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广西壮族自治区贵港市2026年初中学业水平考试第二次适应性检测 数学
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
6．南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（　　）
A．样本容量是5万名学生
B．总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况
C．这个调查是全面调查
D．个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生
7．下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
8．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
10．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．
12．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．25的算术平方根是　 　．
14．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是　 　．
15．把多项式 分解因式的结果是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（）的图象上，则的面积等于　 　．
17．计算
（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．如图，四边形是矩形，连接．
（1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
19．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89．
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级86a九年级b95
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由；
（3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？
20．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若点B是的中点，且，求的半径．
21．项目式学习：
项目式学习：小区新能源充电设施优化方案
项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持．
核心素材
（1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
22．【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米．
请尝试解决以下问题：
【数学建模】
（1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式：
【实践探究】
（2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离；
【拓展应用】
（3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度．
23．新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”．
【初步探索】
（1）如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______；
【类比探究】
（2）如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N．
①求证：；
②若，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为，
故选：A．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征，
∴点位于第二象限．
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系各象限内点的坐标特征，第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0，结合点的横纵坐标符号即可判断其所在象限。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同．
【分析】
根据立体图形三视图的特征，对题目中导弹的外形对应的三视图进行判断.
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：样本容量是样本中个体的数目，是一个数值，不能表述为“5万名学生”，
A选项说法错误；
总体是考查对象的全体，本题考查对象是该市义务教育阶段120万名学生的视力情况，
B选项说法正确；
本次调查只抽取部分学生进行测试，属于抽样调查，不是全面调查，
C选项说法错误；
个体是总体中每一个考查对象，本题个体是该市义务教育阶段每一名学生的视力情况，不是每一名学生本身，
D选项说法错误．
故答案为：B
【分析】本题考查统计调查中总体、个体、样本容量及调查方式的概念，总体是考察对象的全体，个体是单个考察对象，样本容量是样本中个体的数量（无单位），全面调查是考察所有对象，据此逐一辨析选项。
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并
对各选项依次化简：
选项A，，被开方数为，不能与合并；
选项B，，被开方数为，能与合并；
选项C，，被开方数为，不能与合并；
选项D，，被开方数为，不能与合并；
故答案为：B
【分析】本题考查同类二次根式的判定，同类二次根式化简为最简二次根式后被开方数相同，先将各选项根式化为最简形式，再对比被开方数是否为2即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行同旁内角互补、内错角相等，过点作平行线，先由与所作平行线平行求出，再由与所作平行线平行求出，两角相加即可得。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2023年到2025年的年平均增长率为，
2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元，
可列方程为，
两边同除以100得，
增长率为正数，
，
解得，
即年平均增长率为．
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，设年平均增长率为，经过两年增长后，总收入为初始值乘以，据此列方程，结合增长率为正求解即可。
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：令和相交于点，
，
，
，
，
．
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称性质与解直角三角形的结合，由轴对称性得平分，且，在中用正弦定义表示，同理得，为两者之和即可。
11．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
如图所示：
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，则，
当时，的值最小，即的值最小，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：D
【分析】本题考查菱形性质、矩形判定与垂线段最短的综合应用，菱形对角线互相垂直平分，先求、，勾股定理算；由垂直条件证为矩形，得；最小值为边上的高，用面积法求高即可。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误；
②函数的对称轴是，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故②错误；
③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，
则，故③正确；
④∵抛物线对称轴为，则，
∴，故④正确；
⑤抛物线的顶点为，
∴方程没有实数根时，
∴抛物线顶点在x轴下方，
∴，
∴，故⑤正确，
∴正确的选项有③④⑤共3个．
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，①由抛物线与轴交点个数判断判别式符号；②由对称轴和开口方向判断增减性；③由对称轴确定另一交点范围，结合时的函数值判断；④由对称轴公式推导、关系；⑤由顶点纵坐标判断方程无实根时的范围。
