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北京二中教育集团2024—2025学年八年级数学下册期末试题
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（　　）
A． B．4 C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（　　）
A． B． C．或 D．
5．如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示：
成绩/米
人数 2 　 　 5 3 1
其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（　　）
A．众数和中位数 B．中位数和方差
C．众数和方差 D．众数和平均数
7．下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积；
②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间；
③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
8．如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（　　）
①当时．四边形是正方形；
②四边形与四边形的面积始终相等；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共16分，每题2分）
9．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
10．已知点和点在直线上，则　 　．（填）
11．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
平均数（） 192 195 195 193
方差 3.2 4.7 6.5 6.0
12．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　．
13．如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为　 　．
15．如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为　 　．
16．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为　 　．
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17．计算：．
18．计算：．
19．已知，如图，菱形的对角线交于点O．
求作：矩形：
作法：①作的垂直平分线交于点F；
②连接并延长，在的延长线上截取点E，使；
③连接．
四边形为所求作的矩形．
（1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明：
证明：∵的垂直平分线交于点F，，
，∴四边形是平行四边形，（______）（填推理依据）
∵四边形是菱形，
，（______）（填推理依据）
，
是矩形．（______）（填推理依据）
20．如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成面积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度．
21．如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：．
22．共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示．
（1）A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元．
（2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差．
23．如图，在中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长．
24．在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点．
（1）求一次函数解析式；
（2）点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标；
（3）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
25．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）．
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85 a
乙 86 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，______，______，______．
（2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分.220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？
（3）如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由．
26．请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题．
（1）画出函数的图象．
①列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 1
1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
（2）利用函数的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质______：
②当时，y的取值范围是______．
③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______．
27．如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G．
（1）补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明；
（2）用等式表示线段与的数量关系并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，因，可化简为，不是最简二次根式；
B：，因，不是最简二次根式；
C：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D：，被开方数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件；
故选D．
【分析】本题考查最简二次根式的判定，需紧扣最简二次根式的两个核心条件，逐一核对每个选项是否满足条件。最简二次根式需同时满足被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母，选项A中可化简为整数，选项B中被开方数含能开方的因数，选项C中被开方数含分母，均不满足条件，只有选项D同时符合两个条件。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，与为邻角，故；
