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第51课时　空间向量的运算及其应用
[考试要求]　1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本定理及其意义、空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．(湘教版选择性必修第二册P82练习T3(3)改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为 (　　)
A．－2 B．－
D．2
2．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)若平面α外的直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，则 (　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．a∥m D．l与α斜交
3．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若相等的向量是 (　　)
A．－ b＋c
C．－ b＋c
4．(人教B版选择性必修第一册P61习题1－2AT2改编)已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为___________．
5．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则＝___________，AC'的长为___________．
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得___________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在___________的有序实数对(x，y)，使p＝___________．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在___________的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2． 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝____________________
共线 a∥b a＝λb a1＝___________，a2＝___________，a3＝___________(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 ____________________＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|＝＝____________________
夹角公式 cos〈a，b〉＝＝
3．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a___________的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
4．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm，λ∈R
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．
2．空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
考点一　空间向量的线性运算
[典例1]　(1)(2025·河北沧州一模)在正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则＝ (　　)
A．
B．
C．
D．
(2)(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知空间中有5个点E，A，B，C，D，若满足(1－λ)，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为 (　　)
A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：空间向量线性运算中的三个关键点
[巩固迁移]
1．设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝ (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简＝___________；
(2)用＝___________．
考点二　空间向量数量积的应用
[典例2]如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：空间向量数量积的应用
[巩固迁移]
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝＝ (　　)
A．2
C．3 D．4
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝
的最大值为___________．
考点三　利用向量证明平行与垂直
[典例3]如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．
(1)求证：OM∥平面BCF；
(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用向量法证明平行、垂直关系的关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
[巩固迁移]
5．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
第51课时　空间向量的运算及其应用
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．D　2．B　3．A　4．(1，1，1)(答案不唯一)　5.10　
No2．储备知识要点
1．(1)a＝λb　(2)唯一　xa＋yb　(3)唯一　xa＋yb＋zc
2．a1b1＋a2b2＋a3b3　λb1　λb2　λb3　a1b1＋a2b2＋a3b3　
3．(1)平行
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)D　(2)B　[
(1)正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则O为△BCD的重心，
连接BO并延长交CD于M，则点M为CD的中点，连接AO，AM，
所以)＝)＝．故选D．
(2)由＋λ()，
即，
由空间共面向量定理可知，＋λ＝1，解得λ＝．故选B．]
巩固迁移
1．D　2．(1)
考点二
典例2　解：(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴|，即AC1的长为．
(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0．
∴，∴AC1⊥BD．
(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴|，|＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈〉＝．
∴AC与BD1夹角的余弦值为．
巩固迁移
3．C
4．3　[以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1(0，0，0)，D1(，0，0)，C(0，0，)，B1(0，1，0)，
设＝m(0，1，－)，
则＋m(0，1，－)＝(0，m，m)，
－(，0，0)＝(－，m，m)，
则·(－，m，m)＝m2＋(m)2＝4m2－6m＋3＝4，
因为0≤m≤1，所以当m＝0时，取最大值，最大值为3．]
考点三
典例3　证明：(1)由题意得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正方形的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O＝(－1，0，0)，所以＝0，所以．因为三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的一个法向量．又OM 平面BCF，所以OM∥平面BCF．
