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广东东莞市2025-2026学年第二学期期中质量自查七年级数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
B、3.14是有限小数，属于有理数；
C、，3是整数，属于有理数；
D、是分数，属于有理数．
故答案为：A.
【分析】利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，的次数为2，不符合；
B、，含分式，不是整式方程，不符合；
C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合；
D、，项次数为2，不符合．
故答案为：C．
【分析】利用二元一次方程的定义及特征（①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程）逐项分析判断即可.
3．如图，要将水渠中的水引到点，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是（　　）
A．点，两点间线段最短 B．点，垂线段最短
C．点，垂线段最短 D．点，两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要将水渠中的水引到点，在点开挖，才能使沟最短，理由是垂线段最短．
故答案为：C．
【分析】我们可以依据垂线的性质“垂线段最短”，对该问题进行判断。
4．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A.将代入，左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
B. 将代入，
左边，右边，左边=右边，
∴是该方程的解，本选项符合题意；
C. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
D. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查了二元一次方程的解的相关概念，我们只需要依据二元一次方程解的定义，把每个选项里给出的未知数的数值代入原方程，检验等式左右两边是否相等，就能得到结果。
5．下列算式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根、二次根式的性质及立方根的性质及计算方法逐项分析判断即可.
6．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
A.∵，
∴，故Ａ正确.
B. ∵，
∴，故Ｂ错误.
C. ∵，
∴，故Ｃ错误.
D. ∵，
∴，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定定理分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
8．若为实数，且满足，那么的值（　　）
A．1 B．3 C．4 D．13
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：A.
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，∠ODE＝∠ADC，若反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是(　　)
A．74° B．63° C．64° D．73°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵DC//OB，
∴∠ADC=∠O=37°，
又∵ ∠EDO=∠ADC=37°，
∴∠CDE=180°-37°-37°=106°，
∴∠DEB=180°-106°=74°.
故答案为：A.
【分析】首先根据平行线的性质可以得到∠ADC的度数为37°，再结合平角的定义，以及已知的∠ODE＝∠ADC，就可以算出∠CDE的度数，最后根据平行线的性质，即可得出∠DEB=180°-106°=74°.
10．如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
根据翻折的性质得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据翻折的性质得等于，根据平角定义即可得等于，再根据得即可得答案.
11．25的平方根是　 　 .
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
12．比较大小：　 　4（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：．
故答案为：<．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
13．已知是关于的方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于的方程的一个解，
，
解得：．
故答案为：-1.
【分析】将x、y的值代入可得，再求出a的值即可.
14．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线性质的应用，我们可以先根据已知的和，计算得到，之后再结合平行线的性质，即可算出。
15．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
【分析】本题考查了平移的基本性质，以及梯形的面积公式，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到，结合阴影部分的面积梯形的面积，即可得到答案．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根的计算方法、绝对值的性质和二次根式的混合运算的计算方法化简，再求解即可.
17．解方程组：．
【答案】解方程组：，
解：得：，
得：，
解得：，
把代入①得： ，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法和步骤求解即可.
18．如图，直线，相交于点，，平分．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得等于，根据角平分线的定义可得等于的一半，等于30度.
（2）根据垂直定义可得等于90度，再根据平角定义求出等于60度，再根据等于的和，等于120度.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，每个网格的边长均为1个单位长度，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为点．
（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）若连接，则这两条线段的关系是___________．
【答案】（1）解：根据题意画如下：
（2）解：如图，
构造正方形和
.
（3）平行且相等
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）如图，
根据平移性质得：与的关系是平行且相等．
【分析】（1）根据平移方法，结合题目情境即可画三角形.
（2）根据割补法构造正方形和，即可得等于，计算即可得答案.
（3）根据平移性质得：与的关系是平行且相等．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，构造正方形和三个直角三角形，
，
（3）解：由平移性质知，与的关系是平行且相等．
20．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴，
∴.
