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第49课时　空间直线、平面的垂直
[考试要求]　从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明．
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是 (　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
2．(人教B版必修第四册P124习题11－4AT7改编)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有 (　　)
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
3．(多选)(北师大版必修第二册P248习题6－5A组T7改编)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是 (　　)
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
4．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T11改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的___________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的___________心．
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的___________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条___________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线______ a∥b
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的___________，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的___________，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
[二级结论]
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
1．证明直线与平面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理；
(2)直线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；
(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
(4)面面垂直的性质定理．
2．已知面面垂直时，常在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
3．三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
考点一　直线与平面垂直的判定与性质
[典例1]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：证明线面垂直的关键是证明线线垂直，常用的方法有：线面垂直的性质、勾股定理、平面几何图形的性质等．
[巩固迁移]
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，M为BC的中点，PD⊥DC．证明：AB⊥PM．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面A1B1C1，AA1＝3，AB＝AC，BC＝2，D为BC的中点，点F在棱BB1上，且BF＝2，E为线段AD上的动点．
证明：C1F⊥EF．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【拓展融合】　三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
【拓展典例】　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥BC1．
(2)如图，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，
AD＝2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD．求证：PC⊥CD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【加固训练】　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是 (　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
[典例2]　如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，E为对角线BD的中点，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．求证：
(1)直线PE⊥平面BCD；
(2)平面PBC⊥平面PCD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：证明面面垂直的两种方法
[巩固迁移]
3．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1．求证：
(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)BC1⊥AB1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　平行垂直的综合应用
[典例3]　如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB．沿DE将△AED折起到△A1ED的位置．连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图2．
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质定理及判定定理的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．
[巩固迁移]
4．(2026·辽宁沈阳模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第49课时　空间直线、平面的垂直
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．D　3．ABD　4．(1)外　(2)垂
No2．储备知识要点
1．(1)任意　(2)相交　l⊥a　l⊥b　a∩b＝O　a，b α　平行　a⊥α　b⊥α
2．(1)直二面角　(2)垂线　l⊥α　l β　交线　α⊥β　α∩β＝a　l⊥a　l β
精研考点·提升素养
考点一
典例1　证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴CD⊥平面PAC．
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
巩固迁移
1．证明：(借助勾股定理证明线线垂直)连接DM(图略)，因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，
M为BC的中点，所以DC＝1，CM＝2，∠DCM＝60°．
在△DCM中，由余弦定理可得DM＝，
所以DM2＋DC2＝CM2，∴DM⊥DC．
由题意知DC⊥PD且PD∩DM＝D，DM，PD 平面PDM，
∴DC⊥平面PDM，而PM 平面PDM，
所以DC⊥PM，又AB∥DC，所以AB⊥PM．
2．证明：(借助平面几何图形的性质证明线线垂直)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，所以三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥AD，
因为AA1∥BB1，所以BB1⊥AD．
又因为AB＝AC， D为BC的中点，
所以BC⊥AD．
又BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C，则AD⊥C1F，
连接DF(图略)，易知△FBD≌△C1B1F，则∠DFB＝∠FC1B1，
因为∠C1FB1＋∠FC1B1＝90°，
所以∠DFB＋∠C1FB1＝90°，则∠C1FD＝90°，即C1F⊥FD．
又FD∩AD＝D，AD，FD 平面ADF，