设，则，代入得方程：，
解得：，
因此，，；
根据平行四边形对角相等，；
综上，的度数为；
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质及方程思想的应用，利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质建立方程求解。平行四边形中相邻内角和为，设，则，代入邻角互补关系列方程求出，再根据对角相等得到的度数
3．【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
4．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，
即的解集为；
故选：D．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，借助函数图象通过数形结合思想确定不等式解集。不等式的含义是函数值在和之间，对应图象上轴上方、轴下方的线段部分，结合图象与坐标轴交点坐标，直接读取该区间对应的取值范围。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在边长为5的菱形中，，
则，；
由勾股定理得；
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理及面积法求高，结合菱形对角线垂直平分的特点分步计算。菱形对角线互相垂直平分，可求出长度，再用勾股定理算出；菱形面积可通过对角线乘积的一半计算，也可通过底乘高计算，利用两种面积表达式建立等式，代入数据求解。
6．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：被污染的数据有4个，显然众数是，它出现了5次；，则中位数是按大小排列的第8个数据，中位数也是，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数；
故选：A．
【分析】本题考查统计量（众数、中位数、平均数、方差）的意义，结合数据总数分析可确定的统计量。众数是出现次数最多的数，出现次，污染数据总和为，少于次，故众数确定；中位数是排序后第个数据，前两组人数和小于，到时人数超过，中位数也确定；平均数和方差依赖完整数据，污染后无法计算。
7．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合；
情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合；
情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数的定义，需结合实际情境列出函数表达式，对照一次函数形式判断。①中压强与受力面积成反比例，表达式为，不属于一次函数；②中温度随时间线性下降，表达式为，符合一次函数；③中弹簧长度随拉力线性增长，表达式为，符合一次函数。
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，；
∵，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
同理得四边形，四边形，四边形均是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
故①正确；
∵，，
∴，
即四边形与四边形的面积相等；
故②正确；
∵，
∴；
在中，，
即；
故③错误；
如图，连接，
∵，；
在中，，当点P位于对角线上时，等号成立；
∴；
故④不正确；
综上，正确的有2个；
故选：B．
【分析】本题综合考查矩形、正方形的判定与性质、勾股定理及三角形三边关系，逐一分析每个结论的正确性。①中先判定是矩形，邻边相等则为正方形；②中利用矩形对角线平分面积，推导两个四边形面积相等；③中由三角形三边关系，两边和大于第三边，得；④中由三角形三边关系，两边和大于第三边，得，综上确定正确结论个数。
9．【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
解得，x≥ ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．
10．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵点和点在直线上，且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，通过一次项系数判断函数值随自变量的变化规律。一次函数中，时，随增大而减小，本题中，比较两点横坐标大小，即可判断对应函数值的大小关系。
11．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，应该选择乙参赛，
故答案为：乙．
【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数反映成绩好坏，方差反映发挥稳定性。先看平均数，平均数越大成绩越好，甲、乙、丁平均数相同且高于丙；再看方差，方差越小发挥越稳定，甲、丁方差相同且小于乙、丙，据此选择符合条件的运动员。
12．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，核心是按给定权重计算各部分得分的加权和。根据五方面的权重比例，结合图中各维度得分，代入加权平均数公式，即各维度得分乘对应权重后求和，再除以权重总和，计算得出最终成绩。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，，，
，
Q是的中点，
，
，
∵E、F分别是的中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形性质、三角形中位线定理及勾股定理，通过构造中位线转化线段长度。连接，矩形中，是中点，可求出，用勾股定理算；、是中点，是的中位线，中位线长度为对应底边的一半，由此求出。
14．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，
∴如图所示，只有一种情况，
延长交y轴于点E，
∴轴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B在第二象限，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理及平面直角坐标系中点的坐标确定，结合菱形边长相等的特点作图计算。先由点坐标，用勾股定理算长度；菱形四边相等，，结合点在第二象限，通过线段平移和长度关系，确定点的横、纵坐标。
15．【答案】2或7
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得，当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∵点P是中点，
∴；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
综上所述，x的值为2或7，
故答案为：2或7．
【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形性质及三角形面积计算，分阶段讨论点的位置求解。由函数图象确定、、长度，分在、、三段，分别列面积方程，代入求解，舍去不合理值，得到最终结果。
16．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当直线在内部时，，
