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浙江省26届中考数学精准预测卷九（精选长三角各省市最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（　　）
A．“常压下水的沸点是100℃”中的100
B．“氧气在空气中的占比约为”中的
C．“月球公转周期27天”中的27
D．“圆周率π”中的π
2．根据2026年政府工作报告，我国2025年新能源汽车年产量超过16000000辆，数字16000000用科学记数法表示为（　　）
A．16×106 B．1.6×107 C．1.6×108 D．0.16×108
3．“斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台．如图是其示意图，则它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．55° C．125° D．145°
5．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）
A．12 B．18 C．36 D．48
7．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB＝18°，则n为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
8．反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，下列关于t，b的条件，一定能使y1＜y2成立的是（　　）
A．t＞0，b＞0 B．t＞0，b＜0 C．t＜0，b＞0 D．t＜0，b＜0
9．如图，Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知AC＝4，BC＝3．则圆锥的侧面积等于（　　）
A．6π B．9π C．15π D．25π
10．如图1，在△ABC中，点D是边AC上的定点，点P从点D出发，依次沿D→A→B→C→D的路线匀速运动，回到点D时停止．设点P运动的路程为x，DP2为y，则y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（　　）
A．AD＝20 B．点M的纵坐标为144
C． D．点（64，36）在该函数图象上
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：x2﹣9＝　 　 ．
12．一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同，小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是　 　 ．
13．如图，将两个全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF，∠ACB＝∠EFD＝90°）按如图方式摆放，使得点A与点D重合，点C落在边DE上，连结CF，若∠B＝42°，则∠BCF＝　 　 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD和矩形DEFG位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在x轴上，且点B的坐标为（4，4）．若E为CD的中点，则点F的坐标为　 　 ．
15．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为0.3m．当菱形内角α的度数从120°缩小到60°时，伸缩门的总长度缩小了约　 　 m．（结果精确到0.1m，）
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB＝4，，过点B作BD⊥AB，垂足为点B，交AC于点E．若点P为射线BD上一点（不与点B，E重合），连结AP，点F为AP的中点，连结EF，且EF＝2.5，则tan∠PAB＝ 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．先化简，再求值：x2﹣3+x（5﹣x），其中x＝2．
18．解不等式组：．
19．某中学在九年级组织了一次AI知识竞赛活动，成绩分为四个等第：A．一般，B．合格，C．良好，D．优秀．为了解本次活动的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）老师随机抽取了　 　 名学生的成绩，这部分学生中B等第的人数为　 　 ．
（2）求出m的值．
（3）已知等第为D的优秀同学可以在本次竞赛中获奖，请估算九年级500名参赛学生中的获奖人数．
20．如图，四边形ABCD为正方形，点E在对角线BD的延长线上，连接EA，EC．
（1）求证：△EAB≌△ECB．
（2）若∠ECD＝25°，求∠AEC的度数．
21．春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．
请结合图象解答下列问题：
（1）求两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度．
（2）求甲无人机第一次表演的时长．
22．小明与小华合作探究：用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD．
小明的作法如图1：①以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点E，F．②分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，交∠BAC内一点D．③过点A作射线AD．
小华的作法如图2：①以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点E，F．②分别以E，F为圆心，小于长为半径作圆弧，交AC于点G，H，交AB于点M，N．③…（未完成待续）．
（1）根据小明的作法，求证：∠DAC＝∠BAD．
（2）分析小华的不完整作法，判断小华的作法是否可以作出角平分线AD；若是可以，完成后续步骤，并给出证明．若是不可以，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2+2tx+t2+2t的顶点．
（1）求点P的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）直线OP交抛物线于点Q（x2，y2）．