13．【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．【答案】（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为（a+2）（a-2）．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
16．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则，
∴，
∵是的中线，
∴，
设，则，
∵点在反比例函数（）的图象上，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12
【分析】本题考查反比例函数性质与三角形面积计算，过、作轴垂线，由中线性质得相似比为；设的纵坐标为，表示出、的横坐标，进而求出长度和的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：得：，
解得，
将代入①，解得，
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)本题考查有理数的混合运算，遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序，先算乘方和括号内，再算乘法，最后算加法；
(2)本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组中的系数互为相反数，采用加减消元法，两式相加消去，先求，再代入求。
（1）解：原式
；
（2）解：得：，
解得，
将代入①，解得，
．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可。
（2）根据矩形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
19．【答案】（1），，
（2）解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好．
（3）解：九年级组人数：人，
八年级90分以上人，
人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：众数，
中位数是第位数据，的人数为：人，
的人数为：人，
故，
组所占百分比，
；
【分析】(1)本题考查众数、中位数、扇形统计图百分比计算，众数是出现次数最多的数，据此求；中位数是排序后中间两个数的平均数，结合九年级各组人数求；扇形图百分比和为100%，用减法求；
(2)本题考查统计量的实际意义，平均数相同的情况下，中位数、众数越高，整体成绩越好，据此对比八、九年级数据判断；
(3)本题考查用样本估计总体，先算出样本中八、九年级90分以上人数，求出占比，再乘以总人数1800即可估计总体人数。
（1）解：众数，
中位数是第位数据，的人数为：人，
的人数为：人，
故，
组所占百分比，
；
（2）解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好．
（3）解：九年级组人数：人，
八年级90分以上人，
人．
20．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
故是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
点B是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线判定，连接，由等腰三角形性质得，结合已知，推导，即，证切线；
(2)本题考查相似三角形判定与性质，设半径为，由中点性质表示、；证，用勾股定理表示，代入相似比列方程求解。
（1）证明：连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
故是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
点B是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的半径为．
21．【答案】（1）解：根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个；
（2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，
总花费为元，
∵此次加购支出不超过26880元，
∴，
解得，
∵为整数，
∴a的最小值为4，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查分式方程的实际应用，设单枪充电桩单价为元，双枪为元，根据数量差20个列分式方程，求解后检验合理性；
(2)本题考查一元一次不等式的实际应用，先算出调价后两款充电桩单价，设购进单枪个，双枪个，根据总费用不超过26880元列不等式，求的最小整数解。
（1）解：根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个；
（2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，
总花费为元，
∵此次加购支出不超过26880元，
∴，
解得，
∵为整数，
∴a的最小值为4，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
22．【答案】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为，
，
代入点可得，，解得，
．
（2）解：令，即，
解得，
答：该点到支架的水平距离为米或米；
（3）解：由题知，，
当时，，
，
设直线的解析式为，代入，，
可得，
解得，
直线的解析式为，
，
设，
点F在线段上，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值1.125．
支架的最大长度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查二次函数解析式求解，由题意得抛物线顶点坐标和点坐标，设顶点式，代入点坐标求，确定解析式；
(2)本题考查二次函数的函数值与自变量的对应关系，令，代入解析式解方程，求出的值即为水平距离；
(3)本题考查一次函数与二次函数的综合最值问题，先求、坐标，确定直线解析式；设点横坐标为，表示出、坐标，得长度表达式，配方后求最大值。
23．【答案】(1)
（2）解：①证明：，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②，，四边形是“直角等距四边形”，
，
为等腰三角形，，
点为的中点，
，
在中，，
由①知，
，
是等腰三角形，，
故点为中点，
，
；
（3）解：在中，，，，
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，
由“等垂点”可得，，
∴，、
∵，
，
，，
∵，
∴，解得，
∴；
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
解得，
由“等垂点”可得，，同理可得，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：，证明如下：
过点作，则四边形是矩形，
∴，
矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形，
，
；
【分析】(1)本题考查新定义与矩形、等腰直角三角形性质，过作，由新定义得为等腰直角三角形，得，结合矩形对边相等推导与关系；
(2)①本题考查全等三角形判定，由得角互余，结合直角三角形内角和得，用AAS证，得；
②本题考查等腰三角形与勾股定理，由等腰三角形三线合一得为中点，求长度；结合全等结论得，同理得为中点，求长度；
(3)本题考查新定义与直角三角形、全等三角形、勾股定理的综合，先算长度；分是中点、是中点两种情况，结合新定义证全等，用勾股定理或线段和差求长度。
1 / 1广西壮族自治区贵港市2026年初中学业水平考试第二次适应性检测 数学
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为，
故选：A．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征，
∴点位于第二象限．
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系各象限内点的坐标特征，第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0，结合点的横纵坐标符号即可判断其所在象限。
3．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，确定的值以及的值即可得答案.
4．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
5．2025年9月3日，东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同．
【分析】
根据立体图形三视图的特征，对题目中导弹的外形对应的三视图进行判断.
