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第8课时　受力分析　共点力的平衡
目标要求　1.熟练掌握受力分析的步骤，会灵活应用整体法、隔离法并结合牛顿第三定律进行受力分析。2.理解共点力平衡的条件，会解决共点力平衡问题。3.知道“活结”和“死结”“动杆”和“定杆”的区别。
考点一　受力分析
受力分析的一般步骤
例1　两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图甲、乙两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数之比为(　　)
A.1∶1 B.4∶3 C.5∶3 D.5∶4
答案　C
解析　题图甲中，根据整体法可知，木块B除了受重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和竖直向上的静摩擦力，隔离B分析，其一定还受到A的弹力，隔离A分析，A受到重力、水平向左的推力、B对其垂直于接触面斜向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜向右上的静摩擦力才能平衡，可知B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，故B共受5个力的作用；题图乙中，根据整体法可知B与墙面间既无弹力也无摩擦力，所以B受重力和A的弹力及摩擦力共3个力的作用。则在此两种方式中，木块B受力个数之比为5∶3，故选C。
1.当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
2.在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。
3.整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
考点二　共点力的平衡
1.共点力的平衡
(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动。
(2)平衡条件：F合=0或Fx=0，Fy=0。
(3)常用推论
①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n-1)个力的合力大小相等、方向相反。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
“静止的物体速度为0处于平衡状态，竖直上抛的物体到达最高点时速度为0，也处于平衡状态”，这种说法对吗？
答案　不对，物体处于静止或做匀速直线运动是平衡状态，某一时刻速度为0不是物体处于平衡状态的判断依据。
2.求解共点力平衡问题的常用方法
(1)合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
(2)正交分解法：Fx合=0，Fy合=0，常用于多力平衡。
(3)矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形。
例2　(2023·浙江6月选考·6)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb=90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A.Fa=0.6G，Fb=0.4G
B.Fa=0.4G，Fb=0.6G
C.Fa=0.8G，Fb=0.6G
D.Fa=0.6G，Fb=0.8G
答案　D
解析　对光滑圆柱体受力分析如图，由题意有Fa=Gsin 37°=0.6G，Fb=Gcos 37°=0.8G，故选D。
例3　(2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为(　　)
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
答案　A
解析　对小球受力分析如图所示
由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此将力F和FN正交分解可得
FNsin 30°=Fsin 30°，FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg
解得F=FN= N，故选A。
例4　(2025·山东省齐鲁名校联考检测)如图所示为在有风状态下晾晒衣服的情形，ACB为一轻质晾衣绳。衣服受到的风力方向水平向右、大小恒定，衣服稳定时，AC与水平方向的夹角为30°，BC沿竖直方向。已知衣服与晾衣架的总质量为m，重力加速度为g。不考虑晾衣架与绳之间的摩擦，则风对衣服作用力的大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.2mg
答案　A
解析　对衣服受力分析并建立坐标系，如图所示，由水平方向和竖直方向受力平衡得FTcos 30°=F，FTsin 30°+FT=mg，解得F=mg，故选A。
　处理平衡问题的三个技巧
1.物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。非特殊角时，可考虑用矢量三角形法。
2.物体受四个或四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。
3.正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。
