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第48课时　空间直线、平面的平行
[考试要求]　从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 (　　)
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
2．(湘教版必修第二册P158例6改编)如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
3．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是 (　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线都平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
4．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________．
5．(人教B版必修第四册P108练习BT3(2))如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，直线PA和PC分别与β相交于B和D，若PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，则PD＝___________ cm．
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与___________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面___________，那么该直线与___________平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条___________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面___________， 那么两条___________平行(简记为“面面平行 线线平行”) a∥b
[二级结论]　平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
1．证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
2．三种平行关系的转化
考点一　直线与平面平行的判定与性质
　直线与平面平行的判定
[典例1]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PCE．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　线面平行性质定理的应用
[典例2]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b α，a α a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北随州模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　平面与平面平行的判定与性质
[典例3] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG．
【拓展变式】　在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[巩固迁移]
2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　平行关系的综合应用
[典例4]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且．
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
[巩固迁移]
3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第48课时　空间直线、平面的平行
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．A　3．D　4．平行四边形　5．
No2．储备知识要点
1．此平面内　l∥a　a α　l α　相交　交线　l∥α　l β　α∩β＝b
2．相交直线　a∥β　b∥β　a∩b＝P　a α　b α　相交　交线　α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b
精研考点·提升素养
考点一
考向1　典例1　证明：法一(应用线面平行的判定定理)：如图，取PC的中点M，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝CD．
又∵MF∥CD，且MF＝CD，
∴AE FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又∵AF 平面PCE，EM 平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的性质)：如图，取CD的中点G，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC．又E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE GC，∴四边形AECG为平行四边形，
∴AG∥EC．
又FG 平面PCE，AG 平面PCE，
PC 平面PCE，EC 平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG 平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．
又AF 平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
考向2　典例2　证明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG．
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
巩固迁移
1．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE．
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m．
考点二
典例3　证明：(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1．
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
则A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
拓展变式
解：如图，连接A1B，AB1，交点为O，连接OD1．
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，
则＝1．
又由题设可知，
所以＝1，即＝1．
巩固迁移
2．证明：(1)由题设知BB1 DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1 B1C1 BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
考点三
典例4　解：(1)证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于点M，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以，
因为，
所以＝，
所以PQ∥MD1．
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA．
(2)当时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图．证明如下：
因为，
即，
故，
所以PR∥DA．
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA．
巩固迁移
3．解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG．
因为HG 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD．
又因为EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．
又因为AB 平面EFGH，
EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH．
(2)设EF＝x(0由(1)知EF∥AB，所以，
与(1)同理可得FG∥CD，
所以，
所以FG＝6－x．
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x．
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
8/8(共81张PPT)
第48课时　空间直线、平面的平行
第七章　立体几何与空间向量
[考试要求]从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
√
D　[因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．]
2．(湘教版必修第二册P158例6改编)如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
√
A　[因为F，G分别为BC，CD的中点，所以FG∥BD，因为EH∥平面CBD，EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD，可知EH∥FG．
故选A．]
3．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线都平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α
D　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
√
4．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T7改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_____________．
平行四边形　[∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG．同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]
平行四边形
5．(人教B版必修第四册P108练习BT3(2))如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，直线PA和PC分别与β相交于B和D，若PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，则PD＝_____________ cm．
　[因为α∥β，平面PBD∩α＝AC，
平面PBD∩β＝BD，
由平面与平面平行的性质定理，得AC∥BD，
所以，故PD＝ cm．]
