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第7课时　力的合成与分解
目标要求　1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
考点一　力的合成
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。如图甲、乙、丙所示。
2.合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
3.力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图丁所示，F1、F2为分力，F为合力。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。如图戊所示，F1、F2为分力，F为合力。
4.两个共点力的合力大小的范围：|F1-F2|≤F≤F1+F2。
(1)当两个力反向时，合力最小，为|F1-F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1+F2。
(2)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
1.互成角度的两个力，其中一个力增大后，合力一定增大吗？请作图说明。
答案　不一定。如图，F2增大后，合力F可能减小，可能不变，可能增大。
2.(1)有三个共点力F1=8 N，F2=7 N，F3=10 N，则这三个力合力的最大值为　　　 N，最小值为　　 N。
(2)有三个共点力F1=8 N，F2=7 N，F3=16 N，则这三个力合力的最大值为　　　 N，最小值为　　　 N。
(3)根据(1)(2)计算结果，总结求三个力合力最小值的规律：　　　　　　　　　　　　　　。
答案　(1)25　0　(2)31　1
(3)如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围之内，则其合力的最小值为零，即Fmin=0；否则Fmin=F3-(F1+F2)(F3为三个力中最大的力)。
例1　如图所示，在光滑的水平面上，一物块受到水平方向F1和F2两个互成θ角的共点力作用，F1=2 N，F2=3 N。现保持θ角和F1不变，仅将F2加倍时，F1和F2的合力大小也加倍，则F1和F2的夹角θ等于(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案　D
解析　由合力公式知F2=++2F1F2cos θ，将F1=2 N、F2=3 N，代入公式得F2=13+12cos θ (N)，将F1=2 N、F2'=6 N，代入公式得F'2=40+24cos θ (N)，由题意知F'=2F，联立解得cos θ=-，θ=120°，故选D。
例2　(2023·重庆卷·1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
答案　B
解析　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos，故选B。
思考　在例2中，若夹角α=120°，则合力大小是多少？方向有什么特点？
答案　根据平行四边形定则可知，合力大小为F，方向在两个力的夹角平分线上，与每个力的夹角都是60°。
例3　(2025·广东东莞市检测)破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，如图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是(　　)
A.a B.b C.c D.d
答案　C
解析　由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c，故选C。
考点二　力的分解
1.力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则。
2.分解方法
(1)按力产生的效果分解
①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
②再根据两个分力方向画出平行四边形。
③最后由几何知识求出两个分力的大小和方向。
(2)正交分解
将力沿相互垂直的两个坐标轴分解，从而求出沿坐标轴方向上的合力，列平衡方程或牛顿第二定律。
①建立坐标系的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
②多个力求合力的方法：把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力大小F=
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ=。
例4　(来自教材改编)(2025·广东佛山市检测)如图甲所示是斧子砍进木桩时的示意图，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，若施加竖直向下的力与斧子的重力合计为F，则(　　)
A.侧向分力F1、F2大小为
B.F越小，斧头对木桩的侧向压力越大
C.相同的力F，θ越大的斧子，越容易劈开木桩
D.相同的力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
答案　D
解析　如图所示，将力F进行分解，由几何关系可知，2α+θ=180°，F1=F2=，解得F1=F2=。可知，力F越小，侧向分力F1、F2越小，则斧头对木桩的侧向压力越小，故A、B错误；由A、B选项可知F1=F2=，则施加相同的力F，θ越小，斧头对木桩的侧向压力越大，越容易劈开木桩，故C错误，D正确。
例5　(2022·辽宁卷·4)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　)
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
答案　D
