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一题一课期末复习6--乘法公式
一．例题
1．如图1是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图2的形式拼成一个正方形．
（1）观察图2，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，由此得到的等量关系为D ；
A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2
B．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2
C．（m﹣n）2＝2（m2+n2）﹣（m+n）2
D．（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①若a﹣b＝12，ab＝﹣11，求（a+b）2．
②如图3，在线段AE上取一点B，分别以AB，BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连结AG，DF．设AB＝x，BE＝y（x＞y），若AE长为5，三角形ABG的面积为2，求GC的长．
【答案】（1）D；
（2）①100；②3．
【分析】（1）因为大正方形边长为m+n，面积为（m+n）2；阴影部分是小正方形，边长为m﹣n，面积为（m﹣n）2；四个小长方形总面积为4mn；阴影面积＝大正方形面积﹣四个小长方形面积，即（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（2）①求（a+b）2 利用完全平方和公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；代入a﹣b＝12，ab＝﹣11，计算得122+4×（﹣11）＝100；
②求GC的长，由AE＝x+y＝5，三角形ABG面积得：xy＝4；利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，代入得52﹣4×4＝9，故x﹣y＝3；观察图形可知GC＝x﹣y＝3．
【解答】解：（1）大正方形的边长为m+n，小长方形的长为m，宽为n，
方法一：阴影部分是小正方形，边长为m﹣n，面积为（m﹣n）2；
方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
因此，等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
对应选项D．
故答案为：D．
（2）①因为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
因为a﹣b＝12，ab＝﹣11，代入得：
（a+b）2
＝122+4×（﹣11）
＝144﹣44
＝100；
②因为三角形ABG的面积为2，
ABG的面积为：2，
所以，
因此xy＝4，
由AE＝AB+BE＝x+y＝5，
根据（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
代入得：（x﹣y）2
＝52﹣4×4
＝25﹣16
＝9，
因此x﹣y＝3（因x＞y），
观察图形可知，GC＝x﹣y＝3．
答：GC的长为3．
二．基础练习
2．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）
【答案】B
【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
B、﹣5y是相同的项，互为相反项是3x与﹣3x，符合平方差公式的要求；
C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
故选：B．
3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（4x﹣3y）（3y﹣4x） B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）
C． D．（3y+2x）（2x﹣3y）
【答案】A
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2和完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2判断即可．
【解答】解：A、（4x﹣3y）（3y﹣4x）＝﹣（4x﹣3y）2，用的是完全平方公式，故选项A符合题意；
B、（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）＝（﹣4x）2﹣（3y）2，用的是平方差公式，故选项B不符合题意；
C、（x+2y）（x﹣2y）＝（x）2﹣（2y）2，用的是平方差公式，故选项C不符合题意；
D、（3y+2x）（3y﹣2x）＝（3y）2﹣（2x）2，用的是平方差公式，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．若等式（2a+3b） （　　）＝4a2﹣9b2成立，则括号内所填的代数式可以是（　　）
A．2a+3b B．﹣2a+3b C．2a﹣3b D．﹣2a﹣3b
【答案】C
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（2a+3b） （2a﹣3b）＝4a2﹣9b2，
故选：C．
5．若多项式x2+（k﹣2）x+9是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣4或8 C．﹣8 D．4或﹣8
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的结构，将多项式与标准形式对比，确定中间项的系数关系，进而求解参数k的值．
【解答】解：由条件可得x2+（k﹣2）x+9＝（x±3）2＝x2±6x+9，
∴k﹣2＝6时，解得k＝8．
k﹣2＝﹣6时，解得k＝﹣4．
则k的值为﹣4或8，
故选：B．
6．已知（m+n）2＝36，（m﹣n）2＝16，则m2n2的值为（　　）
A．5 B．13 C．20 D．25
【答案】D
【分析】利用完全平方公式展开已知条件，通过加减运算求出mn的值，再求其平方即可得出答案．
【解答】解：因为（m+n）2＝36，
所以m2+2mn+n2＝36①，
因为（m﹣n）2＝16，
所以m2﹣2mn+n2＝16②，
①﹣②得：4mn＝20，
∴mn＝5，
∴m2n2＝（mn）2＝52＝25．
故选：D．
7．下列式子正确的是（　　）
A．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2
C．（3a﹣2）2＝9a2﹣6a+4 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【答案】D
【分析】利用乘法公式依次计算判断即可．
【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，原变形错误错误，不符合题意；
B、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，原变形错误错误，不符合题意；
C、（3a﹣2）2＝9a2﹣12a+4，原变形错误错误，不符合题意；
D、∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，正确，符合题意；
故选：D．
8．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝x2﹣4y2 ．
【答案】x2﹣4y2
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2．
故答案为：x2﹣4y2．
9．已知多项式（x﹣2）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】将等式的左边根据完全平方公式展开，即可得出a、b、c的值，再计算a+b+c即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝ax2+bx+c，
∴x2﹣4x+4＝ax2+bx+c，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴a+b+c＝1﹣4+4＝1，