6．南宁市教育和体育局为了了解该市义务教育阶段学校120万名学生眼睛视力情况，在南宁市所属各区县不同地区的学校按照学生比例随机抽查了5万名学生进行测试，并将结果进行统计，在这个调查中，下列说法正确的是（　　）
A．样本容量是5万名学生
B．总体是该市义务教育阶段学校的120万名学生的视力情况
C．这个调查是全面调查
D．个体是该市义务教育阶段学校的每一名学生
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：样本容量是样本中个体的数目，是一个数值，不能表述为“5万名学生”，
A选项说法错误；
总体是考查对象的全体，本题考查对象是该市义务教育阶段120万名学生的视力情况，
B选项说法正确；
本次调查只抽取部分学生进行测试，属于抽样调查，不是全面调查，
C选项说法错误；
个体是总体中每一个考查对象，本题个体是该市义务教育阶段每一名学生的视力情况，不是每一名学生本身，
D选项说法错误．
故答案为：B
【分析】本题考查统计调查中总体、个体、样本容量及调查方式的概念，总体是考察对象的全体，个体是单个考察对象，样本容量是样本中个体的数量（无单位），全面调查是考察所有对象，据此逐一辨析选项。
7．下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并
对各选项依次化简：
选项A，，被开方数为，不能与合并；
选项B，，被开方数为，能与合并；
选项C，，被开方数为，不能与合并；
选项D，，被开方数为，不能与合并；
故答案为：B
【分析】本题考查同类二次根式的判定，同类二次根式化简为最简二次根式后被开方数相同，先将各选项根式化为最简形式，再对比被开方数是否为2即可。
8．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行同旁内角互补、内错角相等，过点作平行线，先由与所作平行线平行求出，再由与所作平行线平行求出，两角相加即可得。
9．三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设2023年到2025年的年平均增长率为，
2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元，
可列方程为，
两边同除以100得，
增长率为正数，
，
解得，
即年平均增长率为．
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，设年平均增长率为，经过两年增长后，总收入为初始值乘以，据此列方程，结合增长率为正求解即可。
10．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：令和相交于点，
，
，
，
，
．
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称性质与解直角三角形的结合，由轴对称性得平分，且，在中用正弦定义表示，同理得，为两者之和即可。
11．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
如图所示：
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，则，
当时，的值最小，即的值最小，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：D
【分析】本题考查菱形性质、矩形判定与垂线段最短的综合应用，菱形对角线互相垂直平分，先求、，勾股定理算；由垂直条件证为矩形，得；最小值为边上的高，用面积法求高即可。
12．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误；
②函数的对称轴是，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故②错误；
③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，
则，故③正确；
④∵抛物线对称轴为，则，
∴，故④正确；
⑤抛物线的顶点为，
∴方程没有实数根时，
∴抛物线顶点在x轴下方，
∴，
∴，故⑤正确，
∴正确的选项有③④⑤共3个．
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，①由抛物线与轴交点个数判断判别式符号；②由对称轴和开口方向判断增减性；③由对称轴确定另一交点范围，结合时的函数值判断；④由对称轴公式推导、关系；⑤由顶点纵坐标判断方程无实根时的范围。
13．25的算术平方根是　 　．
【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．把多项式 分解因式的结果是　 　．
【答案】（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = ．
故答案为（a+2）（a-2）．
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（）的图象上，则的面积等于　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则，
∴，
∵是的中线，
∴，
设，则，
∵点在反比例函数（）的图象上，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12
【分析】本题考查反比例函数性质与三角形面积计算，过、作轴垂线，由中线性质得相似比为；设的纵坐标为，表示出、的横坐标，进而求出长度和的纵坐标，代入三角形面积公式计算即可。
17．计算
（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：得：，
解得，
将代入①，解得，
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)本题考查有理数的混合运算，遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序，先算乘方和括号内，再算乘法，最后算加法；
(2)本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组中的系数互为相反数，采用加减消元法，两式相加消去，先求，再代入求。
（1）解：原式
；
（2）解：得：，
解得，
将代入①，解得，
．
18．如图，四边形是矩形，连接．
（1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可。
（2）根据矩形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
19．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取20名学生进行了问卷调查，调查结果以百分制呈现（结果均为整数）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生成绩是：100，97，97，95，92，92，92，89，88，87，85，85，83，83，80，75，73，72，64，61．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：80，81，82，85，87，89，89．
八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级86a九年级b95
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对阅兵活动相关知识更加了解？请说明理由；
（3）该校八、九年级共有学生1800人且全部参与问卷调查，请估计八、九年级共有多少名学生的成绩不低于90分？
【答案】（1），，
（2）解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好．