解析　对结点O受力分析可得，水平方向有F1x=F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y=，F2y=，因为α>β，故F1y例6　如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x(在弹性限度内)，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C.耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
答案　D
解析　弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB=FDE=kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx=FABcos 37°+FDEcos 53°=kx，Fy=FABsin 37°+FDEsin 53°=kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F==kx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ==1，即口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。
1.力的正交分解一般是在物体受三个或三个以上共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
2.若物体受两个力，两个力直接合成的数学运算比较复杂时，可采用正交分解避开这个问题。
课时精练
[分值：54分]
　[1~6题，每题4分]
1.(来自教材改编)两人共提一桶水缓慢前行，水桶受到的拉力如图所示，则(　　)
A.F1与F2间的夹角大些省力
B.F1与F2的大小与两力间的夹角无关
C.不论F1与F2间的夹角如何，两拉力的大小之和一定等于水和水桶的重力大小
D.不论F1与F2间的夹角如何，两拉力的合力大小一定等于水和水桶的重力大小
答案　D
解析　由平衡条件可知，两人拉力的合力一定与水和水桶的重力等大反向。合力一定，两拉力夹角越小，两拉力就越小，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·重庆市质检)弩是古代的一种冷兵器，是古代兵车战法中的重要组成部分，它利用张开的弓弦急速回弹形成的动能，高速将箭射出。如图所示，某次发射弩箭的瞬间，两端弓弦的夹角为60°，弓弦上的张力大小为FT，则此时弩箭受到弓弦的作用力大小为(　　)
A.2FT B.FT
C.FT D.FT
答案　C
解析　两端弓弦的夹角为60°，弓弦上的张力大小为FT，则此时弩箭受到弓弦的作用力大小为F=2FTcos 30°=FT，故选C。
3.(多选)图甲、乙、丙、丁所示的四种情况是某一质点在同一平面内同时受到的三个共点力，若坐标纸中每格边长表示1 N大小的力，则下列关于质点所受的合力的说法中正确的是(　　)
A.图甲中质点所受的合力大小是12 N，方向水平向右
B.图乙中质点所受的合力等于0
C.图丙中质点所受的合力大小是8 N，方向竖直向上
D.图丁中质点所受的合力大小等于5 N
答案　AC
解析　题图甲中，F1、F2的合力为8 N，方向水平向右，与F3方向一致，则3个力的合力为12 N，方向水平向右，故A正确；题图乙中，F3与F2的合力与F1大小相等，方向相同，所以3个力的合力为6 N，方向水平向右，故B错误；题图丙中，将F3与F2正交分解，则水平方向大小相等，方向相反；竖直方向合力为5 N，则3个力的合力大小为8 N，方向竖直向上，故C正确；题图丁中，将F3与F2正交分解，水平方向合力大小为1 N，竖直方向合力为4 N，所以3个力的合力在水平方向的大小为1 N，在竖直方向的大小为3 N，由勾股定理求得合力大小为 N，故D错误。
4.(2025·宁夏中卫市期中)如图所示，物体静止于光滑水平面上，在两个力作用下沿合力F方向运动，分力和F均在同一水平面上，其中F=10 N，一个分力沿着OO'方向，θ=60°，则另一分力的最小值为(　　)
A.5 N B.10 N
C.5 N D.0
答案　A
解析　当两分力相互垂直时，另一分力最小，则有F2=Fsin 60°=5 N，故选A。
5.(2025·湖北襄阳市第一中学月考)在药物使用中应用到很多物理知识。甲、乙两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力。现只分析图乙的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，则(　　)
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大
C.若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越小
D.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN=Fcos θ
答案　B
解析　将力F分解在垂直于针尖的两个侧面的方向上，如图所示，由几何关系知，针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN比水平侧面的推力FN'大，故A错误，B正确；由三角函数知识得FN=，FN'=，若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越大，故C、D错误。
6.(2025·贵州贵阳市二模)如图所示为斜拉桥的索塔与钢索的简单示意图，斜拉桥所有钢索均处在同一竖直面内，索塔两侧钢索对称且沿索塔均匀分布，假设每根钢索对桥作用力大小相等、与水平方向夹角相等(忽略钢索的质量及桥面高度的变化)。下列说法正确的是(　　)
A.仅减小索塔高度可减小每根钢索的拉力大小
B.仅增加索塔高度可减小每根钢索的拉力大小
C.仅增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的拉力
D.仅减少钢索的数量可减小索塔受到的向下的拉力
答案　B
解析　设桥面的质量为m，有n根钢索，每根钢索的拉力大小为F，每根钢索与竖直方向的夹角均为θ，桥面的重力一定，根据平衡条件有nFcos θ=mg，可得每根钢索的拉力大小为F=，仅增加索塔高度，钢索与竖直方向的夹角减小，每根钢索的拉力减小，故A错误，B正确；对桥面受力分析可知，所有钢索对桥面拉力的合力与桥面的重力大小相等、方向相反，则钢索对索塔向下的拉力大小等于桥面的重力，故增加或减小钢索的数量，索塔受到的向下的拉力不变，故C、D错误。