故答案为：1．
10．若（2x﹣3）2＝4x2﹣mx+9，则m＝　12　 ．
【答案】12．
【分析】利用完全平方公式将（2x﹣3）2展开后即可求得答案．
【解答】解：（2x﹣3）2
＝4x2﹣12x+9
＝4x2﹣mx+9，
故答案为：12．
三．提高练习
11．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【答案】B
【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可．
【解答】解：分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系可得：
第一个图阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
第二个图阴影部分的面积为：a2﹣b2，
根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：B．
12．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】A
【分析】根据两个图形面积相等，即可得出结果．
【解答】解：S图1＝a2﹣b2，S图2＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故A正确．
故选：A．
13．如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6
【答案】A
【分析】设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，3x＝（a+3）2﹣a2，
解得x＝2a+3．
故选：A．
14．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b＝6，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b，
∴正方形ABCD的面积是a2，正方形GECF的面积是b2，
∵BE＝DF＝a﹣b，
∴
，
∴a2﹣b2＝24，
∴（a+b）（a﹣b）＝24，
∵a+b＝6，
∴a﹣b＝24÷6＝4，
答：a﹣b的值为4．
故选：D．
15．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b（a＞b），再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　）
A．4a+4b＝4（a+b） B．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
C．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】B
【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．
【解答】解：∵图1阴影的面积为：2a×2b＝4ab，
图2阴影的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
故选：B．
16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形A，B的边长之和为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设正方形A边长为a，正方形B边长为b，图甲阴影面积：（a﹣b）2＝5．图乙阴影面积：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝22，得ab＝11，利用完全平方公式：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4×11＝49，故a+b＝7．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
图甲中阴影部分是边长为（a﹣b）的小正方形，面积为5，
因此：（a﹣b）2＝5，
图乙中，新正方形的边长为（a+b），其面积为（a+b）2，
阴影部分面积等于新正方形面积减去正方形A和B的面积，
即：（a+b）2﹣a2﹣b2＝22，
a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝22，
2ab＝22，
得：ab＝11，
因为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
＝5+4×11
＝5+44
＝49，
因为边长为正数，
所以：．
答：正方形A，B的边长之和为7．
故选：C．
17．试说明M＝（2025.5﹣1.5）×（2025.5+1.5）与N＝2025×2026的大小关系，正确的是（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：M＝（2025.5﹣1.5）×（2025.5+1.5）
＝2025.52﹣1.52，
N＝2025×2026
＝（2025.5﹣0.5）×（2025.5+0.5）
＝2025.52﹣0.52，
∴M＜N，
故选：C．
18．运用平方差公式计算（x+y﹣z）（x+y+z），下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣y）2﹣z2 B．x2﹣（y﹣z）2 C．[（x+y）﹣z]2 D．（x+y）2﹣z2
【答案】D
【分析】将原式变形后利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（x+y﹣z）（x+y+z）
＝[（x+y）﹣z][（x+y）+z]
＝（x+y）2﹣z2，
故选：D．
19．已知x2+y2＝25，x﹣y＝7．
（1）求xy的值；
（2）求x+y的值．
【答案】（1）﹣12；
（2）±1．
【分析】（1）将x﹣y＝7两边同时平方并利用完全平方公式展开，然后把x2+y2＝25代入求得xy的值即可；
（2）利用完全平方公式将（x+y）2展开，然后代入已知数值计算，最后求得其结果的平方根即可．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝7，
∴（x﹣y）2＝49，
∴x2﹣2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝25，
∴25﹣2xy＝49，
∴xy＝﹣12；
（2）∵x2+y2＝25，xy＝12，
∴（x+y）2
＝x2+2xy+y2
＝25﹣24
＝1，
∴x+y＝±1．
20．已知x+y＝5，xy＝2．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【答案】（1）21；
（2）17．
【分析】（1）把x+y＝5，xy＝2，完全平方公式：（x+y）2＝x2+2xy+y2中，可得x2+y2+2×2＝52，即可得出答案；
（2）把（1）中求得的x2+y2的值，xy＝2，代入（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x+y＝5．xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝52，
∴x2+y2+2×2＝25，
∴x2+y2＝25﹣4＝21；
（2）由（1）得x2+y2＝21，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝21﹣2×2＝17．
四．培优练习
21．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）观察图①，请写出a2+b2，a+b，ab之间的等量关系是a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（2）若x+y＝7，xy＝9，求x2+y2的值；
（3）如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG，连接AF．若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为21，△ACF的面积为7，求AB的长度．