当直线在外部时，，
∴的值最大时，直线在外部，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形判定、勾股定理及完全平方公式求最值，通过全等转化线段，结合公式推导最值。先证，得、；分直线在内外，确定表达式，结合勾股定理，用完全平方公式，求出最大值。
17．【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，需熟练运用平方差公式和完全平方公式简化计算。先用平方差公式计算前半部分，再用完全平方公式计算后半部分，最后合并同类二次根式和常数项得到结果。
18．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的乘除与加减混合运算，遵循先化简、再乘除、最后加减的运算顺序。先将各项二次根式化为最简形式，再计算乘法和除法，最后合并同类二次根式，得到最终计算结果。
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵的垂直平分线交于点F，
，
，
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
，（菱形对角线互相垂直）
，
是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）本题考查线段垂直平分线及尺规作图，按作法步骤依次画出垂直平分线、延长线及截取线段，保留圆弧等作图痕迹即可；
（2）本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定定理，结合图形性质填写推理依据。由对角线互相平分判定平行四边形，菱形对角线互相垂直得直角，再由有一个直角的平行四边形是矩形，依次对应填写依据。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵的垂直平分线交于点F，
，
，
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
，（菱形对角线互相垂直）
，
是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
20．【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∵平分的面积，
∴是中线，
∴，
∴，
答：水渠的准确长度为．
【知识点】最简二次根式；勾股定理；利用三角形的中线求面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形中线性质及勾股定理，先判断三角形形状，再利用中线性质计算边长。由三边长度，用勾股定理逆定理证；平分面积则是中点，算出；在中，用勾股定理计算长度。
21．【答案】四边形是平行四边形
，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及平行线判定，通过全等三角形证内错角相等。平行四边形对角线互相平分，得、；由推出；证，得，内错角相等则两直线平行。
22．【答案】（1）；6；
（2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下：∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，
∴王老师从家骑行到学校所需时间为，
观察函数图象可知，当时，，
所以选择A品牌共享电动车会更省钱
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
当时，，，
元．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：根据图象得：元，
骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元，
【分析】（1）本题考查一次函数图象的实际应用，从图象中读取数据计算单价和固定收费。品牌过原点，用总费用除以时间得每分钟费用；品牌分钟费用不变，直接读取图象中值；
（2）本题考查一次函数解析式求解及实际应用，先算骑行时间，再求解析式并比较费用。先将距离换算为米，除以速度得骑行时间；用待定系数法求、解析式，代入时间算费用，比较大小并求差值。
（1）解：根据图象得：元，
骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元，
故答案为：；6；
（2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下：
∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，
∴王老师从家骑行到学校所需时间为，
观察函数图象可知，当时，，
所以选择A品牌共享电动车会更省钱
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
当时，，，
元．
23．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定，结合角平分线、平行线性质证邻边相等的平行四边形。由角平分线和平行线得，故；又且，先证平行四边形，再由邻边相等得菱形；
（2）本题考查菱形性质、直角三角形斜边中线及勾股定理，通过设未知数列方程求解。菱形对角线平分，中是中线，得；勾股定理算，设，用列勾股方程，解得长度。
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴的长为．
24．【答案】（1）解：由题意可设一次函数，∵一次函数过点，
∴，解得，
则一次函数．
（2）一次函数，当时，，
∴，
∵点P为x轴上一点，
∴设，
∴，
∵的面积是2，
∴，
解得：或，
∴或

（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）由题意得当时，，得，
①当时，；
②当时，，则，解得，
∵，
∴，则有；
③当时，，则，解得，不符合题意；
④根据题意得：，
综上所述，或．
【分析】（1）本题考查一次函数解析式求解，利用平行直线斜率相等设解析式。两直线平行则值相等，设，代入点坐标求，得到解析式；
（2）本题考查一次函数与三角形面积结合，利用面积公式列方程求点坐标。求函数与轴交点，设坐标，用底乘高除以列面积方程，解得坐标；
（3）本题考查一次函数不等式恒成立，分情况讨论的取值范围。由变形，分、、讨论，结合恒成立条件，确定范围。
（1）解：由题意可设一次函数，
∵一次函数过点，
∴，解得，
则一次函数．
（2）一次函数，
当时，，
∴，
∵点P为x轴上一点，
∴设，
∴，
∵的面积是2，
∴，
解得：或，
∴或
（3）由题意得当时，，得，
①当时，；
②当时，，则，解得，
∵，
∴，则有；
③当时，，则，解得，不符合题意；
④根据题意得：，
综上所述，或．
25．【答案】（1）85，；20；
（2）解：乙款扇形统计图可得，组有人，甲数据中组有6人，
∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人．
（3）解：由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85，∴选择乙款聊天机器人
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则，
根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，
