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山西晋城市高平市部分学校2025-2026学年高二第二学期6月月考数学试题
一、单选题
1．研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
3．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A．144 B．114 C．94 D．78
4．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与6的大小关系不确定
5．正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．样本数据的第75百分位数为23
B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，且，则
10．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（ ）
A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.
13．若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______.
14．已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______．
四、解答题
15．现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表：
技术类型 任务结果 合计
成功 失败
技术 50 10 60
技术 30 30 60
合计 80 40 120
(1)根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关；
(2)已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率.
附：，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求.
17．已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面BCN夹角的正弦值；
(3)求三棱锥的体积．
18．已知函数.
(1)当时，求的极值点；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围.
19．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.
(1)求的方程；
(2)求证：的值为定值；
(3)设，的中点分别为，，求证：直线过定点.
参考答案
1．B
【详解】所有样本点都在直线上，是完全线性相关.
斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数.
2．A
【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:，
又因为，，
所以， ，
，
所以向量在向量上的投影向量：，
故A选项正确.
3．B
【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法，
所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法.
4．A
【详解】由题意，服从二项分布，
则，要使最大，
则且
，解得，
又，所以当为整数时，，；
当不为整数时，，，故.
5．C
【详解】设，，则，
因为，
可知数列为递增数列，则
当时，
，
可知，
所以．
6．D
【详解】因为，， ，
令，则.
又因为，令，得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因为，所以，
因此.
7．A
【详解】设．∵，
∴，化简整理，得，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
由题意可知，直线与圆有公共点，
∴，解得．
8．A
【详解】由题意可得，.
令，则在上单调递增，
又，，
所以，所以，即在上恒成立.
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以.
9．BC
【详解】选项A，样本共个数据，
，第75百分位数为第8项数据24，A错误；
选项B，方差，
因为，
故样本均值，样本总和为，B正确；
选项C，若，则，
根据期望性质，
得，C正确；
选项D，正态分布的对称轴为，
由对称性得，
则，D错误.
10．CD
【详解】已知，根据商的求导法则求导得： .
由题知，因此在上单调递减.
因为，结合单调递减性得： .
由，即， 整理得.
由，即， 整理得.
综上，选项A、B错误，选项C、D正确.
11．ABC
【详解】令双曲线的半焦距为，则，
由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，，
则，解得，于是，双曲线的方程为，
而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确；
双曲线C的渐近线方程为，B正确；
，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得，
即，因此，
当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确；
设点，，则，
，当且仅当时取等号，D错误.
12．
【详解】因为直线与互相平行，
所以，解得，
则，
所以与之间的距离.
故答案为：；.
13．－448
【详解】由题意得，所以，
所以的展开式的通项为，
令，解得.
所以的系数为.
故答案为：－448
14．
【详解】因为，，成等差数列，所以，
当时，可得，解得，
当时，可得，
则，
得到，化简得，
设，则，得到，
则，即数列是公比为2的等比数列，
得到，故.
15．(1)有关
(2)
【详解】（1）零假设：任务结果与技术类型无关，
根据列联表中数据，得，
依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立，
即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）设试验中使用技术时任务结果为成功为事件，试验中使用技术时任务结果为成功为事件，
甲体验的任务结果为成功为事件，
由题意，，，，，
则.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为①，
当时,可得，即，
当时，②.
由①②得，即，
即是以1为首项，为公比的等比数列，所以,
当时满足上式，所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相减得，
即，则
故.
17．(1)证明见解析.
(2)
(3)
【详解】（1）
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，为的中点，
又N为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）
由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
因为平面即平面，，，
，
取，则，从而，
设所求线面角为，，
，
所以与平面夹角的正弦值为.
（3）
设点到平面的距离为，，
，
已知，则，
所以
.
18．(1)极小值点为，极大值点为0
(2)
【详解】（1）由题意得，
当时，令，得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则函数的极小值点为，极大值点为0.
（2）由，得到，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，即在区间上单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，所以，
得到，所以，故的取值范围为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程.
（2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可.
（3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意得，解得.
所以，
所以的方程为.
（2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时，
，（或，），此时.
若直线与直线的斜率都存在时，如图：
设直线的方程为，，，
由，得，
所以，.
所以
因为，将换成，得，
所以.
综上所述，的值为定值.
（3）由（2）得，，
因为是的中点，所以，
将换成，得，即
若直线的斜率存在，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点
若直线的斜率不存在，则，解得，
此时直线的方程为，直线也过定点.
综上，直线过定点.

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