所以C1F⊥平面ADF，
因为EF 平面ADF，所以C1F⊥EF．
拓展典例
证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是平面BCC1B1的一条斜线，B1C是A1C在平面BCC1B1上的射影，且BC1⊥B1C，
由三垂线定理知A1C⊥BC1．
(2)连接AC，
因为∠ABC＝90°，AB＝BC，由勾股定理得AC＝AB，
在△ACD中，由余弦定理可得CD＝AB，
即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2，所以AC⊥CD．
又PA⊥平面ABCD，PC是平面ABCD的一条斜线，AC是PC在平面ABCD上的射影，且AC⊥CD，
由三垂线定理知PC⊥CD．
加固训练
BC　[本题可以用基本性质和判定定理等进行分析，但如果学会了三垂线定理，本题将很直观．如图所示．
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　D
选项A，OP在上底面的射影与MN重合，因此不满足题意；
选项B，OP在左侧面的射影为PQ，P，Q均为所在棱的中点，则PQ⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；
选项C，OP在右侧面的射影为QR，Q，R均为所在棱的中点，则QR⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；
选项D，OP在后表面的射影为QR，QR与MN不垂直，因此不满足题意．
综上，故选BC．]
考点二
典例2　证明：(1)因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD，
又AD＝AB，则PB＝PD，且E为BD的中点，所以PE⊥BD，
又PE 平面PBD，所以PE⊥平面BCD．
(2)在直角梯形ABCD中， AD＝AB，
∠BAD＝90°，
则∠ABD＝∠ADB＝45°，
又AD∥BC，则∠DBC＝45°，
又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，
在折后的几何体P-BCD中，BD⊥DC，
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面PBD，
又PB 平面PBD，则CD⊥PB，
又∠BAD＝90°，即BA⊥AD，则BP⊥PD，
CD∩PD＝D，PD 平面PDC，CD 平面PDC，
则BP⊥平面PDC，
又BP 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD．
巩固迁移
3．证明：(1)设BC的中点为M，
因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，所以B1M⊥平面ABC，
又因为AC 平面ABC，
所以B1M⊥AC，
又∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又B1M∩BC＝M，且B1M，BC 平面B1C1CB，所以AC⊥平面B1C1CB，
因为AC 平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．
(2)连接B1C，因为AC⊥平面B1C1CB，且BC1 平面B1C1CB，所以AC⊥BC1，
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC＝CC1，所以四边形B1C1CB为菱形，
所以B1C⊥BC1．
又因为B1C∩AC＝C，且B1C，AC 平面ACB1，
所以BC1⊥平面ACB1，
因为AB1 平面ACB1，所以BC1⊥AB1．
考点三
典例3　解：(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，
∴DE⊥A1E，DE⊥BE．
∵A1E∩BE＝E，A1E，BE 平面A1BE，
∴DE⊥平面A1BE，
又A1B 平面A1BE，∴DE⊥A1B．
(2)证明：取CD的中点H，连接NH，MH，如图．
∵M，N分别为
A1C，BE的中点，
∴MH∥A1D，
NH∥DE．
∵MH 平面A1ED，A1D 平面A1ED，
∴MH∥平面A1ED，
∵NH 平面A1ED，DE 平面A1ED，
∴NH∥平面A1ED，
又NH∩MH＝H，NH，MH 平面MNH，
∴平面A1ED∥平面MNH，
又MN 平面MNH，
∴MN∥平面A1ED．
(3)取A1B的中点G，连接EG，如图．
在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，
DE⊥AB，
∴BC∥DE，
∵AB＝2CD，
∴AE＝BE，
即A1E＝BE，
∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
又EG 平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，A1B，BC 平面A1BC，
∴EG⊥平面A1BC．
故棱A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时＝1．
巩固迁移
4．解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又因为SO，BD 平面SBD，SO∩BD＝O，
所以AC⊥平面SBD，
因为SD 平面SBD，所以AC⊥SD．
(2)连接OP，若SD⊥平面PAC，
因为OP 平面PAC，
则SD⊥OP，
设正方形ABCD的边长为a，
则SD＝a，OD＝a，
SO＝a，
由等面积法SO·OD＝SD·OP，得OP＝a，则PD＝a，
故可在SP上取一点N，使PN＝PD，
过点N作PC的平行线与SC的交点即为E，连接BN，BE．
在△BDN中，BN∥PO，BN 平面PAC，PO 平面PAC，所以BN∥平面PAC，
又由于NE∥PC，PC 平面PAC，NE 平面PAC，
所以NE∥平面PAC，BN，NE 平面BEN，BN∩NE＝N，故平面BEN∥平面PAC，
因为BE 平面BEN，所以BE∥平面PAC，
由于SN∶NP＝2∶1，
故SE∶EC＝2∶1．
8/8(共94张PPT)
第49课时　空间直线、平面的垂直
第七章　立体几何与空间向量
[考试要求]从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
√
D　[若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l β或l∥β或l与β相交，A错误；
若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；
若α⊥β，l α，则l β或l∥β或l与β相交，C错误；
若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．
故选D．]
2．(人教B版必修第四册P124习题11－4AT7改编)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
√
D　[观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5对．故选D． ]
3．(多选)(北师大版必修第二册P248习题6－5A组T7改编)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是(　　)
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
√
√
√
ABD　[对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC 平面ABC，则PA⊥BC，又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则BC⊥平面PAC，故A正确；对于B，由A项可知，BC⊥AE，由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF 平面PCB，所以AE⊥EF，故B正确；对于C，若AC⊥PB，又PA⊥AC，PB∩PA＝P，PA，PB 平面PAB，则AC⊥平面PAB，所以AC⊥AB，不符合题意，所以AC⊥PB不成立，故C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE 平面AEF，由面面垂直的判定定理可得，平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选ABD．]
4．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T11改编)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的_____________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的_____________心．