将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90
第十个和第十一个评分分别为84、87，
所以中位数．
乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为，
∴，
∴，
故答案为：85，；20；
【分析】（1）本题考查众数、中位数及扇形统计图百分比计算，根据定义和图表数据求解。甲款中出现次数最多，得众数；乙款排序后中间两数平均得中位数；扇形图百分比和为$100% $，算值；
（2）本题考查用样本估计总体，根据样本中非常满意比例估算总人数。分别算甲、乙样本中组比例，乘对应总人数后求和，得非常满意总人数；
（3）本题考查统计量的实际应用，结合平均数、中位数分析选择理由。甲乙平均数相同，乙中位数更高，说明乙高分数据更多，据此选择并说明理由。
（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则，
根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，
将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90
第十个和第十一个评分分别为84、87，
所以中位数．
乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为，
∴，
∴，
故答案为：85，；20；
（2）解：乙款扇形统计图可得，组有人，
甲数据中组有6人，
∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人．
（3）解：由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85，
∴选择乙款聊天机器人
26．【答案】（1）解：①当时，，
当时，，
补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于对称；②；③或
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）①函数图象关于对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于对称；
②由函数图象得，当时，，
故答案为：；
③∵，
∴，
∵对于，，都有，
∴结合图象得：或，
故答案为：或．
【分析】（1）本题考查绝对值函数的图象绘制，代入求值、描点连线。①将、代入解析式，算出对应值补全表格；②根据表格坐标描点，按绝对值函数图象特征连线；
（2）本题考查绝对值函数的性质、取值范围及自变量范围，结合图象分析。①从对称性、增减性等角度写性质；②观察图象，确定时的最值和范围；③先求时范围，结合图象确定区间，进而求范围。
（1）解：①当时，，
当时，，
补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于对称；
②由函数图象得，当时，，
故答案为：；
③∵，
∴，
∵对于，，都有，
∴结合图象得：或，
故答案为：或．
27．【答案】（1）解：补全图形如下：
连接，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示：∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵正方形，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本题考查正方形性质、勾股定理，通过连接对角线转化线段关系。按题意补全垂线、延长线；连接，正方形中，中，由此得线段关系；
（2）本题考查正方形、矩形、全等三角形性质，通过作垂线证全等转化线段。作、，证矩形，再证，得，正方形中，故。
（1）解：补全图形如下：
连接，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵正方形，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴．
1 / 1北京二中教育集团2024—2025学年八年级数学下册期末试题
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，因，可化简为，不是最简二次根式；
B：，因，不是最简二次根式；
C：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D：，被开方数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件；
故选D．
【分析】本题考查最简二次根式的判定，需紧扣最简二次根式的两个核心条件，逐一核对每个选项是否满足条件。最简二次根式需同时满足被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母，选项A中可化简为整数，选项B中被开方数含能开方的因数，选项C中被开方数含分母，均不满足条件，只有选项D同时符合两个条件。
2．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，与为邻角，故；
设，则，代入得方程：，
解得：，
因此，，；
根据平行四边形对角相等，；
综上，的度数为；
故选：A．
【分析】本题考查平行四边形的性质及方程思想的应用，利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质建立方程求解。平行四边形中相邻内角和为，设，则，代入邻角互补关系列方程求出，再根据对角相等得到的度数
3．如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，
即的解集为；
故选：D．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，借助函数图象通过数形结合思想确定不等式解集。不等式的含义是函数值在和之间，对应图象上轴上方、轴下方的线段部分，结合图象与坐标轴交点坐标，直接读取该区间对应的取值范围。
5．如图，在边长为5的菱形中，，于点H，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在边长为5的菱形中，，
则，；
由勾股定理得；
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理及面积法求高，结合菱形对角线垂直平分的特点分步计算。菱形对角线互相垂直平分，可求出长度，再用勾股定理算出；菱形面积可通过对角线乘积的一半计算，也可通过底乘高计算，利用两种面积表达式建立等式，代入数据求解。
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示：
成绩/米
人数 2 　 　 5 3 1
其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（　　）
A．众数和中位数 B．中位数和方差
C．众数和方差 D．众数和平均数
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：被污染的数据有4个，显然众数是，它出现了5次；，则中位数是按大小排列的第8个数据，中位数也是，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数；
故选：A．
