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第10课时　实验二：探究弹簧弹力与形变量的关系
实验三：探究两个互成角度的力的合成规律
目标要求　1.会通过实验探究弹簧弹力与形变量的关系。2.进一步理解胡克定律，掌握以胡克定律为原理的拓展实验的分析方法。3.会通过实验探究两个互成角度的力的合成规律，掌握数据处理方法。
考点一　实验：探究弹簧弹力与形变量的关系
原理及装置图 (1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等 (2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可得出弹力大小与形变量间的关系
操作及注意事项 (1)操作：弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度 (2)作图：坐标轴标度要适中，单位要标注，描点连线时让尽量多的点落在图线上，不在图线上的点应均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去 (3)适量：弹簧下端所挂钩码不要太多，以免伸长量超出弹簧限度 (4)多测：要使用轻质弹簧，尽可能多测几组数据 (5)统一：记录数据时要注意弹力及伸长量的对应关系及单位统一
数据处理 (1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图。用平滑的曲线(包括直线)连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线 (2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式。首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数 (3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义
误差分析 (1)钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会产生实验误差 (2)悬挂钩码数量过多，导致弹簧的形变量超出了其弹性限度，不再符合胡克定律(F=kx)，故图线发生弯曲，如图甲 (3)水平放置弹簧测量其原长，由于弹簧有自重，将其悬挂起来后会有一定的伸长量，故图线横轴截距不为零，如图乙
例1　(2025·福建厦门市三模)某同学用图甲装置做“弹簧的弹力与伸长量之间的关系”实验。
(1)图甲所示的实验装置中，刻度尺保持竖直，为了便于直接读出弹簧的长度，刻度尺的零刻度应与弹簧的　　　　　(选填“上端”或“下端”)对齐；不挂钩码时指针所指刻度尺的位置如图乙所示，则此时弹簧的长度L0=　　　　 cm。
(2)改变所挂钩码的个数，进行多次实验，记录每次所挂钩码的质量m及弹簧的长度L，根据F=mg求得弹力(g为重力加速度大小)，根据x=L-L0，求出弹簧伸长量，根据求得的多组F、x作F-x图像，如图丙所示。由图像可求得弹簧的劲度系数为k=　　　　　 N/m(保留一位小数)。
(3)实验过程中发现某类弹簧自身重力不可忽略，不可视为轻质弹簧，若把此类弹簧放在铁架台上竖直悬挂时，弹簧呈现的形态如图中的　　　　。
答案　(1)上端　15.06　(2)312.5　(3)B
解析　(1)为了方便测出弹簧的长度，刻度尺的零刻度应与弹簧的上端对齐；由题图乙可知，该刻度尺的最小分度值为1 mm，则弹簧的长度L0=15.06 cm。
(2)根据胡克定律F=kx可知，F-x图像的斜率表示弹簧的劲度系数，由题图丙可得弹簧的劲度系数为k== N/m=312.5 N/m。
(3)当弹簧自身受到的重力相对其弹力较大时，如果把弹簧竖直悬挂，则越靠近悬挂点处的弹簧部位受到下面部分的拉力越大，拉伸越明显；越靠近下端的弹簧部位受到下面部分的拉力越小，拉伸也就越小，故选B。
例2　(2025·四川卷·11)某学习小组利用生活中常见物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103 kg/m3，当地重力加速度为9.8 m/s2。实验过程如下：
(1)将两根细绳分别系在弹簧两端，将其平放在较光滑的水平桌面上，让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐，另一个系绳点对应的刻度如图甲所示，可得弹簧原长为　　　　 cm。
(2)将弹簧一端细绳系到墙上挂钩，另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后，系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行，如图乙所示。
(3)用带有刻度的杯子量取50 mL水，缓慢加到小桶里，待弹簧稳定后，测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。
(4)以小桶中水的体积V为横坐标，弹簧伸长量x为纵坐标，根据实验数据拟合成如图丙所示直线，其斜率为200 m-2。由此可得该弹簧的劲度系数为　　　　 N/m(结果保留2位有效数字)。
(5)图丙中直线的截距为0.005 6 m，可得所用小桶质量为　　　　 kg(结果保留2位有效数字)。
答案　(1)13.14(或13.15)　(4)49　(5)0.028
解析　(1)该刻度尺的分度值为0.1 cm，应估读到分度值的后一位，故弹簧原长为13.14 cm
(4)由胡克定律可知mg+ρVg=kx
化简可得x=V+
由题意可知=200 m-2
代入数据解得该弹簧的劲度系数为k=49 N/m
(5)由题图丙结合表达式可知=0.005 6 m
代入数据可得所用小桶质量为m=0.028 kg。
考点二　实验：探究两个互成角度的力的合成规律
原理及装置图 如图所示，分别用一个力F、互成角度的两个力F1、F2，使同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点O，即伸长量相同，根据合力的定义，F为F1和F2的合力，作出力F及F1、F2的图示，分析F、F1和F2的关系