例5　(2025·江苏苏州市期中)灯笼有着美好的象征寓意。如图所示，质量分别为m1和m2的甲、乙两个灯笼用两根轻绳串接悬挂于O点，在稳定的水平风力作用下发生倾斜，悬挂于O点的轻绳与竖直方向的夹角θ，两灯笼大小相同且所受风力相同，重力加速度为g。求：
(1)悬挂于O点的轻绳拉力FT1的大小及灯笼所受风力F的大小；
(2)甲、乙两灯笼间的轻绳拉力FT2的大小。
答案　(1)　(m1+m2)gtan θ
(2)
解析　(1)把两个灯笼作为整体分析，受到重力(m1+m2)g、风力2F和轻绳拉力FT1而处于平衡状态，如图
由平衡条件可知竖直方向
FT1cos θ=(m1+m2)g
水平方向
FT1sin θ=2F
联立解得
FT1=，F=(m1+m2)gtan θ
(2)对乙灯笼受力分析可知，其受到重力m2g、风力F和两灯笼间轻绳拉力FT2而处于平衡状态，有=+F2
联立解得
FT2=。
拓展　若有6个相同的质量均为m的小球用等长轻绳连接后，一端悬挂在天花板上，另一端系在竖直墙上如图所示。其中球1上方细绳与竖直方向夹角为θ=30°，球6右方的细绳水平，重力加速度大小为g。求：
(1)球4与球5间绳子的张力大小；
(2)球2与球3间绳子的张力大小。
答案　(1)4mg　(2)2mg
解析　(1)以6个小球组成的整体为研究对象，受力分析如图甲所示，
可得F01==4mg
F水平=6mgtan 30°=2mg
以球5、球6组成的整体为研究对象，受力分析如图乙所示，可得F45==4mg
(2)以球3、4、5、6组成的整体为研究对象，受力分析如图丙所示，可得F23==2mg。
　应用整体法和隔离法处理平衡问题的基本思路
例6　(2025·广东省部分学校联考)如图所示为市场上销售的某款晾衣篮，上方篮子通过四条等长的轻质细线对称悬挂，下方篮子通过四条等长的轻质细线竖直悬挂处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A.上方四条悬挂细线中的拉力相同
B.上方细线越长，细线中的拉力越大
C.上方细线中的拉力大小可能等于下方细线中的拉力大小
D.上方细线中的拉力大小一定大于下方细线中的拉力大小
答案　D
解析　根据对称性，上方四条悬挂细线中的拉力大小相等，方向不同，故A错误；设上方、下方篮子和衣物的总质量分别为m1、m2，上方、下方每条细线的拉力大小分别为F1、F2，上方细线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件有4F1cos θ=(m1+m2)g，4F2=m2g
整理解得F1=
上方细线越长，θ越小，cos θ越大，F1越小，再由F1=>=m1g+F2
则F1>F2，故B、C错误，D正确。
　解决对称结构非共面力的平衡问题
1.注意结构对称特点，找出某一关键角。
2.只需分解对称力中的某一个力，然后在某一方向(比如竖直方向)列平衡方程。
考点三　“活结”和“死结”　“动杆”和“定杆”
1.“活结”和“死结”问题
分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”一般由绳跨过光滑滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力大小不一定相等
2.“动杆”和“定杆”问题
分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点
“动杆” 模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外
“定杆” 模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
例7　(2025·天津市新华中学月考)甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有光滑小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于竖直墙，则下列说法中正确的是(　　)
A.甲、乙两图中杆中弹力之比为1∶
B.甲图中杆的弹力更大
C.两根杆中弹力方向均沿杆方向
D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时(甲、乙中重物质量始终相等)，乙中轻绳先断裂
答案　B
解析　题图甲中的杆有铰链相连，可以自由转动，弹力方向沿杆方向，题图乙中的杆一端插在墙里，不能自由转动，弹力方向不一定沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向，故C错误；
题图甲中，以B点为研究对象，受力分析如图(a)，根据平衡条件可得
FN==mg
题图乙中，以D点为研究对象，受力分析如图(b)，受到重物的拉力、上边绳的拉力和CD杆的弹力，由于拉力FT'和重力的夹角为120°且大小均为mg，则由几何知识可得FN'=FT'=mg
即轻杆中的弹力大小为mg，则甲、乙两图中杆中弹力之比为∶1，故A错误，B正确；
题图甲中轻绳的拉力大小为FT==2mg
题图乙中轻绳的拉力大小FT'=mg
若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时，甲中轻绳先断裂，故D错误。
例8　(多选)(2025·湖北十堰市检测)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　)
A.将绳的右端上移到b'，绳子拉力大小不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案　AB