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值．
②点M（x3，y3）在抛物线上，当0＜x3＜2时，y2＜y3始终成立，求t的取值范围．
24．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，，过点C作CG⊥BD分别交BD，AB，⊙O于点E，F，G．
（1）求证：
①∠GCB＝∠CBA．
②BE＝AD+DE．
（2）当BF＝2GF时，求的值．
浙江省26届中考数学精准预测卷九（精选长三角各省市最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（　　）
A．“常压下水的沸点是100℃”中的100
B．“氧气在空气中的占比约为”中的
C．“月球公转周期27天”中的27
D．“圆周率π”中的π
【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：A、100是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、27是有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．根据2026年政府工作报告，我国2025年新能源汽车年产量超过16000000辆，数字16000000用科学记数法表示为（　　）
A．16×106 B．1.6×107 C．1.6×108 D．0.16×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：16000000＝1.6×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．“斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台．如图是其示意图，则它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，连接视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
4．如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）
A．35° B．55° C．125° D．145°
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
5．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（　　）
A．12 B．18 C．36 D．48
【分析】根据题意求出OA、OD，根据面积比等于相似比的平方，推理计算即可．
【解答】解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵OD：OA＝3：1，
∴S△DEF：S△ABC＝9：1，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为4×9＝36，
故选：C．
【点评】本题考查了位似图形，根据对应点坐标确定位似比是解题关键．
7．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB＝18°，则n为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
【分析】根据圆周角定理求出正多边形的中心角∠AOB的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，则∠AOB＝2∠ACB＝2×18°＝36°，
所以有36°，
解得n＝10，
经检验，n＝10是原方程的解，
即这个多边形是十边形，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．
8．反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，下列关于t，b的条件，一定能使y1＜y2成立的是（　　）
A．t＞0，b＞0 B．t＞0，b＜0 C．t＜0，b＞0 D．t＜0，b＜0
【分析】依据题意，由反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，从而其图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小，且t≠0，t+b≠0，进而逐个选项判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+b，y2）两点，
∴其图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小，且t≠0，t+b≠0．
对于A，当t＞0，b＞0时，
∴0＜t＜t+b，
∴y1＞y2，故A不合题意；
对于B，当t＞0，b＜0时，
∴t+b＜t．
∵t+b可能大于0，也可能小于0，
∴此时不能确定y1与y2的大小关系，故B不合题意；
对于C，当t＜0，b＞0时，
∴t+b＞t．
∵t＜0，
∴y1＜0，
又当t+b＞0，则y2＞0，y1＜y2，符合题意；
当t+b＜0，
∵t+b＞t，
∴y1＞y2，不合题意，
综上，C不合题意；
对于D，当t＜0，b＜0时，
∴t+b＜t＜0．
∴y1＜y2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
9．如图，Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知AC＝4，BC＝3．则圆锥的侧面积等于（　　）
A．6π B．9π C．15π D．25π
【分析】先利用勾股定理求解得到的母线长l为5，再根据侧面积公式计算即可．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∴圆锥的侧面积＝πlr＝5×3×π＝15π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体，要学会灵活的运用公式求解．
10．如图1，在△ABC中，点D是边AC上的定点，点P从点D出发，依次沿D→A→B→C→D的路线匀速运动，回到点D时停止．设点P运动的路程为x，DP2为y，则y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（　　）
