对的弧.
∵CE=DE（或 E是 CD中点）
∴直径 AB⊥CD（或写 OA⊥CD，OE⊥CD）
【知识点 4】如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转 70° A⌒C=A⌒D= C⌒D B⌒C=B⌒D= C⌒， BD
得到△A'B'C'

，利用八字或对角互补证明 AC与直线 A’C’ 【知识点 3】逆定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对
的夹角∠A’DC=70°： 的弦.
证明方法一：
∵A⌒C=A⌒D ⌒（或写BC=B⌒D）
∴CE=DE（或 E是 CD中点）
解：由旋转可得△OAC≌△OA’C’， 直径 AB⊥CD（或写 OA⊥CD，OE⊥CD）
∴∠OCA=∠OC’A’
∵∠OEC’=∠CED（对顶角相等） 【知识点 4】重点模型：已知弓高和弦长，求半径（构
∴∠A’DC=∠COC’=70° 造 Rt△COE）
证明方法二： 重点辅助线思路：连半径，作垂直（作弦心距）.
【例 1】 如图，若直径 AB⊥CD与点 E，AE=2，CD=12，
求半径的长.
解：∵直径 AB⊥CD
CE= ∴ =6
解：由旋转可得△OAC≌△OA’C’
设
OAC= OA=OC=x
，则 OE=x-2
∴∠ ∠OA’C’
∵∠OA’C’+∠OA’D=180 在 Rt△OCE 中，OE +CE =OC °
即（ － ）
OAC+ OA’D=180 x 2 +6
=x
∴∠ ∠ °
OADA’ 解得 x=10，∴半径的长为 10.∴四边形 中，
∠ADA’+∠AOA’=180 如图，若 AB⊥CD与点 E，BE=18，CD=12，°
A’DC+ ADA’=180 【例 2】求半径的长.∵∠ ∠ °
∴∠A’DC=∠AOA’=70° 解：∵直径 AB⊥CD
【例 1】如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 50°得到
ADE ∴CE= =6△ ，点B的对应点D恰好落在BC边上.若DE⊥AC，
则∠CAD的度数为 25°. 设 OA=OC=OB=x，则 OE=18－x
分析：旋转后点落在边上， 在 Rt△OCE 中，OE +CE =OC
一定要先根据旋转性质找等腰三 即（18－x） +6 =x
角形，如图，AB=AD，利用△ABD 解得 x=10，∴半径的长为 10.
是等腰三角形求出相应度数.
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【例 3】 如图，在圆 O中，弦 AB垂直平分半径 OC. 【例 9】经典图形：相交弦
重要结论：∠A=∠B=30°，
∠AOB=120°
理由：由题意，在 Rt△AOD中， =
= ，∴∠A=30°.