外
垂
(1)外　(2)垂　[(1)连接OA，OB，OC(图略)，
易证△POA≌△POB≌△POC，
故OA＝OB＝OC，则O是△ABC的外心．
(2)易知PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC．
而PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，PA∩PO＝P，PA，PO 平面PAO，
从而BC⊥平面PAO，所以BC⊥AO．
同理AC⊥BO，AB⊥CO．
所以O为△ABC的垂心．]
1．直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
任意
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直，那么该直线与此平面垂直
l⊥α
相交
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线______
a∥b
平行
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
直二面角
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的_____，那么这两个平面垂直 α⊥β
垂线
文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_____，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
交线
[二级结论]
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
1．证明直线与平面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理；
(2)直线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；
(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
(4)面面垂直的性质定理．
2．已知面面垂直时，常在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
3．三种垂直关系的转化
考点一　直线与平面垂直的判定与性质
[典例1]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
精研考点·提升素养
[证明]　(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴CD⊥平面PAC．
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
名师点评：证明线面垂直的关键是证明线线垂直，常用的方法有：线面垂直的性质、勾股定理、平面几何图形的性质等．
[巩固迁移]
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，M为BC的中点，PD⊥DC．证明：AB⊥PM．
[证明]　(借助勾股定理证明线线垂直)连接DM(图略)，因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，
M为BC的中点，所以DC＝1，CM＝2，∠DCM＝60°．
在△DCM中，由余弦定理可得DM＝，
所以DM2＋DC2＝CM2，∴DM⊥DC．
由题意知DC⊥PD且PD∩DM＝D，DM，PD 平面PDM，
∴DC⊥平面PDM，而PM 平面PDM，
所以DC⊥PM，又AB∥DC，所以AB⊥PM．
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面A1B1C1，AA1＝3，AB＝AC，BC＝2，D为BC的中点，点F在棱BB1上，且BF＝2，E为线段AD上的动点．
证明：C1F⊥EF．
[证明]　(借助平面几何图形的性质证明线线垂直)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，所以三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥AD，因为AA1∥BB1，所以BB1⊥AD．
又因为AB＝AC， D为BC的中点，所以BC⊥AD．
又BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C，则AD⊥C1F，
连接DF(图略)，易知△FBD≌△C1B1F，则∠DFB＝∠FC1B1，
因为∠C1FB1＋∠FC1B1＝90°，
所以∠DFB＋∠C1FB1＝90°，则∠C1FD＝90°，即C1F⊥FD．
又FD∩AD＝D，AD，FD 平面ADF，所以C1F⊥平面ADF，
因为EF 平面ADF，所以C1F⊥EF．
【拓展融合】　三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
【拓展典例】　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：A1C⊥BC1．
(2)如图，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，
AD＝2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD．
求证：PC⊥CD．
[证明]　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是平面BCC1B1的一条斜线，B1C是A1C在平面BCC1B1上的射影，且BC1⊥B1C，
由三垂线定理知A1C⊥BC1．
(2)连接AC，因为∠ABC＝90°，AB＝BC，由勾股定理得AC＝AB，
在△ACD中，由余弦定理可得CD＝AB，
即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2，所以AC⊥CD．
又PA⊥平面ABCD，PC是平面ABCD的一条斜线，
AC是PC在平面ABCD上的射影，且AC⊥CD，
由三垂线定理知PC⊥CD．
【加固训练】　(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
√
BC　[本题可以用基本性质和判定定理等进行分析，但如果学会了三垂线定理，本题将很直观．如图所示．
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
选项A，OP在上底面的射影与MN重合，因此不满足题意；
选项B，OP在左侧面的射影为PQ，P，Q均为所在棱的中点，则PQ⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；
选项C，OP在右侧面的射影为QR，Q，R均为所在棱的中点，则QR⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；
选项D，OP在后表面的射影为QR，QR与MN不垂直，因此不满足题意．
综上，故选BC．]
【教用·备选题】
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使
AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝．
[解]　(1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B．
(2)选①③能使AB1⊥平面C1DF．
如图，连接A1B，∴DF∥A1B，
在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝．
又AA1＝，
则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．
∵DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF．
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
[典例2]　如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，E为对角线BD的中点，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．求证：
(1)直线PE⊥平面BCD；
(2)平面PBC⊥平面PCD．
[证明]　(1)因为平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD＝BD，
又AD＝AB，则PB＝PD，且E为BD的中点，所以PE⊥BD，
又PE 平面PBD，所以PE⊥平面BCD．
(2)在直角梯形ABCD中， AD＝AB，∠BAD＝90°，
则∠ABD＝∠ADB＝45°，
又AD∥BC，则∠DBC＝45°，
