资源简介

第45课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求]　1．掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
1．(北师大版必修第二册P211习题6－1A组T4)下列命题正确的是 (　　)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是 (　　)
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3．(人教A版必修第二册P119例4改编)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为 (　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
4．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的半径为 (　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为___________．
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相______且____ 多边形 互相____且____
侧棱 ______________ 相交于______但不一定相等 延长线交于____
侧面 形状 ___________ ___________ ___________
(2)特殊的棱柱
①侧棱垂直于底面的棱柱叫做___________．
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做___________．
③底面是正多边形的直棱柱叫做___________．
④底面是平行四边形的四棱柱叫做______________．
(3)正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
(4)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，____于底面 相交于 ______ 延长线交于 ______
轴截面 ______ ______ ______ ______
侧面 展开图 ______ ______ ______
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用______________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面___________．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍____________________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__________________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的______________．
[二级结论]
直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝__ S圆锥侧＝__ S圆台侧＝______
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝______
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝______
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝___________ V＝___________
1．紧扣结构特征是判断空间几何体的关键．
2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
3．祖暅原理：等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
考点一　基本立体图形
　结构特征
[典例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．长方体是正四棱柱
B．一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
　直观图
[典例2]如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'．已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是 (　　)
A．AB＝2
B．A'D'＝2
C．四边形ABCD的周长为4＋2
D．四边形ABCD的面积为6
　展开图
[典例3]如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为 (　　)
A．2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
[巩固迁移]
1．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是：“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为 (　　)
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
2．(多选)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形△ABC中，有 (　　)
A．AC＝BC B．AB＝2
C．AC＝2
考点二　空间几何体的表面积与体积
　表面积
[典例4]　(1)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱锥和正六棱柱的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥的侧面积与正六棱柱的侧面积的比值为 (　　)
A．
(2)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为______________．
　体积
[典例5]　(1)(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 (　　)
A．
C．
(2)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解
等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
[巩固迁移]
3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为 (　　)
A．6π B．16π
C．26π D．32π
4．(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为___________．
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．D　3．D　4．B　5．12
No2．储备知识要点
1．(1)平行　全等　平行　相似　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形　梯形　(2)直棱柱　斜棱柱　正棱柱　平行六面体　(4)垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆面　矩形　扇形　扇环
2．(1)斜二测画法　(2)垂直　分别平行于坐标轴　不变　一半
3．2πrl　πrl　π(r1＋r2)l
4．Sh　πR3
精研考点·提升素养
考点一
考向1　典例1　CD　[对于A，由于长方体的底面未必是正方形，故长方体不一定是正四棱柱，故A错误；
一个直角三角形绕其一个直角边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B错误；根据棱锥的定义，C正确；
由棱台的定义可知棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确．故选CD．]
考向2　典例2　D　[由题意可知A'D'＝，直观图的原图形如图所示，所以AB＝4，AD＝2，CD＝2，作CE⊥AB于点E，可求得BC＝2．
所以四边形ABCD的周长为6＋2，四边形ABCD的面积为．故选D．]