解析　设衣架挂于绳上O点，衣架与衣服质量之和为m，绳aOb长为L，M、N的水平距离为d，bO延长线交M于a'，由几何关系知a'O=aO，sin θ=，由平衡条件有2Fcos θ=mg，则F=。当绳右端从b上移到b'时，d、L不变，θ不变，故F不变，选项A正确，C错误；将杆N向右移一些，L不变，d变大，θ变大，cos θ变小，则F变大，选项B正确；只改变衣服的质量，则m变化，其他条件不变，则sin θ不变，θ不变，衣架悬挂点不变，选项D错误。
　“晾衣架”模型两种情况
1.如图，若绳长L和d不变，上、下移动绳子B端，则θ不变，绳拉力F不变；
2.绳长L不变，两杆之间水平距离越远，则θ越大，绳拉力F越大。
课时精练
[分值：64分]
　[1~5题，每题4分]
1.(2025·陕晋青宁卷·4)如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为(　　)
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
答案　D
解析　对钢管受力分析，如图所示。若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的摩擦力大小为零，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·福建卷·1)“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则(　　)
A.F1的大小比F2的小
B.F1的大小比F2的大
C.F1与F2大小相等
D.F1与F2方向相同
答案　A
解析　如图，当没有风力作用时，底部巨石对“风动石”的作用力F1与“风动石”的重力G大小相等、方向相反。当“风动石”受到一水平方向的风力作用时，“风动石”受到底部巨石的作用力F2、重力G和水平方向风力F风这三个力的作用，仍保持静止，故合力为零。由图可知，F1的大小等于重力G，F2的大小大于重力G，故选项A正确，B、C错误；F1与F2的方向不同，故选项D错误。
3.(2025·北京卷·6)如图所示，长方体物块A、B叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止，B受力的个数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　C
解析　根据题意，对A受力分析可知，受重力、B的支持力，由于A静止，则A还受B沿斜面向上的静摩擦力，对B受力分析如图，受重力、斜面的支持力、A的压力、拉力F、A对B沿斜面向下的摩擦力，由于B静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B受6个力作用。故选C。
4.(2025·重庆卷·1)现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为(重力加速度为g)(　　)
A.2mg B.mg C.mg D.mg
答案　B
解析　以钢管为研究对象，设轻绳的拉力大小为FT，根据对称性可知两边绳子拉力大小相等，根据平衡条件有2FTcos 60°=mg，可得FT=mg，故选B。
5.(2025·河北承德市检测)如图甲，一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，沿着横杆看过去，如图乙所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.5倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则竖直墙对球的弹力大小为(　　)
A.mg B.
C. D.
答案　B
解析　设球的半径为R，对球进行受力分析如图所示，
根据几何关系可知
sin α==0.5
解得α=30°
根据平衡条件得F=mgtan α=，故选B。
6.(8分)(2025·天津市静海区检测)如图所示，质量M=2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块A与质量m= kg的小球相连。用跟水平方向成α=30°角的力F拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中木块、小球相对位置保持不变，木块与水平杆间的动摩擦因数为μ=，g取10 m/s2，求：
(1)(4分)力F的大小；
(2)(4分)运动过程中轻绳与水平方向夹角θ。
答案　(1)10 N　(2)30°
解析　(1)以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况如图甲所示
由平衡条件得在水平方向有Fcos 30°=Ff
在竖直方向有FN+Fsin 30°=(M+m)g
滑动摩擦力Ff=μFN
联立解得F=10 N
(2)以小球为研究对象进行受力分析，如图乙所示，有FTcos θ=Fcos 30°，FTsin θ+Fsin 30°=mg
解得运动过程中轻绳与水平方向夹角θ=30°。
　[7~11题，每题6分]
7.(2022·海南卷·8)我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相同为m，3、4质量相同为m'，不计石块间的摩擦，则m∶m'为(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　D
解析　六块形状完全相同的石块围成半圆对应的圆心角为180°，每块石块对应的圆心角为30°，对第3块石块受力分析如图甲
结合力的合成可知tan 60°=
对第2块和第3块石块整体受力分析如图乙
tan 30°=，联立解得=2，故选D。
8.(2025·云南昆明市模拟)如图(a)、(b)、(c)所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是(　　)
