资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省26届中考数学精准预测卷八（精选浙江省各市最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．物理学中真空光速约为3×108m/s，下列关于该数的相反数是（　　）
A．3×108 B．﹣3×108 C． D．
2．据最新统计，台州市常住人口数约为6760000人，其中数据6760000用科学记数法表示为（　　）
A．6.76×106 B．6.76×105 C．67.6×106 D．67.6×105
3．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列式子运算正确的是（　　）
A．a3+a7＝a10 B．5a5﹣a5＝5 C．a3 a2＝a6 D．（a2）3＝a6
5．关于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，2），（1，4）均在其图象上
B．函数图象在第一、三象限
C．当y＜﹣2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0
D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．对于一组数据：x1，x2，x3，…x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
8．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km．已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为xkm/h，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E，以A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F．若AB＝1，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，在矩形ABCD中，E是BD上一定点，点P从B点出发，沿BA，AD两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，PE的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中F，G分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（　　）
A．AD＝8 B．F点坐标为
C．PE的最小值为 D．点M的横坐标为
二．填空题（共6小题）
11．计算：　 　 ．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　 ．
13．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为　 　 ．
14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为　 　 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
15．如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则∠ABC＝　 　 °．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE＝4，则CE＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中x＝4．
19．如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作DF∥BE交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BF＝3，求BC的长．
20．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．
小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小．
【初步感知】
已知52＝25，62＝36．若m是的整数部分，则m＝　 　 ．
【方法探究】
小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若a≈b，则．
她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取a＝4，则，则．
【学以致用】
请利用小红的方法，估算的值．
21．为了解某校学生在遇到学习困难时的解决方式，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，调查问卷和不完整的统计图如下：
遇到学习困难时的解决方式调查问卷 （单选题）当你遇到学习困难时，你通常会（ ） （A）咨询AI （B）咨询老师 （C）咨询同学 （D）其他
（1）本次调查中选择“咨询老师”的学生有多少人？
（2）若该校共有1800名学生，根据统计信息，估计该校选择“咨询同学”的学生人数．
22．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF；光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN．
（1）求证：FN∥EM．
（2）已知AD＝4，若反射光线FN恰好经过点D（如图2），求AM的长．
23．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制 齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制 褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制 袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单．
背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型加工人数人均日产量/套单套净利润/元唐制y330宋制x2明制190
探究任务 任务1 探寻变量关系 根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
任务3 拟定最优方案 确定使每日总利润最大的分配方案．
24．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E．点F为上一动点，连接BF分别交AD，AC于点H，K，过点F作FG∥AB交AC于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）如图2，连接FC，若BF为⊙O的直径，
①求证：GF＝GC；
②若AG＝2GC，BC＝6，求AC的长；
（3）如图3，若AB＝5，BC＝6，直接写出FG的最大值．
浙江省26届中考数学精准预测卷八（精选浙江省各市最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．物理学中真空光速约为3×108m/s，下列关于该数的相反数是（　　）
A．3×108 B．﹣3×108 C． D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：∵3×108+（﹣3×108）＝0，
∴3×108的相反数是﹣3×108．
故选：B．