【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）31；
（3）7．
【分析】（1）通过大正方形面积（边长a+b）与内部两个小正方形、两个矩形面积之和的关系，推导a2+b2、a+b、ab的等量关系；
（2）利用（1）的结论，将x+y和xy的值代入公式计算x2+y2；
（3）设AC＝a、BC＝b，根据正方形面积和得a2+b2的值，根据三角形面积得ab的值，再通过完全平方公式求a+b（即AB的长度）．
【解答】解：（1）大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2；
大正方形由两个小正方形（面积a2、b2）和两个矩形（面积均为ab）组成，总面积为a2+2ab+b2；
因此（a+b）2＝a2+2ab+b2，
移项得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）因为x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；
代入x+y＝7、xy＝9，
得72﹣2×9＝49﹣18＝31；
（3）设AC＝a，BC＝b，
因为若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为21，
所以a2+b2＝21；
△ACF面积为，
故ab＝14；
AB＝a+b＞0，
因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝21+2×14＝49，
因此a+b＝7，
即AB＝7．
22．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ；
（2）根据图2所得的公式，若a+b＝8，ab＝5，求a2+b2的值；
（3）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在三角形AED和三角形BEC区域内种花，在三角形CDE和三角形ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和．
【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）54；
（3）种草区域的面积和为60平方米．
【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积”得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，据此即可得出答案；
（2）根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求解即可；
（3）设AE＝m米，EC＝n米，由题意得，m+n＝AE+EC＝AC＝18米，，则m+n＝18，m2+n2＝204，再由（m+n）2＝m2+n2+2mn求解即可．
【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为（a+b），阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
∴大正方形的面积为（a+b）2，阴影部分两个正方形的面积分别为a2，b2，长方形的面积为ab，
又∵阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）因为a+b＝8，ab＝5，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣10＝54；
（3）设AE＝m米，EC＝n米，
由题意得，，m+n＝AE+EC＝AC＝18米，
即m+n＝18，m2+n2＝204，
因为（m+n）2＝m2+n2+2mn，
所以324＝204+2mn，解得mn＝60，
所以种草区域的面积和为（平方米）．
23．我们曾利用几何图形中的面积关系来得到恒等式．例如：图1中的大正方形从整体看，面积可表示为（a+b）2；从部分看，面积可表示为两个小正方形与两小长方形面积之和，即a2+2ab+b2，由此可得恒等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请参考上例，回答下列问题：
（1）根据图2，可得等式（a+b+c ）2＝a2+b2+c2+2ab+　2bc +　2ac ．
（2）利用（1）中所得结论，解决下列问题：
①若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝7，求a2+b2+c2的值．
②若实数x，y，z满足2x 4y 8z＝32，x2+4y2+9z2＝41，求2xy+3xz+6yz的值．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①50；②﹣8．
【分析】（1）通过大正方形整体面积与部分面积（三个小正方形+六个长方形）的关系，推导恒等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①利用上述恒等式变形得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），代入已知条件计算；
②将指数式转化为同底数幂，得到x+2y+3z＝5，再根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz＝25，得出4xy+6xz+12yz＝25﹣41＝﹣16，进而得到2xy+3xz+6yz＝﹣8即可．
【解答】解：（1）图2为边长为（a+b+c）的大正方形，从整体看面积为（a+b+c）2；
从部分看，面积为三个小正方形（面积分别为a2、b2、c2）与三个两两组合的长方形（面积分别为2ab、2ac、2bc）之和，
因此可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：2bc，2ac；
（2）①∵a+b+c＝8，ab+ac+bc＝7，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝82﹣2×7
＝64﹣14
＝50；
②∵2x 4y 8z＝2x （22）y （23）z＝2x+2y+3z，而2x 4y 8z＝32＝25，
∴x+2y+3z＝5，
∴（x+2y+3z）2＝25，
即x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz＝25，
∵x2+4y2+9z2＝41，
∴41+4xy+6xz+12yz＝25，
∴4xy+6xz+12yz＝25﹣41＝﹣16，
∴2xy+3xz+6yz＝﹣8．
24．【知识技能】
初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示：　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
【解决问题】
（2）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是　32　 ．
【拓展提升】
（3）①若x满足（9﹣x）（x﹣5）＝6；求（9﹣x）2+（x﹣5）2＝　4　 ．
②若x满足（x+2）2+（x﹣6）2＝25；则（x+2）（x﹣6）＝　　 ．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）32；
（3）①4；②．
【分析】（1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到（a+b）2＝a2+2ab+b2；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）设BC＝a，AC＝b，则a+b＝12，b2+a2＝80，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积；
（3）①由（9﹣x）（x﹣5）＝6，（9﹣x）+（x﹣5）＝4，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案；
②由（x+2）2+（x﹣6）2＝25，（x+2）﹣（x﹣6）＝8，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案．
【解答】解：（1）由图1可知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