又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，
在折后的几何体P-BCD中，BD⊥DC，
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
所以CD⊥平面PBD，
又PB 平面PBD，则CD⊥PB，
又∠BAD＝90°，即BA⊥AD，则BP⊥PD，
CD∩PD＝D，PD 平面PDC，CD 平面PDC，
则BP⊥平面PDC，
又BP 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．
名师点评：证明面面垂直的两种方法
[巩固迁移]
3．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1．求证：
(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)BC1⊥AB1．
[证明]　(1)设BC的中点为M，
因为点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，所以B1M⊥平面ABC，
又因为AC 平面ABC，所以B1M⊥AC，
又∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又B1M∩BC＝M，且B1M，BC 平面B1C1CB，
所以AC⊥平面B1C1CB，因为AC 平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．
(2)连接B1C，因为AC⊥平面B1C1CB，且BC1 平面B1C1CB，所以AC⊥BC1，
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC＝CC1，所以四边形B1C1CB为菱形，
所以B1C⊥BC1．
又因为B1C∩AC＝C，且B1C，AC 平面ACB1，
所以BC1⊥平面ACB1，
因为AB1 平面ACB1，所以BC1⊥AB1．
【教用·备选题】
(2025·吉林长春期中)如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若∠PDA＝45°，
求证：平面MND⊥平面PDC．
[证明]　(1)设E为PD的中点，连接EN，AE，
∵M，N分别为AB，PC的中点，
∴EN∥DC且EN＝DC，AM∥DC，且AM＝DC，
∴EN∥AM且EN＝AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE，∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又∵AE 平面PAD，∴AB⊥AE．∵MN∥AE，∴MN⊥AB．
(2)∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，则AE⊥PD．
又AB⊥平面PAD，AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE．
又∵CD∩PD＝D，CD，PD 平面PDC，
∴AE⊥平面PDC，∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PDC．
又∵MN 平面MND，
∴平面MND⊥平面PDC．
考点三　平行垂直的综合应用
[典例3]　如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB．沿DE将△AED折起到△A1ED的位置．连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图2．
(1)求证：DE⊥A1B；
(2)求证：MN∥平面A1ED；
(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥
平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，
∴DE⊥A1E，DE⊥BE．
∵A1E∩BE＝E，A1E，BE 平面A1BE，
∴DE⊥平面A1BE，
又A1B 平面A1BE，∴DE⊥A1B．
(2)证明：取CD的中点H，连接NH，MH，如图．
∵M，N分别为A1C，BE的中点，
∴MH∥A1D，NH∥DE．
∵MH 平面A1ED，A1D 平面A1ED，
∴MH∥平面A1ED，
∵NH 平面A1ED，DE 平面A1ED，
∴NH∥平面A1ED，
又NH∩MH＝H，NH，MH 平面MNH，
∴平面A1ED∥平面MNH，
又MN 平面MNH，∴MN∥平面A1ED．
(3)取A1B的中点G，连接EG，如图．
在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，
∴BC∥DE，∵AB＝2CD，
∴AE＝BE，即A1E＝BE，∴EG⊥A1B，
由(1)知DE⊥平面A1BE，
又∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，
又EG 平面A1BE，∴EG⊥BC，
又A1B∩BC＝B，A1B，BC 平面A1BC，
∴EG⊥平面A1BC．
故棱A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时＝1．
名师点评：求解三种平行、垂直的综合问题时，应注意平行、垂直的性质定理及判定定理的综合应用，可通过作辅助线进行线线、线面、面面平行、垂直间的转化．
[巩固迁移]
4．(2026·辽宁沈阳模拟)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点
E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的
值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又因为SO，BD 平面SBD，SO∩BD＝O，
所以AC⊥平面SBD，
因为SD 平面SBD，
所以AC⊥SD．
(2)连接OP，若SD⊥平面PAC，
因为OP 平面PAC，则SD⊥OP，
设正方形ABCD的边长为a，
则SD＝a，OD＝a，SO＝a，
由等面积法SO·OD＝SD·OP，得OP＝a，则PD＝a，故可在SP上取一点N，使PN＝PD，
过点N作PC的平行线与SC的交点即为E，连接BN，BE．
在△BDN中，BN∥PO，BN 平面PAC，PO 平面PAC，所以BN∥平面PAC，
又由于NE∥PC，PC 平面PAC，NE 平面PAC，
所以NE∥平面PAC，BN，NE 平面BEN，BN∩NE＝N，故平面BEN∥平面PAC，
因为BE 平面BEN，所以BE∥平面PAC，
由于SN∶NP＝2∶1，
故SE∶EC＝2∶1．
一、单项选择题
1．(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m α，α⊥β，则m⊥β
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(四十九)　空间直线、平面的垂直
√
C　[对于A，若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；
对于D，若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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13
题号
2
1
3
4
5
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12
13
2．(2025·河南南阳三模)已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
√
C　[由m α，m⊥n，则可能有n α，n∥α或者n与α相交，不能推出n⊥α，
若n⊥α，m α，则有n⊥m，所以“m⊥n”是“n⊥α”的必要不充分条件．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
√
A　[连接AC1(图略)．由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1．
因为AC 平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
4．(2025·北京朝阳区期末)如图，在四面体C-OAB中，OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC且OA＝OB，D为四面体C-OAB外一点，要使CD⊥AB，需要添加的条件是(　　)
A．CD⊥OC
B．CD＝OC
C．DA＝DB
D．DA⊥DB
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
10
11
12
13
√
C　[取AB的中点M，连接OM，CM，
因为OA＝OB，所以AB⊥OM，