(2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
由
令x1＝1，得n1＝．
同理可得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD．
巩固迁移
5．解：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝a．
(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，
故＝(0，1，1)，．
因为×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此，所以B1E⊥AD1．
(2)存在满足要求的点P，理由如下：
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a，0，1)，．
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
则平面B1AE的一个法向量n＝．
要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，
有－az0＝0，解得z0＝．
所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝．
6/6(共80张PPT)
第51课时　空间向量的运算及其应用
第七章　立体几何与空间向量
[考试要求]
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本定理及其意义、空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
以题引理·激活思维
1．(湘教版选择性必修第二册P82练习T3(3)改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－
D．2
√
D　[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2．故选D．]
2．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)若平面α外的直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，则(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．a∥m D．l与α斜交
√
B　[根据题意，直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0，
又直线l在平面α外，则有l∥α．]
3．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若相等的向量是(　　)
A．－ b＋c
C．－ b＋c
√
A　[由题意，得)＝c＋(b－a)＝－b＋c．]
4．(人教B版选择性必修第一册P61习题1－2AT2改编)已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为__________________________．
(1，1，1)(答案不唯一)　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由题意知＝(－1，1，0)，＝(1，0，－1)．
因为n⊥，n⊥，
所以
令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)．]
(1，1，1)(答案不唯一)
5．(人教A版选择性必修第一册P7例2改编)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则＝_____________，AC'的长为_____________．
10
10　　[|×cos 60°＝5×4×＝10．因为＝()2＝＋2()＝16＋9＋25＋2×＝85，所以|，即AC'的长为．]
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝__________．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在______的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
a＝λb
唯一
xa＋yb
唯一
xa＋yb＋zc
2． 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝____________________________
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a∥b a＝λb a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b a·b＝0 ______________________＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|＝
夹角公式 cos〈a，b〉＝＝
λb1
λb2
λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3
3．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
平行
4．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm，λ∈R
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．
2．空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
考点一　空间向量的线性运算
[典例1]　(1)(2025·河北沧州一模)在正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则＝(　　)
A．
C．
精研考点·提升素养
√
(2)(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知空间中有5个点E，A，B，C，D，若满足(1－λ)，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为(　　)
A．
√
(1)D　(2)B　[(1)正三棱锥A-BCD中，O为△BCD外接圆圆心，则O为△BCD的重心，
连接BO并延长交CD于M，则点M为CD的中点，连接AO，AM，
所以
＝)＝)
＝．故选D．
(2)由＋λ()，
即，
由空间共面向量定理可知，＋λ＝1，解得λ＝．故选B．]
名师点评：空间向量线性运算中的三个关键点
[巩固迁移]
1．设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
D　[由已知可得＝(1，－1，3)，＝(x－1，－2，y＋4)．
因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得，
所以
所以x＋y＝5．故选D．]
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简＝_____________；
(2)用＝_____________________．
(1)　[(1))＝．
(2)因为)，
所以)＋．]
【教用·备选题】
已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥A-MBC的体积是_____________．
4
4　[，
故3，
不妨令，
则，
又－＝1，故H，A，B，C四点共面，
故V三棱锥M-ABC＝V三棱锥P-ABC＝×6＝4．]
考点二　空间向量数量积的应用
[典例2]如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
[解]　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴|，即AC1的长为．
(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0．
∴，∴AC1⊥BD．
