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《2025-2026 学年度高二数学 5 月月考卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C C A A B ABC BCD
题号 11
答案 ACD
6 5 4．五个芯片的排列数为A 5 120种，其中甲乙相邻的有 2A4 48种，所以甲乙不相邻的有
72 2 2种，绑定丙丁，再将甲乙插空有 2 2C3A2 24种，所以在串联电路中甲，乙两个芯片不
24 1
相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为 .
72 3
1 1
7．由题意，由 f x 2ax 0，可得 x x 1
x 1 2a
1
函数 f (x) ln(x 1) ax2有两个极值点，即方程 x x 1 在 x 1, 内有两个不等实
2a
根，即函数 g x x x 1 与 y 1 在 x 1, 上有两个交点，因
2a
2 1 1 1 1
g x x x 1 x 2 x 1 1 x ， g( 1) 0， g( ) ，所以 , 0 ，解得
2 4 2 4 2a 4
a , 2 .
8 1．下落过程中，需要经过 6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为 2 ，
1
4 2
1 15
落入③号球槽需向左 4次，向右 2次，则 P 41 C6× ,
2 2 64
1 1 5 6
落入⑥号球槽需向左 1次，向右 5次，则 P C12 6× ，
2 2 64
21
则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为 P1 P2 .64
故选：B
10．A选项，二项展开式中第 3项和第 4项的二项式系数最大，即 n为奇数，
n 1 n 1
1 n 1且C 2 与C 2 最大，所以 3，解得 n 5，A错误；n n 2
2 5 5
B x 2 选项， 5 x
中，令 x 1得， 1 3 243，
1
故展开式的各项系数和为 243，B正确；
C选项，展开式中的二项式系数和为 25 32，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
答案第 1页，共 8页
{#{QQABAYI94gKQgBbACL4qAUGiCgmYkoAhLIgsxUCQuAQqCANABIA=}#}
所以展开式中奇数项的二项式系数和为 16，C正确；
r 3r
D选项，展开式通项公式为T Crx 5 r 2r