（2）解：∵的立方根为2，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用平方根的定义及计算方法可得，求出a的值，再求出m的值即可；
（2）先利用立方根和估算无理数大小的方法求出b、c的值，再代入计算即可.
（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
，解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根为2，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是．
21．如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据垂直，垂直，即可证明平行，即可得，再根据可得，即可得.
（2）设，则，根据得，再根据
即可得，即可列方程，解出即可得，
进而可求解的度数.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴．
22．解决问题
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____．
【知识迁移】
（2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____．
【拓展延伸】
（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行．
【答案】解：(1) 2；.
(2) 1；13；.
(3) 解：不可行，理由如下：
根据题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为，则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
【知识点】无理数的估值；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，
∴边长为.
故答案为：2；.
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：.
大正方形的面积为：.
∴边长为.
故答案为： 1；13；.
【分析】（1）根据大正方形的面积等于2个小正方形的面积和，即可得大正方形的面积，即可求大正方形求边长.
（2）根据直角三角形的长直角边减去短直角边即可求解小正方形的边长，根据大正方形的面积等于44个直角三角形的面积加小正方形的面积即可求解大正方形的面积，继而可求解边长.
（3）根据题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为，即可得，解得，进一步可得答案.
23．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
【答案】解：（1）；.
（2）如图2，
过点作，
，
，
，
，
，
，
的度数为.
（3）①65.
②.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）解：过点作，如图所示：
，，
又，
，
故答案为：；.
（3）①过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：65.
②过点作，如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】（1）过点作平行，即可得相等，相等，再根据
和为，即可得和为.
（2）过点作平行，根据平行线的性质得相等，进一步得平行，再根据平行线的性质可得相等，再根据周角定义可得等于，再根据等量代换可得等于，即可得答案.
（3）①过点作平行，平行线公理可得，再根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答.
②过点作平行，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，根据平行线公理可得平行，即可得等于，即可解答．
1 / 1广东东莞市2025-2026学年第二学期期中质量自查七年级数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．3.14 C． D．
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，要将水渠中的水引到点，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是（　　）
A．点，两点间线段最短 B．点，垂线段最短
C．点，垂线段最短 D．点，两点确定一条直线
4．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列算式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
7．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
8．若为实数，且满足，那么的值（　　）
A．1 B．3 C．4 D．13
9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，∠ODE＝∠ADC，若反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是(　　)
A．74° B．63° C．64° D．73°
10．如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．25的平方根是　 　 .
12．比较大小：　 　4（填“>”“<”或“=”）．
13．已知是关于的方程的一个解，则的值为　 　．
14．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图，若，，则的度数为　 　．
15．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．计算：．
17．解方程组：．
18．如图，直线，相交于点，，平分．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
19．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，每个网格的边长均为1个单位长度，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为点．
（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）若连接，则这两条线段的关系是___________．
20．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
21．如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．解决问题
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为_____，大正方形的边长为_____．
【知识迁移】
（2）设钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；边长为_____．
【拓展延伸】
（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行．
23．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
B、3.14是有限小数，属于有理数；
C、，3是整数，属于有理数；
D、是分数，属于有理数．
故答案为：A.
【分析】利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，的次数为2，不符合；
B、，含分式，不是整式方程，不符合；
C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合；
D、，项次数为2，不符合．
故答案为：C．
【分析】利用二元一次方程的定义及特征（①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：要将水渠中的水引到点，在点开挖，才能使沟最短，理由是垂线段最短．
故答案为：C．
【分析】我们可以依据垂线的性质“垂线段最短”，对该问题进行判断。
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A.将代入，左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
B. 将代入，
左边，右边，左边=右边，
∴是该方程的解，本选项符合题意；
C. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
D. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查了二元一次方程的解的相关概念，我们只需要依据二元一次方程解的定义，把每个选项里给出的未知数的数值代入原方程，检验等式左右两边是否相等，就能得到结果。
5．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根、二次根式的性质及立方根的性质及计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
A.∵，
∴，故Ａ正确.