【点评】本题考查的是科学记数法﹣表示较大的数，相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．据最新统计，台州市常住人口数约为6760000人，其中数据6760000用科学记数法表示为（　　）
A．6.76×106 B．6.76×105 C．67.6×106 D．67.6×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6760000＝6.76×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可．
【解答】解：俯视图是．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．
4．下列式子运算正确的是（　　）
A．a3+a7＝a10 B．5a5﹣a5＝5 C．a3 a2＝a6 D．（a2）3＝a6
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、a3与a7不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、5a5﹣a5＝4a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a3 a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．关于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，2），（1，4）均在其图象上
B．函数图象在第一、三象限
C．当y＜﹣2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0
D．该函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质逐个判断选项即可得到结果．
【解答】解：A、∵当x＝2时，，当x＝1时，，
∴点（2，2），（1，4）都在函数图象上，正确，不符合题意；
B、∵k＝4＞0，
∴函数图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；
C、令y＝﹣2，代入得，解得x＝﹣2，
∵在第三象限内y随x增大而减小，
∴当y＜﹣2时，﹣2＜x＜0，正确，不符合题意；
D、反比例函数仅在每个象限内y随x增大而减小，若两点不在同一象限，该结论不成立，例如取x1＝﹣1，x2＝1，满足x1＜x2，此时y1＝﹣4＜y2＝4，不满足y1＞y2，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC，则线段DF的长度为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意求出相似比，计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，A（﹣2，0），D（3，0），
∴△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，
∴，
∵AC＝2，
∴DF＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键．
7．对于一组数据：x1，x2，x3，…x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：一组数据从小到大或者从大到小排列，位于中间位置或中间两数的平均数．
【解答】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，此题关键是了解中位数的定义．
8．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km．已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为xkm/h，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km，小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，列出分式方程即可．
【解答】解：由题意得：3，
即3，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E，以A为圆心，AB为半径画弧交AD于点F．若AB＝1，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的性质，直角三角形的边角关系求出∠ECG＝45°，EG＝CG＝AB＝1，再根据弓形面积、扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，连接BE，CE，
在Rt△CEG中，EG＝AB＝1，CE＝BC＝AD，
∴CG1＝EG，
∴∠ECG＝∠CEG45°，
∴S弓形BE＝S扇形CBE﹣S△CBE
1
π，
∴S空白不规则三角形ABE＝S△ABE﹣S弓形BE
（1）×1﹣（π）
π
π，
∴S阴影部分＝S扇形ABF﹣S空白不规则三角形ABE
（π）
ππ
π
，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，扇形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系，旋转的性质以及扇形、弓形面积的计算方法是正确解答的关键．
10．如图1，在矩形ABCD中，E是BD上一定点，点P从B点出发，沿BA，AD两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，PE的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中F，G分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（　　）
A．AD＝8 B．F点坐标为
C．PE的最小值为 D．点M的横坐标为
【分析】连接AE，过点E分别作EG⊥AB，EH⊥AD，根据图象可得BE＝8，AB＝10，△AEB是直角三角形，且∠AEB＝90°，则有，，然后根据函数图象及三角函数可进行求解．
【解答】解：连接AE，过点E分别作 EG⊥AB，EH⊥AD，
由图象可知：当x＝0时，y＝8，即当点B与点P重合时，BE＝8，
当x＝10时，y＝6，即AE＝PE＝6，此时点P与点A重合，则AB＝10，
∵BE2+AE2＝82+62＝100＝AB2，
∴△AEB是直角三角形，且∠AEB＝90°，
∴，，
由E是BD上一定点，点P是动点可知：当点P在线段AB上运动时，最小值为EP⊥AB时，此时点P与点G重合，
∴，，
∵F是第一段曲线的最低点，
∴F点坐标为，故B错误；
当点P在AD上运动时，最小值为PE⊥AD时，此时点P与点H重合，
∵∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∵∴∠ABD＝∠DAE，
∴sin∠DAE＝sin∠ABD＝3，，
∴EH＝AE sin∠DAE＝18＝PE，，
∵，
∴PE的最小值为，故C错误；
在Rt△AED 中，，AE＝6，
∴，故A错误；
∴点P运动的总路程为，
∴点M的横坐标为，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，动点问题的函数图象，锐角三角函数的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．计算：　﹣2　 ．
【分析】根据实数的运算，零指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：
＝1+（﹣3）
