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2025-2026学年湘教版八年级（下）期末数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题）
如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
下列命题是假命题的是（　　）
A．n边形（n≥3）的外角和是360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
（2025 陕西）在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（　　）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A． B．﹣ C．﹣1 D．﹣
某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（　　）
A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C．每月阅读课外书本数的众数是45
D．每月阅读课外书本数的中位数是58
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：
① A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t =或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个 C．3个
D．4个
如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．4 B． 3 C． 2 D． 1
1 、填空题（本大题共8小题）
某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示：
心率/（次/分） 60 68 70 73 80
人数/名 2 3 4 4 1
则这组数据的下四分位数为　 　 ．
正五边形的外角和为 　 　度．
在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是　 　 ．
把一次函数y＝x﹣8向上平移4个单位所得到的一次函数表达式为　 　 ．
如图，在 ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=　 　．
如图，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且OA+OB＝6，取AB的中点P，则所有满足条件的P点围成的封闭图形的面积为 　 　 ．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　 　．
矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　．
1 、解答题（本大题共8小题）
某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元．
（1）当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；
（2）求旅客最多可免费携带行李的质量．
如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上．
如图，Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法），
（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计图表，步数分布统计图．
组别 步数分组 频数
A 5500≤x＜6500 m
B 6500≤x＜7500 10
C 7500≤x＜8500 4
D 8500≤x＜9500 n
E 9500≤x＜10500 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m=　 　，n=　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在　 　组；
（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
已知在平面直角坐标系中有三点、、，请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点的位置：
（2）求出以三点为顶点的三角形的面积；
（3）在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．
梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．
（1）求证：；
（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的长．
答案解析
1 、选择题
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
解 ：∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．
故选D．
【点评】本题考查了多边形外角与边数的关系，利用外角求正多边形的边数的方法，熟练掌握多边形外角和公式是解决问题的关键．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、角不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【考点】命题与定理
【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．
解：A．n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题，
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题，
C、相等的角不一定是对顶角，是假命题，
D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据题意，求出过点（1，0），（0，2）的直线解析式，再结合“上加下减”的平移法则，求出平移后的直线解析式，据此进行判断即可．
解：令过点（1，0），（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线的解析式为y＝﹣2x+2，
则向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为y＝﹣2x+5，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
【考点】正比例函数的图象．
【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论．
解：由图象知，函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是，
故选：A．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
【考点】折线统计图，中位数，众数．
【分析】根据统计图的数据分别判断各个选项即可．
解：∵5月份阅读课外书的本数有所上升，
故A选项不符合题意，
∵从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多50，
故B选项不符合题意，
∵每月阅读课外书本数的众数是58，
故C选项不符合题意，
∵每月阅读课外书本数的中位数是58，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查折线统计图的知识，熟练根据折线统计图获取相应的数据是解题的关键．
【考点】矩形的性质，三角形中位线定理
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用．
【考点】函数的图象
【分析】由图象可知，A，B两城相距300千米, 判断①正确；乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，判断②正确；先求出每段函数的解析式，再求出交点坐标即可判断③正确与否；列方程求解即可
由图象可知，A，B两城相距300千米, 判断①正确；
乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，判断②正确；
设甲的解析式为y=k1x，把（5，300）代入，求得：k1=60，所以y=60x；
设乙的解析式为：y=k2x+b,
把（1，0）（4，300）代入y=k2x+b，可求得：k2=100，b=－100，故y=100x－100，
联立，解得：x=2．5，y=150
由此知乙车出发后1．5小时追上甲车；故③错误；
分两种情况：i）当乙在甲后时，设t小时后，两车相距50千米得：
60t－100（t－1）= 50
解得：t=；
i）当乙在甲前时，设t小时后，两车相距50千米得：
100（t－1）－60t= 50
解得：t=；故④正确
∴正确的结论有3个
故选C．
【点评】本题主要考查函数的图象，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意 t 是甲 车所用的时间．
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，梯形
【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．
解：如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，
∴BG=FM=2，AF=GM，
令AF=x，
∵两个梯形全等，
∴AF=GM=EC=x，
又∵，
∴，
∴，
又∵BC=6，
∴，
∴．
故答案选D．
【点评】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．
【考点】一次函数的应用．.