A．AD＝20
B．点M的纵坐标为144
C．
D．点（64，36）在该函数图象上
【分析】根据图2最高点得出AD长，根据M点横坐标得出AE长进而求出DE及M点纵坐标；结合图2终点横坐标及选项D验证CD长，利用勾股定理的逆定理推导AB、BC长，从而判断选项．
【解答】解：由图2可知，y的最大值为400，此时P运动到A点，
∴AD2＝400，
解得AD＝20，
故A选项正确，不符合题意；
由图2可知，M点为A→B段的最低点，此时DP⊥AB，过点D作DE⊥AB，
∵M点横坐标为36，
∴AE＝36﹣AD＝36﹣20＝16，
在Rt△ADE中，，
∴M点纵坐标为DE2＝144，
故B选项正确，不符合题意；
作点B关于DE的对称点F，
则DF2＝DB2，BE＝EF，
根据图2可知P运动到点B和点F时，y＝DP2相等，
则AF+AD＝27，
∴AF＝27﹣AD＝27﹣20＝7，BE＝EF＝AE﹣AF＝16﹣7＝9，
∴AB＝AF+BE+EF＝7+9+9＝25，
∵BE＝9，DE＝12，
∴，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝∠BDC＝90°，
由图2可知P运动到C点时x＝62，
∴AD+AB+BC＝62，
∴BC＝62﹣（AD+AB）＝17，
选项C中，
故C选项错误，符合题意；
在△BDC中，，
若选项D正确，即点（64，36）在函数图象上，此时P在C→D段，x＝64，
则P从C→D点运动了64﹣62＝2，
∴DP＝CD﹣2，
又∵y＝DP2＝36，
∴DP＝6，
∴CD＝6+2＝8，
∴D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同，小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是　　 ．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同，
∴小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
13．如图，将两个全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF，∠ACB＝∠EFD＝90°）按如图方式摆放，使得点A与点D重合，点C落在边DE上，连结CF，若∠B＝42°，则∠BCF＝　156°　 ．
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝42°，求得∠BAC＝48°，由△ABC≌△DEF，点A与点D重合，点C落在边DE上，得AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝48°，由∠AFC＝∠ACF，由三角形内角和定理得2∠ACF+48°＝180°，求得∠ACF＝66°，则∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝156°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝48°，
∵△ABC≌△DEF，点A与点D重合，点C落在边DE上，
∴AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝48°，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC+∠ACF+∠EAF＝180°，
∴2∠ACF+48°＝180°，
∴∠ACF＝66°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°+66°＝156°，
故答案为：156°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等于180°、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝48°是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD和矩形DEFG位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在x轴上，且点B的坐标为（4，4）．若E为CD的中点，则点F的坐标为　（1，2）　 ．
【分析】由题意得矩形ABCD与矩形DEFG的相似比为2：1，可得点E的坐标为（2，2），则点C的坐标为（2，4），进而可得点F的坐标为（1，2）．
【解答】解：∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
即DE：CD＝1：2，
∴矩形ABCD与矩形DEFG的相似比为2：1．
∵点B的坐标为（4，4），
∴点E的坐标为（2，2），
∴点C的坐标为（2，4），
∴点F的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为0.3m．当菱形内角α的度数从120°缩小到60°时，伸缩门的总长度缩小了约　4.4　 m．（结果精确到0.1m，）
【分析】分别求出当菱形内角α的度数从120°缩小到60°时对角线的长度，相减后乘20即为伸缩门缩小的总长度．
【解答】解：当α＝120°时，如图，菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AC，BD交于点O，CD＝0.3m，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴∠CDO∠ADC＝60°，AC⊥BD，AC＝2OC，
∴∠COD＝90°，
∵CD＝0.3m，
∴OC＝CD×sin60°＝0.30.2595m，
∴AC＝2CO≈0.519m，
当α＝60°时，如图，菱形ABCD中，∠ADC＝60°，AC，BD交于点O，CD＝0.3m，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴∠CDO∠ADC＝30°，AC⊥BD，AC＝2OC，
∴∠COD＝90°，
∵CD＝0.3m，
∴OC＝CD×sin30°＝0.30.15m，
∴AC＝2CO＝0.3m，
∵伸缩门由20个菱形组成，
∴伸缩门的总长度缩小的长度为：20×（0.519﹣0.3）≈4.4（m），