【分析】本题考查统计量（众数、中位数、平均数、方差）的意义，结合数据总数分析可确定的统计量。众数是出现次数最多的数，出现次，污染数据总和为，少于次，故众数确定；中位数是排序后第个数据，前两组人数和小于，到时人数超过，中位数也确定；平均数和方差依赖完整数据，污染后无法计算。
7．下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力一定的情况下，物体对地面的压强与受力面积；
②冷冻一个的物体，使它每分钟下降．物体的温度与冷冻时间；
③在弹性限度内，弹簧原长度为，弹簧挂重物后的长度与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：情境①：压强与受力面积的关系为（为定值），此式为反比例函数，不符合一次函数的形式，故①不符合；
情境②：温度与时间的关系为（每分钟下降），此式为，符合一次函数的形式（），故②符合；
情境③：弹簧长度与拉力的关系为（为弹性系数），此式符合一次函数的形式，故③符合；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数的定义，需结合实际情境列出函数表达式，对照一次函数形式判断。①中压强与受力面积成反比例，表达式为，不属于一次函数；②中温度随时间线性下降，表达式为，符合一次函数；③中弹簧长度随拉力线性增长，表达式为，符合一次函数。
8．如图，在矩形中，点P是对角线上任意一点（不与A，C重合），过点P作，点E，F，M，N分别是边上的点，连接．设．下面四个结论中正确的个数是（　　）
①当时．四边形是正方形；
②四边形与四边形的面积始终相等；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，；
∵，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
同理得四边形，四边形，四边形均是矩形；
∵，
∴四边形是正方形；
故①正确；
∵，，
∴，
即四边形与四边形的面积相等；
故②正确；
∵，
∴；
在中，，
即；
故③错误；
如图，连接，
∵，；
在中，，当点P位于对角线上时，等号成立；
∴；
故④不正确；
综上，正确的有2个；
故选：B．
【分析】本题综合考查矩形、正方形的判定与性质、勾股定理及三角形三边关系，逐一分析每个结论的正确性。①中先判定是矩形，邻边相等则为正方形；②中利用矩形对角线平分面积，推导两个四边形面积相等；③中由三角形三边关系，两边和大于第三边，得；④中由三角形三边关系，两边和大于第三边，得，综上确定正确结论个数。
二、填空题（共16分，每题2分）
9．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
解得，x≥ ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．
10．已知点和点在直线上，则　 　．（填）
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵点和点在直线上，且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，通过一次项系数判断函数值随自变量的变化规律。一次函数中，时，随增大而减小，本题中，比较两点横坐标大小，即可判断对应函数值的大小关系。
11．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　 　．
　 甲 乙 丙 丁
平均数（） 192 195 195 193
方差 3.2 4.7 6.5 6.0
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，应该选择乙参赛，
故答案为：乙．
【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数反映成绩好坏，方差反映发挥稳定性。先看平均数，平均数越大成绩越好，甲、乙、丁平均数相同且高于丙；再看方差，方差越小发挥越稳定，甲、丁方差相同且小于乙、丙，据此选择符合条件的运动员。
12．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，核心是按给定权重计算各部分得分的加权和。根据五方面的权重比例，结合图中各维度得分，代入加权平均数公式，即各维度得分乘对应权重后求和，再除以权重总和，计算得出最终成绩。
13．如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，，，
，
Q是的中点，
，
，
∵E、F分别是的中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形性质、三角形中位线定理及勾股定理，通过构造中位线转化线段长度。连接，矩形中，是中点，可求出，用勾股定理算；、是中点，是的中位线，中位线长度为对应底边的一半，由此求出。
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，
∴如图所示，只有一种情况，
延长交y轴于点E，
∴轴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B在第二象限，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理及平面直角坐标系中点的坐标确定，结合菱形边长相等的特点作图计算。先由点坐标，用勾股定理算长度；菱形四边相等，，结合点在第二象限，通过线段平移和长度关系，确定点的横、纵坐标。
15．如图，在矩形中，点P是中点，点Q从点A开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系中，折线表示y与x之间的函数关系，当的面积是3时，x的值为　 　．
【答案】2或7
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得，当点Q运动到点B时，x的值为4，y的值为6，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∵点P是中点，
∴；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
当点Q在上，且y的值为3时，则，解得；
综上所述，x的值为2或7，
故答案为：2或7．
【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形性质及三角形面积计算，分阶段讨论点的位置求解。由函数图象确定、、长度，分在、、三段，分别列面积方程，代入求解，舍去不合理值，得到最终结果。
16．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当直线在内部时，，
当直线在外部时，，
∴的值最大时，直线在外部，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：
【分析】本题考查全等三角形判定、勾股定理及完全平方公式求最值，通过全等转化线段，结合公式推导最值。先证，得、；分直线在内外，确定表达式，结合勾股定理，用完全平方公式，求出最大值。
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，需熟练运用平方差公式和完全平方公式简化计算。先用平方差公式计算前半部分，再用完全平方公式计算后半部分，最后合并同类二次根式和常数项得到结果。
