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山东省枣庄市第八中学2025-2026学年高一下学期5月数学素能综合检测试题
一、单选题
1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ）
A．若平面，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．如图，为的边上的中线，且，那么为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的极差为，则样本数据的极差为
B．若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为
C．若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为
D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为
10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ）
A．侧面积为 B．体积为
C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为
11．已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体外接球的体积为
B．若直线与底面所成角为，则取值范围为
C．若，则异面直线与所成的角为
D．过且与垂直的截面与交于点，则棱锥体积最小值为
三、填空题
12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．
13．现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______．
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
14．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______．
四、解答题
15．在中，，．
(1)求．
(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为.
16．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
17．“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分；
(3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．
(1)求证：．
(2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值．
(3)求点C到平面PBD的距离．
19．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍．
(1)若 求该几何体的体积与表面积．
(2)若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值．
参考答案
1．D
【详解】，则，
故的虚部为.
故选：D.
2．D
【详解】对于A，因为平面，，所以平面，又因为，
所以，故A正确；
对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，，则可能与相交，故D错误.
故选：D.
3．A
【详解】由，
所以，
故选：A.
4．C
【详解】因为，可得，
则向量在向量方向上的投影向量为．
故选：C.
5．A
【详解】在中，由余弦定理得，而，
所以.
故选：A
6．C
【详解】设原来个数据依次为、、、，则，
因为方差为，则，
即，
所以，
则，
再加入一个数据，则其平均数为，
则这个数据的方差为
.
故选：C.
7．B
【详解】因，平面ABCD，平面ABCD，
则，又因四边形ABCD为矩形，则.
则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，
则外接球的表面积为：
故选：B
8．A
【详解】依题意，体对角线l满足则，
设l与上下底面成角，则，；

设l与左右侧面成角，则，；
设l与前后面成角，则，.
所以，.
故选：A.
9．AC
【详解】若样本数据的极差为，中位数为，平均数为，方差为，则样本数据的极差为，选项正确；
中位数为，选项错误；
平均数为，选项正确；
方差为，选项D错误.
10．BCD
【详解】如图所示，
正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为，
侧面积为，故A错误；
正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为．
连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得．
过点作，使并交与点，侧棱长为2，
则，则有，
则正四棱台的体积，故B正确；
侧面与底面所成角的正切值为，故C正确；
由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上.
设其外接球的球心为G，半径为R，则有，
则有，解得.
故其外接球的表面积为，故D正确.
故选：BCD.
11．AB
【详解】
对于A，四面体外接球即为正三棱柱外接球，
因为外接圆的半径，且，
设正三棱柱外接球的半径为，设正三棱柱的高为h＝，
则由得，故其体积为，A正确；
对于B，取的中点，连接，，，，
由正三棱柱的性质可知平面平面，
所以当点与重合时，最小为∠，，
当点与重合时，最大为，，
所以，易求得，B正确；
对于C，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，
则(或其补角)为异面直线与所成的角，，，
因为，，所以，所以，
所以，即，C错误；
对于D，因，
故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，
设的中点为，作出截面如图所示，
因为，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以点到底面距离的最大值为，
所以三棱锥的体积的最小值为，D错误．
12．11
【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据
，
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11，
故答案为：11.
13．
【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：，
所以抽出的第三袋牛奶的编号是.
14． /
【详解】分别取的中点，连接，，
因为分别为，的中点，
所以∥，∥，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面，
因为P是侧面内一点，且平面，
所以点必在线段上，
在中，，
在中，，
所以为等腰三角形，
当点为的中点时，，此时最短，
当点在或处时最长，
因为，所以，
因为，，
所以线段长度的取值范围是，
设到平面的距离为，与平面所成角为，
因为，所以由可得，
所以，所以.
故答案为：，
15．(1)
(2)选条件②；选条件③；不能选择条件①，此时不存在
【详解】（1）因为，，所以，
由正弦定理得，而三角形中有，
所以，再由二倍角公式得，且，
所以；
（2）若选条件②：：
因为，由（1）可知，所以，
同理，得，
所以在中由正弦定理，得，
再由余弦定理，得，
即，解得或（舍去），
所以三角形的周长；
若选条件③：的面积为：
因为，由（1）可知，所以，
由三角形面积公式，得，
再由余弦定理，得，即，
所以，所以，
所以三角形的周长；
不能选条件①：，理由如下：
因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：，
即，得，，
方程无解，所以边不存在，故不存在.
16．(1)见解析
(2)
【详解】（1）连接，分别是中点，，平面，平面，平面.
在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面.
又，平面，平面平面，平面，平面.
（2）过作交于点.
直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面.
，，又为中点，.
.
.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，，解得；
（2）由（1）及图知，，
所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为，
所以，可得.
（3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之比为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
，
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以，
因为，且N为PB中点，所以，
又因为，所以平面ANMD，
又因为平面ANMD，所以．
（2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角，
又因为且，N为PB中点，所以，
所以，即，
又因为且，所以，
所以，
所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为．
（3）由已知得，，，
，
设点C到平面PBD的距离h，
则．
由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为．
19．(1)该几何体的体积为，表面积为.
(2)
【详解】（1）由题可知，正四棱锥 中，
过点作，垂足为，则.
正四棱锥 的体积为，
侧面积为.
因为，
所以正四棱柱 的体积为，
去掉上底面的表面积为.
所以该几何体的体积为，表面积为.
（2）如图，将侧面和侧面展开，
易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值，
即展开图中点到线段上点的最小值.
由题可知，.
过点作，垂足为，则，
因为正方形中，，所以.
所以，所以，所以.
因为，.
因为，所以为锐角；
，所以为锐角，
所以的最小值为点到的距离.
所以.
即的最小值为．

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