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2026年河北省邯郸市初中学业水平考试数学模拟试卷
1．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（　　）．
A． B． C． D．
2．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（　　）
A．2米 B．3米 C．10米 D．14米
3．根据国家邮政局公布的数据，2026年我国邮政行业寄递业务量预计达到2300亿件，连续多年位居世界第一．将2300亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，连接，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．4和5之间
7．以下是一段模拟抽奖的程序代码，程序随机生成一个1到9之间的整数（包括和），并判断该数能否被3整除．若能，则输出“OK”．
import random #导入随机数模块 num=random. randint #随机生成1到9之间的整数（包含和） if num： #判断该数除以的余数是否为 print("OK") #如果能被整除，输出OK
运行该程序，每次输出OK的概率是（　　）．
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．且
9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（　　）
A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
10．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（　　）．
A．6 B．9 C．10 D．12
11．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论：
①当时，．
②当点落在上时，四边形是菱形．
③在点运动的过程中，线段的最小值为．
④连接，则的面积等于
其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（　　）
A．5 B．8 C．13 D．21
13．计算：　 　．
14．某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为　 　．
15．若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为　 　．
16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为　 　．
17．嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为．
（1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集；
（2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
18．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）．
现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片．
方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米；
方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米．
已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程：
解：
…………第一步
……………第二步
……………………………第三步
（1）该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程；
（2）若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值．
19．如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且．
（1）求证：；
（2）当时，把沿直线翻折得到，证明：．
20．随着电池技术的不断突破，我国新能源汽车产业发展迅速，产销量连续多年位居全球前列，新能源汽车的续航里程也持续提升．某校数学兴趣小组对市面上主流新能源汽车做了抽样调查，按续航里程（单位：千米）进行统计，绘制了如下尚不完整的统计表和统计图（如图）．
某市新能源汽车续航里程抽样统计表
组别 续航里程x（千米） 频数（辆）
A 4
B 8
C m
D 12
E 4
（1）根据上述图表信息，求统计表中m的值；
（2）行业标准认为，续航里程不低于500千米的新能源汽车能够较好地满足长途出行需求．若该市新能源汽车保有量约为8.2万辆，根据现有数据，估计其中续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有多少万辆？
（3）若兴趣小组对续航里程超过800千米的新能源汽车进行补充调查，得到续航里程（）的频数（辆）为n．将补充数据与原样本合并后，新样本数据的中位数恰好落在组，直接写出n的最小值．
21．如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．
（1）如图1，连接，求的长；
（2）如图2，连接，当时，求的长；
（3）如图3，连接，求面积的最大值．
22．在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
（1）求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；
（2）网络工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
等级 优秀 良好 一般 弱覆盖
用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线
若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明；
（3）该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ；
（2）当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：）
24．如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长；
②求的最大值及此时点的坐标；
（3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，支出元可记为，获得元收入可记为，
∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为．
故答案为：A
【分析】本题考查正数与负数的实际应用，根据题意明确支出和收入对应的正负表示，再列出收支合计的算式即可；支出用负数表示，所以支出5元记为，收入用正数表示，收入8元记为，收支合计就是两者相加。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵在中，米，米，
根据三边关系可得： ，
则，即，
对比选项，只有10米符合该范围．
故答案为：C
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，利用三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边确定的取值范围，再匹配选项；在中，已知两边、，先计算两边之差、两边之和，得到，从选项中选出在此区间内的数值。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2300亿．
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法的表示，核心是将大数转化为（，为整数）的形式；先把2300亿转化为数字，再确定，数出小数点移动的位数为11，得到，从而写出科学记数法表达式。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
由作图可知，，
∴．
∴．
故答案为：D
【分析】本题综合考查平行线性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理，先由平行线同旁内角互补求，再结合等腰三角形等边对等角及内角和求角；由得，算出，由作图知，为等腰三角形，用内角和减去顶角后平分，求出底角。