实验步骤 (1)装置安装：在方木板上用图钉固定一张白纸，如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的原长为GE (2)两力拉：如图乙，在小圆环上系上两个细绳套，用手通过两个弹簧测力计互成角度地共同拉动小圆环，小圆环处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。用铅笔描下O点位置、细绳套的方向，并记录两弹簧测力计的示数F1、F2 (3)一力拉：如图丙，改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环，仍使它处于O点，记下细绳套的方向和弹簧测力计的示数F (4)重复实验：改变拉力F1和F2的大小和方向，重复做几次实验
数据处理 (1)用铅笔和刻度尺从点O沿两细绳套的方向画直线，按选定的标度作出F1、F2和F的图示 (2)以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线代表的力记为F'，如图丁 (3)分析多次实验得到的多组数据，比较F与F'在误差允许的范围内是否完全重合，从而总结出两个互成角度的力的合成规律：平行四边形定则
注意事项 (1)弹簧相同：使用弹簧测力计时，要观察指针是否指在零刻度处 (2)位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时小圆环的位置一定要相同 (3)角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角以60°~120°之间为宜 (4)尽量减小误差：在合力不超出弹簧测力计的量程及在橡皮条弹性限度内，形变应尽量大一些 (5)统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同
误差分析 (1)系统误差：弹簧测力计本身的误差 (2)偶然误差 ①读数误差和作图误差 ②两力F1、F2间的夹角θ过大或过小，导致用平行四边形定则作图得出的合力F'的相对误差大 (3)减小误差的办法 ①实验过程中，读数时眼睛一定要正视弹簧测力计的刻度，要按有效数字和弹簧测力计的精度准确读数和记录 ②用刻度尺作平行四边形时借助于三角板，使表示同一力的对边平行
例3　(2025·天津市二模)在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，某小组进行实验的主要步骤是：
(Ⅰ)如图甲所示，轻质小圆环挂在橡皮条一端，橡皮条另一端固定，橡皮条原长为GE；
(Ⅱ)通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环，小圆环受到拉力F1、F2的共同作用，静止于O点，橡皮条伸长的长度为EO，如图乙所示。记录O点位置以及F1、F2的大小和方向；
(Ⅲ)撤去F1、F2，改用一个弹簧测力计拉小圆环，仍使它静止于O点，此时弹簧测力计的示数为F，如图丙所示。记录F的大小和方向；
(Ⅳ)图丁是在白纸上根据实验记录进行猜想后画出的力的合成图示。
(1)本实验中，我们采用的研究方法是　　　　。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法 D.理想模型法
(2)关于该实验，下列说法正确的是　　　　。
A.实验前必须对弹簧测力计进行校准和调零
B.连接弹簧测力计的细绳之间夹角越大越好
C.进行图丙的实验操作时，也可以用一个弹簧测力计将小圆环拉到O点之外的其他点
D.重复实验再次进行验证时，小圆环到达的平衡位置O可以与前一组不同
(3)图丁中F'是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，实验中一定沿GO方向的是　　　　(选填“F”或“F'”)。
答案　(1)C　(2)AD　(3)F
解析　(1)本实验中，两个力拉橡皮条的作用效果与一个力拉橡皮条的作用效果相同，采用的研究方法是等效替代法。故选C。
(2)实验前必须对弹簧测力计进行校准和调零，故A正确；连接弹簧测力计的细绳之间夹角不能太大，也不能太小，夹角在60°~120°为宜，故B错误；为了保持作用效果相同，进行题图丙的实验操作时，需要用一个弹簧测力计将小圆环拉到O点，故C错误；重复实验再次进行验证时，由于不是同一次实验，所以小圆环到达的平衡位置O可以与前一组不同，故D正确。
(3)题图丁中F'是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，由于存在一定的误差，F'不一定沿GO方向；F是一个力拉橡皮条得到的合力实验值，F一定沿GO方向。
例4　(2025·山东济南市诊断)某同学利用如图甲所示装置探究两个互成角度的力的合成规律。
实验步骤如下：
①将力传感器P通过一根轻质细绳提起重物保持静止，记下P的示数F。
②将力传感器P、Q分别固定在左右两侧杆上，与P、Q相连的两根轻质细绳OA、OB连接的结点O处用轻绳OC系上同一重物。系统静止后，记下O点位置，P、Q的示数F1、F2及细绳的方向OA、OB、OC。
③在白纸上从O点沿OC反向延长作有向线段OC'，以OC'为对角线作平行四边形OA'C'B'，如图乙所示。用毫米刻度尺测出线段OA'、OB'、OC'的长度分别为l1、l2、l。
④调整力传感器Q的位置，重复以上步骤。
回答下列问题：
(1)下列做法有利于减小实验误差的是　　　　。
A.两侧杆必须用铅垂线调整为竖直放置，不能左右倾斜
B.两个细绳间夹角越大越好
C.记录细绳方向时，选取相距较远的两点
D.调整力传感器Q的位置时，必须保证结点O的位置不变
(2)在误差允许的范围内，若l1、l2、l与F1、F2、F满足关系式　　　　　　　　　，则能够证明力的合成遵循平行四边形定则。
(3)某次实验中，若平衡时两细绳OA、OB互相垂直，保持OA绳和结点O的位置不动，取下力传感器Q，将细绳OB绕O点在纸面内逆时针缓慢转动一小角度，此过程中OB绳的拉力　　　　(选填“变大”“变小”或“不变”)。
答案　(1)C　(2)==　(3)变大
解析　(1)实验中研究的是结点O的受力情况，无须两侧杆保持竖直状态，故A错误；两细绳之间的夹角可以适当大些，便于作图，减小实验误差，但并非越大越好，故B错误；记录细绳方向时，应选取相距较远的两点，有利于作出力的图示，便于减小误差，故C正确；不论结点在任何位置，平衡时，其他两个力的合力总是与第三个力是一对平衡力，故结点的位置可以不同，故D错误。
(2)在误差允许的范围内，根据几何三角形与力矢量三角形相似，对应边成比例，可得若满足==，则能够证明力的合成遵循平行四边形定则。