因为OA⊥OC，OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB 平面OAB，
所以OC⊥平面OAB，
又AB 平面OAB，
所以OC⊥AB，
因为OM∩CO＝O，
OM，CO 平面OMC，所以AB⊥平面OMC，
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
要使CD⊥AB，其中C∈平面OMC，故需D∈平面OMC，连接DM，则DM 平面OMC，
故只需AB⊥DM，
又M为AB的中点，故DA＝DB时，满足要求．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
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13
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　)
A．有且仅有1条
B．有且仅有2条
C．有且仅有3条
D．有无数条
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
√
D　[如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE．
当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，
所以四边形MDEN为平行四边形，
所以MN∥DE．
因为DD1⊥平面ABCD，且DE 平面ABCD，
所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN．
所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，
一定有DD1⊥MN，
此时满足条件的直线MN有无数条．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，AB∥DC，DC＝PC＝2，则点P到平面ABCD的距离为(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝．
因为PC＝2，BC＝1，PB＝，
所以PB2＋BC2＝PC2，所以BC⊥PB．
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．
又PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因为BC 平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接DE，如图所示．
因为平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，PE 平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD．
因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以PE＝，所以点P到平面ABCD的距离为．]
题号
2
1
3
4
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8
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13
二、多项选择题
7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB α且AB∩l＝B，直线CD β且CD∩l＝D．下列结论中，错误的是(　　)
A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC
C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等
题号
2
1
3
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13
√
√
√
ABD　[由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；
取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
若AB⊥l，AC⊥l，AB∩AC＝A，所以由线面垂直的
判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，
由α⊥β，α∩β＝l，结合面面垂直的性质定理可得
BC⊥α，所以点C在平面α上的射影为点B，
所以CD在平面α上的射影为BD，C正确；
由二面角的定义可得，当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角(或其补角)才为二面角α-l-β的大小，D错误．故选ABD．]
题号
2
1
3
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5
6
8
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13
8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．CD⊥PD
B．AB⊥PC
C．平面PBD⊥平面PAC
D．E，F，C，D四点共面
题号
2
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13
√
√
AD　[如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以 CD⊥平面PAD，因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为E，F分别是棱PA，PB的中点，
所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，
所以E，F，C，D四点共面，故D正确．]
题号
2
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13
三、填空题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)
题号
2
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DM⊥PC(或BM⊥PC等)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[∵PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]
题号
2
1
3
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6
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13
10．如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱___________________________________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况)
题号
2
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13
CG，DH，EH，FG(任选一个作答)
CG，DH，EH，FG(任选一个作答)　[如图，结合平面图形还原出正方体，结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．]
题号
2
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13
四、解答题
11．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝，∠A1AB＝∠A1AD，AA1与平面ABCD所成的角为45°，AC与BD交于点O．
证明：A1O⊥平面ABCD．
题号
2
1
3
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13
[证明]　连接BC1，DC1，A1D，A1B，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AB＝AD．
∵∠A1AB＝∠A1AD，AA1＝AA1，
∴△A1AB≌△A1AD，∴BA1＝DA1．
∵O为线段BD的中点，∴A1O⊥BD．
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
AC∩A1O＝O，AC，A1O 平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，
又BD 平面ABCD，
题号
2
1
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13