B. ∵，
∴，故Ｂ错误.
C. ∵，
∴，故Ｃ错误.
D. ∵，
∴，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定定理分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：A.
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵DC//OB，
∴∠ADC=∠O=37°，
又∵ ∠EDO=∠ADC=37°，
∴∠CDE=180°-37°-37°=106°，
∴∠DEB=180°-106°=74°.
故答案为：A.
【分析】首先根据平行线的性质可以得到∠ADC的度数为37°，再结合平角的定义，以及已知的∠ODE＝∠ADC，就可以算出∠CDE的度数，最后根据平行线的性质，即可得出∠DEB=180°-106°=74°.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图，
根据翻折的性质得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：Ｃ.
【分析】根据翻折的性质得等于，根据平角定义即可得等于，再根据得即可得答案.
11．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
12．【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：．
故答案为：<．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于的方程的一个解，
，
解得：．
故答案为：-1.
【分析】将x、y的值代入可得，再求出a的值即可.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线性质的应用，我们可以先根据已知的和，计算得到，之后再结合平行线的性质，即可算出。
15．【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
【分析】本题考查了平移的基本性质，以及梯形的面积公式，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到，结合阴影部分的面积梯形的面积，即可得到答案．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用立方根的计算方法、绝对值的性质和二次根式的混合运算的计算方法化简，再求解即可.
17．【答案】解方程组：，
解：得：，
得：，
解得：，
把代入①得： ，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法和步骤求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得等于，根据角平分线的定义可得等于的一半，等于30度.
（2）根据垂直定义可得等于90度，再根据平角定义求出等于60度，再根据等于的和，等于120度.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：根据题意画如下：
（2）解：如图，
构造正方形和
.
（3）平行且相等
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；图形的平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）如图，
根据平移性质得：与的关系是平行且相等．
【分析】（1）根据平移方法，结合题目情境即可画三角形.
（2）根据割补法构造正方形和，即可得等于，计算即可得答案.
（3）根据平移性质得：与的关系是平行且相等．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，构造正方形和三个直角三角形，
，
（3）解：由平移性质知，与的关系是平行且相等．
20．【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴，
∴.
（2）解：∵的立方根为2，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用平方根的定义及计算方法可得，求出a的值，再求出m的值即可；
（2）先利用立方根和估算无理数大小的方法求出b、c的值，再代入计算即可.
（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
，解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根为2，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是．
21．【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据垂直，垂直，即可证明平行，即可得，再根据可得，即可得.
（2）设，则，根据得，再根据
即可得，即可列方程，解出即可得，
进而可求解的度数.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】解：(1) 2；.
(2) 1；13；.
(3) 解：不可行，理由如下：
根据题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为，则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
【知识点】无理数的估值；利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，
∴边长为.
故答案为：2；.
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：.
大正方形的面积为：.
∴边长为.
故答案为： 1；13；.
【分析】（1）根据大正方形的面积等于2个小正方形的面积和，即可得大正方形的面积，即可求大正方形求边长.
（2）根据直角三角形的长直角边减去短直角边即可求解小正方形的边长，根据大正方形的面积等于44个直角三角形的面积加小正方形的面积即可求解大正方形的面积，继而可求解边长.
（3）根据题意可设裁出的长方形纸片的长为，宽为，即可得，解得，进一步可得答案.
23．【答案】解：（1）；.
（2）如图2，
过点作，
，
，
，
，
，
，
的度数为.
（3）①65.
②.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：（1）解：过点作，如图所示：
，，
又，
，
故答案为：；.
（3）①过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：65.
②过点作，如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】（1）过点作平行，即可得相等，相等，再根据
和为，即可得和为.
（2）过点作平行，根据平行线的性质得相等，进一步得平行，再根据平行线的性质可得相等，再根据周角定义可得等于，再根据等量代换可得等于，即可得答案.
（3）①过点作平行，平行线公理可得，再根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答.
②过点作平行，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，根据平行线公理可得平行，即可得等于，即可解答．
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