(3)作出结点O受力情况如图所示，若将OB绕O点在纸面内逆时针缓慢转动一小角度，OB与竖直方向夹角减小，可看出OB绳的拉力变大。
课时精练
[分值：50分]
1.(6分)(2024·海南卷·15)为验证两个互成角度的力的合成规律，某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材，按照如下实验步骤完成实验：
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上；
(Ⅱ)如图甲、乙所示，橡皮条的一端固定在木板上的G点，另一端连接轻质小圆环，将两细线系在小圆环上，细线另一端系在弹簧测力计上，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置为O点，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N；撤去拉力F1和F2，改用一个弹簧测力计拉动小圆环，使其圆心到O点，在拉力F的方向上标记P3点，拉力的大小为F=5.60 N。请完成下列问题：
(1)(2分)在图乙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'。
(2)(4分)比较F和F'，写出可能产生误差的两点原因：　　　　　　　　　　。
答案　(1)见解析图　(2)①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计
解析　(1)按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'，如图所示
(2)F和F'产生不完全重合的误差可能是因为：①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计。
2.(6分)(2025·重庆卷·11)弹簧是熄火保护装置中的一个元件，其劲度系数会影响装置的性能。小组设计了如图甲所示的实验装置测量弹簧的劲度系数，其中压力传感器水平放置，弹簧竖直放在传感器上，螺旋测微器竖直安装，测微螺杆正对弹簧。
(1)(2分)某次测量时，螺旋测微器的示数如图乙所示，此时读数为　　　 mm。
(2)(4分)对测得的数据进行处理后得到弹簧弹力F与弹簧长度l的关系如图丙所示，由图可得弹簧的劲度系数为　　　　　 N/m，弹簧原长为　　　　　 mm(均保留3位有效数字)。
答案　(1)7.413　(2)188　17.6
解析　(1)根据螺旋测微器的读数规则有题图乙读数为
7 mm+41.3×0.01 mm=7.413 mm
(2)由题图丙可知当弹力为零时弹簧处于原长，为17.6 mm
将题图丙中图线反向延长与纵坐标的交点约为2.55 N，则根据胡克定律可知弹簧的劲度系数为k=||≈188 N/m。
3.(10分)(2025·新课标卷·22)某探究小组利用橡皮筋完成下面实验。
(1)(2分)将粘贴有坐标纸的木板竖直放置。橡皮筋的一端用图钉固定在木板上，另一端悬挂钩码。钩码质量分别为200 g、250 g、…、500 g，平衡时橡皮筋底端在坐标纸上对应的位置如图(a)中圆点所示(钩码的质量在图中用数字标出)。悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时，橡皮筋底端位置间的距离为　　　　　 cm。
(2)(4分)根据图(a)中各点的位置可知，在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的　　　　　(选填“质量”或“质量的增加量”)成正比，由此可求出橡皮筋的劲度系数为　　　　　N/m(保留2位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)。
(3)(4分)悬挂的钩码质量为m时，在橡皮筋底端施以水平向右的力F，平衡时橡皮筋方向如图(b)中虚线所示，图(b)中测力计的示数给出了力F的大小，则F=　　　　　N，m=　　　　　g(选填“200”“300”或“400”)。
答案　(1)1.90　(2)质量的增加量　52　(3)1.00　300
解析　(1)根据题图(a)可知悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时，橡皮筋底端位置间的距离为1.90 cm。
(2)根据题图(a)可知钩码每增加相同的质量，橡皮筋增加相同的长度，故在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的质量的增加量成正比。
设橡皮筋劲度系数为k，根据胡克定律F=kx，其中F=mg，则k== N/m≈52 N/m。
(3)根据题图(b)可知F=1.00 N；设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，对橡皮筋下端点进行受力分析有tan θ=；从题图(b)中可知tan θ=，结合F=1.00 N可得m≈0.31 kg，所以取m=300 g。
4.(8分)(2025·四川绵阳市三模)某学习小组利用如图甲所示装置测量弹簧的劲度系数。内壁光滑且足够长的有机玻璃圆筒竖直放置在水平桌面上，圆筒里放入5个不吸水、不沾水的硬质小球压缩轻质弹簧，小球的直径略小于筒的内径。现向筒内缓慢注水，待水刚好没过每一个小球且静止时，用刻度尺测出弹簧的长度，记录水没过小球的个数N和小球静止时对应的弹簧长度l。已知弹簧原长为10 cm，每个小球完全浸没于水中受到浮力大小均为0.2 N。测量数据和计算弹簧的形变量如表所示。回答下列问题：
水没过小球的个数N/个 1 2 3 4 5
弹簧长度l/cm 4.00 4.35 4.82 5.20 5.60
弹簧形变量Δl/cm 6.00 5.65 5.18 4.40
(1)(2分)根据表格记录的数据，当水没过小球的个数N=4时，弹簧形变量Δl=　　　　 cm。
(2)(3分)在图乙所示的坐标系中描点，作出水没过小球的个数N与弹簧形变量Δl之间的关系图线。
(3)(3分)根据描绘的N-Δl图线，得出弹簧的劲度系数为k=　　　　 N/cm。
答案　(1)4.80　(2)见解析图　(3)0.5
解析　(1)由表中数据可得Δl=10 cm-5.20 cm=4.80 cm
(2)描点作图如图
(3)以5个小球整体为研究对象，
平衡时则有5mg=kΔl+0.2N
即N=25mg-5kΔl，