∴平面AA1C⊥平面ABCD，
∴AA1在平面ABCD上的射影在直线AC上，
∴∠A1AO为直线AA1与平面ABCD所成的角，
即∠A1AO＝45°．
在△A1AO中，AA1＝，AO＝，∠A1AO＝45°，
∴cos∠A1AO＝，∴A1O＝．
则A1A2＝OA2＋A1O2，∴A1O⊥OA．
又OA∩BD＝O，OA 平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴A1O⊥平面ABCD．
题号
2
1
3
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13
12．(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
题号
2
1
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[解]　(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，
又CD 平面BCD，所以OA⊥CD．
题号
2
1
3
4
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13
(2)法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝，所以S△BCD＝．
如图，过点E作EF∥AO，交BD于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG．
因为AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC，
又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，
题号
2
1
3
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5
6
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13
则∠EGF为二面角E-BC-D的平面角，
所以∠EGF＝45°，则GF＝EF．
因为DE＝2EA，所以EF＝OA，DF＝2OF，所以＝2．
因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD，
则，所以GF＝．
所以EF＝GF＝，所以OA＝1，
所以VA-BCD＝．
题号
2
1
3
4
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12
13
法二：如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．
因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C．
设A(0，0，a)，a>0，因为DE＝2EA，所以E．
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
题号
2
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题号
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12
13
设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为，
所以
令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝．
题号
2
1
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5
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12
13
因为二面角E-BC-D的大小为45°，
所以cos 45°＝，
得a＝1，即OA＝1．
因为S△BCD＝BD·CDsin 60°＝，
所以VA-BCD＝．
13．如图，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝
PB．
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面
MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位
置；若不存在，请说明理由．
题号
2
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[解]　(1)证明：在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝，
则BM＝，
由，可得MN∥PD，
而MN 平面PDC，PD 平面PDC，可得MN∥平面PDC．
题号
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(2)当点Q为BC的中点时，满足题意，理由如下：过M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点Q，连接NQ，NE，如图，由PA⊥平面ABCD，EQ
平面ABCD，可得PA⊥EQ，又EQ⊥AD，
PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，可得
EQ⊥平面PAD，又因为EQ 平面MNQ，
可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q．
题号
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在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，
由BM＝，
可得BQ＝，即点Q为BC的中点．
综上得，当点Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD．
题号
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谢 谢 ！课后作业(四十九)　空间直线、平面的垂直
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是 (　　)
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m α，α⊥β，则m⊥β
2．(2025·河南南阳三模)已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的 (　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在 (　　)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．(2025·北京朝阳区期末)如图，在四面体C-OAB中，OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC且OA＝OB，D为四面体C-OAB外一点，要使CD⊥AB，需要添加的条件是 (　　)
A．CD⊥OC B．CD＝OC
C．DA＝DB D．DA⊥DB
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN (　　)
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
6．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，AB∥DC，DC＝PC＝2，则点P到平面ABCD的距离为 (　　)
A． B．
C．2 D．
二、多项选择题
7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB α且AB∩l＝B，直线CD β且CD∩l＝D．下列结论中，错误的是 (　　)
A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC
C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等
8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是 (　　)
A．CD⊥PD
B．AB⊥PC
C．平面PBD⊥平面PAC
D．E，F，C，D四点共面
三、填空题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)
10．如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况)
四、解答题
11．(13分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝，∠A1AB＝∠A1AD，AA1与平面ABCD所成的角为45°，AC与BD交于点O．证明：A1O⊥平面ABCD．