故答案为：4.4．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的知识判断出菱形对角线的长度是解决本题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AB＝4，，过点B作BD⊥AB，垂足为点B，交AC于点E．若点P为射线BD上一点（不与点B，E重合），连结AP，点F为AP的中点，连结EF，且EF＝2.5，则tan∠PAB＝ 　或　 ．
【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，证明△BCH是等腰直角三角形得HB＝HC，由勾股定理得HB＝HCBC＝4，进而得AB＝BH＝4，由此可判定BE是△AHC的中位线，则BEHC＝2，再分两种情况讨论如下：
①当点P在BE的延长线时，过点F作FQ⊥BD于点Q，FK⊥AB于点K，证明FK是△ABP的中位线得AK＝BKAB＝2，证明四边形FKBQ是矩形得FQ＝BK＝2，FK＝BQ，在Rt△FQE中，由勾股定理得EQ＝1.5，则FK＝BQ＝3.5，然后在Rt△FAK中，由正切函数的定义得tan∠PAB；
②当点P在线段BE上时，过点F作FQ⊥BD于点Q，FK⊥AB于点K，同①得FK是△ABP的中位线，四边形FKBQ是矩形，则AK＝BKAB＝2，FQ＝BK＝2，FK＝BQ，在Rt△FQE中，由勾股定理得EQ＝1.5，则FK＝BQ＝0.5，然后在Rt△FAK中，由正切函数的定义得tan∠PAB，综上所述即可得出tan∠PAB的值．
【解答】解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，如图1所示：
∴∠H＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBH＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴△BCH是等腰直角三角形，
∴HB＝HC，
在Rt△BCH中，BC，
由勾股定理得：BCHB，
∴HB＝HCBC4，
∵AB＝4，
∴AB＝BH＝4，
∵BD⊥AB，垂足为点B，
∴BD∥CH，
∴BE是△AHC的中位线，
∴BEHC＝2，
∵点P为射线BD上一点（不与点B，E重合），
∴有以下两种情况：
①当点P在BE的延长线时，过点F作FQ⊥BD于点Q，FK⊥AB于点K，如图2所示，
∴∠FKA＝∠FKB＝∠FQE＝90°，
∴BD⊥AB，垂足为点B，
∴PK∥BD，FQ∥AB，∠ABP＝90°，
又∵点F是AP的中点，
∴FK是△ABP的中位线，
∴AK＝BKAB＝2，
∵∠FKB＝∠FQE＝∠ABP＝90°，
∴四边形FKBQ是矩形，
∴FQ＝BK＝2，FK＝BQ，
在△FQE中，∠FQE＝90°，EF＝2.5，
由勾股定理得：EQ1.5，
∴BQ＝BE+EQ＝2+1.5＝3.5，
在△FAK中，∠FKA＝90°，
∴tan∠PAB；
②当点P在线段BE上时，过点F作FQ⊥BD于点Q，FK⊥AB于点K，如图3所示，
∴∠FKA＝∠FKB＝∠FQE＝90°，
同①得：FK是△ABP的中位线，四边形FKBQ是矩形，
∴AK＝BKAB＝2，FQ＝BK＝2，FK＝BQ，
在△FQE中，∠FQE＝90°，EF＝2.5，
由勾股定理得：EQ1.5，
∴BQ＝BE﹣EQ＝2﹣1.5＝0.5，
∴FK＝BQ＝0.5，
在△FAK中，∠FKA＝90°，
∴tan∠PAB，
综上所述：tan∠PAB的值为或．
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．先化简，再求值：x2﹣3+x（5﹣x），其中x＝2．
【分析】先利用单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：x2﹣3+x（5﹣x）
＝x2﹣3+5x﹣x2
＝5x﹣3，
当x＝2时，原式＝5×2﹣3＝10﹣3＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解不等式组：．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分即可．
【解答】解：将第一个不等式移项，合并同类项得：2x＜4，
解得：x＜2，
将第二个不等式移项，合并同类项得：x＞1，
故原不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
19．某中学在九年级组织了一次AI知识竞赛活动，成绩分为四个等第：A．一般，B．合格，C．良好，D．优秀．为了解本次活动的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）老师随机抽取了　50　 名学生的成绩，这部分学生中B等第的人数为　16名　 ．
（2）求出m的值．
（3）已知等第为D的优秀同学可以在本次竞赛中获奖，请估算九年级500名参赛学生中的获奖人数．
【分析】（1）根据C的频数及其占比，可求出抽取的人数；进一步求出这部分学生中B等第的人数；
（2）用B组的人数除以抽取的数据总数即可求得m的值；
（3）计算九年级参赛学生总数与等第为D的优秀同学所占的频率的积即可．
【解答】解：（1）抽取的人数为：12÷24%＝50（名）；
这部分学生中B等第的人数为：50﹣20﹣12﹣2＝16（名）．
故答案为：50；16名；
（2）m%＝20÷50×100%＝40%，
m＝40；
（3）50020（名）．
故估算九年级500名参赛学生中的获奖人数为20名．
【点评】本题考查了扇形统计图与频数分布直方图，用样本估计总体数量等知识，掌握这些知识是关键．
20．如图，四边形ABCD为正方形，点E在对角线BD的延长线上，连接EA，EC．
（1）求证：△EAB≌△ECB．
（2）若∠ECD＝25°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质，即可证明△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）根据正方形的性质及全等三角形的性质，即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴，∠BCD＝90°，
∵△EAB≌△ECB，
∴∠BEA＝∠BEC，
∵∠ECD＝25°，
∴∠BEA＝∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣（90°+25°）＝20°，
∴∠AEC＝2∠BEA＝40°．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
21．春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．