根据N-Δl图线，k= N/cm
解得k=0.5 N/cm。
5.(10分)(2025·安徽阜阳市三模)某物理兴趣小组的同学在家中找到一根轻弹簧，并准备了装有水的矿泉水瓶、刻度尺、三角板、弹簧测力计和细绳等器材，设计如下实验验证力的平行四边形定则。其操作如下：
A.在竖直木板上用图钉固定一张白纸，把轻弹簧一端固定在O点，弹簧自然水平放置时，另一端在O'点；
B.如图甲所示，三根轻绳的结点为A，L1连接轻弹簧，L2连接弹簧测力计，L3连接盛有水的矿泉水瓶。调整弹簧测力计的拉力大小和方向，使L1水平；
C.去掉L3及矿泉水瓶，重新水平拉弹簧测力计；
D.整理实验器材；
E.根据实验记录的数据及痕迹，作图验证平行四边形定则。
根据以上操作，回答以下问题：
(1)(2分)本实验采用的研究方法是　　　　法。
(2)(2分)步骤B中除记录弹簧测力计的示数F1和方向外，还需记录　　　　　　　　。
(3)(2分)为达到实验目的，还需测量矿泉水瓶及水的重力。完成步骤C后，用弹簧测力计测量矿泉水瓶及里面水的重力，如图乙所示，则矿泉水瓶及里面水的重力F2为　　　　 N，根据记录的数据和痕迹完成平行四边形定则的验证。
(4)(4分)在上述实验中，把矿泉水瓶换成另一个轻弹簧测力计拉绳L3。把轻弹簧水平拉开一段位移后，这时绳L2、L3的夹角为120°，保持结点A的位置不变、绳L1水平、绳L2的方向不变，逐渐减小绳L2、L3的夹角直至夹角为60°的过程中，下列关于两个弹簧测力计示数的说法正确的是　　　　。
A.拉绳L2的弹簧测力计的示数先变小后变大
B.拉绳L2的弹簧测力计的示数一直变小
C.拉绳L3的弹簧测力计的示数一直变小
D.拉绳L3的弹簧测力计的示数先变小后变大
答案　(1)等效替代　(2)结点A到达的位置　(3)2.00　(4)BD
解析　(1)本实验采用的研究方法是等效替代法。
(2)实验成功的关键是两次操作中结点A到达同一位置，因此步骤B中除记录F1的大小和方向外，还需记录结点A到达的位置。
(3)由题图乙知，弹簧测力计的最小刻度是0.1 N，因此示数是2.00 N。
(4)作出力的矢量三角形，如图所示，可知拉绳L2的弹簧测力计的示数一直变小，故B正确，A错误；拉绳L3的弹簧测力计的示数先变小后变大，故C错误，D正确。
6.(10分)(2025·黑吉辽蒙卷·12)某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图(a)，细绳1、2和橡皮筋相连于一点，绳1上端固定在A点，绳2下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。
为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳1每次与竖直方向夹角均为30°且橡皮筋与绳1垂直，待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出x-m关系图线，如图(b)所示。
回答下列问题：
(1)(4分)将一芒果放入此空杯，按上述操作测得x=11.60 cm，由图(b)可知，该芒果的质量m0=　　　　　g(结果保留到个位)。若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直，由图像读出的芒果质量与m0相比　　　　　　(填“偏大”或“偏小”)。
(2)(3分)另一组同学利用同样方法得到的x-m图像在后半部分弯曲，下列原因可能的是　　　　　。
A.水杯质量过小
B.绳套长度过大
C.橡皮筋伸长量过大，弹力与其伸长量不成正比
(3)(3分)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施　　　　　　。
答案　(1)106或107　偏大　(2)C　(3)减小细绳1与竖直方向的夹角(合理即可)
解析　(1)操作测得x=11.60 cm，由题图(b)的图像坐标可知，该芒果的质量为106 g或107 g；
若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直，根据共点力平衡可知橡皮筋的拉力变大，导致橡皮筋的长度偏大，若仍然根据图像读出芒果的质量，则与m0相比偏大。
(2)若得到的x-m图像在后半部分弯曲，可能是所测物体的质量过大，导致橡皮筋所受的弹力过大，超过了橡皮筋的弹性限度，从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比，故选C。
(3)根据共点力平衡条件，由kx=mgsin θ知当减小绳子1与竖直方向的夹角θ时，相同质量的物体对应橡皮筋的拉力较小，橡皮筋的伸长量较小，故对相同的橡皮筋，可通过减小细绳1与竖直方向的夹角，增大质量测量范围。(共73张PPT)
第二章
相互作用
实验二：探究弹簧弹力与形变量的关系
实验三：探究两个互成角度的力的合成规律
第10课时
1.会通过实验探究弹簧弹力与形变量的关系。
2.进一步理解胡克定律，掌握以胡克定律为原理的拓展实验的分析方法。
3.会通过实验探究两个互成角度的力的合成规律，掌握数据处理方法。
目标要求
课时精练
考点一　实验：探究弹簧弹力与形变量的关系
考点二　实验：探究两个互成角度的力的合成规律
内容索引
实验：探究弹簧弹力与形变量的关系
考点一
原理及 装置图 (1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，
平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大
小______
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长
量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大
小F，以横坐标表示弹簧的　　　　 ，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可得出弹力大小与形变量间的关系
相等
伸长量x
操作及注意事项 (1)操作：弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度
(2)作图：坐标轴标度要适中，单位要标注，描点连线时让尽量多的点落在图线上，不在图线上的点应均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去