【例 4】经典图形：求两条平行弦之间的距离 图 1 图 2 图 3
结论：①相交弦定理（反 8相似）：AE·BE=CE·DE.
②若∠DEB为特殊角，常见的辅助线思路如图 2
③如图 3，若 CE=2DE，已知 AE=2，BE=8. 可作辅助
线，利用双勾股解题（OF =OE －EF =OC －CF ）.
【例 5】圆弧形拱桥（判断船能否过桥） 【例 10】经典图形：弦 AB垂直弦 CD
若此桥为圆弧形拱桥（如图，其中点 O 为圆心，CD⊥
AB，AB=48m，CD=18m） 结论：①四边形 OEPF是矩形；
（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度. 若 AB=CD，则四边形 OEPF 是正方形且△ADP 和△
（2）那么宽 14m，船舱顶部高出水面 16.5m 的货船能 BCP都是等腰直角三角形.
否通过这座桥？ ②常见辅助线：连结 OA，OD，构造直角三角形.
分析：（1）设半径=r，利用 Rt△AOD，求出 r. ③∠AOD+∠BOC=180°（可通过连结 AC，∠PAC+
（2）令 EF=14m，利用 Rt△OEG，求出 OG，最后算 ∠DCA=90°去证明）
出 DG=OG－OD，比较 DG 与 16.5的大小即可判断船 ④作 OG⊥AD，可得 BC=2OG（延长 AO 交圆 O于点
能不能过. H，证 DH=BC）
【例 6】 已知 AB=16，CD=4，DE=4，求 EF的长.
【例 11】经典图形：内接锐角等腰三角形（△ACD）
【例 7】经典图形：直径 AC⊥BD，OF⊥BC.
条件：AC=CD，AB为圆 O的直径.
结论：①CO⊥AD（通过弧 AC=弧 CD可证，垂径定理
的逆定理）；②CO∥BD；③双勾股：AE =OA －OE
=AC －CE ；④BD=2OE（OE是中位线）
结论：①AB=2OF（OF是中位线）；②△COF∽△CBE
1
（反A相似）；③等积法求BE或OF： △ = · = 【例 12】经典图形：内接钝角等腰三角形（△BCE）2
1 1 · ；④这里还有射影定理和双勾股. 考察①垂径定理及逆定理；②中位线定理 OD= ；
2 2
【例 8】经典图形：如图，AB=4，AC=5，BC=2，求 ③勾股定理（双勾股）：BD =BE －DE =OB －OD
BD的长.
（1）若 E是弧 BC中点，BC=6，DE=1，求 AC的长.
结论：①双勾股：AE =AB －BE =AC －CE . （2）若 E是弧 BC中点，BE=1，OB=2，求 AC的长.
②垂径定理：DE=CE. （3）若 E是弧 BC中点，BE= 5，BC=4，求 AC的长.
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八 圆心角、圆周角相关概念和定理 ④垂径定理：OD⊥AC
【知识点 1】圆心角定义：顶点在圆心的角.
圆周角的定义：顶点在圆上且角两边与圆相交的角。
【知识点 2】弧的度数等于所对圆心角的度数.
【知识点 3】以一推四（关系定理，五对量）：在同圆
或等圆中，五对量：两个圆心角，两条弦，两条弧，两
个弦心距，两个圆周角；只要有一对量相等，其余对应
的各对量都相等.
【知识点 4】圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧上 ⑤OD∥BC.
圆心角度数的一半.
【知识点 5】圆周角定理的推论（直径与 90°圆周角的
关系）：
①直径所对的圆周角是直角.
②90°的圆周角所对的弦是直径.
【知识点 6】同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆
周角所对的弧相等.
【例 3】经典图形（1）在内接△ABC 中，BE⊥AC，
【例 1】 如图，圆内接四边形 ABCD. OD⊥BC
结论：
①∠B+∠D=180°（圆内接四边形性质） 结论：①∠A=∠COD；②作 BE⊥AC，则△ABE∽△
②∠AOC=2∠D=2（180°－∠B）（圆周角定理） OCD.
③若四边形 OABC 是平行四边形，则∠B=120°，∠ （2）在内接△ABC中，AD⊥BC
D=60°.
【例 2】弧的中点：如图，D是弧 AC的中点.
结论：△ACD∽△AEB.
结论：①AD=CD，△ACD是等腰△
【例 4】经典图形：如图，圆内接四边形 ABCD，AC
平分∠BAD，且∠BAD=90°（等邻边圆内接四边形）
②∠DAC=∠DEC=∠DCA=∠DEA
结论：
①△BCD为等腰 Rt△.
② + = .
③母子相似：△DAF∽△DEA；△DCF∽△DEC.
证明：延长 AB至点 E，使 BE=AD，
证△CAD≌△CBE；再证等腰 Rt△ACE.可得结论.
③已知 AB，BC求 AC，先根据等腰 Rt△ABF求 AF,BF，
再根据 Rt△BCF，求出 CF，最后 AC=AF+CF.
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【例 5】经典图形：AE平分∠BAC，BF平分∠ABC（或 九 圆内接四边形及正多边形
F是△ABC的内心）-----这里△BCE是等腰三角形，圆 【知识点 1】圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角
内出现角平分线或者等腰三角形都要考虑是否出现母 互补，外角等于内对角.
子相似. 【知识点 2】正多边形定义：各边相等，各内角也相等
的多边形
= ( )× °【知识点 3】正多边形每个内角的度数 =

° °

【知识点 4】正多边形每个外角的度数= .