　[7~10题，每题6分]
7.(2025·山东省实验中学质检)某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕A处的环转动，两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm，B、C两点的间距L=96 cm时，B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg，重力加速度大小g取9.8 m/s2，忽略A处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为(　　)
A.1 680 N B.1 470 N
C.875 N D.840 N
答案　B
解析　该同学站在A点时，重力产生两个效果力F1、F2，如图甲所示，
设F1、F2与竖直方向的夹角为θ，则有F1=F2=，在B点对F1进行分解，如图乙所示，
则水平推力为F=F1sin θ=mgtan θ，由几何关系得tan θ=，联立并代入数据可得F=1 470 N，故选B。
8.(多选)(2025·河北省衡水中学月考)耙在中国已有1 500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B=60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是(　　)
A.两根耙索的合力大小为F
B.两根耙索的合力大小为F
C.地对耙的水平阻力大小为
D.地对耙的水平阻力大小为
答案　BC
解析　两根耙索的合力大小为F'=2Fcos 30°=F，A错误，B正确；由平衡条件得，地对耙的水平阻力大小为Ff=F'cos 30°=F，C正确，D错误。
9.表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d等为网绳的结点，安全网水平张紧后，质量为m的运动员从高处落下，恰好落在O点上。该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg夹角均为120°，如图乙所示，此时O点受到向下的冲击力大小为4F，重力加速度为g，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为(　　)
A.F B.2F
C.4F+mg D.
答案　B
解析　由题意可知，此时每根绳与水平方向的夹角为30°，设每根绳子张力为FT，则有4FTsin 30°=4F，这时O点周围每根网绳承受的张力大小为FT=2F，故B正确，A、C、D错误。
10.(2025·河南信阳市二模)榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力F沿竖直方向向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力分别为F1和F2，不计木工凿的重力，下列说法正确的是(　　)
A.F1和F2是F的两个分力
B.凿子尖端打磨的夹角不同，F2一定大于F1
C.凿子尖端打磨的夹角不同，F2一定大于F
D.凿子尖端打磨的夹角不同，F1一定大于F
答案　D
解析　F1和F2是木工凿对木头的弹力，F是木工凿受到锤子的作用力，则F1、F2不是F的分力，故A错误；木工凿对木头的合力F'等于F，将F'沿垂直两接触面的方向分解，如图，分力大小分别为F1和F2，则由数学知识可知F1一定大于F和F2；当θ<45°时，F2>F，当θ>45°时，F2　[6分]
11.(2025·山东菏泽市二模)某兴趣小组探究分力F1、F2与合力F的关系。保持合力F的大小和方向不变，分力F2的大小不变，在如图所示平面内改变分力F2的方向，分力F1的箭头的轨迹图形为(　　)
答案　A
解析　若以O点为坐标原点，以F的方向为x轴正方向建立坐标系，设F2与F的夹角为θ，则分力F1的箭头的坐标满足x+F2cos θ=F，y=-F2sin θ，联立化简得(x-F)2+y2=，因保持合力F的大小和方向不变，分力F2的大小不变，则使F2与F的夹角从0°逐渐增大到360°的过程中，F1的箭头的轨迹图形为圆，A正确。(共48张PPT)
第二章
相互作用
力的合成与分解
第7课时
1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力。
2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。
目标要求
课时精练
考点一　力的合成
考点二　力的分解
内容索引
力的合成
考点一
1.共点力
几个力如果都作用在物体的　　　　，或者它们的作用线　　　　　　，这几个力叫作共点力。如图甲、乙、丙所示。
同一点
相交于一点
2.合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的　　　，那几个力叫作这个力的　　　。
(2)关系：合力与分力是　　　　　关系。
合力
分力
等效替代
3.力的合成
(1)定义：求几个力的　　　的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为　　　作平行四边形，这两个邻边之间的　　　　就表示合力的大小和方向。如图丁所示，F1、F2为分力，F为合力。
合力
邻边
对角线
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的　　　　　为合矢量。如图戊所示，F1、F2为分力，F为合力。
有向线段
4.两个共点力的合力大小的范围：　　　　≤F≤　　　。
(1)当两个力反向时，合力最小，为　　　　；当两个力同向时，合力最大，为　　　。
(2)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而　　　。
|F1-F2|
F1+F2
|F1-F2|
F1+F2
减小
1.互成角度的两个力，其中一个力增大后，合力一定增大吗？请作图说明。
答案　不一定。如图，F2增大后，合力F可能减小，可能不变，可能增大。
讨论交流
2.(1)有三个共点力F1=8 N，F2=7 N，F3=10 N，则这三个力合力的最大值为　　　 N，最小值为　　 N。