5．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图和主视图是相同的，
故选：B．
【分析】本题考查简单组合体三视图的识别，明确主视图、左视图、俯视图的观察方向，分别画出三个视图后对比；主视图从正面看、左视图从左面看、俯视图从上面看，观察几何体结构，判断出左视图和主视图形状一致，进而确定答案。
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即在和之间．
故答案为：C
【分析】本题考查二次根式化简与无理数估算，先利用二次根式乘法法则化简式子，再估算化简后无理数的范围；根据化简得，合并同类二次根式后得，再由推出，确定数值区间。
7．【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，生成的数为1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个数，其中能被3整除的数为3，6，9共3个，
∴输出“OK”的概率为．
故答案为：B
【分析】本题考查简单概率计算，概率等于符合条件的情况数除以总情况数；先列出1到9共9个整数（总情况数为9），找出其中能被3整除的数（3、6、9，共3个），代入概率公式计算。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
整理，得，
解得，
∴，且．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0、判别式；由一元二次方程定义得，由方程有实数根得，化简不等式求出，结合确定取值范围。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设正方形的边长为步，
∵四边形是正方形，步，步，
∴，，，
∴，
∴ ，
即，
解得：，
因此正方形的边长为步．
故答案为：C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，通过设边长、证相似、列比例式求解；设正方形边长为，得、，由正方形性质得，证，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程得边长。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点坐标为，得到，，
又轴于点，轴于点，则四边形为矩形，
四边形的面积为，，，
根据题意有，，则，，
，，
四边形的面积为，
根据题意有，解得．
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，利用矩形面积、三角形面积的关系建立方程；设，得矩形面积为，再表示出、，算出和的面积均为，用矩形面积减去两个三角形面积得四边形面积为，代入面积值求。
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：对于①：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，故①正确；
对于②：由折叠的性质可得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴当点落在上时，点与点重合，
又∵菱形关于直线对称，
∴此时点与点重合，
∴四边形即菱形，故②正确；
对于③：由①可知，，
∴为钝角，
∴，仅当点、、三点重合时取等号，
∴的最小值为2，故③正确；
对于④：如图，设与的交点为，
由折叠的性质可得，，
∴，故④错误；
综上，正确的结论有3个．
故答案为：C
【分析】本题综合考查菱形性质、折叠性质、等腰三角形判定及最值问题，逐一分析每个结论的正确性；①由菱形内角得，结合求角，证为等腰三角形；②由折叠和菱形边长相等，判断与D重合，得四边形为菱形；③由，根据垂线段最短得；④由折叠得，用三角形面积公式判断结论错误，最终统计正确结论个数。
12．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数．
如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时．
根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为．
若，，点在直线，则有
①，解得，此时不是整数，不满足题意；
②，解得，此时不是整数，不满足题意；
③，解得，此时；
综上可知，满足条件的n的值为5和8，
所以满足条件的所有n的和为．
故答案为：C
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的规律探究与一次函数，先找移动周期规律，再表示各周期点坐标，代入直线方程求n；移动以4次为周期，分别表示出、、、的坐标，代入，解出整数k对应的n，最后求和。
13．【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：0
【分析】本题考查有理数乘方与零指数幂运算，牢记乘方和零指数幂的运算法则；的偶次幂为1，非零数的0次幂为1，分别计算两项后相减。
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形；
内角和为：．
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和与内角和公式，先由外角求边数，再代入内角和公式；多边形外角和为，用得边数6，再代入内角和公式计算。
15．【答案】
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为相反数，和互为倒数，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查相反数、倒数的性质及代数式求值，利用性质化简代数式；互为相反数的两数平方相等，故，互为倒数的两数乘积为1，故，代入代数式直接计算。
16．【答案】12
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图，
即有，，，
∴，
∴，
根据平移有：，轴，
又∵，
∴，即四边形是平行四边形，
∴，
根据轴对称的性质有：，，
根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短，
且为：．
故答案为：12
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，通过对称变换将折线转化为直线段；作A关于y轴的对称点G，将B左移2个单位得E，作E关于x轴的对称点F，连接GF，其长度加2即为最短路径，利用两点间距离公式计算GF长度。
17．【答案】（1）解：由，得，
数轴表示：
（2）嘉嘉的说法正确．
理由：
，
故恒成立．
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)本题考查一元一次不等式的求解与数轴表示，通过移项、合并同类项解不等式；根据列不等式，移项后解得，再在数轴上用空心圆圈表示2，向右画射线；
(2)本题考查代数式恒成立证明，通过作差法、完全平方公式化简；计算，展开化简后得，由平方数非负得恒成立，从而判断说法正确。
（1）解：由，得，
数轴表示：
（2）嘉嘉的说法正确．
理由：，
故恒成立．
18．【答案】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错．
正确过程：
．
（2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和．根据“长宽比相等”，列方程：
解得
验证：时，，符合实际意义．
答：原正方形边长为12厘米．
【知识点】整式的混合运算；去括号法则及应用；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)本题考查整式的加减运算，重点考查去括号法则；原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号需注意括号前是负号，括号内各项变号，再合并同类项化简；
(2)本题考查分式方程的应用，根据长宽比相等列方程求解；方案一长宽为、，方案二长宽为、，列比例式，交叉相乘化简后解方程，验证边长为正数即可。
（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错．
正确过程：
．
（2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和．
根据“长宽比相等”，列方程：
解得
验证：时，，符合实际意义．
答：原正方形边长为12厘米．
19．【答案】（1）证明：平分，，
又，，
∴．
（2）证明：由翻折得，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)本题考查全等三角形的判定（SAS），利用角平分线性质找等角；由平分得，结合、公共边，用SAS证全等；