18．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的乘除与加减混合运算，遵循先化简、再乘除、最后加减的运算顺序。先将各项二次根式化为最简形式，再计算乘法和除法，最后合并同类二次根式，得到最终计算结果。
19．已知，如图，菱形的对角线交于点O．
求作：矩形：
作法：①作的垂直平分线交于点F；
②连接并延长，在的延长线上截取点E，使；
③连接．
四边形为所求作的矩形．
（1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明：
证明：∵的垂直平分线交于点F，，
，∴四边形是平行四边形，（______）（填推理依据）
∵四边形是菱形，
，（______）（填推理依据）
，
是矩形．（______）（填推理依据）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵的垂直平分线交于点F，
，
，
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
，（菱形对角线互相垂直）
，
是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）本题考查线段垂直平分线及尺规作图，按作法步骤依次画出垂直平分线、延长线及截取线段，保留圆弧等作图痕迹即可；
（2）本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定定理，结合图形性质填写推理依据。由对角线互相平分判定平行四边形，菱形对角线互相垂直得直角，再由有一个直角的平行四边形是矩形，依次对应填写依据。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵的垂直平分线交于点F，
，
，
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵四边形是菱形，
，（菱形对角线互相垂直）
，
是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
20．如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成面积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度．
【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，
∵平分的面积，
∴是中线，
∴，
∴，
答：水渠的准确长度为．
【知识点】最简二次根式；勾股定理；利用三角形的中线求面积；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形中线性质及勾股定理，先判断三角形形状，再利用中线性质计算边长。由三边长度，用勾股定理逆定理证；平分面积则是中点，算出；在中，用勾股定理计算长度。
21．如图所示，在中，对角线与相交于点，点，在对角线上．且．求证：．
【答案】四边形是平行四边形
，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及平行线判定，通过全等三角形证内错角相等。平行四边形对角线互相平分，得、；由推出；证，得，内错角相等则两直线平行。
22．共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品牌共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（）之间的函数图象如图所示．
（1）A品牌的共享电动车每分钟收费______元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费______元．
（2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差．
【答案】（1）；6；
（2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下：∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，
∴王老师从家骑行到学校所需时间为，
观察函数图象可知，当时，，
所以选择A品牌共享电动车会更省钱
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
当时，，，
元．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：根据图象得：元，
骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元，
【分析】（1）本题考查一次函数图象的实际应用，从图象中读取数据计算单价和固定收费。品牌过原点，用总费用除以时间得每分钟费用；品牌分钟费用不变，直接读取图象中值；
（2）本题考查一次函数解析式求解及实际应用，先算骑行时间，再求解析式并比较费用。先将距离换算为米，除以速度得骑行时间；用待定系数法求、解析式，代入时间算费用，比较大小并求差值。
（1）解：根据图象得：元，
骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元，
故答案为：；6；
（2）解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下：
∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，
∴王老师从家骑行到学校所需时间为，
观察函数图象可知，当时，，
所以选择A品牌共享电动车会更省钱
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
设，将点代入得：，
解得：，
∴，
当时，，，
元．
23．如图，在中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定，结合角平分线、平行线性质证邻边相等的平行四边形。由角平分线和平行线得，故；又且，先证平行四边形，再由邻边相等得菱形；
（2）本题考查菱形性质、直角三角形斜边中线及勾股定理，通过设未知数列方程求解。菱形对角线平分，中是中线，得；勾股定理算，设，用列勾股方程，解得长度。
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴的长为．
24．在平面直角坐标系中．一次函数的图象平行于，且经过点．
（1）求一次函数解析式；
（2）点P为x轴上一点，一次函数的图象与x轴交于点B，的面积是2，求点P坐标；
（3）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可设一次函数，∵一次函数过点，
∴，解得，
则一次函数．
（2）一次函数，当时，，
∴，
∵点P为x轴上一点，
∴设，
∴，
∵的面积是2，
∴，
解得：或，
∴或

（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）由题意得当时，，得，
①当时，；
②当时，，则，解得，
∵，
∴，则有；
③当时，，则，解得，不符合题意；
④根据题意得：，
综上所述，或．
【分析】（1）本题考查一次函数解析式求解，利用平行直线斜率相等设解析式。两直线平行则值相等，设，代入点坐标求，得到解析式；
（2）本题考查一次函数与三角形面积结合，利用面积公式列方程求点坐标。求函数与轴交点，设坐标，用底乘高除以列面积方程，解得坐标；
（3）本题考查一次函数不等式恒成立，分情况讨论的取值范围。由变形，分、、讨论，结合恒成立条件，确定范围。