(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴|，|＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈〉＝．
∴AC与BD1夹角的余弦值为．
名师点评：空间向量数量积的应用
[巩固迁移]
3．设x，y∈R，向量a＝＝(　　)
A．2
C．3 D．4
√
C　[由向量a＝，b＝，c＝，
且a⊥c，b∥c，可得
解得x＝1，y＝－2，所以a＝，b＝，
则a＋b＝＝3．故选C．]
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝
的最大值为___________．
3
3　[以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，D1(，0，0)，C(0，0，)，B1(0，1，0)，设＝m(0，1，－)，
则＋m(0，1，－)
＝(0，m，m)，
－(，0，0)
＝(－，m，m)，
则·(－，m，m)
＝m2＋(m)2＝4m2－6m＋3＝4，因为0≤m≤1，所以当m＝0时，取最大值，最大值为3．]
【教用·备选题】
(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)三点，则(　　)
A．是共线向量
B．与向量
C．
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
√
√
CD　[因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，所以＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，因为不存在实数λ，使得，所以不共线，故A错误；
因为|，所以与向量
，故B错误；
又＝(－3，1，1)，所以，故C正确；
不妨令n＝(1，－2，5)，则·n＝1×2＋(－2)×1＋5×0＝0，
·n＝1×(－1)＋(－2)×2＋5×1＝0，
即⊥n且⊥n，
所以n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，故D正确．]
考点三　利用向量证明平行与垂直
[典例3]如图，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．
(1)求证：OM∥平面BCF；
(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD．
[证明](1)由题意得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设正方形的边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O＝(－1，0，0)，所以＝0，所以．因为三棱柱ADE-BCF是直三棱
柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的
一个法向量．又OM 平面BCF，所以OM∥平面
BCF．
(2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，
由
令x1＝1，得n1＝．同理可得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD．
名师点评：利用向量法证明平行、垂直关系的关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
[巩固迁移]
5．如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
[解]以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a．
(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，
故＝(0，1，1)，．
因为×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
因此，所以B1E⊥AD1．
(2)存在满足要求的点P，理由如下：
假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a，0，1)，．
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得取x＝1，则y＝－，z＝－a，
则平面B1AE的一个法向量n＝．
要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，
有－az0＝0，解得z0＝．
所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝．
【教用·备选题】
如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．
(1)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？
(2)在线段AB上是否存在点E，使得AC1∥平面
CEB1？说明理由．
[解]　(1)因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)，
所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，4)，
＝(3，0，0)，
假设在AB上存在点D满足条件．
设(0≤λ≤1)，
＝(3－3λ，4λ，0)，
因为AC1⊥CD，所以＝－9＋9λ＝0，解得λ＝1，
即在AB上存在点D使得AC1⊥CD，此时点D与点B重合．
(2)假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1．
设(0≤t≤1)，
＝(3－3t，4t，0)，＝(0，4，4)．
设平面CEB1的法向量n＝(x，y，z)，
则有
取y＝3t－3，可得n＝(4t，3t－3，3－3t)，
由·n＝－3×4t＋4(3－3t)＝0，解得t＝，
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时E为AB的中点．
一、单项选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点(－1，2，1)关于平面Oxz对称的点的坐标为(　　)
A．(－1，－2，1) B．(－1，2，1)
C．(－1，－2，－1) D．(1，－2，－1)
A　[因为点(－1，2，1)，则其关于平面Oxz对称的点的坐标为
(－1，－2，1)．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(五十一)　空间向量的运算及其应用
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则)等于(　　)
A．－
√
C　[在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，
则)＝．]
3．已知＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[因为P，A，B，C四点共面，所以共面，
不妨设＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
所以故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2025·山东济南三模)已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，0)，B(0，夹角的余弦值为(　　)
A．－
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[依题意，＝(1，0，－1)，＝(0，，1)，所以向量．故选A．]
5．(2025·湖北襄阳二模)已知空间向量a＝(2，2，－1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量的坐标是
(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[向量a在平面α的一个法向量n＝(4，0，3)上的投影向量的坐标为·(4，0，3)＝，
设a＝(2，2，－1)在平面α上的投影向量是c，