12．(13分)(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
13．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB．
(1)证明：MN∥平面PDC；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
课后作业(四十九)
1．C
2．C　[由m α，m⊥n，则可能有n α，n∥α或者n与α相交，不能推出n⊥α，
若n⊥α，m α，则有n⊥m，所以“m⊥n”是“n⊥α”的必要不充分条件．故选C．]
3．A　[连接AC1(图略)．由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1．
因为AC 平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A．]
4．C
5．D　[如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE．
当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，
所以四边形MDEN为平行四边形，
所以MN∥DE．
因为DD1⊥平面ABCD，且DE 平面ABCD，
所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN．
所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，
此时满足条件的直线MN有无数条．]
6．B　[在△PAB中，由PA＝AB＝1，
∠PAB＝120°，得PB＝．
因为PC＝2，BC＝1，PB＝，
所以PB2＋BC2＝PC2，所以BC⊥PB．
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．
又PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因为BC 平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD．
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接DE，如图所示．
因为平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，PE 平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD．
因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以PE＝，所以点P到平面ABCD的距离为．]
7．ABD　[由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；
取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
若AB⊥l，AC⊥l，AB∩AC＝A，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，
由α⊥β，α∩β＝l，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥α，所以点C在平面α上的射影为点B，
所以CD在平面α上的射影为BD，C正确；
由二面角的定义可得，当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角(或其补角)才为二面角α-l-β的大小，D错误．故选ABD．]
8．AD　[如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以 CD⊥平面PAD，因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确．]
9．DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[∵PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD．]
10．CG，DH，EH，FG(任选一个作答)　[如图，结合平面图形还原出正方体，结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．
]
11．证明：连接BC1，DC1，A1D，A1B，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A1AB＝∠A1AD，AA1＝AA1，
∴△A1AB≌△A1AD，∴BA1＝DA1．
∵O为线段BD的中点，∴A1O⊥BD．
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AC∩A1O＝O，AC，A1O 平面AA1C，
∴BD⊥平面AA1C，
又BD 平面ABCD，
∴平面AA1C⊥平面ABCD，
∴AA1在平面ABCD上的射影在直线AC上，
∴∠A1AO为直线AA1与平面ABCD所成的角，
即∠A1AO＝45°．
在△A1AO中，AA1＝，AO＝AC＝，∠A1AO＝45°，
∴cos∠A1AO＝＝，∴A1O＝．
则A1A2＝OA2＋A1O2，∴A1O⊥OA．
又OA∩BD＝O，OA 平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴A1O⊥平面ABCD．
12．解：(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，
又CD 平面BCD，所以OA⊥CD．
(2)法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝，所以S△BCD＝．
如图，过点E作EF∥AO，交BD于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG．
因为AO⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC，
又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，
则∠EGF为二面角E-BC-D的平面角，
所以∠EGF＝45°，则GF＝EF．
因为DE＝2EA，所以EF＝OA，DF＝2OF，所以＝2．
因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD，
则，所以GF＝．
所以EF＝GF＝，所以OA＝1，
所以VA-BCD＝S△BCD·AO＝×1＝．
法二：如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．
因为△OCD是边长为1的正三角形，
且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C．
设A(0，0，a)，a>0，因为DE＝2EA，所以E．
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为，，
所以
令x＝1，则y＝，z＝，
所以m＝．
因为二面角E-BC-D的大小为45°，
所以cos 45°＝，
得a＝1，即OA＝1．
因为S△BCD＝BD·CDsin 60°＝×2×1×，
所以VA-BCD＝S△BCD·OA＝×1＝．
13．解：(1)证明：在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD，
可得AC⊥BD，且M为AC的中点，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
可得DM＝CDcos 60°＝，
AC＝2CDsin 60°＝，
则BM＝，
由，可得MN∥PD，
而MN 平面PDC，PD 平面PDC，可得MN∥平面PDC．
(2)当点Q为BC的中点时，满足题意，理由如下：过M作ME⊥AD，垂足为点E，延长EM交BC于点Q，连接NQ，NE，如图，由PA⊥平面ABCD，EQ 平面ABCD，可得PA⊥EQ，又EQ⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，可得EQ⊥平面PAD，又因为EQ 平面MNQ，可得平面MNQ⊥平面PAD，故存在这样的点Q．
在Rt△DME中，∠EMD＝90°－60°＝30°，在△BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°，由BM＝，
可得BQ＝，即点Q为BC的中点．
综上得，当点Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD．
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