请结合图象解答下列问题：
（1）求两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度．
（2）求甲无人机第一次表演的时长．
【分析】（1）根据图象中的数据可以计算出两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度；
（2）先计算出甲无人机的速度，再计算出a的值，然后即可得到甲无人机第一次表演的时长．
【解答】解：（1）由图象可得，
两架飞机联合表演的时长为30﹣20＝10（秒），
乙无人机上升时的飞行速度为（100﹣20）÷20＝4（米/秒），
即两架飞机联合表演的时长为10秒，乙无人机上升时的飞行速度为4米/秒；
（2）由图象可得，
甲无人机上升时的飞行速度为60÷6＝10（米/秒），
∴20﹣a＝（100﹣60）÷10，
解得a＝16，
∴甲无人机第一次表演的时长为a﹣6＝16﹣6＝10（秒），
即甲无人机第一次表演的时长为10秒．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．小明与小华合作探究：用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD．
小明的作法如图1：①以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点E，F．②分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，交∠BAC内一点D．③过点A作射线AD．
小华的作法如图2：①以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与角的两边分别交于点E，F．②分别以E，F为圆心，小于长为半径作圆弧，交AC于点G，H，交AB于点M，N．③…（未完成待续）．
（1）根据小明的作法，求证：∠DAC＝∠BAD．
（2）分析小华的不完整作法，判断小华的作法是否可以作出角平分线AD；若是可以，完成后续步骤，并给出证明．若是不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等可得结论；
（2）可以．③连接HM，GN交于点D；④作射线AD．射线AD即为所求．利用三次全等解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接DF，DE．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，即∠DAC＝∠BAD；
（2）解：可以．
方法：③连接HM，GN交于点D；
④作射线AD．
射线AD即为所求．
理由：在△AHM和△ANG中，
，
∴△AHM≌△ANG（SAS），
∴∠AHM＝∠ANG，
在△DGH和△DMN中，
，
∴△DGH≌△DMN（AAS），
∴DG＝DM，
在△ADG和△ADM中，
，
∴△ADG≌△ADM（SSS），
∴∠DAG＝∠DAM，
∴AD 平分∠BAC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线y＝x2+2tx+t2+2t的顶点．
（1）求点P的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）直线OP交抛物线于点Q（x2，y2）．
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值．
②点M（x3，y3）在抛物线上，当0＜x3＜2时，y2＜y3始终成立，求t的取值范围．
【分析】（1）本题需要将抛物线解析式配方为顶点式，直接写出顶点坐标．配方法是求二次函数顶点坐标的常用方法；
（2）①先根据点P的坐标求出直线OP的解析式，再联立抛物线方程求出点Q的坐标．利用中点坐标公式，结合O是PQ中点的条件，即可求出t的值；
②先求出点Q的坐标，再根据二次函数的对称性和单调性，分析＜spancopy﹣text＝“\（0＜x_3 0＜x3＜2时y3的最小值．根据＜spancopy﹣text＝“\（y_2 y2＜y3恒成立的条件，列出关于t的不等式求解．
【解答】解：（1）y＝x2+2tx+t2+2t
＝（x+t）2+2t
∴点P（﹣t，2t）；
（2）①∵O为线段PQ的中点
∴P，Q关于原点成中心对称
∴点Q（t，﹣2t）．
将点Q（t，﹣2t）代入y＝（x+t）2+2t，得﹣2t＝（t+t）2+2t，解得t1＝0（舍去）t2＝﹣1．
②可求得Q（﹣t﹣2，2t+4）
当﹣t＜0时，由y2＜y3可得t≥2．
当﹣t＞0时，由y2＜y3可得t≤﹣4．
∴t≥2或t≤﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的顶点、直线与抛物线的交点、中点坐标公式及二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的配方、联立方程求解交点、利用对称轴分析函数单调性，是解题的关键．
24．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，，过点C作CG⊥BD分别交BD，AB，⊙O于点E，F，G．
（1）求证：
①∠GCB＝∠CBA．
②BE＝AD+DE．
（2）当BF＝2GF时，求的值．
【分析】（1）①易证，即可得证；
②在线段BD上取一点H，使得BH＝AD，连结CH，AC，证△CAD≌△CBH（SAS），即可得证；
（2）易设BF＝CF＝2GF＝2a，则可得CE＝GEa，EFa，勾股求出BE，再证△CDE∽△BGE，据此求解即可．
【解答】（1）证明：①∵GC⊥BD
∴．
∵，
∴．
∴∠GCB＝∠CBA．
②如图，在线段BD上取一点H，使得BH＝AD，连结CH，AC，
∵
∴AC＝BC．
∵
∴∠DAC＝∠DBC．
∴△CAD≌△CBH（SAS）．
∴CD＝CH．
∵GC⊥BD
∴ED＝EH．
∴BE＝AD+DE．
（2）解：如图，连BG，
由（1）得，CF＝BF，设GF＝a，则BF＝CF＝2a，
∵直径BD⊥CG，
∴．
∴．
在Rt△EFB中，
．
∵∠CDE＝∠BGE，∠CED＝∠BEG，
∴△CDE∽△BGE，
∴．
∵，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形、相似三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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