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一题一课期末复习9--分式方程
一．例题
1．已知关于x的分式方程．
（1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把m＝﹣1代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得：2，
整理得：2，
去分母得：2＝x﹣2（1﹣x），
去括号得：2＝x﹣2+2x，
移项、合并同类项得：3x＝4，
解得：x，
检验：把x代入得：1﹣x0，
∴x是分式方程的解；
（2）分式方程变形得：2，
去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4，
若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解；
若m﹣2≠0，即m≠2时，
∵分式方程无解，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2，
综上所述，m＝2或﹣2．
二．基础练习
2．将关于x的方程去分母后可得（　　）
A．x+1＝2﹣1 B．x+1＝2﹣x﹣3
C．x+1＝﹣2﹣1 D．x+1＝﹣2﹣x+3
【答案】D
【分析】将方程两边同时乘以（x﹣3）进行去分母即可．
【解答】解：原方程两边同乘（x﹣3），去分母得：x+1＝﹣2﹣（x﹣3），
即x+1＝﹣2﹣x+3，
故选：D．
3．若关于x的方程的解为x＝4，则m＝　3　 ．
【答案】3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3）（m﹣x）把分式方程化为整式方程，再根据方程解的定义，把x＝4代入整式方程，解关于m的方程即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）（m﹣x）得，
x（m﹣x）+2（x﹣3）＝2（x﹣3）（m﹣x），
∵方程的解是x＝4，
∴4（m﹣4）+2（4﹣3）＝2（4﹣3）（m﹣4），
整理得，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3．
经检验，当m＝3时，方程的解为x＝4．
故答案为：3．
4．小明解分式方程如下所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是 　①　 （填序号），并给出正确的解题过程．
解方程：1 解：去分母得，x+x﹣3＝2① ①移项得，2x＝3+2② ②所以，x③ ③经检验：x不是原方程的根，原方程无解．④
【答案】①；解题过程见解析．
【分析】根据题干中的解方程的步骤先判断再写出正确的解题步骤即可．
【解答】解：由解方程步骤可得首次出错的是①，
故答案为：①；
正确解题过程如下：
原方程去分母得，x+x﹣3＝﹣2，
整理得：2x＝1
解得：，
经检验：是原方程的解．
5．若，则x＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3），得﹣x+1＝x﹣3，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
故答案为：2．
6．方程0的解为x＝2　 ．
【答案】x＝2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得，
2x+x﹣6＝0，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
故答案为：x＝2．
7．解分式方程：．
【答案】x＝3．
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算．
【解答】解：，
5（x﹣1）﹣2（x+2）＝0，
3x＝9，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
8．解分式方程：．
【答案】x＝6．
【分析】根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝x，
解得x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣3）≠0，
所以，x＝6是原方程的解．
9．下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学： 解：去分母，得：3x﹣2＝﹣6， 解得：x 检验：当x时，x﹣20， ∴分式方程的解为x 乙同学：解：去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝6， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴分式方程无解.
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
【答案】（1）甲同学、乙同学的解法均错误；
（2）详见解答．
【分析】（1）根据分式方程的解法逐步进行判断即可；
（2）根据分式方程的解法进行解答即可．
【解答】解：（1）甲同学、乙同学的解法均错误；
（2）去分母，得
3x﹣2（x﹣2）＝﹣6，
解得x＝﹣10，
经检验x＝﹣10是原方程的解，
所以原方程的解为x＝﹣10．
三．提高练习
10．已知，关于x的分式方程
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程1的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
【答案】（1）x；
（2）b＝5或5.5；
（3）b＝3或29或55或185．
【分析】（1）把a与b的值代入方程计算即可求出解；
（2）把a＝1代入方程表示出分式方程的解，由分式方程无解求出x的值，即可求出b的值；
（3）表示出分式方程的解，把a＝3b代入，根据分式方程解为整数确定出b的值即可．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入方程得：1，
去分母得：2（x﹣5）﹣（2x+3）（1﹣x）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：2x﹣10+2x2+x﹣3＝2x2﹣7x﹣15，
移项合并得：10x＝﹣2，
解得：x，
检验：把x代入得：（2x+3）（x﹣5）≠0，
∴分式方程的解为x；
（2）把a＝1代入方程得：1，
去分母得：x﹣5﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：x﹣5+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
即（11﹣2b）x＝3b﹣10，
当11﹣2b＝0，即b＝5.5时，整式方程无解；
∵分式方程无解，
∴（2x+3）（x﹣5）＝0，即x或x＝5，
当x时，（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b无解；
当x＝5时，5（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b＝5，