考向3　典例3　B　[如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，
由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC1＝．故选B．]
巩固迁移
1．C　[如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后长度最小为BD＝＝26(尺)，即为2丈6尺．
故选C．]
2．BD
考点二
考向1　典例4　(1)B　(2)(60＋4)π　[(1)设正六棱柱的底面边长为a，由题意知正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积
S1＝6×a2，
正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以．故选B．
(2)由题意可得，四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F．则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5．故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h1＝4，母线长l1＝5．圆锥底面半径r＝2，高h2＝2，母线长l2＝2．所以圆台侧面积S1＝π(R＋r)l1＝π(5＋2)×5＝35π，圆锥侧面积S2＝π，圆台下底面面积S3＝πR2＝25π．故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4π＋25π＝(60＋4)π．]
考向2　典例5　(1)C　(2)1　[(1)法一(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分，然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，如图，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，
故该五面体的体积V＝．故选C．
法二(补形法)：如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相嵌，使得新组合体为一个三棱柱，记为ABC-HIJ，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以VABC-DEF＝．故选C．
(2)如图，易知，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1-A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以×2＝1．
]
巩固迁移
3．B　4．
11/11(共88张PPT)
第45课时
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求]
1．掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
以题引理·激活思维
1．(北师大版必修第二册P211习题6－1A组T4)下列命题正确的是(　　)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
√
C　[对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体称为棱锥，故B错误；
对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，故D错误．
故选C．]
2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是(　　)
A．相等的角在直观图中仍然相等
B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
D　[由直观图的斜二测画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．]
√
3．(人教A版必修第二册P119例4改编)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
√
D　[设球的半径为r，则S圆柱＝2πr2＋2πr·2r＝6πr2，S球＝4πr2，所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πr2∶6πr2＝2∶3．
故选D．]
4．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为
12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的半径为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
√
B　[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]
5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为_____________．
12
12　[设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a，
当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，
所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．]
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相_____且_____ 多边形 互相_____且_____
侧棱 _______________ 相交于______ 但不一定相等 延长线交于______
侧面 形状 _______________ _________ ______
平行
全等
平行
相似
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
(2)特殊的棱柱
①侧棱垂直于底面的棱柱叫做_________．
②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做_________．
③底面是正多边形的直棱柱叫做_________．
④底面是平行四边形的四棱柱叫做_______________．
(3)正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
平行六面体
(4)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，______于底面 相交于____ 延长线交于____

垂直
一点
一点
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 ______ ______________ ____________ ______
侧面 展开图 ______ ______ ______

矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
矩形
扇形
扇环
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用_______________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的______．
斜二测画法
垂直
分别平行于坐标轴
不变
一半
[二级结论]
直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝________ S圆锥侧＝______ S圆台侧＝___________
2πrl
πrl
π(r1＋r2)l
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝____
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝____
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝________ V＝______
Sh
Sh
4πR2
πR3
1．紧扣结构特征是判断空间几何体的关键．
2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
