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10.1.3　古典概型
一．选择题
1.(多选题)下列概率模型中,是古典概型的有(　　)
A.从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率
B.在一个正方形ABCD内画一点P,求点P刚好与点A重合的概率
C.从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取2名担任学生代表,求甲被选中的概率
D.口袋中有2个红球,2个白球,每次从中任取一个球,观察颜色后放回,求取出红球的概率
2.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,那么称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图,易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)的每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有两根阳线和一根阴线的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5.在1路、3路、4路、5路、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆公共汽车),有一名乘客等候4路或8路公共汽车.假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等,则首先到站的车正好是这名乘客所需乘的公共汽车的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
6.一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243).现从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7.一袋中装有大小质地完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得的两个球的编号之和不小于15的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二．填空题
8.从2,3,8,9中任取2个不同的数,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　.
9.某食堂规定,每份午餐可以在4种水果中任选2种,则甲、乙两同学各自所选的2种水果相同的概率为　　　　　.
10.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是
　　　　　.若有放回地任取两数,则两数都是偶数的概率是　　　　　.
11.有除编号外其余完全相同的砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　　.
三．解答题
12.袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每个球有不同的编号,从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型,该模型是不是古典概型
(2)若按球的颜色为样本点,有多少个样本点 以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型
13.某中学调查了某班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表(单位:人):
是否参加 演讲社团 是否参加书法社团
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
14.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
15.符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是BCD.
(1)若甲同学不会做该题,但他想猜对得6分,就随机填写了一个答案,求他得6分的概率;
(2)若乙同学也不会做该题,他只想得部分分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得部分分的概率.
10.1.3　古典概型
一．选择题
1.AC
B,D项中的样本点有无限个,不满足有限性,故不是古典概型;A,C项中既满足有限性,又满足等可能性,故A,C是古典概型.故选AC.
2.C
从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为.
3.C
从八卦中任取一卦,可能结果有8种,
由题图知,一卦的三根线中恰有两根阳线和一根阴线这个事件有3种可能结果,
故所求概率P=.
4.B
由题意知试验的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,满足条件的样本点数为2,因此所求的概率为.
5.D
由题知,在该问题中可能结果有5种,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件有2种可能结果,故所求概率为.
6.B
试验:从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数,
则该试验的样本空间Ω={567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876},即n(Ω)=24.
设事件A=“这个三位数是‘凸数’”,则A={576,675,586,685,587,785,687,786},得n(A)=8,故这个三位数是“凸数”的概率为.
7.D
由树状图(图略)知n(Ω)=64,设事件A=“两个球的编号之和不小于15”,则n(A)=3,故取得的两个球的编号之和不小于15的概率P(A)=.
二．填空题
8.
从2,3,8,9中任取2个不同的数,分别记为a,b,作为对数的底数与真数,共有12个不同的可能结果,其中结果为整数的只有log28,log39,共2个,因此其概率P=.
9.
甲、乙两个同学从4种水果中任选2种各有6种选法,故共有36种等可能的结果,其中两人所选的2种水果相同的结果有6种,则所求概率为.
10.
从5个数字中不放回地任取两数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个,两数都是奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5)共3个,故所求概率P=;从5个数字中有放回地任取两数,样本点共有25个,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4)共4个,故所求概率P=.
11.
由题意知,从5个砝码中随机取3个,n(Ω)=10,设事件A=“总质量为9克”,共有9=5+3+1,9=5+2+2两种情况,即n(A)=2,故三个砝码的总质量为9克的概率P(A)=.
三．解答题
12.
(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”.
因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
因为白球有5个,所以一次摸球摸中白球的可能性为.同理可知,摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等,所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
13.
(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率P1=.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,该试验的样本空间
Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)},共包含15个样本点.
根据题意,这些样本点发生的可能性相等.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率P2=.
14.
(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,故应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人、2人、2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21种.
②不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共5种.
所以事件M发生的概率P(M)=.
15.
(1)该事件的样本空间Ω1={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD},
共包含11个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.用A表示“甲同学得6分”,则A={BCD},包含1个样本点,所以P(A)=.
(2)该事件的样本空间Ω2={A,B,C,D},共4个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用B表示“乙同学得部分分”,则B={B,C,D},含有3个样本点,所以P(B)=.
(2)该事件的样本空间Ω2={A,B,C,D},共4个样本点,每个样本点的发生是等可能的,故可以用古典概型计算概率.
用B表示“乙同学得部分分”,则B={B,C,D},含有3个样本点,所以P(B)=.

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