x 2 Cr 2r
5
2 ，0 r 5，且 r为整数，
r 1 5 5 x
3 3 3
当 r 0时，5 r 5满足要求，当 r 2时，5 r 2满足要求，当 r 4时，5 r 1满
2 2 2
足要求，
综上，展开式中有理项一共有 3项，D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】由二项分布的期望公式和方差公式判断 AC；利用二项分布的分布列判断 BD.
【详解】由题意可知， X A B 10, pA ， X B B 10, pB ，则 E X A 10pA ,E X B 10pB，
因为 pA pB，所以E X A E X B ，故 A正确；
P(X A 7且 X B 7) P X A 7 P X B 7 ，
P(X A 7且 X B 8) P X A 7 P X B 8 ，
P X B 7 C7 7
3
10
pB 1 pB 8 1 p
则 B
P X B 8
，
C8 p8 1 p 2 3p10 B B B
8 P X B 7
当 pB 时， 111 P X B 8
，故 B错误；
因为D X A 10pA 1 pA ,D X B 10pB 1 pB ，
1 1
且函数 y 10x 1 x 在 ,1 上单调递减， pA pB 1，
2 2
所以D X A D X B ，故 C正确；
P X k k 10 kB k C10 pB 1 pB ，
P X k 1 C k 1p k 1 9 kB 10 B 1 pB 10 k p
则当 k 0,1, 2, 9时 B
P X k Ck pk 1 10 k
，
B p k 1 1 p10 B B B
P X B k 1 P1 X k 1 若 ，则 k 11pB 1 B；若 1，则 k 11p 1P X B k P X B
，
B k
因为当且仅当 k = 8时， P X B k 取得最大值，所以7 11pB 1 8，
答案第 2页，共 8页
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8
则 p
9
B ，故 D正确.11 11
12．150
【分析】由题可得，可一镇三人，另两镇各一人，也可两镇各两人，剩下一镇一人.据此可
得不同方案数.
3 1
【详解】若一镇三人，另两镇各一人，则先从 5人中选 3人去一小镇，有C5C3 30种方法，
再安排剩下 2人各去一小镇，有 2种方法，则此种安排方式下的方案数为30 2 60；
1 1
若两镇各两人，剩下一镇一人，则先从 5人中选一人去一小镇，有C5C3 15种方法，
再从剩下 4人中选两人去某一小镇，则剩下两人去另一小镇，因两组人安排先后顺序对结果
无影响，
C2C1
则有 4 2 6种方法，则此种安排方式下的方案数为15 6 90 .
2
则总方案数为 150.
故答案为：150
13．23
【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可.
2
【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布 N 176,7 ,
所以男生身高不低于 190cm的概率为
P X 1 190 1 P 162 X 190
1
1 0.9545 0.02275 ,2 2
所以估计可以备选的男生人数约为1000 0.02275 23人.
14 2． 0,e
x
【分析】将不等式 f x 0 e恒成立转化为 1 ln ax a 在 (1, )上恒成立,进一步转化为
a
ex
1 x a e
x
恒成立，即 恒成立.再构造函数,利用导数求最值可解决.
a x 1
【详解】易求得函数 f x 的定义域为 (1, ) x，由 f x e aln ax a a 0，
ex
得 1 ln ax a ，
a
ex
因为函数 y 1与函数 y ln ax a 互为反函数，
a
其图象关于直线 y x对称，
答案第 3页，共 8页
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所以要使得 f x 0恒成立，
ex x
只需 1 x恒成立，即 a e 恒成立，
a x 1
ex e
x x 2
设 g x ，则 g x ，
x 1 x 1 2
g x 在 1,2 上递减，在 2， 递增，
可知当 x 2时， g x 取得最小值 e2，
2
所以 a e2，又因为 a 0，所以 a的取值范围是 0,e .
【点睛】本题考查了等价转化思想,不等式恒成立问题.属中档题.
15．(1) 2x y 1 0
0, 1 1 (2)单调递增区间为： ，单调递减区间为： ,
3 3
【分析】（1）由导数的几何意义求解；
（2）求导，求解不等式进行求解．
【详解】（1） f (1) ln1 3 1 3，得切点为 1, 3 ，
f (x) 1 3，得 f (1) 1 3 2，
x
得切线方程为： y 3 2 x 1 ，即 2x y 1 0．
（2）函数的定义域为 0, ，
f (x) 1 1 3x 3 ，
x x
1
由 f (x) 0，得0 x ；
3
由 f (x) 0 x
1
，得 ，
3
答案第 4页，共 8页
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故函数 f (x)
1 1
的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , 。
3 3
16．(1) 160
(2)0
(3)12
【分析】（1）根据二项展开式的结构即求 x3的系数；
（2）分别对二项式赋值 x 0, x 1，联立两式，计算即得；
（3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得.
【详解】（1）由题意，可知 a 3 3 33为展开式中 x 的系数，即C6·1 · 2
3
160，
故 a3 160；
（2）在 1 2x 6 a a x a x2 a 3 4 50 1 2 3x a4x a5x a6x6中，
令 x 0，得 a 60 1；再令 x 1，可得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 ( 1) 1，
两式相减，得 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 1 0；
（3 6）由 1 2x a a x a x20 1 2 a 3 4 5 63x a4x a5x a6x 两边求导，
5 2 3 4 5
可得 12(1 2x) a1 2a2x 3a3x 4a4x 5a5x 6a6x ，
令 x 1，得 a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 12(1 2 1)
5 12 .
6
17．(1)分布列见解析，期望为
5
(2)880万元
【分析】（1）首先确定 0,1, 2，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望；
2
（2 ）首先设 X 为经过培训合格的人数，且 X B 60, ，根据题意求所有员工每年创造的
3
利润，再代入公式年利润公式，即可求解.
【详解】（1）由题意可知， 0,1, 2，
2 1 1 2
P 0 C2 1 P C C 3 C， 1 3 2 ，P 0 3 32 2 2 ，C5 10 C5 5 C5 10
所以随机变量 的分布列如下，

0 1 2
答案第 5页，共 8页
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1 3 3
P
10 5 10
E 0 1 1 3 3 6 2 ；
10 5 10 5
2 2
（2 ）设 X 为经过培训合格的人数，X B 60, ，E X 60 40，不合格人数为60 X，
3 3
员工为公司创造的利润为Y 20X 10 60 X 10X 600 万元，
则 E Y E 10X 600 10E X 600 10 40 600 1000万元，
公司的年利润为1000 2 60 880万元.
所以估计该公司 A，B两部门经培训后创造的年利润为880万元.
20
18．(1)
27
83
(2)
144
(3)五局三胜对甲有利，理由见解析
【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜；
（2）三局两胜 X的所有可能取值为 0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代
入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差.
（3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论.
【详解】（1）设事件 A “比赛采用三局两胜制甲胜”，
2 2
P A 2 C1 2 1 20则 3 2
.
3 3 27
（2）X的所有可能取值为 0，1，2，
P X 0 1 1 1 P X 1 1 1 1 1 5 1 2 1 ， ， P X 2 .
2 2 4 2 3 2 2 12 2 3 3
所以期望为 E X 1 5 2 1 13 ；
12 3 12
2 2 2
D X 0 13 1 1 13 5 2 13 1 83方差为 ；
12 4 12 12 12 3 144
3 f p p2 1 2 2（ ）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率 C2 p 1 p p 3 2 p ，
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：
g p p3 C2 p33 1 p C2 34 p 1 p
2 p3 6p2 15p 10 .
答案第 6页，共 8页
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令 g p f p 3p2 2 p3 5p2 4 p 1 3p2 p 1 2 2 p 1 ，
1
因为 p 1时， 2 p 1 0，所以 g p f p ，选择五局三胜对甲有利.
2
1
19．(1) , 2
(2)1
3
(3) m m ln 2
2
【分析】（1） f x 在定义域内单调递增等价于 f x 0恒成立，分离参数转化为最值问
题求解；
（2）由1 ln x 1 bex lnb，构造同构函数 g t t ln t，利用 g t 的单调性求解；
f x
（3 1）由极值点得双变量 x1, x2 之间关系，将 通过变量代换转化为关于 x1的函数，利用x2
导数判断单调性求其最值情况即可求解.
【详解】（1）由题 f x 的定义域为 1, f x 2x a 0 2x a， 0在 1, 恒
1 x 1 x
成立，且 f x 0的解不连续，
2
则 a
1 1 1
2x 1 x 2