则c＋＝(2，2，－1)，所以c＝．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．(2026·江苏镇江开学考试)已知M，A，B，C为空间中的四点，任意三点不共线，且
的最小值为(　　)
A．4 B．5
C． D．9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[因为M，A，B，C四点共面，(x>0，y>0)
所以由共面向量定理可得，x＋y－1＝1，即x＋y＝2，
所以(x＋y)＝，
因为＝4，
当且仅当，即x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，
所以×(5＋4)＝．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(2，3，－1)，则(　　)
A．||＝2
B．△ABC是等腰直角三角形
C．与
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
AC　[根据空间向量的线性运算，
＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，
∴|＝2，A正确；
＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，
∴|，
＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，
∴|，
计算可得，△ABC三条边的长度不相等，B错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
与平行的单位向量为e＝±
＝±，C正确；
(－1，2，1)与向量不共线，D错误．
故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．当时，B1，P，D三点共线
B．当
C．当时，D1P∥平面BDC1
D．当时，A1C⊥平面D1AP
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝，
所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，
则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
当时，P为线段A1C的中点，则P＝(1，，1)，则，所以B1，D，P三点共线，A正确；
设＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝(－λ，λ，1－λ)，
由＝5λ－1＝0，解得λ＝，所以＝(1，0，－1)＋，所以≠0，
所以不垂直，B错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
当时，＝(0，，1)，＝(1，，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，则x＝z＝－，所以n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，又＝(－1，0，0)，所以，
所以×(－)＋×(－)＝0，所以⊥n，
因为D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
当时，，
所以，
所以＝0，
×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为_________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(0，2)∪(2，＋∞)
(0，2)∪(2，＋∞)　[因为a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)且a，b的夹角为钝角，
所以a·b<0且a与b不共线(反向)，
由a·b<0，则－2＋2－λ2＋λ(λ－6)<0，解得λ>0，
当a与b共线时，b＝ta，则解得
综上可得实数λ的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
10．(2025·湖北武汉二模)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AM＝＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
　[因为AM＝MC，A1N＝2ND，则
＝－
＝－)＋)
＝－c
＝－c，所以x＝－，y＝z＝，
故x＋y＋z＝．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
四、解答题
11．(2026·浦东新区模拟)给定点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)．
(1)求上的投影向量；
(2)判断A，B，C，D四点是否共面？
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)由于点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)，所以＝(4，－4，3)，＝(－1，－1，0)，
则上的投影向量为||cos〈〉·＝0，即(0，0，0)．
(2)由已知条件得＝(2，1，1)，＝(1，0，1)，＝(4，－4，3)，假设存在x和y，使得无解．
故A，B，C，D四点不共面．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
12．(2026·江苏如皋中学月考)已知空间三点A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)．
(1)若向量k互相垂直，求实数k的值；
(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)因为A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)，
所以＝(1，4，6)－(0，2，3)＝(1，2，3)，＝(1，5，5)－(0，2，3)＝(1，3，2)，
所以k＝k(1，2，3)－(1，3，2)＝(k－1，2k－3，3k－2)，
∵向量(k)⊥，
∴(k)·＝k－1＋3(2k－3)＋2(3k－2)＝0，
解得k＝．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)∵＝1×1＋2×3＋3×2＝13，
|，
∴由数量积公式得出向量夹角的余弦值，
即cos∠BAC＝，
则sin∠BAC＝，
以AB，AC为邻边构成平行四边形的面积S＝2S△ABC，
而S△ABC＝，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝2S△ABC＝2×．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面
DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，
请说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝A＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝A，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，
＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以，即BD⊥AA1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，9λ)．
设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
则取n＝(1，0，－1)．
因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，
即n·λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
谢 谢 ！课后作业(五十一)　空间向量的运算及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点(－1，2，1)关于平面Oxz对称的点的坐标为 (　　)