A.Fa>Fb>Fc B.Fa>Fc=Fb
C.Fa=Fb>Fc D.Fa=Fb=Fc
答案　C
解析　分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FT=mg。
在图(a)中，Fa=2FTcos 30°=mg，在图(b)中，Fb=FTtan 60°=mg，在图(c)中，Fc=FTcos 30°=mg，故选C。
9.(2025·山东枣庄市二模)磁悬浮地球仪具有独特的视觉效果，其工作原理简化如图：水平底座上的三个完全一样的磁极对地球仪内的磁体产生作用力(沿磁极与磁体的连线)，使地球仪悬浮在空中，此时各磁极和磁体恰好处在正四面体的四个顶点处。地球仪的总质量为m，重力加速度为g，则一个磁极对磁体的作用力大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案　B
解析　设正四面体的棱长为L，地球仪中的磁体和下侧磁极之间的连线与竖直方向夹角为θ，根据几何关系有sin θ==，可知cos θ=，根据对称性可知，每个磁极对磁体的作用力大小均相等，对磁体进行受力分析，根据平衡条件有3Fcos θ=mg，解得F=mg，故选B。
10.(2024·湖北卷·6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
答案　B
解析　根据题意对S受力分析如图甲
正交分解可知2FTcos 30°=Ff
所以有FT=Ff
对P受力分析如图乙
则有(FTsin 30°)2+(Ff+FTcos 30°)2=F2
解得F=，故选B。
11.(2026·四川内江市联考)抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”。表演者用两根短竿系上绳子，将空竹(也有用壶盖或酒瓶)扯动使之旋转，并表演出各种身段。如图所示，表演者手持短竿使细绳一端A不动，另一端B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细绳间的摩擦力，且认为细绳不可伸长。下列说法正确的是(　　)
A.细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力增大
B.细绳B端沿虚线b向上移动时，细绳的拉力大小不变
C.细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳的拉力减小
D.细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳的拉力不变
答案　B
解析　细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力与空竹的重力等大反向，可知合力不变，A错误；设绳长为L，A、B水平间距为d，细绳与竖直方向夹角为θ，则有L=，细绳拉力大小F=，细绳B端沿虚线b向上移动时，A、B两点水平间距不变，绳长不变，可知细绳与竖直方向的夹角θ不变，则细绳的拉力大小不变，B正确；细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳与竖直方向的夹角θ增大，则细绳的拉力增大，C错误；细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳与竖直方向的夹角θ增大，则细绳的拉力增大，D错误。
　[6分]
12.(2025·黑龙江鹤岗市模拟)质量为m、粗细均匀的麻绳如图所示悬挂，麻绳在悬点处切线与竖直方向夹角分别为37°和53°，P点为最低点，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则(　　)
A.左侧悬点对麻绳拉力为0.6mg
B.右侧悬点对麻绳拉力为0.8mg
C.最低点P处张力为0.3mg
D.P点右侧麻绳质量为0.36m
答案　D
解析　对麻绳受力分析，受重力mg、左侧悬点对麻绳的拉力F1、右侧悬点对麻绳的拉力F2，
则F1cos 37°+F2cos 53°=mg，
F1sin 37°=F2sin 53°，
解得F1=0.8mg，F2=0.6mg，故A、B错误；对P点右侧麻绳受力分析，受重力m2g、最低点P处张力F、右侧悬点对麻绳的拉力F2，则F=F2sin 53°=0.48mg，m2g=F2cos 53°=0.36mg，
所以P点右侧麻绳质量为m2=0.36m，故C错误，D正确。(共68张PPT)
第二章
相互作用
受力分析　共点力的
平衡
第8课时
1.熟练掌握受力分析的步骤，会灵活应用整体法、隔离法并结合牛顿第三定律进行受力分析。
2.理解共点力平衡的条件，会解决共点力平衡问题。
3.知道“活结”和“死结”“动杆”和“定杆”的区别。
目标要求
考点一　受力分析
考点二　共点力的平衡
内容索引
课时精练
考点三　“活结”和“死结”　“动杆”和“定杆”
受力分析
考点一
受力分析的一般步骤
　　　两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图甲、乙两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数之比为
A.1∶1 B.4∶3
C.5∶3 D.5∶4
√