x

max ， 2 2 2max
a 1 所以 的取值范围是 , ； 2
（2 x x x）当 a 1时，不等式可化为1 ln x 1 be lnb，变形为 x 1 ln x 1 be ln be ，
令 g t t ln t，求导得 g t 1 1 0，所以 g t t ln t在 0, 上是增函数，
t
x 1 ln x 1 bex ln bex g x 1 g bex故 ，即 ，即 x 1 bex，
所以对任意 x 1, ，不等式 f x x2 2 bex lnb x 1恒成立，即 x b对任意e
x 1, 恒成立，
h x x 1令 x , x 1, ，则 h x
x
x , x 1, ，e e
所以当 x 1,0 时， h x 0，则 h x 单调递增；
答案第 7页，共 8页
{#{QQABAYI94gKQgBbACL4qAUGiCgmYkoAhLIgsxUCQuAQqCANABIA=}#}
当 x 0, 时， h x 0，则 h x 单调递减，
所以 hmax x h 0 1，即满足不等式的实数b的取值范围为b 1，
所以b的最小值为 1；
（3）因为 f x 存在两个不同的极值点 x1, x2 , x1 x2，
a 2x2
所以由 f x 2x 2x a 0可得 x1, x2是方程2x2 2x a 0的两根，1 x x 1
所以Δ 4 8a 0, x
a 1 1
1 x2 1, x1x2 ，且 1 x1 ， x2 0，2 2 2
所以 x
a
1x2 0 0 a
1
，故 ，
2 2
又由 f
f x
x1 mx
1
2可得m ，x2
而
f x1 x 21 1 a ln 1 x 1 a ln 1 x 2x 1 x ln 1 x 1 x1 1 1 x 1 1 1 1 x 2x ln 1 x x2 1 x1 1 x 11 1 x 1 1 11
，
令 x 1 1 x 2x ln 1 x , x 1, ，
2
x 1 2 ln 1 x 2x x 1 2则 2 ln 1 x 1 2 ln 1 x ，
1 x 1 x x 1

∵ x 1,
1
x 1 0, 1 2 ，∴ ，即 4, , ln x 1 0，
2 2 x 1
则 x 1 2 2 ln 11 x 0，所以 x 在区间 1, 上单调递减，
x 1 2
x 1 3 1 3
f x
3所以有 1 2
ln ln 2，即 ln 2，
2 2 2 x2 2
3
所以实数m取值范围 m m ln 2 .
2


答案第 8页，共 8页
{#{QQABAYI94gKQgBbACL4qAUGiCgmYkoAhLIgsxUCQuAQqCANABIA=}#}重庆市南坪中学校 2025-2026 学年度高二数学 5月月考卷
一、单选题
1．下列求导数运算正确的是（ ）
'
A． (cosx) ' sinx B． 3x x 3x 1
'
C． (xlnx)' lnx 1 D ． sin
π π
cos
3 3
2．对变量 x、 y有观测数据 xi , yi ，得散点图 1；对变量u、v有观测数据 ui ,vi ，
得散点图 2.分别用 r1、 r2表示变量 x与 y、u与 v之间的线性相关系数，则下列说
法正确的是（ ）.
A．变量 x与 y呈现正相关，且 r1 r2
B．变量 x与 y呈现负相关，且 r1 r2
C．变量u与 v呈现正相关，且 r1 r2
D．变量u与 v呈现负相关，且 r1 r2
3．用 1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
A．24 B．30 C．40 D．60
4．下列说法错误的是（ ）
A ．若随机变量 X～B 10
1
, ，则E X 5
2
B．若 P A 0.6，P B 0.4， P(B | A) 0.4，则事件 A与事件 B独立
C．若随机变量 X的方差D X 1，则D 3X 1 10
D 2．若随机变量 X服从正态分布 N 6, ，若 P(X 10) 0.8，则 P(2 X 6) 0.3
5．在南坪万达广场有三个奶茶店：A店 B店 C店.根据平台数据，顾客选择 A B C
店的概率分别为30% 50% 20% .已知各店高峰期制作时间超过10分钟的概率分别
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABAYI94gKQgBbACL4qAUGiCgmYkoAhLIgsxUCQuAQqCANABIA=}#}
为： A店20% B店 40% C店30% .若小明随机选择一个奶茶店下单，他等待超过10
分钟的概率是（ ）
A．28% B．30% C．32% D．34%
6．在某项芯片测试试验中，有 5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，
先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，
丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ）
1 2 1A 1． 3 B． C． D．3 6 5
7．已知函数 f (x) ln(x 1) ax2有两个极值点，则实数 a的取值范围为（ ）
A． ( , 2) B ． ,
1