结论：
【例 1】经典图形：AB为直径
①EB=EF=EC（即 E 是△BCF 的外心）（方法：证∠
EBF=∠EFB=α+β）
②△EBD∽△EAB（母子）；
△ECD∽△EAC（母子）
【例 6】弧相等，所夹的弦平行. 反之，平行弦所夹的 结论：①∠ACB=90°，∠B+∠CAB=90°；
弧相等. ②圆内接四边形 ABCD，∠B+∠D=180°.
【例 2】经典图形：内接等腰三角形 1（AB=AC）
条件：AD=BC
结论：①AB=CD；②AC∥BD；③△ACE和△BDE都
是等腰三角形.
结论：①写出与∠ADB相等的角：
【例 7】经典图形：圆的翻折 ∠ACB，∠ABC，∠CDF
②∠BAD对应的弧是B⌒D
对应的圆心角是∠BOD
③与∠CAD相等的角是∠CBD
【例 3】经典图形：内接等腰三角形 2（DB=DC）
结论：①BD=BC
证明：∵∠BAD=∠CAB，
∴弧 BD=弧 BC(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧相等）
∴BD=BC
②∠C+∠ADB=180°
③常见的辅助线思路：过点 B 作 CD 的高 BE，可得
CE=DE（等腰三角形的三线合一） 结论：∵∠DAE=∠DCB（圆内接四边形，外角=内对
角）
【例 8】经典图形：已知，等腰三角形 ABC，AB=AC， ∠DAC=∠DBC（同弧所对的圆周角相等）
AB是圆 O的直径. ∴∠DAE=∠DAC（AD平分∠EAC）
【例 4】托勒密定理
结论（1）BD=CD（等腰三角形的三线合一）
（2）DE=CD
结论：AC·BD=AD·BC+AB·CD.（圆内接四边形对边的
（3）△CDE∽△CAB（反 A）
（4 乘积和等于对角线的乘积））双勾股：BE =BC －CE =AB －AE

（5）等积法求高： △ = · = · .
第 19 页
十 弧长及扇形的面积 较短边 较长边 较短边
边），如果满足： = = ≈0.618， =
【知识点 1】弧长公式： = 较长边 整条边 整条边

，则这个点是这条线段的黄金分割点.【知识点 2】扇形面积公式： = =
②一条线段有两个黄金分割点
【例 1】弓形面积： 弓形 = 扇形 △ ③黄金三角形：
腰长 = 36°，36°，108°的等腰三角形， ；
底边长
72°，72°，36 底边长 °的等腰三角形， = .
腰长
十三 平行线截线段成比例
【知识点 1】平行线分线段成比例定理:三条平行线截
【例 2】等积变形： 阴影 = 扇形 两条直线,所截得的对应线段成比例.
1.已知 AD∥BE∥CF,
∵AD∥BE∥CF
AB = DE AB = DE BC EF∴BC EF或AC DF或AC = DF.
【例 3】经典图形（大减小）： 阴影 = 扇形 '
2.已知 AB∥CD∥EF
∵AB∥CD∥EF
= ∴ 或 = 或 =
十一 圆锥相关公式
3.特别在三角形中：
∵DE∥BC
= = ∴ 或 或 = .

侧面积 = =
= （可通过 = = 得到）

全面积 = 侧面积 + 底面圆
= +
十二 比例线段、比例的性质
【知识点 1】定义:在四条线段 a,b,c,d 中，如果 a和b
的比等于 c和d 的比，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成
比例线段，简称比例线段．
=
变形
=
=

不管怎么变形，乘积不变

=
a 互推= c ± = ± 【知识点 2】合比性质：b d ．
a
【知识点 3】等比性质：b =
c = + d + =


【知识点 4】比例中项：如果三个数 a,b, c满足比例式
= （或 = ），那么 b 是 a, c的比例中项.
例：（1）3和 4的比例中项是± .
（2）若线段 a = 2,b = 4，线段 a，b的比例中项是 .
【知识点 5】黄金分割：
①一个点将线段分成两条线段（一条较短边，一条较长
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十四 相似三角形的判定
【知识点 1】预备定理（只针对 A字和 8字）：平行于
三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
相似：△ADE∽△ABC
对应角：∠A=∠A，∠ADE=∠C，∠AED=∠B