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与____________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
此平面内
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与______平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
相交
交线
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”)
α∥β
相交直线
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条______平行(简记为“面面平行 线线平行”)
a∥b
相交
交线
[二级结论]　平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
1．证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，即证明线线平行，一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．
2．三种平行关系的转化
考点一　直线与平面平行的判定与性质
考向1　直线与平面平行的判定
[典例1]　如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点．
求证：AF∥平面PCE．
精研考点·提升素养
[证明]　法一(应用线面平行的判定定理)：如图，取PC的中点M，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝CD．
又∵MF∥CD，且MF＝CD，
∴AE FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又∵AF 平面PCE，EM 平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的性质)：如图，取CD的中点G，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC．又E为AB的中点，四边形ABCD为平行四边形，∴AE GC，∴四边形AECG为平行四边形，∴AG∥EC．
又FG 平面PCE，AG 平面PCE，
PC 平面PCE，EC 平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG 平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．又AF 平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
考向2　线面平行性质定理的应用
[典例2]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
[证明]　在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG．
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
名师点评：判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a∥b，b α，a α a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
提醒：应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北随州模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解](1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE．
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m．
考点二　平面与平面平行的判定与性质
[典例3]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG．
[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1．
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC．
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A1G EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
[解]如图，连接A1B，AB1，交点为O，连接OD1．
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面
AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝1．
又由题设可知，所以＝1，即＝1．
【拓展变式】　在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
【教用·备选题】
在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
[证明] 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，∴A1B∥DM．
∵A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1．
又由三棱柱的性质知，D1C1 BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1．
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1．
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
名师点评：证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．
[巩固迁移]
2．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
[证明]　(1)由题设知BB1 DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1 B1C1 BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
【教用·备选题】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，
求证：H为BC的中点．
[证明]　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又∵F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF．
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，由题意得平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC，
∵G为AB的中点，
∴H为BC的中点．
考点三　平行关系的综合应用
[典例4]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且．
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能
使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
[解]　(1)证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于点M，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以，
因为，所以，
所以PQ∥MD1．
又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA．
(2)当时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，如图．证明如下：
因为，
故，所以PR∥DA．
又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA．
名师点评：三种平行关系的转化
提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明．
[巩固迁移]
3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
[解]　(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG．
因为HG 平面ABD，EF 平面ABD，所以EF∥平面ABD．
又因为EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．
又因为AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH．
(2)设EF＝x(0由(1)知EF∥AB，所以，与(1)同理可得FG∥CD，所以，
则＝1－，所以FG＝6－x．
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x．
又因为0即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．
一、单项选择题
1．(2025·南昌二模)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β平行于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课后作业(四十八)　空间直线、平面的平行
√
B　[A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误；B选项，α，β平行于同一个平面，则α∥β，B选项正确；C选项，α，β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误；D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是(　　)
A．平行四边形　　
B．矩形
C．菱形
D．正方形
√
A　[∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，
平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，
∴AE∥C1F，
∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[连接AC交BE于点G，连接FG．因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以．又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2026·北师大附中期中)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于5，点E在线段SA上，且满足SE＝SA，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)
A．8＋2
B．16
C．14
D．8＋