(2)有三个共点力F1=8 N，F2=7 N，F3=16 N，则这三个力合力的最大值为　　　 N，最小值为　　　 N。
(3)根据(1)(2)计算结果，总结求三个力合力最小值的规律：___________
________________________________________________________________________________________________________________。
25
0
31
1
如果一个力
的大小处于另外两个力的合力大小范围之内，则其合力的最小值为零，即Fmin=0；否则Fmin=F3-(F1+F2)(F3为三个力中最大的力)
　　　如图所示，在光滑的水平面上，一物块受到水平方向F1和F2两个互成θ角的共点力作用，F1=2 N，F2=3 N。现保持θ角和F1不变，仅将F2加倍时，F1和F2的合力大小也加倍，则F1和F2的夹角θ等于
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
　　 由合力公式知F2=++2F1F2cos θ，将F1=2 N、F2=3 N，代入公式得F2=13+12cos θ (N)，将F1=2 N、F2'=6 N，代入公式得F'2=40+24cos θ (N)，由题意知F'=2F，联立解得cos θ=-，θ=120°，故选D。
(2023·重庆卷·1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为
A.2Fsin B.2Fcos
C.Fsin α D.Fcos α
√
　　 根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合=
2Fcos，故选B。
思考　在例2中，若夹角α=120°，则合力大小是多少？方向有什么特点？
答案　根据平行四边形定则可知，合力大小为F，方向在两个力的夹角平分线上，与每个力的夹角都是60°。
　　　(2025·广东东莞市检测)破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，如图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是
A.a B.b
C.c D.d
√
　　 由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c，故选C。
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力的分解
考点二
1.力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：　　　　　　定则或
　　　　定则。
2.分解方法
(1)按力产生的　　　分解
①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
②再根据两个分力方向画出平行四边形。
③最后由几何知识求出两个分力的大小和方向。
平行四边形
三角形
效果
(2)正交分解
将力沿相互垂直的两个坐标轴分解，从而求出沿坐标轴方向上的合力，列平衡方程或牛顿第二定律。
①建立坐标系的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
②多个力求合力的方法：把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…
y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
合力大小F=
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ=。
　　　(来自教材改编)(2025·广东佛山市检测)如图甲所示是斧子砍进木桩时的示意图，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，若施加竖直向下的力与斧子的重力合计为F，则
A.侧向分力F1、F2大小为
B.F越小，斧头对木桩的侧向压力越大
C.相同的力F，θ越大的斧子，越容易劈开
　木桩
D.相同的力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
√
　　 如图所示，将力F进行分解，由几何关系可知，
2α+θ=180°，F1=F2=，解得F1=F2=。可知，
力F越小，侧向分力F1、F2越小，则斧头对木桩的侧向压力越小，故A、B错误；
由A、B选项可知F1=F2=，则施加相同的力F，θ越小，斧头对木桩的
侧向压力越大，越容易劈开木桩，故C错误，D正确。
(2022·辽宁卷·4)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则
A.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B.F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C.F1的水平分力大于F2的水平分力
D.F1的水平分力等于F2的水平分力
√
　　 对结点O受力分析可得，水平方向有F1x=F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；
F1y=，F2y=，因为α>β，故F1y　　　如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x(在弹性限度内)，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°=0.6，cos 37°=
0.8，则下列说法正确的是
A.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37°
B.口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53°
C.耳朵受到的口罩带的作用力为2kx
D.耳朵受到的口罩带的作用力为kx
√
　　 弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB=FDE=kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx=
