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河南省青桐鸣2026届高三5月考前演练数学试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．样本数据、、、、的方差为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则函数的极值点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．双曲线与双曲线有相同的渐近线
C．双曲线与双曲线有相同的离心率
D．直线与双曲线有且只有一个公共点
10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数是偶函数
B．是函数的最小正周期
C．直线是函数的图象的一条对称轴
D．函数的值域为
11．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，若，则__________.
13．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
14．已知函数，记为函数的层复合函数，为函数的层复合函数，以此类推，（，且为正整数）为函数的层复合函数，则除以的余数是__________.
四、解答题
15．某电子器件生产厂要生产一种标准规格为的电子器件，定义误差为产品实际规格减去标准规格.已知质检部抽检了某批次的件该产品，经统计得下表：
产品实际规格
频数
(1)若以频率估计概率，从该电子器件生产厂生产的该批次产品中随机抽取件，其中至少有件是标准规格产品的概率是多少？
(2)以频率估计概率，求该批次产品规格的误差绝对值的分布列和数学期望.
16．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知等差数列的前项和为，，，，其中为常数.数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：；
(3)集合，.将中的所有元素从小到大依次排列构成数列，记为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
19．设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当在上时，与的横坐标之积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)分别过，两点作抛物线的两条切线，两条切线相交于点，若是直线上的动点，证明：直线恒过定点；
(3)过点作直线的垂线，直线与抛物线交于点，点与点为不同的两点，证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B B A A C BD BCD
题号 11
答案 AB
1．A
求出集合再求可得答案.
【详解】集合，
，
则.
2．D
【详解】，
，
，
．
3．C
求出这组数据的平均数，利用方差公式求解即可.
【详解】这组数据的平均数为，
故这组数据的方差为.
4．B
【详解】由椭圆定义可知，焦距，
则，离心率，
联立，解得，
，
，
椭圆上，，当时，的面积最大，
最大值为．
5．B
【详解】由余弦定理得，，即
解得，.
因为，所以.
所以.
6．A
【详解】因为，，
所以，则，
，则，
则，
，，，
则投影向量，故选项A正确.
7．A
利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.
【详解】由对数换底公式得： ，
，
因为是增函数，且，
所以： ，即，
指数函数是减函数，因此，即，
综上可得.
8．C
对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点.
【详解】
化简得，令 ，
即 ，令，
，
令，则，
令，则，故在定义域内单调递增；
又因为，；
因此，使，
故在内单调递减，在内单调递增，
当时，，故时，， ，
同理得时，， ，
且 ，
故，
因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增，
， ，
， ，
故在，，区间分别有一个零点，
因此函数的极值点个数有3个.
9．BD
【详解】∵ 双曲线，∴ ，，则，即，，.
对于A选项，∵ ，∴ ，故A错误.
对于B选项，∵ 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，∴ 两双曲线渐近线相同，故B正确.
对于C选项，∵ 双曲线的离心率，双曲线中，，，离心率，∴ 二者离心率不相等，故C错误.
对于D选项，∵ 直线的斜率为，与双曲线的其中一条渐近线斜率相同，∴ 该直线与渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，故D正确.
10．BCD
选项 A，利用偶函数的定义判断；选项 B，利用周期的定义求解；选项 C，利用求解；选项 D，因为的最小正周期为，只需研究上的值域，分别求出，，时的的表达式，利用正弦函数的图像和性质求解，利用最小正周期得到的值域.
【详解】选项 A：，
，
则，
，，
，故A 错误.
选项 B：
，
再验证是否存在更小的周期，
，，
，故不是周期.
因此是最小正周期，B 正确.
选项 C：
，
，
因此 ，C 正确.
选项 D： 因为的最小正周期为，只需研究上的值域，
当时，，，，
故
，
因为，所以，所以，
所以，即.
当时，，，，
，
因为，所以，所以，
即.
当时，，，，
，
因为，所以，所以，
所以，即.
综上可知，当时，，
因为的最小正周期为，
所以根据周期的定义可以得到的的值域为，D 正确.
11．AB
对于A选项，能转化成周期函数；对于B、D选项根据A选项求出周期的函数值，再根据周期求和；对于C选项，将利用周期性求解验证.
【详解】对于A选项，因为，
用替换得 ，化简 ；
同理可得 ；
又由，用替换得 ；
故 ，用替换得 ，
所以，故，
因此，故A选项正确；
对于B选项，因为，所以关于中心对称，
又因，所以 ，，令，
则， ，解得，因为，
所以，
所以，
故B选项正确；
同理对于D选项， ，故D选项错误；
对于C选项，，因为，
所以，令，则，故，
对 求导得 ，令，
解得 ，故，所以C选项错误.