则b＝5或5.5；
（3）把a＝3b代入方程得：1，
去分母得：3b（x﹣5）﹣（2x+3）（b﹣x）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：3bx﹣15b+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
即（b+10）x＝18b﹣15，
解得：x18，
∵分式方程的解为整数，且x≠5，
∴b+10＝±1，b+10＝±15，b+10＝±13，b+10＝±5，b+10＝±39，b+10＝±65，b+10＝±195，
解得：b＝﹣9或﹣11或5或﹣25或3或﹣23或﹣5或﹣15或29或﹣49或55或﹣75或185或﹣205，
∵b为正整数，
∴b＝3或29或55或185．
11．已知关于x的分式方程1无解，则m的值是（　　）
A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0
【答案】A
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程1无解，
∴或，
解得m＝﹣3．
∴m的值是﹣2或﹣3．
故选：A．
12．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据题意，解分式方程，得到x＝m﹣2为增根，得到m的值．
【解答】解：，
m﹣（x+2）＝0，
x＝m﹣2，
∵分式方程无解，
∴x＝m﹣2为增根，
∴m﹣2＝4，
∴m＝6，
故选：A．
13．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．3 C．1或 D．0或1或
【答案】C
【分析】先解关于x的分式方程，然后根据分式方程无解，分两种情况讨论：1﹣2a＝0且﹣3a≠0和1﹣2a≠0，，从而求出a即可．
【解答】解：，
x﹣3a＝2a（x﹣3），
x﹣3a＝2ax﹣6a，
x﹣2ax＝3a﹣6a，
（1﹣2a）x＝﹣3a，
，
∵关于x的分式方程无解，
∴当1﹣2a＝0且﹣3a≠0，方程无解，解得：；
当1﹣2a≠0，时，方程无解，解得：a＝1，
综上可知：当分式方程无解时，或1，
故选：C．
14．若关于x的方程无解，则m的取值为（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．﹣1或2 D．﹣1或2或3
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可．
【解答】解：，
，
x﹣2+mx＝4，
（m+1）x＝6，
∵关于x的方程无解，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
当m≠﹣1，x＝0时，
（m+1）x＝6，该方程无解；
当m≠﹣1，x＝2时，
（m+1）x＝6，
m＝2，
∴m的取值为﹣1或2．
故选：C．
15．定义关于☆的一种新运算；x☆y（x，y是实数，且x≠y），例如（﹣1）☆2．
（1）求（﹣3）☆（﹣2）的值．
（2）是否存在x的值，使得x☆1＝1☆x+3成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣6；（2）x＝3．
【分析】（1）利用新定义运算的规定直接计算得结论；
（2）先利用新定义运算的规定得方程，求解方程得结论．
【解答】解：（1）（﹣3）☆．
（2）由题意，得3，
去分母，得x＝﹣x+3（x﹣1）
解这个方程，得x＝3．
经检验x＝3是原方程的解．
∴原方程的解为x＝3．
16．对于任意实数a和b，我们规定aOb＝a﹣b+1，例如3O4＝3﹣4+1＝0，则方程的解为 x　 ．
【答案】x．
【分析】先根据新定义列出分式方程式，再进行求解、检验．
【解答】解：由题意得，
（﹣2）+1，
两边同时乘以x﹣3，得
x+2+3x﹣9＝﹣x，
解得，
检验：当x时，最简公分母x﹣3≠0，
∴x是原方程的解，
故答案为：x．
17．定义一种新的运算：a*b，例如：3*5，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 m≤3且m≠0　 ．
【答案】m≤3且m≠0．
【分析】根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
【解答】解：由题意得：，
∴m＝﹣6x+3，
∴，
∵关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，
∴，2x﹣1≠0，
解得：m≤3，m≠0，
∴m的取值范围为：m≤3且m≠0，
故答案为：m≤3且m≠0．
四．培优练习
18．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为　﹣4，﹣3，﹣2　 ．
【答案】﹣4，﹣3，﹣2．
【分析】根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果．
【解答】解：，（x﹣1≠0），
x＝6（x﹣1）+mx，
x＝6x﹣6+mx，
（m+5）x＝6，
x，
∵分式方程的解为正整数，
∴为正整数，
∴m+5可为1，2，3，6，
∴整数m的值为﹣4，﹣3，﹣2，1，
∵x﹣1≠0，即x≠1，
∴，
即m≠1，
∴整数m的值为﹣4，﹣3，﹣2，
故答案为：﹣4，﹣3，﹣2．
19．若a＝3b且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【分析】根据考分式方程的解的含义代入计算即可．
【解答】解：∵，a＝3b，
∴，
两边都乘以（2x+3）（x﹣5），得
3b（x﹣5）﹣（2x+3）（b﹣x）＝（2x+3）（x﹣5），
解得，且，x≠5；b≠﹣10，
∴且，
解得：，b≠5，
∵正整数b使关于x的分式方程的解为整数，
∴b+10＞10，
∴b+10＝13或15或39或65或195，
即b＝3或5或29或55或185，
其中b＝5不符合题意，
∴3+29+55+185＝272，
故选：C．
20．若方程3的解为x，则方程3的解为y＝　　 ．
【答案】．
【分析】仿照已知方程的解，确定出所求方程的解即可．
【解答】解：∵方程3的解为x，
∴设t＝2y，
方程3变形得：3，
根据题意得：方程的解为t＝2y，即y．
故答案为：．
21．已知关于x的方程的解为x＝2和x＝3，则关于x的方程的解为 x和x　 ．
【答案】x和x．
【分析】令x代入方程，整理得到1，则t和t是方程的解，由此可求关于x的方程的解．
【解答】解：令x，
∴方程可化为1，
整理得1，
∵方程的解为x＝2和x＝3，
∴t和t，
∴关于x的方程的解为x和x，
经检验，x和x是方程的解，
∴方程的解为x和x，
故答案为：x和x．
22．定义：形如，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，其中a＝2，b＝1．
（1）试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解．
（2）若十字分式方程的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值：
①a2+3b；
②．
【答案】（1）是，解答详见解析；（2）①10；②﹣11．