　　 题图甲中，根据整体法可知，木块B除了受重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和竖直向上的静摩擦力，隔离B分析，其一定还受到A的弹力，隔离A分析，A受到重力、水平向左的推力、B对其垂直于接触面斜向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜向右上的静摩擦力才能平衡，可知B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，故B共受5个力的作用；题图乙中，根据整体法可知B与墙面间既无弹力也无摩擦力，所以B受重力和A的弹力及摩擦力共3个力的作用。则在此两种方式中，木块B受力个数之比为5∶3，故选C。
1.当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
2.在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。
3.整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
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共点力的平衡
考点二
1.共点力的平衡
(1)平衡状态：物体　　　或做　　　　　　　。
(2)平衡条件：F合=　　或Fx=　　，Fy=　　。
(3)常用推论
①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n-1)个力的合力　　　　　　　　　　。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个　　　三角形。
静止
匀速直线运动
0
0
0
大小相等、方向相反
封闭
“静止的物体速度为0处于平衡状态，竖直上抛的物体到达最高点时速度为0，也处于平衡状态”，这种说法对吗？
答案　不对，物体处于静止或做匀速直线运动是平衡状态，某一时刻速度为0不是物体处于平衡状态的判断依据。
讨论交流
2.求解共点力平衡问题的常用方法
(1)合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
(2)正交分解法：Fx合=0，Fy合=0，常用于多力平衡。
(3)矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形。
　　　(2023·浙江6月选考·6)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb=90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为
A.Fa=0.6G，Fb=0.4G
B.Fa=0.4G，Fb=0.6G
C.Fa=0.8G，Fb=0.6G
D.Fa=0.6G，Fb=0.8G
√
　　 对光滑圆柱体受力分析如图，由题意有Fa=Gsin 37°=0.6G，Fb=Gcos 37°=0.8G，故选D。
　　　(2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0 N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为
A. N B.1.0 N
C. N D.2.0 N
√
　　 对小球受力分析如图所示
由几何关系可得力F与力FN与竖直方向的夹角均为30°，因此将力F和FN正交分解可得
FNsin 30°=Fsin 30°，FNcos 30°+Fcos 30°+FT=mg
解得F=FN= N，故选A。
　　　(2025·山东省齐鲁名校联考检测)如图所示为在有风状态下晾晒衣服的情形，ACB为一轻质晾衣绳。衣服受到的风力方向水平向右、大小恒定，衣服稳定时，AC与水平方向的夹角为30°，BC沿竖直方向。已知衣服与晾衣架的总质量为m，重力加速度为g。不考虑晾衣架与绳之间的摩擦，则风对衣服作用力的大小为
A.mg B.mg
C.mg D.2mg
√
　　 对衣服受力分析并建立坐标系，如图所示，由水平方向和竖直方向受力平衡得FTcos 30°=F，FTsin 30°+FT
=mg，解得F=mg，故选A。
处理平衡问题的三个技巧
1.物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。非特殊角时，可考虑用矢量三角形法。
2.物体受四个或四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。
3.正交分解法建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。
　　　(2025·江苏苏州市期中)灯笼有着美好的象征寓意。如图所示，质量分别为m1和m2的甲、乙两个灯笼用两根轻绳串接悬挂于O点，在稳定的水平风力作用下发生倾斜，悬挂于O点的轻绳与竖直方向的夹角θ，两灯笼大小相同且所受风力相同，重力加速度为g。求：
(1)悬挂于O点的轻绳拉力FT1的大小及灯笼所受风力F的大小；
答案　　(m1+m2)gtan θ
　　 把两个灯笼作为整体分析，受到重力(m1+m2)g、风力2F和轻绳拉力FT1而处于平衡状态，如图
由平衡条件可知竖直方向
FT1cos θ=(m1+m2)g
水平方向
FT1sin θ=2F
联立解得
FT1=，F=(m1+m2)gtan θ
(2)甲、乙两灯笼间的轻绳拉力FT2的大小。
答案　
　　对乙灯笼受力分析可知，其受到重力m2g、风力F和两灯笼间轻绳拉力FT2而处于平衡状态，有=+F2
联立解得
FT2=。
拓展　若有6个相同的质量均为m的小球用等长轻绳连接后，一端悬挂在天花板上，另一端系在竖直墙上如图所示。其中球1上方细绳与竖直方向
夹角为θ=30°，球6右方的细绳水平，重力加速度大小为g。求：
(1)球4与球5间绳子的张力大小；
答案　4mg
　　 以6个小球组成的整体为研究对象，受力分析如图甲所示，
可得F01==4mg