3．祖暅原理：等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
考点一　基本立体图形
考向1　结构特征
[典例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．长方体是正四棱柱
B．一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
精研考点·提升素养
√
√
CD　[对于A，由于长方体的底面未必是正方形，故长方体不一定是正四棱柱，故A错误；
一个直角三角形绕其一个直角边所在直线旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B错误；根据棱锥的定义，C正确；
由棱台的定义可知棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确．故选CD．]
考向2　直观图
[典例2]如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D'．已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．AB＝2
B．A'D'＝2
C．四边形ABCD的周长为4＋2＋2
D．四边形ABCD的面积为6
√
D　[由题意可知A'D'＝，直观图的原图形如图所示，所以AB＝4，AD＝2，CD＝2，作CE⊥AB于点E，可求得BC＝2．
所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，四边形ABCD的面积为×2＝6．故选D．]
【教用·备选题】
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　)
A．a2　　B．a2　　C．a2　　D．a2
√
D　[法一：如图①②所示的原图形和直观图，
由图②可知，A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a，
在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'，则C'D'＝O'C'＝a，
所以S△A'B'C'＝A'B'×C'D'
＝×a×a＝a2．故选D．
法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2，
又S直观图＝S原图＝a2＝a2．故选D．]
考向3　展开图
[典例3]如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
√
B　[如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，
由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC1＝＝2．故选B．]
名师点评：在解决空间几何体最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
[巩固迁移]
1．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是：“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
√
C　[如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，圆木的高AB＝24尺，BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后长度最小为BD＝＝26(尺)，即为2丈6尺．
故选C．]
2．(多选)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形△ABC中，有(　　)
A．AC＝BC
B．AB＝2
C．AC＝2
D．S△ABC＝4
√
√
BD　[如图所示，在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'，
因为A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，
所以A'D'＝1，C'D'＝＝2．
又∠C'O'D'＝45°，所以O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2．
利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图所示，
则OC＝4，OA＝1，AB＝2，故选项B正确；
又因为AC＝，
BC＝，故选项A，C错误；
S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，
故选项D正确．故选BD．]
【教用·备选题】
1．下列叙述正确的是(　　)
A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
√
A　[对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确；
对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误；
对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台，是一个组合体，故C错误；
对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误．故选A．]
2．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2．在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，
则C84结构含有正六边形的个数为(　　)
A．12　　 B．24　　
C．30　　 D．32
√
D　[设C84结构中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，
V＝84，F＝x＋y，E＝3×84÷2．
由欧拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44．
又由多边形的边数可表示C84的棱数，
即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x＋6y＝252，
由解得
故C84结构含有正六边形的个数为32．]
3．(多选)如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的△ABC的直观图，OA＝2，S△ABC＝，则在直观图中，以下说法正确的是(　　)
A．O'A'＝2
B．△A'B'C'的面积为
C．OA边上的高为
D．O'A'边上的高为
√
√
√
ABC　[由题意知O'A'＝OA＝2，所以A正确；
在△ABC中，过B作BD∥y轴，交x轴于点D，如图1，在直观图中的x'轴上取O'D'＝OD，
连接D'B'，如图2，则D'B'＝DB，
由于BD⊥AC于点D，则BD为原图形中OA边上的高，且BD＝2B'D'，S△ABC＝AC×BD＝，BD＝2B'D'＝，所以C正确；
在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E'，B'D'＝B'E'＝，B'E'＝，所以D错误；
S△A'B'C'＝A'C'×B'E'＝，所以B正确．
故选ABC．]
考点二　空间几何体的表面积与体积
考向1　表面积
[典例4]　(1)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱锥和正六棱柱的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，则正六棱锥的侧面积与正六棱柱的侧面积的比值为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为_____________．
(60＋4)π
(1)B　(2)(60＋4)π　[(1)设正六棱柱的底面边长为a，由题意知正六棱柱的高为2a，因为正六棱锥的高与底面边长的比为2∶3，所以正六棱锥的高为a，正六棱锥的侧棱长为a，正六棱锥的侧面积
S1＝6×aa2，
正六棱柱的侧面积S2＝6·a·2a＝12a2，所以．故选B．