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤2　 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得，x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为　　 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及使得小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：如图：
由电路图可知，闭合开关S1和S3时，小灯泡发光．
列表如下：
S1 S2 S3
S1 （S1，S2） （S1，S3）
S2 （S2，S1） （S2，S3）
S3 （S3，S1） （S3，S2）
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有：（S1，S3），（S3，S1），共2种，
∴使得小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为　1　 米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
【分析】根据∠ADB的正切值求解即可．
【解答】∵AB＝2，∠ADB＝44°，AB⊥BD
∴（米）．
故答案为：2.1．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
15．如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则∠ABC＝　135　 °．
【分析】根据多边形内角的求法解答即可．
【解答】解：根据多边形的内角与外角可知：
．
故答案为：135．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握该知识点是关键．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，若BE＝4，则CE＝　2　 ．
【分析】连接AC，作EH⊥AB于点H，由菱形的性质得AD＝CD＝CB＝AB，∠D＝∠B＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝60°，因为将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，所以∠BAE＝∠FAE∠BAF，∠CAF＝∠DAF∠DAC＝30°，则∠BAF＝90°，所以∠BAE＝45°，则∠HEA＝∠BAE＝45°，由sin60°，cos60°，且BE＝4，求得AH＝EHBE＝2，BHBE＝2，所以CB＝AB＝22，则CE＝CB﹣BE＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，作EH⊥AB于点H，则∠AHE＝∠BHE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AD＝CD＝CB＝AB，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∵将△ABE沿AE翻折得△AFE，AF与CD相交于点G，点G恰好是CD的中点，
∴∠BAE＝∠FAE∠BAF，∠CAF＝∠DAF∠DAC＝30°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠BAE90°＝45°，
∴∠HEA＝∠BAE＝45°，
∵sin60°，cos60°，且BE＝4，
∴AH＝EHBE4＝2，BHBE4＝2，
∴CB＝AB＝AH+BH＝22，
∴CE＝CB﹣BE＝22，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、翻折变换的性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
【分析】先去括号、开立方根、绝对值，再算加减即可．
【解答】解：
＝1+2+3
＝6．
【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
18．先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】先算乘除，再算减法即可．
【解答】解：原式
＝x﹣2
，
当x＝4时，原式0．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作DF∥BE交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BF＝3，求BC的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE＝BF＝4，再由三角形中位线定理的BC＝2DE＝6即可．
【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的一条中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形，
∴DE＝BF＝3，
∵DE是△ABC的一条中位线，
∴BC＝2DE＝6，
即BC的长为6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题．
小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小．
【初步感知】
已知52＝25，62＝36．若m是的整数部分，则m＝　5　 ．
【方法探究】
小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若a≈b，则．
她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取a＝4，则，则．
【学以致用】
请利用小红的方法，估算的值．
【分析】（1）根据25＜28＜36得到的取值范围即可；
（2）仿照示例作答即可．
【解答】解：（1）∵25＜28＜36，
∴，
∵m是的整数部分，
∴m＝5，
故答案为：5；
（2）∵36＜39＜49，
∴，的整数部分是6，
所以可以取a＝6，则，
则．
【点评】本题主要考查了完全平方数估算无理数的大小，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．为了解某校学生在遇到学习困难时的解决方式，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，调查问卷和不完整的统计图如下：
遇到学习困难时的解决方式调查问卷 （单选题）当你遇到学习困难时，你通常会（ ） （A）咨询AI （B）咨询老师 （C）咨询同学 （D）其他
（1）本次调查中选择“咨询老师”的学生有多少人？
（2）若该校共有1800名学生，根据统计信息，估计该校选择“咨询同学”的学生人数．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数乘选择“咨询老师”的学生所占百分比即可；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）120÷60%＝200（人），
200×20%＝40（人），
答：本次调查中选择“咨询老师”的学生有40人；
（2）200﹣120﹣40﹣10＝30（人），
30÷200＝15%，
1800×15%＝270（人），
答：由样本估计总体，得该校选择“咨询同学”的学生大约有270人．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握统计图特点．
