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广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期月考（三）数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ）
A．6 B．16 C．24 D．216
5．已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8
6．已知函数，正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
7．已知函数（且），若对任意实数，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多选题
9．若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A，B相互独立
B．
C．若，则
D．若，则
11．设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是增函数
C． D．曲线与曲线有且仅有个交点
三、填空题
12．已知定义域为的函数满足，则的解析式为______．
13．两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种．
14．已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．
四、解答题
15．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备 房租 生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下：
第天 1 2 3 4 5 6 7
销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6
(1)求样本的相关系数（精确到0.01；
(2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）.
附：①相关系数；
②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；
③.
16．已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设为的前项和，求．
17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
18．设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为．
（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程．
19．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论函数的单调性；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】∵ 解不等式得或，∴ 或.
∴ .
2．A
【详解】若，则 ，是充分条件，
若，则推不出，
比如： 也可以，
所以“”是“”的充分不必要条件.
3．B
【详解】由函数的定义域为，
所以函数要有意义则：，解得：，
所以函数的定义域为：.
4．A
【详解】由题可知：的项的二项式系数为.
故选：A
5．B
【详解】因为，，所以.
由对称性可知.
6．D
【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数；
又，所以，
又，所以在上单调递增，所以，即；
又均为正数，所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
故的最小值为9，故D正确.
7．D
【详解】由，不妨假设，
则，即，即，
则函数单调递增，
，（且），
则，解得：.
故选：D
8．D
【详解】因为函数的图象关于点对称，
则，即，
当时，则，
且，可知对任意恒成立，
又因为是定义在上的奇函数，则，，
可得，即，
则，得，可知4是的一个周期，
，，
所以，
所以，
又因为，即，可得，
所以．
9．AD
【详解】选项A：由，两边同乘得，
结合，根据不等式性质：若，，则，
可得，即，所以选项A正确.
选项B：取特值，，，，则，，
此时，所以选项B错误.
选项C：已知，，设幂函数，
因为，所以幂函数在上单调递减，
根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误.
选项D：对进行通分：.
因为，所以，，，则.
所以，即，所以，所以选项D正确.
10．ACD
【详解】利用概率加法公式： 由，
代入，，得： ，
又，所以算，
所以事件相互独立，故A正确；
根据条件概率公式计算： ，
则，故B错误；
由，且，得，
因为，所以，
即 ，故C正确；
由可得：，
代入，，可得，
又因为，两式消元解得：
，故D正确.
11．ABD
【详解】由函数的定义域：由，，得，
即函数的定义域为.
对于A：，满足奇函数定义，A正确；
对于B ：化简，因为函数在上单调递增，
函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确；
对于C，由奇函数性质，，
所以不等式可化为： ，
，，所以,
又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误；
对于D，设，因为均为奇函数，
所以是奇函数，只需分析：
当时，，即是一个交点；
当时，求导得，
因为，所以，，所以，
所以在上单调递减，，因此在无零点；
因为是奇函数，所以在无零点，
因此函数在有且仅有零点，故D正确.
12．
【详解】设，则，
代入，得，
所以的解析式为．
故答案为：.
13．
【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有种分法，
其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有种，
故两本图画书不分给同一个小朋友的分法有种.
故答案为：.
14．
【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.
由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，
由余弦定理得，又，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，即的最小值为.
15．(1)0.98
(2)，4.92万元
【详解】（1）由题意，得，
所以，
所以样本的相关系数约为0.98.
（2）因为，所以.
又，
所以，
所以回归方程为，
当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元.
16．(1)；
(2)
【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为，
数列是公差为的等差数列，设
即有，即，
由，，，得，
又，所以，
即为，即，代入解得，
可得；．
（2）即为
．
17．(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
18．(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由已知，则．，．
（2）（ⅰ）设点，于是，
所以或，
而无解；由得
又因为三角形面积，所以，
于是，椭圆的方程为．
（ⅱ）设直线：代入椭圆的方程中，得
由已知，即
同时，，，
易知四边形为梯形，所以，
解得，所以.
所以，直线的方程为．
19．(1)
(2)当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
(3)
【详解】（1）当时，，则，
，则，
所以当时，曲线在处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
则，
当时，对任意的，恒成立，
此时函数的增区间为，无减区间；
当时，对于函数，.
若时，即当时，对任意的，，
此时函数的增区间为，无减区间；
若时，即当时，由可得，
由可得或，
此时函数的减区间为，
增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（3）因为不等式对任意恒成立，则，
因为，则，所以，则，
即，
令，所以，
令，，则，
令，其中，
则，
由（2）知，当时，函数在上为增函数，
因为，则，
所以，
即函数在上为增函数，
此时，则，
所以函数在上单调递增，则，所以，
故实数的取值范围是.

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