由图2可知，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）设BC＝a，AC＝b，
∵AB＝AC+CB＝12，
∴a+b＝12，
∴，，
∴b2+a2＝80，
∵，
∴．
故答案为：32；
（3）①∵（9﹣x）（x﹣5）＝6，（9﹣x）+（x﹣5）＝4，
∴（9﹣x）2+（x﹣5）2＝[（9﹣x）+（x﹣5）]2﹣2（9﹣x）（x﹣5）＝42﹣2×6＝4．
故答案为：4；
②∵（x+2）2+（x﹣6）2＝25，（x+2）﹣（x﹣6）＝8，
∴2（x+2）（x﹣6）＝[（x+2）2+（x﹣6）2]﹣[（x+2）﹣（x﹣6）]2，
∴2（x+2）（x﹣6）＝25﹣82＝﹣39，
∴．
故答案为：．一题一课期末复习6--乘法公式
一．例题
1．如图1是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图2的形式拼成一个正方形．
（1）观察图2，发现有两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，由此得到的等量关系为　 　 ；
A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2
B．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2
C．（m﹣n）2＝2（m2+n2）﹣（m+n）2
D．（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①若a﹣b＝12，ab＝﹣11，求（a+b）2．
②如图3，在线段AE上取一点B，分别以AB，BE为边作正方形ABCD和正方形BEFG，连结AG，DF．设AB＝x，BE＝y（x＞y），若AE长为5，三角形ABG的面积为2，求GC的长．
知识点： 解题思路：
二．基础练习
2．下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）
3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（4x﹣3y）（3y﹣4x） B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）
C． D．（3y+2x）（2x﹣3y）
4．若等式（2a+3b） （　　）＝4a2﹣9b2成立，则括号内所填的代数式可以是（　　）
A．2a+3b B．﹣2a+3b C．2a﹣3b D．﹣2a﹣3b
5．若多项式x2+（k﹣2）x+9是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣4或8 C．﹣8 D．4或﹣8
6．已知（m+n）2＝36，（m﹣n）2＝16，则m2n2的值为（　　）
A．5 B．13 C．20 D．25
7．下列式子正确的是（　　）
A．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2
C．（3a﹣2）2＝9a2﹣6a+4 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
8．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝　 　 ．
9．已知多项式（x﹣2）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　 　 ．
10．若（2x﹣3）2＝4x2﹣mx+9，则m＝　 　 ．
三．提高练习
11．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
12．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
13．如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6
14．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b＝6，则a﹣b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b（a＞b），再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（　　）
A．4a+4b＝4（a+b） B．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
C．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形A，B的边长之和为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
17．试说明M＝（2025.5﹣1.5）×（2025.5+1.5）与N＝2025×2026的大小关系，正确的是（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
18．运用平方差公式计算（x+y﹣z）（x+y+z），下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣y）2﹣z2 B．x2﹣（y﹣z）2 C．[（x+y）﹣z]2 D．（x+y）2﹣z2
19．已知x2+y2＝25，x﹣y＝7．
（1）求xy的值；
（2）求x+y的值．
20．已知x+y＝5，xy＝2．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
四．培优练习
21．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）观察图①，请写出a2+b2，a+b，ab之间的等量关系是　 　 ；
（2）若x+y＝7，xy＝9，求x2+y2的值；
（3）如图②，点C为线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在AB异侧作正方形ACDE和正方形BCFG，连接AF．若正方形ACDE和正方形BCFG的面积之和为21，△ACF的面积为7，求AB的长度．
22．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式　 　 ；
（2）根据图2所得的公式，若a+b＝8，ab＝5，求a2+b2的值；
（3）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在三角形AED和三角形BEC区域内种花，在三角形CDE和三角形ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和．
23．我们曾利用几何图形中的面积关系来得到恒等式．例如：图1中的大正方形从整体看，面积可表示为（a+b）2；从部分看，面积可表示为两个小正方形与两小长方形面积之和，即a2+2ab+b2，由此可得恒等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请参考上例，回答下列问题：
（1）根据图2，可得等式（　 　 ）2＝a2+b2+c2+2ab+　 　 +　 　 ．
（2）利用（1）中所得结论，解决下列问题：
①若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝7，求a2+b2+c2的值．
②若实数x，y，z满足2x 4y 8z＝32，x2+4y2+9z2＝41，求2xy+3xz+6yz的值．
24．【知识技能】
初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示：　 　 ；
图2表示：　 　 ；
【解决问题】
（2）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝12，两正方形的面积和S1+S2＝80，则图中阴影部分面积是　 　 ．
【拓展提升】
（3）①若x满足（9﹣x）（x﹣5）＝6；求（9﹣x）2+（x﹣5）2＝　 　 ．
②若x满足（x+2）2+（x﹣6）2＝25；则（x+2）（x﹣6）＝　 　 ．

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