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
A　[因为四棱锥 S-ABCD的所有棱长都等于5，所以该四棱锥为正四棱锥，
所以四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD．
又AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以CD∥平面SAB．
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，所以CD∥EF，所以EF∥AB．
因为SE＝SA，所以SF＝SB＝3，所以EF＝AB＝3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
在△SBC中，SB＝BC＝SC＝5，
所以CF＝．
同理DE＝，
所以四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝5＋，
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
A　　　　 　B　　　　 　 C　　　 　　　D
√
D　[对于A，如图1，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．
故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2026·浙江宁波模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，若PQ∥平面AB1C，则线段PQ的长度为(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[如图，在ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥AC，
又AC 平面AB1C，A1C1 平面AB1C，
所以A1C1∥平面AB1C，
因为点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点
(可与端点重合)，PQ∥平面AB1C，所以PQ即为A1C1，
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1＝，所以PQ＝．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．(2026·潮阳模拟)在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，，则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．BC∥平面PAD D．CD∥平面PAB
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BD　[如图1，过点E作EG∥PD交AD于点G，连接GF，即有EG∥平面PCD，
由于△AEG∽△APD，所以，
若AB∥CD，则GF∥CD，
又GF 平面PCD，CD 平面PCD，
所以GF∥平面PCD，由EG∩GF＝G，EG，GF 平面EGF，
得平面EGF∥平面PCD，
又EF 平面EGF，
所以EF∥平面PCD，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
若CD∥平面PAB，CD 平面ABCD，
又因为平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以CD∥AB，由B可知D正确；
假设EF∥平面PCD，设平面EFP∩CD＝H，
则EF∥PH，若BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD，
反之若BC∥AD，当且仅当BC∥平面PAD，即A，C同时正确或错误；
若BC∥AD，可能AB∥CD，也可能AB与CD相交，
若BA与CD相交，由知，延长FG必与BA，
CD交于同一点O，如图2，
由几何关系知EF与PH不平行，故A，C错误．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则(　　)
A．AC∥平面BA1C1
B．D1O∥平面BA1C1
C．平面ACD1∥平面BA1C1
D．平面ODD1∥平面BA1C1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABC　[对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．
又A1C1 平面BA1C1，AC 平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1，故A正确；
对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，
因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
则OB∥O1D1且OB＝O1D1，
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，
又OD1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以D1O∥平面BA1C1，故B正确；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
又BC1 平面BA1C1，AD1 平面BA1C1，
所以AD1∥平面BA1C1，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；
对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，
而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，
所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．
故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．(2026·浙江杭州模拟)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是侧棱PD上的动点，若PB∥平面EAC，则＝ _____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
1　[连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接OE，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，
因为PB∥平面EAC，PB 平面PBD，
平面PBD∩平面AEC＝OE，
所以PB∥OE，所以E为PD的中点，所以＝1．]
1
10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_____________时，平面D1BQ∥平面PAO．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
Q为CC1的中点　[如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，
所以D1B∥PO．
Q为CC1的中点
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO．
故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
四、解答题
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯
形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[证明]　法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2．
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF．
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
法二：如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PD，BC的中点，平面PAB∩平面PCD＝l．
(1)证明：l∥AB；
(2)在线段PD上是否存在一点G，使FG∥平面ABE？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
14
[解]　(1)证明：因为底面ABCD为平行四边形，则AB∥CD，又AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PCD＝l，AB 平面PAB，所以l∥AB．
(2)存在G，使FG∥平面ABE，＝3．理由如下：
取AD的中点N，连接FN，NG，
因为F为BC的中点，所以FN∥AB，
又FN 平面ABE，AB 平面ABE，所以FN∥平面ABE．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
又因为FG∥平面ABE，且FN∩FG＝F，FN，FG 平面FNG，
所以平面FNG∥平面ABE．
因为平面PAD∩平面ABE＝AE，平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，
因为N为AD的中点，所以G为ED的中点，
可得EG＝GD，
又因为PE＝ED，所以＝3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示．
因为M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
所以AM∥A1E，MN∥EF，
又AM 平面A1EF，A1E 平面A1EF，
所以AM∥平面A1EF，
同理MN∥平面A1EF，
又AM∩MN＝M，AM，MN 平面AMN，
所以平面AMN∥平面A1EF．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF．
因为A1E＝A1F＝，EF＝，所以A1O⊥EF，
所以当点P与点O重合时，PA1的长度取得最小值，
此时A1O＝，
当点P与点E(或点F)重合时，PA1的长度取得最大值，此时A1E＝A1F＝．
所以PA1的长度范围为．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．(2026·合肥模拟)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α，若平面α∥平面PCD，则平面α截正四棱锥P-ABCD的截面面积为_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2
2　[取AC的中点O，连接OP，
∵点G是△PAC的重心，
∴点G在OP上，且，
过点G作GH∥PC交AC于点H，并延长HG交PA于点M，
过点H作EF∥CD分别交BC，AD于点E，F，过点E作EN∥PC，交PB于点N，连接MN，MF，
如图，四边形EFMN为截面，
易知四边形CDFE为平行四边形，EF＝CD＝3，∵GH∥PC，
∴，∴＝，∴MN＝1，易得MF＝NE＝2，
∴四边形EFMN为等腰梯形，
∴平面α截正四棱锥P-ABCD的截面面积
S＝×(1＋3)×． ]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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14