对应边成比例： = =
【知识点 2】8字（对顶角相等）：
∵DE∥BC ∵AB∥CD ①正 8
∴△ADE∽△ABC ∴△AOB∽△DOC
【知识点 2】判定定理 1：简述为：两角对应相等，两
三角形相似．
【知识点 3】判定定理 2：简述为：两边对应成比例且
相似：△AOB∽△DOC
夹角相等，两三角形相似．
对应角：∠A=∠D，∠B=∠C，∠AOD=∠COD
【知识点 4】判定定理 3：简述为：三边对应成比例，
两三角形相似． 对应边成比例： = =
十五 相似三角形的性质 ②反 8（蝴蝶型）
【知识点 1】相似三角形对应角相等，对应边成比例．
【知识点 2】相似三角形周长比等于相似比．
【知识点 3】相似三角形对应高的比，对应中线的比和
对应角平分线的比都等于相似比．
【知识点 4】相似三角形面积比等于相似比的平方．
相似：△AOB∽△COD
十六 重心 对应角：∠A=∠C，∠B=∠D，∠AOB=∠COD
【知识点 1】重心定义：三角形三条中线的交点叫做三 对应边成比例：
.
= =
角形的重心 【知识点 3】母子型（有一个公共角，一条公共边）
【知识点 2】重心性质：三角形的重心分每一条中线成 已知∠CAD=∠B，求证：△CAD∽△CBA.
1:2的两条线段.
【例 1】如图，G是△ABC的重心.
∵G是△ABC的重心
= = ∴ 或 或 =
证明：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C
∴△CAD∽△CBA.
对应角：∠CAD=∠B，∠C=∠C，∠CDA=∠CAB.

【例 2】如图，F是△ABC 的重心，DE∥BC，求 的 对应边成比例： = = ，其中，CA =CD·BC.
值.
∵F是△ABC的重心. 【知识点 4】一线三等角
= ∴ 已知：∠B=∠ADE=∠C，求证：△ABD∽△DCE
∵DE∥BC

∴ = =

，△ADE~△ABC
= ∴ =
证：∵∠ADC=∠B+∠BAD（三角形外角性质）
又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠ADE=∠B
十七 相似三角形的几种基本图形
A ∴∠BAD=∠CDE【知识点 1】 字（有公共角）：
A ∵∠B=∠C①正
∴△ABD∽△DCE
对应角：∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，∠BDA=∠CED

对应边成比例： = =
k字形及其变形基础（“一线三直角”,“三垂型”“十
字架”）
相似：△ADE∽△ABC
解题攻略：①直角三角形（矩形）的出现需要考虑构造
对应角：∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C
k字形相似
对应边成比例： = =
②反 A
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②等腰直角三角形（正方形）的出现需要构造 k字形全 ①射影定理
等 △ACD∽△CBD = ， ，即 CD =AD·BD
③区分外 k和内 k.
变形 1 如图，已知：∠B=∠ACD=∠D=90 △ACD∽△ABC， = ，即 AC =AD·AB°，B，C，
D三点共线。 文字记忆：斜边高的平方=分斜边的两条线段之积.

结论：△ABC∽△CDE。 △CBD∽△ABC， = ，即 BC =BD·AB
文字记忆：直角边的平方=射影×斜边
②斜边高公式（等面积法）

S = · = ·
·
可得 =
内 k 外 k =直角边之积文字记忆：斜边高
变形 2 如图，已知：∠B=∠AFB=∠E=90°，B，C，E 斜边
三点共线。 ③双勾股（可用来求 BD，AD，CD）
结论：△ABC∽△BED。（三垂型） 在 Rt△ACD和 Rt△BCD中
= 2 =
【知识点 7】三角形内接矩形
如图高线 AM=80，BC＝120，设 DE为 x，矩形面积为
S，求 S与 x之间的函数关系.
变形 3 正方形的“十字架模型”
由矩形可得 DG∥BC，MN=DE=x，AN=80－x
∴△ADG∽△ABC
∴ = （对应高之比等于底边之比）
变形 4 矩形的“十字架模型” = 即 ，解得 DG=
∴ = · = +
【例 1】经典相似图形：如图等边△ABC，BD=CE.
【知识点 5】手拉手相似（旋转相似）：
结论：①△ABD≌△BCE；△ACD≌△BAE（SAS）
②∠AFE=∠BFD=60°；∠AFB=∠EFD=120°.
如图，△ADE∽△ABC，将△ADE 绕点 A旋转一定角 ③△DBF∽△DAB（母子）；△AEF∽△ACD（反 A）
度，可得△ABD∽△ACE，请证明.
证明：∵△ADE∽△ABC