【分析】 根据题意结合横纵坐标的意义得出辆摩托车的速度进而分别分析得出答案．
解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，
则，
解得：a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80﹣40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；
∴正确的有3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键．
1 、填空题
【考点】四分位数
【分析】根据四分位数和中位数的定义求解即可．
解：这组数据重新排列为60，60，68，68，68，70，70，70，70，73，73，73，73，80，
前一组数据为60，60，68，68，68，70，70，
所以这组数据的上四分位数为68，
故答案为：68．
【点评】本题主要考查分位数相关内容，定义：四分位数是统计学中分位数的一种，即把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是四分位数，第一四分位数，又称“下四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据，第二四分位数，又称“中位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据，第三四分位数，又称“上四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．
解：由题知，
将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
解：由题知，
把一次函数y＝x﹣8向上平移4个单位所得到的一次函数表达式为y＝x﹣8+4＝x﹣4．
故答案为：y＝x﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，
故答案为40°．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点】坐标与图形性质
【分析】设点P（x，y），|x|+|y|＝3，分四种情况讨论，点P运动的轨迹在四个象限中，中点P围成的封闭图形是正方形，根据正方形面积公式求出正方形的面积即可．
解：设点P的坐标为（x，y），
∵P是AB中点，A在x轴上，B在y轴上，
∴A（2x，0），B（0，2y），
∴OA＝|2x|＝2|x|，OB＝|2y|＝2|y|，
∵OA+OB＝6，
∴|x|+|y|＝3．
当x≥0，y≥0时，点P运动的轨迹是线段CD，OC＝OD＝3；
当x≥0，y≤0时，点P运动的轨迹是线段CF，OC＝OF＝3；
当x≤0，y≥0时，点P运动的轨迹是线段DE，OE＝OD＝3；
当x≤0，y≤0时，点P运动的轨迹是线段EF，OE＝OF＝3，
∵EC⊥DF，OC＝OD＝OE＝OF，
∴四边形CDEF是正方形，
∴中点P围成的封闭图形是正方形，
∴这个正方形的面积为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，分四个象限，找出点P围成的封闭图形是正方形是解题的关键．
【考点】图形与坐标，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理
【分析】由正方形的性质得AD＝AB＝CD＝CB，由折叠得FB＝CB，FE＝CE，设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，由A（﹣2，0），F（0，6），OA＝GD＝2，OF＝6，由勾股定理得（m﹣2）2+62＝m2，求得m＝10，则AD＝OG＝CD＝10，由GE2+FG2＝FE2，得GE2+42＝（8﹣GE）2，求得GE＝3，则E（3，10），于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，
由折叠得FB＝CB，FE＝CE，
设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m，
∵A（﹣2，0），F（0，6），
∴OA＝GD＝2，OF＝6，
∴OB＝m﹣2，
∵∠BOF＝∠EGF＝90°，
∴OB2+OF2＝BF2，
∴（m﹣2）2+62＝m2，
解得m＝10，
∴AD＝OG＝CD＝10，
∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，
∵GE2+FG2＝FE2，
∴GE2+42＝（8﹣GE）2，
解得GE＝3，
∴E（3，10），
故答案为：（3，10）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出正方形ABCD的边长是解题的关键．
【考点】矩形的性质，勾股定理．
【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝2AN＝2，
如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，
∴BN＝AB＝，
∴AD＝AN+DN＝1+，
综上所述，AD的长为2或1+．
故答案为：2或1+．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
1 、解答题
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据（20，2）、（50，8）利用待定系数法，即可求出当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数表达式；
（2）令y=0，求出x值，此题得解．
解：（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b．
将（20，2）、（50，8）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数表达式为y=x﹣2．
（2）当y=0时，x﹣2=0，
解得：x=10．
答：旅客最多可免费携带行李10kg．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式；（2）令y=0，求出x值．　
【考点】平行四边形的判定，正方形的判定
【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可；
（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边形为所作．
.解：（1）如图四边形即为所作，答案不唯一．
（2）如图，四边形即为所求作的正方形．
【点评】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．
【考点】作图—基本作图，中心对称图形，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于O，连接BO，于是得到结论，
（2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．
（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线，
（2）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【分析】（1）根据表格确定出m与n的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）确定出20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数的范围即可；
（4）根据样本中的步数少于8500步的百分比，乘以200即可得到结果．
解：（1）根据表格得：5500≤x＜6500的有：5640与6430，即m=2，
8500≤x＜9500的有：8648，8753，9450，即n=3；
故答案为：2；3；
（2）补全条形统计图，如图所示：
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
（4）根据题意得：200×=160（人），
则估计一天行走的步数少于8500步的人数约为160人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．　
【考点】坐标与图形的性质
【分析】（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；
（3）因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个，分别求解即可．
解：（1）描点如图：
（2）依题意，得AB∥x轴，且AB，
∴S△ABC；
（3）存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【点评】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解题的关键．
【考点】两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
【点评】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，含30°的直角三角形，勾股定理
【分析】（1）由中位线的性质，角平分线的定义和平行线的性质得出，易证，则结论可证；
（2）过作交于点K，过点D作交于点，则得到矩形，则有，，然后利用（1）中的结论有， ，在中，利用含30°的直角三角形的性质可得出QC，DQ的长度，然后在中利用勾股定理即可找到y关于x的函数关系式；
（3）分两种情况：点在梯形内部和点在梯形内部，当点在梯形内部时，有；当点在梯形内部时，有 ，分别结论（2）中的关系式即可求出EG的长度．
（1）证明：、分别是、的中点，
．
平分，
．
又，
，
，
．
点是的中点，
．
．
（2）过作交于点K，过点D作交于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
，．
，，
，
同理：．
在中，
，
，，
．
，
．
在中，．
，
即．
．
（3）①点在梯形内部．
∵是梯形的中位线，
，
即．
解得：，
即．
②点在梯形内部．
同理：．
解得：，
即．
综上所述，EG的长度为3或．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，掌握中位线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理是基础，能够作出辅助线并分情况讨论是解题的关键．
乙
甲
1
t (h)
y (km)
O
·
·
5
·
300
4
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