1 1
C． , (0, ) D

． ,

2 2 2
8．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开
的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落
下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中
每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落
入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（ ）
A 7 21 13 15． 32 B． 64 C． 32 D．64
二、多选题
9．已知离散型随机变量 X分布列如下表所示（ ）
X 0 1 2
P 0.2 1 2q q
A． q 0.2 B． E(x) 1 C． E(5x 1) 4 D．D(x) 0.2
n
10 2 ．已知 x 的二项展开式中第 3项和第 4项的二项式系数最大，则（ ）
x
A． n 6 B．展开式的各项系数和为 243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为 16 D．展开式中有理项一共有 3项
11．2026年 3月“伊以冲突”到达“白热化巅峰期”，伊朗平均每天进行 2－3波反
击，单波发射数十架无人机做诱饵压制防空，再利用发射若干导弹对目标进行摧
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABAYI94gKQgBbACL4qAUGiCgmYkoAhLIgsxUCQuAQqCANABIA=}#}
毁，策略是打赢和打瘫．据统计，伊朗主要采用了两种导弹作战：加德尔常规导
弹和海巴尔高精导弹．不妨将两种导弹分别记为 A、B，已知两种导弹命中目标
的概率分别为 pA , pB , pA , pB 0,1 ，假设在某波反击中两种导弹各发射 10枚，每
次发射的结果相互独立，击中目标的个数分别为 X A， X B，则下列结论正确的是
A．若 pA pB，则E X A E X B B．P(X A 7且 X B 7) P(X A 7且 X B 8)
C 1．若 pA p2 B
1，则D X A D X B
D．若当且仅当 k = 8时，P X B k k 0,1,2, 10
8 9
取得最大值，则 p
11 B 11
三、填空题
12．五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，
则不同的方案有_____________种．
13 2．某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布 N 176,7 ，现调查统计
三个年级共 1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低
于 190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数）
X N , 2参考数据：若 ，则 P X 0.6827，
P 2 X 2 0.9545, P 3 X 3 0.9973.
14 x．已知函数 f x e aln ax a a(a 0)，若关于 x的不等式 f x 0恒成立，
则实数 a的取值范围为______
四、解答题
15．已知函数 f (x) ln x 3x .
(1)求 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程.
(2)求 f (x)的单调区间.
16 6．已知 1 2x a a x a x2 a x3 a x4 a 5 60 1 2 3 4 5x a6x ．
(1)求 a3的值．
(2)求a1 a2 a3 a4 a5 a6的值．
(3)求 a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6的值．
试卷第 3页，共 4页
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17．DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组
织 A，B两个部门全体员工共 60人参加培训．
(1)此次培训的员工中有 5名部门领导，其中有 3人来自 A部门．从这 5名部门
领导中随机选取 2人，记 表示选取的 2人中来自 A部门的人数，求随机变量
的分布列和数学期望；
2
(2)若每位员工经过培训后合格的概率为 ，经预测，培训合格的员工每人每年平
3
均为公司创造利润 20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润 10
万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付 2万元的其他成本和费用．试估计
该公司 A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他
成本和费用）．
18．2025年 5月 25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦4 :1战胜巴西
选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日
常训练.
2
(1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为
3
1
3，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
2
(2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为 ，若第一局甲失败，则下一局甲
3
1 1
获胜的概率为 2 ，已知第一局甲获胜的概率为 2 ，在前两局比赛中，用 X表示甲
获胜的次数，求 X的方差；
(3) P P
1
,1 如果每局比赛甲获胜的概率为 ，且 2 ，比赛的赛制有五局三胜制和三
局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由.
19．已知函数 f x x2 1 aln 1 x ，
(1)若 f x 在定义域内单调递增，求实数 a的取值范围；
(2)当 a 1时，若对任意 x 1, 2 x，不等式 f x x 2 be lnb恒成立，求实数
b的最小值；
(3)若 f x 存在两个不同的极值点 x1, x2， x1 x2，且 f x1 mx2，求实数m的取值
范围．
试卷第 4页，共 4页
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