(3)适量：弹簧下端所挂钩码不要太多，以免伸长量超出弹簧限度
(4)多测：要使用轻质弹簧，尽可能多测几组数据
(5)统一：记录数据时要注意弹力及伸长量的对应关系及单位统一
数据 处理 (1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图。用平滑的曲线(包括直线)连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式。首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义
误差 分析 (1)钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确等都会产生实验误差
(2)悬挂钩码数量过多，导致弹簧的形变量超出了其弹性限度，不再符合胡克定律(F=kx)，故图线发生弯曲，如图甲
(3)水平放置弹簧测量其原长，由于弹簧有自重，将其悬挂起来后会有一定的伸长量，故图线横轴截距不为零，如图乙
　　　(2025·福建厦门市三模)某同学用图甲装置做“弹簧的弹力与伸长量之间的关系”实验。
(1)图甲所示的实验装置中，刻度尺保持竖直，为了便于直接读出弹簧的长度，刻度尺的零刻度应与弹簧的　　　　(选填“上端”或“下端”)对齐；不挂钩码时指针所指刻度尺的位置如图乙所示，则此时弹簧的长度L0=　　　　 cm。
上端
15.06
　　 为了方便测出弹簧的长度，刻度尺的零刻度应与弹簧的上端对齐；由题图乙可知，该刻度尺的最小分度值为1 mm，则弹簧的长度L0=15.06 cm。
(2)改变所挂钩码的个数，进行多次实验，记录每次所挂钩码的质量m及弹簧的长度L，根据F=mg求得弹力(g为重力加速度大小)，根据x=L-L0，求出弹簧伸长量，根据求得的多组F、x作F-x图像，如图丙所示。由图像可求得弹簧的劲度系数为k=　　　　　 N/m(保留一位小数)。
312.5
　　 根据胡克定律F=kx可知，F-x图像的斜率表示弹簧的劲度系数，由
题图丙可得弹簧的劲度系数为k== N/m=312.5 N/m。
(3)实验过程中发现某类弹簧自身重力不可忽略，不可视为轻质弹簧，若把此类弹簧放在铁架台上竖直悬挂时，弹簧呈现的形态如图中的　　　　。
B
　　 当弹簧自身受到的重力相对其弹力较大时，如果把弹簧竖直悬挂，则越靠近悬挂点处的弹簧部位受到下面部分的拉力越大，拉伸越明显；越靠近下端的弹簧部位受到下面部分的拉力越小，拉伸也就越小，故选B。
　　　(2025·四川卷·11)某学习小组利用生活中常见物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103 kg/m3，当地重力加速度为9.8 m/s2。实验过程如下：
(1)将两根细绳分别系在弹簧两端，将其平放在较光滑的水平桌面上，让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐，另一个系绳点对应的刻度如图甲所示，可得弹簧原长为　　　　　　　　 cm。
13.14(或13.15)
　　 该刻度尺的分度值为0.1 cm，应估读到分度值的后一位，故弹簧原长为13.14 cm
(2)将弹簧一端细绳系到墙上挂钩，另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后，系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行，如图乙所示。
(3)用带有刻度的杯子量取50 mL水，缓慢加到小桶里，待弹簧稳定后，测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。
(4)以小桶中水的体积V为横坐标，弹簧伸长量x为纵坐标，根据实验数据拟合成如图丙所示直线，其斜率为200 m-2。由此可得该弹簧的劲度系数为　　　 N/m(结果保留2位有效数字)。
49
　　 由胡克定律可知mg+ρVg=kx
化简可得x=V+
由题意可知=200 m-2
代入数据解得该弹簧的劲度系数为k=49 N/m
(5)图丙中直线的截距为0.005 6 m，可得所用小桶质量为　　　　 kg(结果保留2位有效数字)。
0.028
　　 由题图丙结合表达式可知=0.005 6 m
代入数据可得所用小桶质量为m=0.028 kg。
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实验：探究两个互成角度的力的合成规律
考点二
原理及 装置图
如图所示，分别用一个力F、互成角度的两个力F1、F2，使同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点O，即伸长量相同，根据合力的定义，F为F1和F2的合力，作出力F及F1、F2的图示，分析F、F1和F2的关系
实验 步骤 (1)装置安装：在方木板上用图钉固定一张白纸，如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的原长为GE
(2)两力拉：如图乙，在小圆环上系上两个细绳套，用手通过两个弹簧测力计互成角度地共同拉动小圆环，小圆环处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。用铅笔描下O点位置、细绳套的方向，并记录两弹簧测力计的示数F1、F2
(3)一力拉：如图丙，改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环，仍使它处于O点，记下细绳套的方向和弹簧测力计的示数F
(4)重复实验：改变拉力F1和F2的大小和方向，重复做几次实验
数据 处理 (1)用铅笔和刻度尺从点O沿两细绳套的方向画直线，按选定的标度作出F1、F2和F的图示
(2)以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线代表的力记为F'，如图丁
(3)分析多次实验得到的多组数据，比较F与F'在误差允许的范围内是否完全重合，从而总结出两个互成角度的力的合成规律：平行四边形定则
注意 事项 (1)弹簧相同：使用弹簧测力计时，要观察指针是否指在零刻度处
(2)位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时小圆环的位置一定要相同