(2)由题意可得，四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F．则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5．故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R＝5，高h1＝4，母线长l1＝5．圆锥底面半径r＝2，高h2＝2，母线长l2＝2．所以圆台侧面积S1＝π(R＋r)l1＝π(5＋2)×5＝35π，圆锥侧面积S2＝×2πr×l2＝×2π×2×2＝4π，圆台下底面面积
S3＝πR2＝25π．故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝
35π＋4π＋25π＝(60＋4)π．]
考向2　体积
[典例5]　(1)(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为_________．
1
(1)C　(2)1　[(1)法一(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分，然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，如图，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，
故该五面体的体积V＝×1××1＋．
故选C．
法二(补形法)：如图，用一个完全相同的五面体与该五面体相嵌，使得新组合体为一个三棱柱，记为ABC-HIJ，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，所以VABC-DEF＝VABC-HIJ
＝×1×1××4＝．故选C．
(2)如图，易知，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1-A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝×D1A1＝×2＝1．]
名师点评：求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体，再求解
等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体的体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面均可作为三棱锥的底面，进行等体积变换)
[巩固迁移]
3．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为(　　)
A．6π B．16π
C．26π D．32π
√
B　[圆台的上底面圆半径r'＝1，下底面圆半径r＝3，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有
所以圆台的侧面积S＝π(r'＋r)l＝π(1＋3)×4＝16π．故选B．]
　[法一：如图所示，设O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台
ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E
⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．
4．(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为_____________．
因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝，所以O1O＝×(22＋12＋)×．
法二：如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2．连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为×(22＋12＋)×．(或者V四棱锥P-ABCD＝×22×V四棱锥P-ABCD，所以
＝V四棱锥P-ABCD－
V四棱锥P-ABCD＝．)]
【教用·备选题】
1．在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
√
A　[取AB的中点E，连接PE，CE，如图，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×，又PC＝，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE 平面ABC，∴PE⊥平面ABC，
∴VP-ABC＝S△ABC·PE＝×2×＝1．
故选A．]
2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，BD⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5．试用两种方法求此几何体的体积．
[解]　法一(分割法)：由AB＝8，AC＝6，BC＝10，得AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC．因为BD⊥平面ABC，AE∥BD，所以AE⊥平面ABC，又AB 平面ABC，所以AE⊥AB，又AB⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC 平面ACFE，所以AB⊥平面ACFE．如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．
由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72，
四棱锥D-MNEF的体积为V2＝S梯形MNEF·DN
＝×(1＋2)×6×8＝24，
则此几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96．
法二(补形法)：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'＝BB'＝CC'＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝S△ABC·AA'＝×24×8＝96．
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截去一小部分，其中EH∥A'D'，则剩下的几何体是(　　)
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(四十五)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
√
16
C　[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2026·山东平度模拟)一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(　　)
A．64π B．56π
C．48π D．52π
√
D　[∵圆台的高为h＝＝4，
∴圆台的体积V＝π(22＋52＋2×5)×4＝52π．故选D．]
16
3．(2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2．故选B．]
16
4．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接(不可折断，可以不全部用完)，不可能拼成(　　)
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[正三棱柱中9条棱的长度可以相等，A成立；
正四棱锥中8条棱的长度可以相等，B成立；
正四棱柱中12条棱的长度可以相等，C成立；
因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，
所以正六棱锥的侧棱总比底边长，D不成立．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5．水平放置的四边形ABCD的直观图是直角梯形A'B'C'D'，如图所示．其中B'C'＝A'B'＝1，则原平面图形的面积为(　　)
A．
B．
C．3
D．6
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
C　[在直角梯形A'B'C'D'中，B'C'＝A'B'＝1，且∠A'D'C'＝45°，作A'P⊥D'C'于点P，
则四边形A'B'C'P为正方形，△A'PD'为等腰直角三角形，
故A'D'＝，D'C'＝2．
故原图形为直角梯形，且上底AB＝A'B'＝1，高AD＝2A'D'＝2，下底DC＝D'C'＝2．