FABcos 37°+FDEcos 53°=kx，Fy=FABsin 37°+FDEsin 53°=
kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F==
kx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ==1，即口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。
1.力的正交分解一般是在物体受三个或三个以上共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
2.若物体受两个力，两个力直接合成的数学运算比较复杂时，可采用正交分解避开这个问题。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C AC A B B B BC
题号 9 10 11
答案 B D A
答案
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1.(来自教材改编)两人共提一桶水缓慢前行，水桶受到的拉力如图所示，则
A.F1与F2间的夹角大些省力
B.F1与F2的大小与两力间的夹角无关
C.不论F1与F2间的夹角如何，两拉力的大小之和一定等于
　水和水桶的重力大小
D.不论F1与F2间的夹角如何，两拉力的合力大小一定等于
　水和水桶的重力大小
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答案
基础落实练
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答案
　　 由平衡条件可知，两人拉力的合力一定与水和水桶的重力等大反向。合力一定，两拉力夹角越小，两拉力就越小，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·重庆市质检)弩是古代的一种冷兵器，是古代兵车战法中的重要组成部分，它利用张开的弓弦急速回弹形成的动能，高速将箭射出。如图所示，某次发射弩箭的瞬间，两端弓弦的夹角为60°，弓弦上的张力大小为FT，则此时弩箭受到弓弦的作用力大小为
A.2FT B.FT
C.FT D.FT
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答案
　　 两端弓弦的夹角为60°，弓弦上的张力大小为FT，则此时弩箭受到弓弦的作用力大小为F=2FTcos 30°=FT，故选C。
√
3.(多选)图甲、乙、丙、丁所示的四种情况是某一质点在同一平面内同时受到的三个共点力，若坐标纸中每格边长表示1 N大小的力，则下列关于质点所受的合力的说法中正确的是
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答案
A.图甲中质点所受的合力大小是12 N，方向
　水平向右
B.图乙中质点所受的合力等于0
C.图丙中质点所受的合力大小是8 N，方向竖
　直向上
D.图丁中质点所受的合力大小等于5 N
√
√
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答案
　　 题图甲中，F1、F2的合力为8 N，方向水平向右，与F3方向一致，则3个力的合力为12 N，方向水平向右，故A正确；
题图乙中，F3与F2的合力与F1大小相等，方向相同，所以3个力的合力为6 N，方向水平向右，故B错误；
题图丙中，将F3与F2正交分解，则水平方向大小相等，方向相反；竖直方向合力为5 N，则3个力的合力大小为8 N，方向竖直向上，故C正确；
题图丁中，将F3与F2正交分解，水平方向合力大小为1 N，竖直方向合力为4 N，所以3个力的合力在水平方向的大小为1 N，在竖直方向的大小为3 N，由勾股定理求得合力大小为 N，故D错误。
4.(2025·宁夏中卫市期中)如图所示，物体静止于光滑水平面上，在两个力作用下沿合力F方向运动，分力和F均在同一水平面上，其中F=10 N，一个分力沿着OO'方向，θ=60°，则另一分力的最小值为
A.5 N B.10 N
C.5 N D.0
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　　 当两分力相互垂直时，另一分力最小，则有F2=Fsin 60°=5 N，故选A。
√
5.(2025·湖北襄阳市第一中学月考)在药物使用中应用到很多物理知识。甲、乙两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力。现只分析图乙的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，则
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答案
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面
　的推力大
C.若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧
　面对瓶塞产生的推力就越小
D.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN=Fcos θ
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答案
　　将力F分解在垂直于针尖的两个侧面的方向上，如图所示，由几何关系知，针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN比水平侧面的推力FN'大，故A错误，B正确；
由三角函数知识得FN=，FN'=，若F一定，使用顶角
越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越大，故C、D错误。
6.(2025·贵州贵阳市二模)如图所示为斜拉桥的索塔与钢索的简单示意图，斜拉桥所有钢索均处在同一竖直面内，索塔两侧钢索对称且沿索塔均匀分布，假设每根钢索对桥作用力大小相等、与水平方向夹角相等(忽略钢索的质量及桥面高度的变化)。下列说法正确的是
A.仅减小索塔高度可减小每根钢索的拉力大小