(3)角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角以60°~120°之间为宜
(4)尽量减小误差：在合力不超出弹簧测力计的量程及在橡皮条弹性限度内，形变应尽量大一些
(5)统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同
误差 分析 (1)系统误差：弹簧测力计本身的误差
(2)偶然误差
①读数误差和作图误差
②两力F1、F2间的夹角θ过大或过小，导致用平行四边形定则作图得出的合力F'的相对误差大
(3)减小误差的办法
①实验过程中，读数时眼睛一定要正视弹簧测力计的刻度，要按有效数字和弹簧测力计的精度准确读数和记录
②用刻度尺作平行四边形时借助于三角板，使表示同一力的对边平行
　　　(2025·天津市二模)在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中，某小组进行实验的主要步骤是：
(Ⅰ)如图甲所示，轻质小圆环挂在橡皮条一端，橡皮条另一端固定，橡皮条原长为GE；
(Ⅱ)通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环，小圆环受到拉力F1、F2的共同作用，静止于O点，橡皮条伸长的长度为EO，如图乙所示。记录O点位置以及F1、F2的大小和方向；
(1)本实验中，我们采用的研究方法是　　　　。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法 D.理想模型法
(Ⅲ)撤去F1、F2，改用一个弹簧测力计拉小圆环，仍使它静止于O点，此时弹簧测力计的示数为F，如图丙所示。记录F的大小和方向；
(Ⅳ)图丁是在白纸上根据实验记录进行猜想后画出的力的合成图示。
C
　　 本实验中，两个力拉橡皮条的作用效果与一个力拉橡皮条的作用效果相同，采用的研究方法是等效替代法。故选C。
(2)关于该实验，下列说法正确的是　　　　。
A.实验前必须对弹簧测力计进行校
　准和调零
B.连接弹簧测力计的细绳之间夹角
　越大越好
C.进行图丙的实验操作时，也可以
　用一个弹簧测力计将小圆环拉到
　O点之外的其他点
D.重复实验再次进行验证时，小圆环到达的平衡位置O可以与前一组不同
AD
　　 实验前必须对弹簧测力计进行校准和调零，故A正确；
连接弹簧测力计的细绳之间夹角不能太大，也不能太小，夹角在60°~120°为宜，故B错误；
为了保持作用效果相同，进行题图丙的实验操作时，需要用一个弹簧测力计将小圆环拉到O点，故C错误；
重复实验再次进行验证时，由于不是同一次实验，所以小圆环到达的平衡位置O可以与前一组不同，故D正确。
(3)图丁中F'是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，实验中一定沿GO方向的是　　　　(选填“F”或“F'”)。
F
　　 题图丁中F'是以F1、F2为邻边构成的平行四边形的对角线，由于存在一定的误差，F'不一定沿GO方向；F是一个力拉橡皮条得到的合力实验值，F一定沿GO方向。
(2025·山东济南市诊断)某同学利用如图甲所示装置探究两个互成角度的力的合成规律。
实验步骤如下：
①将力传感器P通过一根轻质细绳提起重物保持静止，记下P的示数F。
②将力传感器P、Q分别固定在左右两侧杆上，与P、Q相连的两根轻质细绳OA、OB连接的结点O处用轻绳OC系上同一重物。系统静止后，记下O点位置，P、Q的示数F1、F2及细绳的方向OA、OB、OC。
③在白纸上从O点沿OC反向延长作有向线段OC'，以OC'为对角线作平行四边形OA'C'B'，如图乙所示。用毫米刻度尺测出线段OA'、OB'、OC'的长度分别为l1、l2、l。
④调整力传感器Q的位置，重复以上步骤。
回答下列问题：
(1)下列做法有利于减小实验误差的是　　　　。
A.两侧杆必须用铅垂线调整为竖直放
　置，不能左右倾斜
B.两个细绳间夹角越大越好
C.记录细绳方向时，选取相距较远的
　两点
D.调整力传感器Q的位置时，必须保证结点O的位置不变
C
　　 实验中研究的是结点O的受力情况，无须两侧杆保持竖直状态，故A错误；
两细绳之间的夹角可以适当大些，便于作图，减小实验误差，但并非越大越好，故B错误；
记录细绳方向时，应选取相距较远的两点，有利于作出力的图示，便于减小误差，故C正确；
不论结点在任何位置，平衡时，其他两个力的合力总是与第三个力是一对平衡力，故结点的位置可以不同，故D错误。
(2)在误差允许的范围内，若l1、l2、l与F1、F2、F满足关系式__________，则能够证明力的合成遵循平行四边形定则。
==
　　 在误差允许的范围内，根据几何三角形与力矢量三角形相似，对应
边成比例，可得若满足==，则能够证明力的合成遵循平行四边形定则。
(3)某次实验中，若平衡时两细绳OA、OB互相垂直，保持OA绳和结点O的位置不动，取下力传感器Q，将细绳OB绕O点在纸面内逆时针缓慢转动一小角度，此过程中OB绳的拉力　　　　(选填“变大”“变小”或“不变”)。
变大
　　 作出结点O受力情况如图所示，若将OB绕O点在纸面内逆时针缓慢转动一小角度，OB与竖直方向夹角减小，可看出OB绳的拉力变大。
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提升关键能力
对一对
题号 1
答案 (1)见解析图　(2)①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计
题号 2 3
答案 (1)7.413　(2)188　17.6 (1)1.90　(2)质量的增加量　52　(3)1.00　300
答案
1
2
3
4
5
6
对一对
题号 4
答案 (1)4.80　(2)见解析图　(3)0.5
题号 5
答案 (1)等效替代　(2)结点A到达的位置　(3)2.00　(4)BD
题号 6
答案 (1)106或107　偏大　(2)C　(3)减小细绳1与竖直方向的夹角(合理即可)
答案
1
2
3
4
5
6
1.(2024·海南卷·15)为验证两个互成角度的力的合成规律，某组同学用两个弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、木板、刻度尺、白纸、铅笔、细线和图钉等器材，按照如下实验步骤完成实验：
1
2
3
4
5
6
答案
(Ⅰ)用图钉将白纸固定在水平木板上；