F水平=6mgtan 30°=2mg
以球5、球6组成的整体为研究对象，受力分析如图乙所示，
可得F45==4mg
(2)球2与球3间绳子的张力大小。
答案　2mg
　　 以球3、4、5、6组成的整体为研究对象，受力分析如图丙所示，可得F23==2mg。
应用整体法和隔离法处理平衡问题的基本思路
　　　(2025·广东省部分学校联考)如图所示为市场上销售的某款晾衣篮，上方篮子通过四条等长的轻质细线对称悬挂，下方篮子通过四条等长的轻质细线竖直悬挂处于静止状态。下列说法正确的是
A.上方四条悬挂细线中的拉力相同
B.上方细线越长，细线中的拉力越大
C.上方细线中的拉力大小可能等于下方细线中的拉力大小
D.上方细线中的拉力大小一定大于下方细线中的拉力大小
√
　　 根据对称性，上方四条悬挂细线中的拉力大小相等，方向不同，故A错误；
设上方、下方篮子和衣物的总质量分别为m1、m2，上方、下方每条细线的拉力大小分别为F1、F2，上方细线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件有4F1cos θ=(m1+m2)g，4F2=m2g
整理解得F1=
上方细线越长，θ越小，cos θ越大，F1越小，再由F1=>=
m1g+F2
则F1>F2，故B、C错误，D正确。
解决对称结构非共面力的平衡问题
1.注意结构对称特点，找出某一关键角。
2.只需分解对称力中的某一个力，然后在某一方向(比如竖直方向)列平衡方程。
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“活结”和“死结”　“动杆”和“定杆”
考点三
1.“活结”和“死结”问题
分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”一般由绳跨过光滑滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力大小不一定相等
2.“动杆”和“定杆”问题
分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点
“动杆” 模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外
“定杆” 模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
　　　(2025·天津市新华中学月考)甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有光滑小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于竖直墙，则下列说法中正确的是
A.甲、乙两图中杆中弹力之比为1∶
B.甲图中杆的弹力更大
C.两根杆中弹力方向均沿杆方向
D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时(甲、乙中重
　物质量始终相等)，乙中轻绳先断裂
√
　　 题图甲中的杆有铰链相连，可以自由转动，弹力方向沿杆方向，题图乙中的杆一端插在墙里，不能自由转动，弹力方向不一定沿杆方向，而
是沿两根绳合力的反方向，故C错误；
题图甲中，以B点为研究对象，受力分析如图(a)，根据平衡条件可得
FN==mg
题图乙中，以D点为研究对象，受力分析如图(b)，受到重物的拉力、上边绳的拉力和CD杆的弹力，由于拉力FT'和重力的夹角为120°且大小均为mg，则由几何知识可得FN'=FT'=mg
　　即轻杆中的弹力大小为mg，则甲、乙两图中杆中弹力之比为∶1，故A错误，B正确；
题图甲中轻绳的拉力大小为FT=
=2mg
题图乙中轻绳的拉力大小FT'=mg
若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时，甲中轻绳先断裂，故D错误。
(多选)(2025·湖北十堰市检测)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是
A.将绳的右端上移到b'，绳子拉力大小不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
√
√
　　 设衣架挂于绳上O点，衣架与衣服质量之和为m，绳aOb长为L，M、N的水平距离为d，bO延长线交M于
a'，由几何关系知a'O=aO，sin θ=，由平衡条件有
2Fcos θ=mg，则F=。当绳右端从b上移到b'时，d、
L不变，θ不变，故F不变，选项A正确，C错误；
将杆N向右移一些，L不变，d变大，θ变大，cos θ变小，则F变大，选项B正确；
只改变衣服的质量，则m变化，其他条件不变，则sin θ不变，θ不变，衣架悬挂点不变，选项D错误。
“晾衣架”模型两种情况
1.如图，若绳长L和d不变，上、下移动绳子B端，则θ不变，绳拉力F不变；
2.绳长L不变，两杆之间水平距离越远，则θ越大，绳拉力F越大。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A C B B (1)10 N　(2)30°
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D C B B B D
答案
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1.(2025·陕晋青宁卷·4)如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为μ、夹角为θ，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为