∴ =

，∠DAE=∠BAC
= ∴ ，
∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
∴△ABD∽△ACE.
【知识点 6】斜边高模型
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的
高，
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【例 2】经典相似图形：矩形 ABCD 中，AE⊥BD，找 十八 相似多边形的定义和性质
出图中所有的相似（除全等外） 【知识点 1】相似多边形定义：对应角相等，对应边成
比例的两个多边形相似．
【知识点 2】相似多边形性质：周长比等于相似比，面
积比等于相似比的平方．
十九 位似图形有关的概念与性质
【知识点 1】定义：对应点连结所在的直线相交于同一
点，且这个点到对应点的距离之比都相等.
结论：①经典 k字变形：△ABE∽△DAB；△ABE∽△
BCD. 【知识点 2】①位似中心：经过各对应两点的直线的交
②射影定理模型；③△ABF∽△BCD；④△BEF∽△
点叫做位似中心.
BDC（反 A）
②位似比：位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似
3 ABC ADE 比.【例 】经典手拉手相似：△ 和△ 为等腰直角
. 要注意的是位似比就是相似比.三角形
【知识点 3】位似图形的性质：
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，
而且对应顶点的连线相交于一点.
（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是
位似图形.
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
结论：①△ABD∽△ACE，且相似比为 1： 2； （4）位似图形具有相似图形的所有性质.
②直线 BD与直线 CE 的夹角∠F=45°（通过反 8模型 （5）若以原点为位似中心，有以下性质：
证明）. 当以原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），
【例 4】经典角含半角：正方形 ABCD，∠EAF=45°. 位似图形与原图形的位似比为 k，则位似图形上的对应
点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）.
【例 1】如图，△ABC和△DEF关于点 O成位似图形
结论：①BE+DF=EF（旋转全等证明）；
②△ADH∽△ACE；△ABG∽△ACF（相似比都为 1：
2）
③△AEH 和△AFG 都为等腰 Rt△；
④△AGH∽△AFE（反 A，相似比为 1： 2）
【例 5】经典倍长中线：如图正方形 ABCD，E 是 AB 结论：①△ABC∽△DEF；②AC∥DF，BC∥EF，AB
DE = = = = = = = 中点，F为 BC中点. ∥ ；③位似比 相似比 ；
【例 2】如图，△ABC 与△DEF 位似，O 是位似中心.
若点 B(2，1) AC = 1，且 ，则点 E的坐标为（6，3）.
DF 3
结论：延长 DE，CB相交于点 G，可得①△DAE≌GBE；
②△ADM∽△FGM（正 8）；△ADN∽△FBN（正 8）.
【例 3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD
是以 O为位似中心的位似图形，若 A(-3，2)，B(-2，0)，
D(4，0),则点 C的坐标是(6， 4 )
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二十 锐角三角函数 【例 2】在 D处测得塔顶 A处的仰角为 45°，塔底部 B
【知识点 1】正弦，余弦，正切的计算公式 处的俯角为 22°．已知高台 CD 为 4 米，请计算塔高
= ∠ 的对边正弦， AB的值．（结果精确到 1米；参考数据： 22° ≈ 0.37，；
斜边 22° ≈ 0.93， 22° ≈ 0.40）
余弦， = ∠ 的邻边；
斜边
∠ 的对边
正切， = .
∠ 的邻边
注意，必须要在直角三角形中才能使用公式，没有直角
三角形就构造直角三角形.
【知识点 2】特殊角的三角函数值（9个，死记硬背）
° = ° = ， ， ° = .

° = ， ° = ， ° = . 解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，

° = ° =
则四边形 为矩形，
， ， ° = .
∴ = = （米），
在 △ 中， ∠ = ，
【知识点 3】锐角三角函数之间的关系
① + = . ∴ =
≈ = （米）．
° .
= ② . 在 △ 中， ∠ =
= ，

③0 < < 1， 随着 的增大而增大， ∴ = = （米）．
0 < < 1， 随着 的增大而减小. ∴ = + = （米）．
> 0（可以无限大），

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