【分析】（1）先判断方程是不是十字分式方程，再求解分式方程；
（2）先根据十字分式方程的特点，得两根的关系，整体代入计算得结论．
【解答】解：（1）解分式方程得，
x1＝﹣2，x2＝﹣3．
∵﹣2﹣3＝﹣5，（﹣2）（﹣3）＝6，
∴方程是十字分式方程．
，
去分母，得x2+5x+6＝0，
∴（x+2）（x+3）＝0．
∴x+2＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．
经检验，﹣2、﹣3都是方程的解．
∴原分式方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣3．
（2）∵是十字分式方程，其解为x1＝a，x2＝b，
∴a3，a+b＝3，ab＝﹣1．
①∵a3，a+b＝3，
∴a2＝3a+1
∴a2+3b＝3a+3b+1
＝3（a+b）+1
＝3×3+1
＝10；
②
2
＝﹣11．
23．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3．
（1）已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由．
（2）已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为﹣1，求E所代表的代数式．
（3）已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值．
【答案】（1）是，2；（2）E＝4x+2；（3）．
【分析】（1）求出A﹣B，即可得出结论；
（2）求出C﹣D，根据“差离分式”的定义求出E；
（3）求出P﹣Q，因为P与Q互为“差离分式”，通过12是4的3倍，可得﹣n＝3，﹣（2n﹣m）＝4×3＝12，所以n＝﹣3，m＝6，代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）∵A﹣B2，
∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2；
（2）由题意得，C﹣D＝﹣1，即1，
∴1，
即（﹣2x+3）（2x+1）﹣E＝﹣4x2+1，
﹣4x2﹣2x+6x+3﹣E＝﹣4x2+1，
解得E＝4x+2；
（3）P﹣Q
；
因为P与Q互为“差离分式”，12÷4＝3，
所以﹣n＝3，﹣（2n﹣m）＝4×3＝12，
所以n＝﹣3，m＝6，
．一题一课期末复习9--分式方程
一．例题
1．已知关于x的分式方程．
（1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
知识点： 解题思路：
二．基础练习
2．将关于x的方程去分母后可得（　　）
A．x+1＝2﹣1 B．x+1＝2﹣x﹣3
C．x+1＝﹣2﹣1 D．x+1＝﹣2﹣x+3
3．若关于x的方程的解为x＝4，则m＝　 　 ．
4．小明解分式方程如下所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是 　 　 （填序号），并给出正确的解题过程．
解方程：1 解：去分母得，x+x﹣3＝2① ①移项得，2x＝3+2② ②所以，x③ ③经检验：x不是原方程的根，原方程无解．④
5．若，则x＝　 　 ．
6．方程0的解为　 　 ．
7．解分式方程：．
8．解分式方程：．
9．下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学： 解：去分母，得：3x﹣2＝﹣6， 解得：x 检验：当x时，x﹣20， ∴分式方程的解为x 乙同学：解：去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝6， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴分式方程无解.
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
三．提高练习
10．已知，关于x的分式方程
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程1的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
11．已知关于x的分式方程1无解，则m的值是（　　）
A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0
12．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
13．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A．0 B．3 C．1或 D．0或1或
14．若关于x的方程无解，则m的取值为（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．﹣1或2 D．﹣1或2或3
15．定义关于☆的一种新运算；x☆y（x，y是实数，且x≠y），例如（﹣1）☆2．
（1）求（﹣3）☆（﹣2）的值．
（2）是否存在x的值，使得x☆1＝1☆x+3成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
16．对于任意实数a和b，我们规定aOb＝a﹣b+1，例如3O4＝3﹣4+1＝0，则方程的解为 　 　 ．
17．定义一种新的运算：a*b，例如：3*5，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　 　 ．
四．培优练习
18．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为　 　 ．
19．若a＝3b且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　）
A．277 B．240 C．272 D．256
20．若方程3的解为x，则方程3的解为y＝　 　 ．
21．已知关于x的方程的解为x＝2和x＝3，则关于x的方程的解为 　 　 ．
22．定义：形如，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，其中a＝2，b＝1．
（1）试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解．
（2）若十字分式方程的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值：
①a2+3b；
②．
23．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3．
（1）已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由．
（2）已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为﹣1，求E所代表的代数式．
（3）已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值．

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