A.μmgcos θ B.μmg
C.μmg D.0
1
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答案
基础落实练
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答案
　　 对钢管受力分析，如图所示。若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的摩擦力大小为零，故A、B、C错误，D正确。
2.(2025·福建卷·1)“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则
A.F1的大小比F2的小
B.F1的大小比F2的大
C.F1与F2大小相等
D.F1与F2方向相同
1
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答案
√
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答案
　　 如图，当没有风力作用时，底部巨石对“风动石”的作用力F1与“风动石”的重力G大小相等、方向相反。当“风动石”受到一水平方向的风力作用时，“风动石”受到底部巨石的作用力F2、重力G和
水平方向风力F风这三个力的作用，仍保持静止，故合力为零。由图可知，F1的大小等于重力G，F2的大小大于重力G，故选项A正确，B、C错误；
F1与F2的方向不同，故选项D错误。
3.(2025·北京卷·6)如图所示，长方体物块A、B叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止，B受力的个数为
A.4 B.5
C.6 D.7
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答案
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答案
　　 根据题意，对A受力分析可知，受重力、B的支持力，由于A静止，则A还受B沿斜面向上的静摩擦力，对B受力分析如图，受重力、斜面的支持力、A的压力、拉力F、A对B沿斜面向下的摩擦力，由于B静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B受6个力作用。故选C。
4.(2025·重庆卷·1)现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为(重力加速度为g)
A.2mg B.mg
C.mg D.mg
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答案
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答案
　　以钢管为研究对象，设轻绳的拉力大小为FT，根据对称性可知两边绳子拉力大小相等，根据平衡条件有2FTcos 60°=mg，可得FT=mg，故选B。
5.(2025·河北承德市检测)如图甲，一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，沿着横杆看过去，如图乙所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.5倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则竖直墙对球的弹力大小为
A.mg B.
C. D.
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答案
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答案
　　 设球的半径为R，对球进行受力分析如图所示，
根据几何关系可知
sin α==0.5
解得α=30°
根据平衡条件得F=mgtan α=，故选B。
6.(2025·天津市静海区检测)如图所示，质量M=2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块A与质量m= kg的小球相连。用跟水平方向成α=30°
角的力F拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中木块、小球相对位
置保持不变，木块与水平杆间的动摩擦因数为μ=，g取10 m/s2，求：
(1)力F的大小；
1
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答案
答案　10 N
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答案
　　 以木块和小球组成的整体为研究对象，分析受力情况如图甲所示
由平衡条件得在水平方向有Fcos 30°=Ff
在竖直方向有FN+Fsin 30°=(M+m)g
滑动摩擦力Ff=μFN
联立解得F=10 N
(2)运动过程中轻绳与水平方向夹角θ。
1
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答案
答案　30°
　　 以小球为研究对象进行受力分析，如图乙所示，有FTcos θ=Fcos 30°，FTsin θ+Fsin 30°=mg
解得运动过程中轻绳与水平方向夹角θ=30°。
7.(2022·海南卷·8)我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相同为m，3、4质量相同为m'，不计石块间的摩擦，则m∶m'为