12．
【详解】，，
，．
13．
由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解．
【详解】已知，则是等边三角形，
面积为，
三棱锥的体积，解得，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，
则，
等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为，
则，
，则，解得，
，
外接球的面积．
14．
令，分析可得，推导可知是等比数列，确定该数列的首相和公比，可得出的值，结合二项式定理可得出除以的余数.
【详解】由题意可知，
令，则，
由题意可得，故，且，
所以数列以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以，
因为，
故
，
因为 能被整除，
故除以的余数是.
15．(1)
(2)分布列
【详解】（1）由表可知，产品是标准规格产品的概率为．
设随机抽取的件产品中至少有件是标准规格产品为事件，
则．
（2）的可能取值为，，，
用频率估计概率，，，，
所以的分布列为
所以的数学期望．
16．(1)，
(2)
（1）利用函数在点处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得的值；
（2）当时，恒成立，等价于 ，构造函数，求最小值，即可求实数的取值范围；
【详解】（1）已知函数，求导得 ，
由题意，得且 ，
所以，．
（2）由（1）可知，，
由，得 ，
又，所以 ，
设，，
又，，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为．
17．(1)
见解析
(2)
（1）连接交于点，连接、，根据题意，得平面，由线面垂直即可得到线线垂直；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解.
【详解】（1）连接交于点，连接
，如图所示：
因为底面为菱形，所以，
且为和的中点，又为线段的中点，所以，
又，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）设的中点为，连接，，
因为底面为菱形，且，，
所以，，均为等边三角形，
所以，，又，，平面，所以平面，
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由上得，又，
所以，
又，所以
故点在平面中的投影在的延长线上，
所以，，
由，得，，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则有，取，则，
设平面的法向量，
则有，取，则，
则， 所以，
所以二面角的正弦值为．
18．(1)，
(2)由（1）得，
所以，①
，②
①②，得，
所以.
(3)
（1）利用和等差数列的定义求出数列的通项公式，再分奇偶项根据等比数列的定义求出数列的通项公式即可；
（2）利用错位相减求和可得答案；
（3）分、、讨论求出，得不等式，再解不等式可得答案.
【详解】（1）由题意，，
，
两式相减，得，
因为，所以，
由题意，得，，可得，
又，所以 ，又为等差数列，
所以，解得，
所以，故公差为，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
因为， ，，
所以数列的奇数项构成的数列是首项为公比为的等比数列，
所以，
令，则，为奇数；
数列的偶数项构成的数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
令，则，为偶数．
综上所述，.
（2）略.
（3）当 ， ，且数列的前项中有项数列中的项时，
，
由，得 ，解得 ，故 ，
故当 ，且 ， ，时，恒成立.
当 ，时，
，
由 ，解得，故 ，
故当 ，且 ，，，时，恒成立．
当时，
，
由，得，即 ，
所以，所以，即 ，
故当 ，且时， 恒成立，
综上，当 时，恒成立．
当 时，，
当 时，，
当 时，，
当 时，设 ， ，
恒成立，
即成立，
同理，当 时，恒成立，
综上， 是使成立的最小，
这时，
且 ，解得 ，
所以 ，
所以满足条件的的最小值为．
19．(1)
(2)证明：设，由是直线上的动点，得，
由（1）知抛物线的方程为，即，故，
所以过，两点的两条切线方程分别为和，
又，，
故过，两点的两条切线方程可分别变形为
和，
由两条切线相交于点，得，，
所以直线的方程为，
又，所以 ，即 ，
由，得，
所以直线恒过定点．
(3)证明：设点，由题意知，直线的斜率存在且不为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由
得 ，
由 ，得 ．
所以，同理，，
得，，
易知，当最小时，的横坐标在和的横坐标之间．
由抛物线的对称性，不妨设，且，则，
则，
，
所以
，
因为过点的切线的斜率为，所以 ，即 ，
令， ．
当 ，即时，．
当，即时，函数单调递增，
所以，
当且仅当时等号成立，
又，
所以当时，．
当，即时，函数单调递减，
所以．
设，，
则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
又，
所以恒成立．
【详解】（1）设，，
抛物线C：的焦点为．
当在上时，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去，得，
所以，又，解得，
所以抛物线的方程为．

（2）略
（3）略

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