（1）解：由题意可设一次函数，
∵一次函数过点，
∴，解得，
则一次函数．
（2）一次函数，
当时，，
∴，
∵点P为x轴上一点，
∴设，
∴，
∵的面积是2，
∴，
解得：或，
∴或
（3）由题意得当时，，得，
①当时，；
②当时，，则，解得，
∵，
∴，则有；
③当时，，则，解得，不符合题意；
④根据题意得：，
综上所述，或．
25．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）．
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85，85，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 85 a
乙 86 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，______，______，______．
（2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分.220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数是多少？
（3）如果让你选择一款聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由．
【答案】（1）85，；20；
（2）解：乙款扇形统计图可得，组有人，甲数据中组有6人，
∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人．
（3）解：由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85，∴选择乙款聊天机器人
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则，
根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，
将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90
第十个和第十一个评分分别为84、87，
所以中位数．
乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为，
∴，
∴，
故答案为：85，；20；
【分析】（1）本题考查众数、中位数及扇形统计图百分比计算，根据定义和图表数据求解。甲款中出现次数最多，得众数；乙款排序后中间两数平均得中位数；扇形图百分比和为$100% $，算值；
（2）本题考查用样本估计总体，根据样本中非常满意比例估算总人数。分别算甲、乙样本中组比例，乘对应总人数后求和，得非常满意总人数；
（3）本题考查统计量的实际应用，结合平均数、中位数分析选择理由。甲乙平均数相同，乙中位数更高，说明乙高分数据更多，据此选择并说明理由。
（1）解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则，
根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人，
将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88， 89， 90
第十个和第十一个评分分别为84、87，
所以中位数．
乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为，
∴，
∴，
故答案为：85，；20；
（2）解：乙款扇形统计图可得，组有人，
甲数据中组有6人，
∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数人．
（3）解：由表格得，甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数，甲的中位数85，
∴选择乙款聊天机器人
26．请同学们探究函数的图象，通过列表、描点、面图，观察图象，并利用函数性质解决问题．
（1）画出函数的图象．
①列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 1
1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
（2）利用函数的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质______：
②当时，y的取值范围是______．
③若点与是函数图象上的两个点，若对于，，都有则a的取值范围是______．
【答案】（1）解：①当时，，
当时，，
补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于对称；②；③或
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）①函数图象关于对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于对称；
②由函数图象得，当时，，
故答案为：；
③∵，
∴，
∵对于，，都有，
∴结合图象得：或，
故答案为：或．
【分析】（1）本题考查绝对值函数的图象绘制，代入求值、描点连线。①将、代入解析式，算出对应值补全表格；②根据表格坐标描点，按绝对值函数图象特征连线；
（2）本题考查绝对值函数的性质、取值范围及自变量范围，结合图象分析。①从对称性、增减性等角度写性质；②观察图象，确定时的最值和范围；③先求时范围，结合图象确定区间，进而求范围。
（1）解：①当时，，
当时，，
补全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 3 1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于对称；
②由函数图象得，当时，，
故答案为：；
③∵，
∴，
∵对于，，都有，
∴结合图象得：或，
故答案为：或．
27．如图，在正方形中，E为上一点（不与重合），过点C作交延长线于点F．连接，作交的延长线于点G．
（1）补全图形并用等式表示线段的数量关系并证明；
（2）用等式表示线段与的数量关系并证明．
【答案】（1）解：补全图形如下：
连接，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示：∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵正方形，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本题考查正方形性质、勾股定理，通过连接对角线转化线段关系。按题意补全垂线、延长线；连接，正方形中，中，由此得线段关系；
（2）本题考查正方形、矩形、全等三角形性质，通过作垂线证全等转化线段。作、，证矩形，再证，得，正方形中，故。
（1）解：补全图形如下：
连接，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点B作于点H，过点B作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴
∵正方形，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴．
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