A. B.
C.1 D.2
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答案
√
能力综合练
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答案
　　六块形状完全相同的石块围成半圆对应的圆心角为180°，每块石块对应的圆心角为30°，对第3块石块受力分析如图甲
结合力的合成可知tan 60°=
对第2块和第3块石块整体受力分析如图乙
tan 30°=，联立解得=2，故选D。
8.(2025·云南昆明市模拟)如图(a)、(b)、(c)所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是
A.Fa>Fb>Fc
B.Fa>Fc=Fb
C.Fa=Fb>Fc
D.Fa=Fb=Fc
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答案
√
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答案
　　 分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FT=mg。
在图(a)中，Fa=2FTcos 30°=mg，在图(b)中，Fb=FTtan 60°=mg，
在图(c)中，Fc=FTcos 30°=mg，故选C。
9.(2025·山东枣庄市二模)磁悬浮地球仪具有独特的视觉效果，其工作原理简化如图：水平底座上的三个完全一样的磁极对地球仪内的磁体产生作用力(沿磁极与磁体的连线)，使地球仪悬浮在空中，此时各磁极和磁体恰好处在正四面体的四个顶点处。地球仪的总质量为m，重力加速度为g，则一个磁极对磁体的作用力大小为
A.mg B.mg
C.mg D.mg
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答案
√
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答案
　　 设正四面体的棱长为L，地球仪中的磁体和下侧磁极之间的连线与
竖直方向夹角为θ，根据几何关系有sin θ==，可知cos θ=，根据
对称性可知，每个磁极对磁体的作用力大小均相等，对磁体进行受力分
析，根据平衡条件有3Fcos θ=mg，解得F=mg，故选B。
10.(2024·湖北卷·6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
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答案
√
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答案
　　 根据题意对S受力分析如图甲
正交分解可知2FTcos 30°=Ff
所以有FT=Ff
对P受力分析如图乙
则有(FTsin 30°)2+(Ff+FTcos 30°)2=F2
解得F=，故选B。
11.(2026·四川内江市联考)抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”。表演者用两根短竿系上绳子，将空竹(也有用壶盖或酒瓶)扯动使之旋转，并表演出各种身段。如图所示，表演者手持短竿使细绳一端A不动，另一端B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细绳间的摩擦力，且认为细绳不可伸长。下列说法正确的是
A.细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力增大
B.细绳B端沿虚线b向上移动时，细绳的拉力大小不变
C.细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳的拉力减小
D.细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳的拉力不变
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答案
√
　　 细绳B端沿虚线a向左移动时，细绳对空竹的合力与空竹的重力等大反向，可知合力不变，A错误；
设绳长为L，A、B水平间距为d，细绳与竖直方向夹角为θ，则有L=，细绳拉力大小F=，细绳B端沿虚线b向上移动时，A、B两点水平间
距不变，绳长不变，可知细绳与竖直方向的夹角θ不变，则细绳的拉力大小不变，B正确；
细绳B端沿虚线c斜向上移动时，细绳与竖直方向的夹角θ增大，则细绳的拉力增大，C错误；
细绳B端沿虚线d向右移动时，细绳与竖直方向的夹角θ增大，则细绳的拉力增大，D错误。
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答案
12.(2025·黑龙江鹤岗市模拟)质量为m、粗细均匀的麻绳如图所示悬挂，麻绳在悬点处切线与竖直方向夹角分别为37°和53°，P点为最低点，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则
A.左侧悬点对麻绳拉力为0.6mg
B.右侧悬点对麻绳拉力为0.8mg
C.最低点P处张力为0.3mg
D.P点右侧麻绳质量为0.36m
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尖子生选练
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答案
　　对麻绳受力分析，受重力mg、左侧悬点对麻绳的拉力F1、右侧悬点对麻绳的拉力F2，
则F1cos 37°+F2cos 53°=mg，
F1sin 37°=F2sin 53°，
解得F1=0.8mg，F2=0.6mg，故A、B错误；
对P点右侧麻绳受力分析，受重力m2g、最低点P处张力F、右侧悬点对麻绳的拉力F2，则F=F2sin 53°=0.48mg，m2g=F2cos 53°=0.36mg，
所以P点右侧麻绳质量为m2=0.36m，故C错误，D正确。
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