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2026年甘肃省武威第四中学第三次数学中考模拟预测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在 ABC中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰 ABC满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰 ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰 ABC与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的周长为
8．如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．当二次根式取最小值时，_______．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
13．如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________．
14．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______．
16．如图，在等腰三角形中，，取的中点E，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点D，若，，则的长为______．
17．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______．
18．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________．
三、解答题（共66分）
19．（4分）计算：
20．（4分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（6分）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①此次抽查的学生总数为_______；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分；
(2)在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度；
(3)已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
22．（6分）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
23．（6分）如图，是的直径，C，D 是上的点，连接 并延长交于点E，交于点F，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求 的长
24．（8分）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在 ABC中，，，．此时，四边形是“双等四边形”， ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将 ABC绕点逆时针旋转至 ADE，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以 ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
25．（8分）如图，在 ABC中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与 ABC在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与 ABC重叠部分的面积为S．
(1)当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ；
(2)当点H在线段上时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
26．（8分）【问题背景】
已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， °；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F．
①如图2，若，求证：
②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形．
(a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由；
(b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页《2026年甘肃省武威第四中学第三次数学中考模拟预测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C C D A A D
11．5
12．且
13．
14．
15．
16．
17．52
18．
19．解：
20．解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．
21．（1）解：抽查的学生总数为（人），
竞赛成绩为分的人数为：（人），
补全学生成绩条形统计图：
由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为，
故答案为：①；③；
（2）解：，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：由题意得，（人），
答：该校得分不低于90分的学生有人．
22．解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
23．（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
24．解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为 ABC旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．
25．（1）解：当时，，
，
∴，
即此时正方形的边长是3；
当时，，
，
∴，
即此时正方形的边长是9；
（2）解：当点H在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：当时，如图1所示：
，
∴此时；
当时，如图2所示：
∵，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
综上所述：S与t的函数关系式为：
．
26．（1）∵是的切线，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：40；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②补全图形如图：
(a) 过点O、E、C三点不能作一个圆，理由：
连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点O，C，E共线，
∴过点O、E、C三点不能作一个圆；
(b) 过点O作于点G，于点H，
在，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴设，
∴由勾股定理得，
∴，
∴在中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在中，，
∴．
27．（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴是：直线，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，如图1，设直线交直线于点D，，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，点P与点D的纵坐标相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，有最大值，此时点P的坐标为，
把点P的坐标为向下平移个单位得，
连接，作关于y轴的对称点，连接，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是，
∵，，
∴，
∴的最小值是；
（3）解：，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
令，则，
解得：或
设点为函数与轴正半轴的交点，
∴，
分两种情况：
①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F，
由（2）知：，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得或（此时与点重合，不合题意，舍去）
∴,
∴
②点K在x轴的下方时，同理可得，，
∴，
综上，点K的坐标为或．
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