(Ⅱ)如图甲、乙所示，橡皮条的一端固定在木板上的G点，另一端连接轻质小圆环，将两细线系在小圆环上，细线另一端系在弹簧测力计上，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置为O点，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点，大小分别为F1=3.60 N、F2=2.90 N；撤去拉力F1和F2，改用一个弹簧测力计拉动小圆环，使其圆心到O点，在拉力F的方向上标记P3点，拉力的大小为F=5.60 N。请完成下列问题：
1
2
3
4
5
6
答案
(1)在图乙中按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'。
答案　见解析图
1
2
3
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5
6
答案
　　 按照给定的标度画出F1、F2和F的图示，然后按平行四边形定则画出F1、F2的合力F'，如图所示
1
2
3
4
5
6
答案
(2)比较F和F'，写出可能产生误差的两点原因：______________________________
_________________________________________________。
①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计
　　 F和F'产生不完全重合的误差可能是因为：①没有做到弹簧测力计、细线、橡皮条都与木板平行；②读数时没有正视弹簧测力计。
2.(2025·重庆卷·11)弹簧是熄火保护装置中的一个元件，其劲度系数会影响装置的性能。小组设计了如图甲所示的实验装置测量弹簧的劲度系数，其中压力传感器水平放置，弹簧竖直放
1
2
3
4
5
6
答案
在传感器上，螺旋测微器竖直安装，测微螺杆正对弹簧。
(1)某次测量时，螺旋测微器的示数如图乙所示，此时读数为　　　 mm。
7.413
　　 根据螺旋测微器的读数规则有题图乙读数为
7 mm+41.3×0.01 mm=7.413 mm
(2)对测得的数据进行处理后得到弹簧弹力F与弹簧长度l的关系如图丙所示，由图可得弹簧的劲度系数为　　 N/m，弹簧原长为　　 　 mm
(均保留3位有效数字)。
1
2
3
4
5
6
答案
188
17.6
1
2
3
4
5
6
答案
　　 由题图丙可知当弹力为零时弹簧处于原长，为17.6 mm
将题图丙中图线反向延长与纵坐标的交点约为2.55 N，则根据胡克定律
可知弹簧的劲度系数为k=||≈188 N/m。
3.(2025·新课标卷·22)某探究小组利用橡皮筋完成下面实验。
1
2
3
4
5
6
答案
(1)将粘贴有坐标纸的木板竖直放置。橡皮筋的一端用图钉固定在木板上，另一端悬挂钩码。钩码质量分别为200 g、250 g、…、500 g，平衡时橡皮筋底端在坐标纸上对应的位置如图(a)中圆点所示(钩码的质量在图中用数字标出)。
1
2
3
4
5
6
答案
悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时，橡皮筋底端位置间的距离为
　　　 cm。
1.90
1
2
3
4
5
6
答案
　　 根据题图(a)可知悬挂的钩码质量分别为200 g和300 g时，橡皮筋底端位置间的距离为1.90 cm。
(2)根据图(a)中各点的位置可知，在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的　　　　 (选填“质量”或“质量的增加量”)成正比，由此可求出橡皮筋的劲度系数为　　N/m(保留2位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)。
1
2
3
4
5
6
答案
质量的增加量
52
1
2
3
4
5
6
答案
　　 根据题图(a)可知钩码每增加相同的质量，橡皮筋增加相同的长度，故在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的质量的增加量成正比。
设橡皮筋劲度系数为k，根据胡克定律F=kx，其中F=mg，则k==
N/m≈52 N/m。
(3)悬挂的钩码质量为m时，在橡皮筋底端施以水平向右的力F，平衡时橡皮筋方向如图(b)中虚线所示，图(b)中测力计的示数给出了力F的大小，则F=　　　 N，m=　　　 g(选填“200”
“300”或“400”)。
1
2
3
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5
6
答案
1.00
300
　　 根据题图(b)可知F=1.00 N；设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，对橡皮
筋下端点进行受力分析有tan θ=；从题图(b)中可知tan θ=，结合F=
1.00 N可得m≈0.31 kg，所以取m=300 g。
4.(2025·四川绵阳市三模)某学习小组利用如图甲所示装置测量弹簧的劲度系数。内壁光滑且足够长的有机玻璃圆筒竖直放置在水平桌面上，圆筒里放入5个不吸水、不沾水的硬质小球压缩轻质弹簧，小球的直径略小于筒的内径。现向筒内缓慢注水，待水刚好没过每一个小球且静止时，用刻度尺测出弹簧的长度，记录水没过小球的个数N和小球静止时对应
1
2
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6
答案
的弹簧长度l。已知弹簧原长为10 cm，每个小球完全浸没于水中受到浮力大小均为0.2 N。测量数据和计算弹簧的形变量如表所示。回答下列问题：
1
2
3
4
5
6
答案
水没过小球的个数N/个 1 2 3 4 5
弹簧长度l/cm 4.00 4.35 4.82 5.20 5.60
弹簧形变量Δl/cm 6.00 5.65 5.18 4.40
(1)根据表格记录的数据，当水没过小球的个数N=4时，弹簧形变量Δl=
　　　　 cm。
4.80
　　 由表中数据可得Δl=10 cm-5.20 cm=4.80 cm
1
2
3
4
5
6
答案
(2)在图乙所示的坐标系中描点，作出水没过小球的个数N与弹簧形变量Δl之间的关系图线。
答案　见解析图
1
2
3
4
5
6
答案
　　 描点作图如图
1
2
3
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6