22．图1为矩形实验台示意图，两面平面镜分别垂直放置于实验台边缘AB，BC上．点M在边AD上，E为AB中点，从点M发出的一束光线经边AB上的平面镜反射后，得到反射光线EF；光线EF再经BC上的平面镜反射，最终反射光线FN交AD于点N．根据光的反射定律，可推得∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN．
（1）求证：FN∥EM．
（2）已知AD＝4，若反射光线FN恰好经过点D（如图2），求AM的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠BEF+∠BFE＝90°，求得∠AEM+∠CFN＝∠BEF+∠BFE＝90°，得到∠AME＝∠CFN，根据平行线的性质得到∠MNF＝∠CFN，等量代换得到∠AME＝∠MNF，于是得到FN∥EM；
（2）由E为AB中点，得到AE＝BEABCD，根据全等三角形的性质得到BF＝AM，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠AEM＝∠BEF，∠BFE＝∠CFN，
∴∠AEM+∠CFN＝∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠CFN，
∵AD∥BC，
∴∠MNF＝∠CFN，
∴∠AME＝∠MNF，
∴FN∥EM；
（2）解：∵E为AB中点，
∴AE＝BEABCD，
∵∠AEM＝∠BEF，∠A＝∠B＝90°，
∴△AEM≌△BEF（ASA），
∴BF＝AM，
∵AD∥BC，
∴∠CFD＝∠MDF＝∠AME，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴△AEM∽△CDF，
∴，
∴，
∴CF＝2AM，
∴BC＝3AM，
∵BC＝AD＝4，
∴AM．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23．请根据以下素材，完成探究任务．
汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．
制定汉服加工方案
生产背景 背景] （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制 齐胸祸裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制 褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制 袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数1：1供应高端团购单．
背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．
信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型加工人数人均日产量/套单套净利润/元唐制y330宋制x2明制190
探究任务 任务1 探寻变量关系 根据合同约束，求x，y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．
任务3 拟定最优方案 确定使每日总利润最大的分配方案．
【分析】任务1：根据“明制”服装总件数和“唐制”服装相等列出方程即可求解；
任务2：将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：判断出抛物线的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质，求得合适的方案即可．
【解答】解：任务1：∵安排x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，
∴加工“明制”服装的有（60﹣x﹣y）人，
∵“明制”服装总件数和“唐制”服装相等，
∴60﹣x﹣y＝3y，
∴yx+15；
任务2：w＝3×30×（x+15）+2x×[120﹣3（2x﹣15）]+90×[60﹣x﹣（x+15），
＝﹣12x2+240x+5400，
∵2x≥15，
∴x≥7.5，
∴w＝﹣12x2+240x+5400（x≥7.5）；
任务3：∵w＝﹣12x2+240x+5400，
∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线x＝10，
∵x≥7.5，x+15为整数，
∴x＝8或12时，w最大；
当x＝8时，y＝13，60﹣x﹣y＝39；
当x＝12时，y＝12，60﹣x﹣y＝36．
答：安排13名工人加工“唐制”服装，8名工人加工“宋制”服装，39名工人加工“明制”服装，或安排12名工人加工“唐制”服装，12名工人加工“宋制”服装，36名工人加工“明制”服装，即可获得最大利润．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
24．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E．点F为上一动点，连接BF分别交AD，AC于点H，K，过点F作FG∥AB交AC于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠CAE；
（2）如图2，连接FC，若BF为⊙O的直径，
①求证：GF＝GC；
②若AG＝2GC，BC＝6，求AC的长；
（3）如图3，若AB＝5，BC＝6，直接写出FG的最大值．
【分析】（1）由垂径定理易得，再根据圆周角定理即可得解；
（2）①设∠BAE＝∠CAE＝α，证∠GFC＝∠ACF＝α即可得证；
②先证∠AFG＝90°，易得，则∠FAG＝30°，即可得解；
（3）易得AE＝4，半径为，过B作BM⊥AC于点M，过F作FN⊥AC于点N，等面积可得BM，由∠BAM＝∠FGN，则sin∠BAM＝sin∠FGN，可得FGFN，当F位于中点时，FN有最大值，此时FG也有最大值，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴，
∴∠BAE＝∠CAE；
（2）①证明：设∠BAE＝∠CAE＝α，则∠BAC＝2α，
∵OA＝OB，
∴∠BAE＝∠ABO＝α，
∴∠ACF＝∠ABO＝α，
∵FG∥AB，
∴∠AGF＝∠BAC＝2α，
∴∠GFC＝∠AGF﹣∠ACF＝α，
∴∠GFC＝∠ACF，
∴FG＝GC；
②解：连接AF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∵FG∥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵AG＝2GC，GF＝GC，
∴，
∴∠FAG＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝6；
（3）由（1）可知AE垂直平分BC，
∴BE＝CE＝3，
∴AE4，
连接OB，设OB＝OA＝r，则OE＝4﹣r，
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
∴（4﹣r）2+9＝r2，
∴r，即OA＝OB＝OF，
如图，过B作BM⊥AC于点M，过F作FN⊥AC于点N，
∵S△ABCBC AEAC BM，
∴BM，
∴sin∠BAM，
∵FG∥AB，
∴∠BAM＝∠FGN，
∴sin∠FGN，
∴FGFN，即当FN有最大值时，则FG有最大值，
当F位于中点时，FN有最大值，
连接OF，此时O、N、F三点共线，且OF⊥AC，
∵sin∠OAN，
∴ONOA，
∴FN＝OF﹣ON，
此时FG最大值FN．
故FG的最大值为．
【点评】本题主要考查了圆综合相关知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