A．(－1，－2，1) B．(－1，2，1)
C．(－1，－2，－1) D．(1，－2，－1)
2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则)等于 (　　)
A．－ B．
C． D．－
3．已知＝(2，1，－3)，＝(－1，2，3)，＝(λ，6，－9)，若P，A，B，C四点共面，则λ＝ (　　)
A．3 B．－3
C．7 D．－7
4．(2025·山东济南三模)已知在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，0)，B(0，，1)，C(2，1，－1)，则向量与夹角的余弦值为 (　　)
A．－ B．－
C． D．
5．(2025·湖北襄阳二模)已知空间向量a＝(2，2，－1)，平面α的一个法向量为n＝(4，0，3)，则向量a在平面α上的投影向量的坐标是 (　　)
A． B．
C． D．
6．(2026·江苏镇江开学考试)已知M，A，B，C为空间中的四点，任意三点不共线，且＝x＋y(x>0，y>0)，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为 (　　)
A．4 B．5
C． D．9
二、多项选择题
7．空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(－1，2，1)，＝(－1，2，－1)，＝(2，3，－1)，则 (　　)
A．||＝2
B．△ABC是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是 (　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题
9．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________．
10．(2025·湖北武汉二模)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AM
＝MC，A1N＝2ND．设＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________．
四、解答题
11．(13分)(2026·浦东新区模拟)给定点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)．
(1)求在上的投影向量；
(2)判断A，B，C，D四点是否共面？
12．(13分)(2026·江苏如皋中学月考)已知空间三点A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)．
(1)若向量k与互相垂直，求实数k的值；
(2)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
13．(15分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
课后作业(五十一)
1．A　[因为点(－1，2，1)，则其关于平面Oxz对称的点的坐标为(－1，－2，1)．故选A．]
2．C
3．C　[因为P，A，B，C四点共面，所以共面，
不妨设＝x＋y＝(2x－y，x＋2y，－3x＋3y)＝(λ，6，－9)，
所以
故选C．]
4．A
5．D　[向量a在平面α的一个法向量n＝(4，0，3)上的投影向量的坐标为·(4，0，3)＝，
设a＝(2，2，－1)在平面α上的投影向量是c，
则c＋＝(2，2，－1)，
所以c＝．故选D．]
6．C　[因为M，A，B，C四点共面，＝x＋y(x>0，y>0)
所以由共面向量定理可得，x＋y－1＝1，即x＋y＝2，
所以(x＋y)＝，
因为≥2＝4，
当且仅当，即x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，
所以×(5＋4)＝．故选C．]
7．AC
8．ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝AD＝AA1＝，
所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，
则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)．
当＝2时，P为线段A1C的中点，则P＝(1，，1)，则＝2，所以B1，D，P三点共线，A正确；
设＝λ＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝(－λ，λ，1－λ)，
由＝5λ－1＝0，解得λ＝，
所以，
＝(1，0，－1)＋，
所以＝－＝－≠0，
所以不垂直，B错误；
当＝3时，
＝(0，，1)，＝(1，，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，则x＝z＝－，所以n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，
又＝(－1，0，0)，
所以＝，
所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0，
所以⊥n，
因为D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
当＝5时，
，
所以，
所以＝－1×－1×＝0，＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．
故选ACD．]
9．(0，2)∪(2，＋∞)　[因为a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)且a，b的夹角为钝角，
所以a·b<0且a与b不共线(反向)，
由a·b<0，则－2＋2－λ2＋λ(λ－6)<0，解得λ>0，
当a与b共线时，b＝ta，则
解得
综上可得实数λ的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)．]
10．　[因为AM＝MC，A1N＝2ND，则
＝－＝－)＋)＝－a－b＋c＋b－c＝－a＋b＋c，
所以x＝－，y＝z＝，
故x＋y＋z＝．]
11．解：(1)由于点A(1，0，0)，B(3，1，1)，C(2，0，1)，D(5，－4，3)，
所以＝(4，－4，3)，＝(－1，－1，0)，
则上的投影向量为
||cos〈〉·＝0，即(0，0，0)．
(2)由已知条件得＝(2，1，1)，＝(1，0，1)，＝(4，－4，3)，假设存在x和y，使得＝x＋y无解．故A，B，C，D四点不共面．
12．解：(1)因为A(0，2，3)，B(1，4，6)，C(1，5，5)，
所以＝(1，4，6)－(0，2，3)＝(1，2，3)，＝(1，5，5)－(0，2，3)＝(1，3，2)，
所以k＝k(1，2，3)－(1，3，2)＝(k－1，2k－3，3k－2)，
∵向量(k)⊥，
∴(k)·＝k－1＋3(2k－3)＋2(3k－2)＝0，解得k＝．
(2)∵＝1×1＋2×3＋3×2＝13，
||＝||＝，
∴由数量积公式得出向量夹角的余弦值，
即cos∠BAC＝，
则sin∠BAC＝，
以AB，AC为邻边构成平行四边形的面积S＝2S△ABC，而S△ABC＝|||·sin∠BAC＝，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝2S△ABC＝2×＝3．
13．解：(1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝A＋AO2－2AA1·
AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝A，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以，即BD⊥AA1．
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．
设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
则取n＝(1，0，－1)．
因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，
即n·＝－λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
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