B.仅增加索塔高度可减小每根钢索的拉力大小
C.仅增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的拉力
D.仅减少钢索的数量可减小索塔受到的向下的拉力
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答案
　　设桥面的质量为m，有n根钢索，每根钢索的拉力大小为F，每根钢索与竖直方向的夹角均为θ，桥面的重力一定，根据平衡条件有nFcos θ=mg，
可得每根钢索的拉力大小为F=，仅增加索塔高度，钢索与竖直方向
的夹角减小，每根钢索的拉力减小，故A错误，B正确；
对桥面受力分析可知，所有钢索对桥面拉力的合力与桥面的重力大小相等、方向相反，则钢索对索塔向下的拉力大小等于桥面的重力，故增加或减小钢索的数量，索塔受到的向下的拉力不变，故C、D错误。
7.(2025·山东省实验中学质检)某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕A处的环转动，两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高h=8 cm，B、C两点的间距L=96 cm时，B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为m=50 kg，重力加速度大小g取9.8 m/s2，忽略A处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为
A.1 680 N B.1 470 N
C.875 N D.840 N
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能力综合练
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答案
　　 该同学站在A点时，重力产生两个效果力F1、F2，如图甲所示，
设F1、F2与竖直方向的夹角为θ，则有F1=F2=，在
B点对F1进行分解，如图乙所示，
则水平推力为F=F1sin θ=mgtan θ，由几何关系得tan θ =，联立并代入数据可得F=1 470 N，故选B。
8.(多选)(2025·河北省衡水中学月考)耙在中国已有1 500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为O1，夹角∠AO1B=60°，拉力大小均为F，平面AO1B与水平面的夹角为30°(O2为AB的中点)，如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是
A.两根耙索的合力大小为F
B.两根耙索的合力大小为F
C.地对耙的水平阻力大小为
D.地对耙的水平阻力大小为
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答案
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　　 两根耙索的合力大小为F'=2Fcos 30°=F，A错误，B正确；
由平衡条件得，地对耙的水平阻力大小为Ff=F'cos 30°=F，C正确，D错误。
9.表演的安全网如图甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d等为网绳的结点，安全网水平张紧后，质量为m的运动员从高处落下，恰好落在O点上。该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg夹角均为120°，如图乙所示，此时O点受到向下的冲击力大小为4F，重力加速度为g，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为
A.F B.2F
C.4F+mg D.
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　　 由题意可知，此时每根绳与水平方向的夹角为30°，设每根绳子张力为FT，则有4FTsin 30°=4F，这时O点周围每根网绳承受的张力大小为FT=2F，故B正确，A、C、D错误。
10.(2025·河南信阳市二模)榫卯结构是中国传统木建筑、木家具的主要结构方式，我国未来的月球基地将采用月壤烧制的带有榫卯结构的月壤砖建设。在木结构上凿削矩形榫眼用的是如图甲所示木工凿，凿削榫眼时用锤子敲击木工凿柄，将木工凿尖端钉入木头，木工凿尖端钉入木头时的截面如图乙所示，锤子对木工凿施加的力F沿竖直方向向下，木工凿对木头的侧面和竖直面的压力分别为F1和F2，不计木工凿的重力，下列说法正确的是
A.F1和F2是F的两个分力
B.凿子尖端打磨的夹角不同，F2一定大于F1
C.凿子尖端打磨的夹角不同，F2一定大于F
D.凿子尖端打磨的夹角不同，F1一定大于F
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　　F1和F2是木工凿对木头的弹力，F是木工凿受到锤子的作用力，则F1、F2不是F的分力，故A错误；
木工凿对木头的合力F'等于F，将F'沿垂直两接触面的方向分解，如图，分力大小分别为F1和F2，则由
数学知识可知F1一定大于F和F2；当θ<45°时，F2>F，当θ>45°时，F211.(2025·山东菏泽市二模)某兴趣小组探究分力F1、F2与合力F的关系。保持合力F的大小和方向不变，分力F2的大小不变，在如图所示平面内改变分力F2的方向，分力F1的箭头的轨迹图形为
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尖子生选练
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　　 若以O点为坐标原点，以F的方向为x轴正方向建立坐标系，设F2与F的夹角为θ，则分力F1的箭头的坐标满足x+F2cos θ=F，y=-F2sin θ，联立化简得(x-F)2+y2=，因保持合力F的大小和方向不变，分力F2的大小不变，则使F2与F的夹角从0°逐渐增大到360°的过程中，F1的箭头的轨迹图形为圆，A正确。
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