谢 谢 ！课后作业(四十八)　空间直线、平面的平行
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．(2025·南昌二模)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 (　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β平行于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
2．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是 (　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝ (　　)
A． B．
C． D．
4．(2026·北师大附中期中)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于5，点E在线段SA上，且满足SE＝SA，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为 (　　)
A．8＋2 B．16
C．14 D．8＋
5．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是 (　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
6．(2026·浙江宁波模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，若PQ∥平面AB1C，则线段PQ的长度为 (　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2026·潮阳模拟)在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，，则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是 (　　)
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．BC∥平面PAD D．CD∥平面PAB
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则 (　　)
A．AC∥平面BA1C1
B．D1O∥平面BA1C1
C．平面ACD1∥平面BA1C1
D．平面ODD1∥平面BA1C1
三、填空题
9．(2026·浙江杭州模拟)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是侧棱PD上的动点，若PB∥平面EAC，则＝ ________．
10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，平面D1BQ∥平面PAO．
四、解答题
11．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD．
12．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PD，BC的中点，平面PAB∩平面PCD＝l．
(1)证明：l∥AB；
(2)在线段PD上是否存在一点G，使FG∥平面ABE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为 (　　)
A． B．
C． D．
14．(2026·合肥模拟)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α，若平面α∥平面PCD，则平面α截正四棱锥P-ABCD的截面面积为________．
课后作业(四十八)
1．B　2．A
3．D　[连接AC交BE于点G，连接FG．因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以．又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即．故选D．]
4．A　[因为四棱锥 S-ABCD的所有棱长都等于5，所以该四棱锥为正四棱锥，
所以四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD．
又AB 平面SAB，CD 平面SAB，
所以CD∥平面SAB．
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，所以CD∥EF，所以EF∥AB．
因为SE＝SA，所以SF＝SB＝3，所以EF＝AB＝3．
在△SBC中，SB＝BC＝SC＝5，所以CF＝．
同理DE＝，
所以四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝5＋＋3＋＝8＋2，
故选A．]
5．D
6．B　[如图，在ABCD-A1B1C1D1中， A1C1∥AC，
又AC 平面AB1C，A1C1 平面AB1C，
所以A1C1∥平面AB1C，
因为点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，PQ∥平面AB1C，所以PQ即为A1C1，
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1＝，
所以PQ＝．故选B．]
7．BD　[如图1，过点E作EG∥PD交AD于点G，连接GF，即有EG∥平面PCD，
由于△AEG∽△APD，所以，
若AB∥CD，则GF∥CD，
又GF 平面PCD，CD 平面PCD，
所以GF∥平面PCD，由EG∩GF＝G，EG，GF 平面EGF，得平面EGF∥平面PCD，
又EF 平面EGF，
所以EF∥平面PCD，故B正确；
若CD∥平面PAB，CD 平面ABCD，
又因为平面ABCD∩平面PAB＝AB，
所以CD∥AB，由B可知D正确；
假设EF∥平面PCD，设平面EFP∩CD＝H，
则EF∥PH，
若BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
所以BC∥AD，
反之若BC∥AD，当且仅当BC∥平面PAD，即A，C同时正确或错误；
若BC∥AD，可能AB∥CD，也可能AB与CD相交，
若BA与CD相交，由知，延长FG必与BA，CD交于同一点O，如图2，
由几何关系知EF与PH不平行，故A，C错误．故选BD．]
8．ABC　[对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．
又A1C1 平面BA1C1，AC 平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1，故A正确；
对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，
因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，
则OB∥O1D1且OB＝O1D1，
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，
又OD1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以D1O∥平面BA1C1，
故B正确；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，
所以AD1∥BC1，
又BC1 平面BA1C1，AD1 平面BA1C1，
所以AD1∥平面BA1C1，
又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；
对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，
而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，
所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．故选ABC．]
9．1
10．Q为CC1的中点　[如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO．
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO．
故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]
11．证明：法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，
且EF＝CD＝2．
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF．
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法二：如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，
PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD．
12．解：(1)证明：因为底面ABCD为平行四边形，则AB∥CD，又AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PCD＝l，AB 平面PAB，所以l∥AB．
(2)存在G，使FG∥平面ABE，＝3．理由如下：
取AD的中点N，连接FN，NG，
因为F为BC的中点，所以FN∥AB，又FN 平面ABE，AB 平面ABE，
所以FN∥平面ABE．
又因为FG∥平面ABE，且FN∩FG＝F，FN，FG 平面FNG，
所以平面FNG∥平面ABE．
因为平面PAD∩平面ABE＝AE，平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，
因为N为AD的中点，所以G为ED的中点，
可得EG＝GD，
又因为PE＝ED，所以＝3．
13．B　[取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示．
因为M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
所以AM∥A1E，MN∥EF，
又AM 平面A1EF，A1E 平面A1EF，
所以AM∥平面A1EF，
同理MN∥平面A1EF，
又AM∩MN＝M，AM，MN 平面AMN，
所以平面AMN∥平面A1EF．
因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF．
因为A1E＝A1F＝，EF＝，所以A1O⊥EF，
所以当点P与点O重合时，PA1的长度取得最小值，
此时A1O＝，
当点P与点E(或点F)重合时，PA1的长度取得最大值，此时A1E＝A1F＝．
所以PA1的长度范围为．故选B．]
14．2　[取AC的中点O，连接OP，∵点G是△PAC的重心，∴点G在OP上，且，
过点G作GH∥PC交AC于点H，并延长HG交PA于点M，
过点H作EF∥CD分别交BC，AD于点E，F，过点E作EN∥PC，交PB于点N，连接MN，MF，如图，四边形EFMN为截面，
易知四边形CDFE为平行四边形，EF＝CD＝3，∵GH∥PC，
∴，
∴，
∴MN＝1，易得MF＝NE＝2，
∴四边形EFMN为等腰梯形，
∴平面α截正四棱锥P-ABCD的截面面积
S＝×(1＋3)×＝2． ]
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