（3）解：九年级组人数：人，
八年级90分以上人，
人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：众数，
中位数是第位数据，的人数为：人，
的人数为：人，
故，
组所占百分比，
；
【分析】(1)本题考查众数、中位数、扇形统计图百分比计算，众数是出现次数最多的数，据此求；中位数是排序后中间两个数的平均数，结合九年级各组人数求；扇形图百分比和为100%，用减法求；
(2)本题考查统计量的实际意义，平均数相同的情况下，中位数、众数越高，整体成绩越好，据此对比八、九年级数据判断；
(3)本题考查用样本估计总体，先算出样本中八、九年级90分以上人数，求出占比，再乘以总人数1800即可估计总体人数。
（1）解：众数，
中位数是第位数据，的人数为：人，
的人数为：人，
故，
组所占百分比，
；
（2）解：九年级学生对阅兵活动相关知识更加了解，理由如下：八、九年级的平均分均为分，九年级的中位数，众数均高于八年级的中位数，故整体上看九年级学生竞赛成绩较好．
（3）解：九年级组人数：人，
八年级90分以上人，
人．
20．如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若点B是的中点，且，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
故是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
点B是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线判定，连接，由等腰三角形性质得，结合已知，推导，即，证切线；
(2)本题考查相似三角形判定与性质，设半径为，由中点性质表示、；证，用勾股定理表示，代入相似比列方程求解。
（1）证明：连接，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
故是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
点B是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的半径为．
21．项目式学习：
项目式学习：小区新能源充电设施优化方案
项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持．
核心素材
（1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
【答案】（1）解：根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个；
（2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，
总花费为元，
∵此次加购支出不超过26880元，
∴，
解得，
∵为整数，
∴a的最小值为4，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查分式方程的实际应用，设单枪充电桩单价为元，双枪为元，根据数量差20个列分式方程，求解后检验合理性；
(2)本题考查一元一次不等式的实际应用，先算出调价后两款充电桩单价，设购进单枪个，双枪个，根据总费用不超过26880元列不等式，求的最小整数解。
（1）解：根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个），
答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个；
（2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，
总花费为元，
∵此次加购支出不超过26880元，
∴，
解得，
∵为整数，
∴a的最小值为4，
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个．
22．【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米．
请尝试解决以下问题：
【数学建模】
（1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式：
【实践探究】
（2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离；
【拓展应用】
（3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度．
【答案】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为，
，
代入点可得，，解得，
．
（2）解：令，即，
解得，
答：该点到支架的水平距离为米或米；
（3）解：由题知，，
当时，，
，
设直线的解析式为，代入，，
可得，
解得，
直线的解析式为，
，
设，
点F在线段上，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值1.125．
支架的最大长度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查二次函数解析式求解，由题意得抛物线顶点坐标和点坐标，设顶点式，代入点坐标求，确定解析式；
(2)本题考查二次函数的函数值与自变量的对应关系，令，代入解析式解方程，求出的值即为水平距离；
(3)本题考查一次函数与二次函数的综合最值问题，先求、坐标，确定直线解析式；设点横坐标为，表示出、坐标，得长度表达式，配方后求最大值。
23．新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”．
【初步探索】
（1）如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______；
【类比探究】
（2）如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N．
①求证：；
②若，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长．
【答案】(1)
（2）解：①证明：，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②，，四边形是“直角等距四边形”，
，
为等腰三角形，，
点为的中点，
，
在中，，
由①知，
，
是等腰三角形，，
故点为中点，
，
；
（3）解：在中，，，，
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，
由“等垂点”可得，，
∴，、
∵，
，
，，
∵，
∴，解得，
∴；
当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”．
过作于，
∴，
∴，
∴，
解得，
由“等垂点”可得，，同理可得，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：，证明如下：
过点作，则四边形是矩形，
∴，
矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形，
，
；
【分析】(1)本题考查新定义与矩形、等腰直角三角形性质，过作，由新定义得为等腰直角三角形，得，结合矩形对边相等推导与关系；
(2)①本题考查全等三角形判定，由得角互余，结合直角三角形内角和得，用AAS证，得；
②本题考查等腰三角形与勾股定理，由等腰三角形三线合一得为中点，求长度；结合全等结论得，同理得为中点，求长度；
(3)本题考查新定义与直角三角形、全等三角形、勾股定理的综合，先算长度；分是中点、是中点两种情况，结合新定义证全等，用勾股定理或线段和差求长度。
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