其面积为×2＝3．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
6．(2026·浙江杭州模拟)将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(　　)
A．8π B．π
C．16π D．π
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[由题意知，半圆的周长为4π，设圆锥底面圆的半径为r，则4π＝2πr，解得r＝2，又母线长为4，所以圆锥的高为h＝＝2，所以圆锥的体积为V＝Sh＝π．故选B．]
16
7．(2026·河南洛阳模拟)若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积的比值是(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[设正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为a，
则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为4××(a)2×＝2a2，比值为．故选A．]
16
8．(2023·天津卷)在三棱锥P-ABC中，线段PB上的点M满足PM＝PB，线段PC上的点N满足PN＝PC，则三棱锥P-AMN和三棱锥
P-ABC的体积之比为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
B　[如图，因为PM＝PB，PN＝PC，
所以＝＝
(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(　　)
A．该圆锥的母线长为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面积为π
D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
ABD　[设该圆锥的母线长为l，如图所示．
因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，即∠ASB为直角，
所以l2＝1，解得l＝，A正确；
设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2，
则圆锥的高SO＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝，
侧面积为πrl＝π×1×π，B正确，C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1，
所以α＝π，D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABE∥平面CDF，AD⊥AE，AB⊥AE，CF⊥CD，CF⊥BC，且AB＝AE＝CF．记三棱锥A-BDF，F-BDE，F-BCD的体积分别为V1，V2，V3，则(　　)
A．2V1＝V2
B．V1＝V2＋V3
C．V2＝V1＋V3
D．2V3＝3V1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AC　[由已知，将几何体补形为正方体，
如图，设该正方体的棱长为1，
则V1＝VA-BDF＝VF-ABD＝S△ABD·FC＝，
V3＝VF-BCD＝S△BCD·FC＝，
V2＝VF-BDE＝V正方体－VF-BCD－VF-BEN－VF-DEM－VD-ABE＝1－4VF-BCD＝1－4V3＝，
所以V1＝V3，V2＝V1＋V3＝2V1．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．如图是圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，下列说法正确的是(　　)
A．AC＝2
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为7π
D．沿着该圆台的表面从点C到AD中点的最短距离为5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
ABD　[显然四边形ABCD是等腰梯形，AB＝AD＝BC＝2，CD＝4，圆台的高h＝．
对于A，在等腰梯形ABCD中，
AC＝＝2，A正确；
对于B，圆台的表面积S＝π×12＋π×22＋π(1＋2)×2＝11π，B正确；
对于C，圆台的体积V＝π(12＋1×2＋22)×π，C错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，将圆台一半侧面展开，如图中扇环ABCD所示，且E为AD中点，而圆台对应的圆锥一半侧面展开图为扇形COD，且OC＝4，又∠COD＝，在Rt△COE中，CE＝＝5，斜边CE上的高为>2，即CE与弧AB相离，所以点C到AD中点的最短距离为5，D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
三、填空题
12．(2025·广东深圳二模)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
36　[如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，
36
所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6，
PO＝＝3，
所以VP-ABCD＝S底·PO＝×36×3＝36．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5π　[该旋转体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以该旋转体的表面积为π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π．]
13．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
5π
14．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是_____________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
1
　1　[设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×π×r2×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×πr3，
所以．
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，
所以＝1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
15．如图，某青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高)．已知瓷器的高为38 cm，在高为20 cm处有最大直径(外径)为
48 cm，则该瓷器的外表面积约为(π取3.14) (　　)
A．6 270 cm2
B．6 275 cm2
C．6 280 cm2
D．6 300 cm2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
C　[由题意可知，球的半径为R＝24 cm，上球冠的高h1＝6 cm，下球冠的高h2＝4 cm，
设下底面圆的半径为r，则r2＝242－202＝176，
所以该瓷器的外表面积为4π×242－2π×24×6－2π×24×4＋π×176＝2 000π≈6 280．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
16．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为
8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小，则盲盒内剩余空间的体积为(　　)
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
C　[依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，
如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm，
所以该正方体的棱长为4 cm，