答案
(3)根据描绘的N-Δl图线，得出弹簧的劲度系数为k=　　　　 N/cm。
0.5
1
2
3
4
5
6
答案
　　 以5个小球整体为研究对象，
平衡时则有5mg=kΔl+0.2N
即N=25mg-5kΔl，
根据N-Δl图线，k= N/cm
解得k=0.5 N/cm。
5.(2025·安徽阜阳市三模)某物理兴趣小组的同学在家中找到一根轻弹簧，并准备了装有水的矿泉水瓶、刻度尺、三角板、弹簧测力计和细绳等器材，设计如下实验验证力的平行四边形定则。其操作如下：
A.在竖直木板上用图钉固定一张白纸，把轻弹簧一端固定在O点，弹簧自然水平放置时，另一端在O'点；
B.如图甲所示，三根轻绳的结点为A，L1连接轻弹簧，L2连接弹簧测力计，L3连接盛有水的矿泉水瓶。调整弹簧测力计的拉力大小和方向，使L1水平；
C.去掉L3及矿泉水瓶，重新水平拉弹簧测力计；
D.整理实验器材；
E.根据实验记录的数据及痕迹，作图验证平行四边形定则。
1
2
3
4
5
6
答案
根据以上操作，回答以下问题：
1
2
3
4
5
6
答案
(1)本实验采用的研究方法是　　　 　法。
等效替代
　　 本实验采用的研究方法是等效替代法。
(2)步骤B中除记录弹簧测力计的示数F1和方向外，还需记录___________
　　　　。
1
2
3
4
5
6
答案
结点A到达
的位置
　　 实验成功的关键是两次操作中结点A到达同一位置，因此步骤B中除记录F1的大小和方向外，还需记录结点A到达的位置。
(3)为达到实验目的，还需测量矿泉水瓶及水的重力。完成步骤C后，用弹簧测力计测量矿泉水瓶及里面水的重力，如图乙所示，则矿泉水瓶及里面水的重力F2为　　　　 N，根据记录的数据和痕迹完成平行四边形定则的验证。
1
2
3
4
5
6
答案
2.00
　　 由题图乙知，弹簧测力计的最小刻度是0.1 N，因此示数是2.00 N。
(4)在上述实验中，把矿泉水瓶换成另一个轻弹簧测力计拉绳L3。把轻弹簧水平拉开一段位移后，这时绳L2、L3的夹角为120°，保持结点A的位置不变、绳L1水平、绳L2的方向不变，逐渐减小绳L2、L3的夹角直至夹角为60°的过程中，下列关于两个弹簧测力计示数的说法正确的是　　　　。
A.拉绳L2的弹簧测力计的示数先变小后变大
B.拉绳L2的弹簧测力计的示数一直变小
C.拉绳L3的弹簧测力计的示数一直变小
D.拉绳L3的弹簧测力计的示数先变小后变大
1
2
3
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5
6
答案
BD
1
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答案
　　 作出力的矢量三角形，如图所示，可知拉绳L2的弹簧测力计的示数一直变小，故B正确，A错误；
拉绳L3的弹簧测力计的示数先变小后变大，故C错误，D正确。
6.(2025·黑吉辽蒙卷·12)某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图(a)，细绳1、2和橡皮筋相连于一点，绳1上端固定在A点，绳2下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。
1
2
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答案
为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳1每次与竖直方向夹角均为30°且橡皮筋与绳1垂直，待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出x-m关系图线，如图(b)所示。
1
2
3
4
5
6
答案
回答下列问题：
(1)将一芒果放入此空杯，按上述操作测得x=11.60 cm，由图(b)可知，该芒果的质量m0=　　　　　g(结果保留到个位)。若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直，由图像读出的芒果质量与m0相比　　　(填“偏大”或“偏小”)。
106或107
偏大
1
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6
答案
　　 操作测得x=11.60 cm，由题图(b)的图像坐标可知，该芒果的质量为106 g或107 g；
若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为30°但与橡皮筋不垂直，根据共点力平衡可知橡皮筋的拉力变大，导致橡皮筋的长度偏大，若仍然根据图像读出芒果的质量，则与m0相比偏大。
1
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3
4
5
6
答案
(2)另一组同学利用同样方法得到的x-m图像在后半部分弯曲，下列原因可能的是　　　。
A.水杯质量过小
B.绳套长度过大
C.橡皮筋伸长量过大，弹力与其伸长
　量不成正比
C
1
2
3
4
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6
答案
　　 若得到的x-m图像在后半部分弯曲，可能是所测物体的质量过大，导致橡皮筋所受的弹力过大，超过了橡皮筋的弹性限度，从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比，故选C。
1
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6
答案
(3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施________________
_____________________。
减小细绳1与竖直
方向的夹角(合理即可)
1
2
3
4
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答案
　　 根据共点力平衡条件，由kx=mgsin θ知当减小绳子1与竖直方向的夹角θ时，相同质量的物体对应橡皮筋的拉力较小，橡皮筋的伸长量较小，故对相同的橡皮筋，可通过减小细绳1与竖直方向的夹角，增大质量测量范围。
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