盲盒内剩余空间的体积为
4××4×4×4(cm3)．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 ！课后作业(四十五)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分
一、单项选择题
1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A'B'C'D'被一个平面截去一小部分，其中EH∥A'D'，则剩下的几何体是 (　　)
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
2．(2026·山东平度模拟)一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为 (　　)
A．64π B．56π
C．48π D．52π
3．(2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接(不可折断，可以不全部用完)，不可能拼成 (　　)
A．正三棱柱 B．正四棱锥
C．正四棱柱 D．正六棱锥
5．水平放置的四边形ABCD的直观图是直角梯形A'B'C'D'，如图所示．其中B'C'＝A'B'＝1，则原平面图形的面积为 (　　)
A． B．
C．3 D．6
6．(2026·浙江杭州模拟)将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 (　　)
A．8π B．π
C．16π D．π
7．(2026·河南洛阳模拟)若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积的比值是 (　　)
A． B．
C． D．
8．(2023·天津卷)在三棱锥P-ABC中，线段PB上的点M满足PM＝PB，线段PC上的点N满足PN＝PC，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 (　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·山西晋城二模)已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则 (　　)
A．该圆锥的母线长为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面积为π
D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为π
10．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABE∥平面CDF，AD⊥AE，AB⊥AE，CF⊥CD，CF⊥BC，且AB＝AE＝CF．记三棱锥A-BDF，F-BDE，F-BCD的体积分别为V1，V2，V3，则 (　　)
A．2V1＝V2 B．V1＝V2＋V3
C．V2＝V1＋V3 D．2V3＝3V1
11．如图是圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，下列说法正确的是 (　　)
A．AC＝2
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为7π
D．沿着该圆台的表面从点C到AD中点的最短距离为5
三、填空题
12．(2025·广东深圳二模)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为________．
13．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________．
14．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是________．
15．如图，某青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高)．已知瓷器的高为38 cm，在高为20 cm处有最大直径(外径)为48 cm，则该瓷器的外表面积约为(π取3.14) (　　)
A．6 270 cm2 B．6 275 cm2
C．6 280 cm2 D．6 300 cm2
16．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小，则盲盒内剩余空间的体积为 (　　)
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
课后作业(四十五)
1．C
2．D　[∵圆台的高为h＝＝4，
∴圆台的体积V＝π(22＋52＋2×5)×4＝52π．故选D．]
3．B　[设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2．故选B．]
4．D　5．C
6．B　[由题意知，半圆的周长为4π，设圆锥底面圆的半径为r，则4π＝2πr，解得r＝2，又母线长为4，
所以圆锥的高为h＝＝2，所以圆锥的体积为V＝Sh＝π．故选B．]
7．A　[设正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为a，
则正方体的表面积为6a2，
正四面体的表面积为4××(a)2×＝2a2，
比值为．故选A．]
8．B　[如图，因为PM＝PB，
PN＝PC，
所以＝＝
(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B．]
9．ABD　[设该圆锥的母线长为l，如图所示．
因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，即∠ASB为直角，
所以l2＝1，解得l＝，A正确；
设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA＝SB＝，所以AB＝2，
则圆锥的高SO＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×1＝，
侧面积为πrl＝π×1×π，B正确，C错误；
设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α＝2π×1，
所以α＝π，D正确．故选ABD．]
10．AC　[由已知，将几何体补形为正方体，如图，设该正方体的棱长为1，
则V1＝VA-BDF＝VF-ABD＝S△ABD·FC＝，
V3＝VF-BCD
＝S△BCD·FC＝，
V2＝VF-BDE＝V正方体－VF-BCD－VF-BEN－VF-DEM－VD-ABE＝1－4VF-BCD＝1－4V3＝，
所以V1＝V3，V2＝V1＋V3＝2V1．故选AC．]
11．ABD　[显然四边形ABCD是等腰梯形，AB＝AD＝BC＝2，CD＝4，圆台的高h＝．
对于A，在等腰梯形ABCD中，AC＝＝2，A正确；
对于B，圆台的表面积S＝π×12＋π×22＋π(1＋2)×2＝11π，B正确；
对于C，圆台的体积V＝π(12＋1×2＋22)×π，C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如图中扇环ABCD所示，且E为AD中点，而圆台对应的圆锥一半侧面展开图为扇形COD，且OC＝4，又∠COD＝，在Rt△COE中，CE＝＝5，斜边CE上的高为>2，即CE与弧AB相离，所以点C到AD中点的最短距离为5，D正确．]
12．36　13．5π
14．　1　[设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×π×r2×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×πr3，所以．
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，
所以＝1．]
15．C　[由题意可知，球的半径为R＝24 cm，上球冠的高h1＝6 cm，下球冠的高h2＝4 cm，
设下底面圆的半径为r，则r2＝242－202＝176，
所以该瓷器的外表面积为4π×242－2π×24×6－2π×24×4＋π×176＝2 000π≈6 280．
故选C．]
16．C　[依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，
如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm，
所以该正方体的棱长为4 cm，盲盒内剩余空间的体积为4××4×4×4(cm3)．故选C．]
4/4

展开更多......

收起↑