(2)本题考查翻折性质与角的和差，通过角的转化证垂直；由翻折得，由全等得，结合，推出，从而证。
（1）证明：平分，
，
又，，
∴．
（2）证明：由翻折得，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
．
20．【答案】（1）根据题意有：，
则：；
（2）根据题意有：（万辆），
答：续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有万辆；
（3）n的最小值为9
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（3）按照里程数由低到高，各组的频数依次按序排列为：4、8、12、12、4、，
∵中位数落在组，
∴即原排序简化为：、12（包含中位数）、，
即：、12（包含中位数）、，
当中位数处在这12个数中的第一个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
当中位数处在这12个数中的第二个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
依次类推，当该中位数（包含多个数同为中位数的情况）在这12个数中的位置相对向后移动时，则此中位数前面的数据个数越来越多，那么依据中位数的定义，其后面需要补充的数据也越来越多，此时的值会越来越大，
综上：当中位数处在这12个数中的第一个数时，的值最小，且为9．
【分析】(1)本题考查扇形统计图与频数计算，由扇形圆心角求总数；由E组圆心角占的，结合频数4得总数40，用总数减去其他组频数求m；
(2)本题考查用样本估计总体，计算不低于500千米的频率再估算；先算出C、D、E组频数和，求其占总数的比例，再乘以总保有量8.2万；
(3)本题考查中位数定义，根据中位数位置确定n的最小值；原数据从小到大排序，中位数落在D组，需保证D组第一个数为中位数，列不等式求n最小值。
（1）根据题意有：，
则：；
（2）根据题意有：（万辆），
答：续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有万辆；
（3）按照里程数由低到高，各组的频数依次按序排列为：4、8、12、12、4、，
∵中位数落在组，
∴即原排序简化为：、12（包含中位数）、，
即：、12（包含中位数）、，
当中位数处在这12个数中的第一个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
当中位数处在这12个数中的第二个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
依次类推，当该中位数（包含多个数同为中位数的情况）在这12个数中的位置相对向后移动时，则此中位数前面的数据个数越来越多，那么依据中位数的定义，其后面需要补充的数据也越来越多，此时的值会越来越大，
综上：当中位数处在这12个数中的第一个数时，的值最小，且为9．
21．【答案】（1）解：在中，，，∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
（2）解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
（3）解：当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形；圆与四边形的综合
【解析】【分析】(1)本题考查正方形、圆周角定理及特殊角三角函数，利用直径所对圆周角为直角；在中，由三角函数得，由直径得，用直角三角形边角关系求；
(2)本题考查弧长计算，结合垂直平分线、圆心角求弧长；由得G在CD垂直平分线上，推出，结合圆周角定理求，代入弧长公式计算；
(3)本题考查圆内三角形面积最值，利用垂径定理和等边三角形性质；当G为中点时面积最大，由垂径定理得，结合角度证为等边三角形，求高后算面积最大值。
（1）解：在中，，，
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
（2）解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
（3）解：当点G为中点时，面积最大，
连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
22．【答案】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．∴，，
∴
，
∴P关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，，，∴．
∵，
∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好．
（3）解：令，则，解得，∴，
覆盖面积：（平方米）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查反比例函数解析式求解，代入已知点坐标求k；将、代入（），算出，写出解析式；
(2)本题考查反比例函数实际应用，先求距离再算强度等级；由速度和时间算，得，代入解析式算，对照等级表判断；
(3)本题考查反比例函数与圆面积结合，由强度求半径再算面积；令，代入解析式求，代入圆面积公式计算。
（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
∴，，
∴
，
∴P关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，，，
∴．
∵，
∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好．
（3）解：令，则，解得，
∴，
覆盖面积：（平方米）．
23．【答案】（1）；
（2）解：折痕和点如图所示：
根据尺规作图可得，，，
又∵，
∴，
∴点与点关于对称；
（3）解：由折叠的性质可得，，∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点在点处时，点与点重合；
当点在点处时，如图，取的中点，连接，
此时，点在上，
∴点的运动路径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长为，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】（1）解：如图，落在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
【分析】(1)本题考查矩形折叠性质，证正方形求边长和面积；由矩形和折叠性质得四边形为正方形，边长为6，面积为；
(2)本题考查尺规作图，作中点和折叠对应点；作垂直平分线得中点E，再以A、E为圆心，、为半径画弧，交点为；
(3)本题考查动点轨迹与弧长计算，确定轨迹为圆弧；由折叠得，知F在以AB为直径的圆上，求圆心角，代入弧长公式算路径长。
（1）解：如图，落在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：折痕和点如图所示：
根据尺规作图可得，，，
又∵，
∴，
∴点与点关于对称；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点在点处时，点与点重合；
当点在点处时，如图，取的中点，连接，
此时，点在上，
∴点的运动路径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长为，
∴点的运动路径长为．
24．【答案】（1）解：将点，代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①将代入，得，∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
②，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间，
∵，，，，
又∵抛物线关于直线对称
∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个，
如图，
根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上，
根据平移规律可得，抛物线的解析式为，
将代入，得，
∵点在抛物线的下方，
∴，即，
解得或（不符题意，舍去）；
将代入，得，
∵点在抛物线的上方或者在抛物线上，
∴，即，
解得，
综上所述，的取值范围为．
【分析】(1)本题考查抛物线解析式与顶点坐标，待定系数法求解；将A、B代入解析式列方程组，解得、，化为顶点式得顶点D坐标；
(2)①本题考查抛物线上线段长度表示，联立坐标求差值；先求直线BC解析式，得P、Q坐标，用Q纵坐标减P纵坐标表示PQ；
②本题考查二次函数最值，配方法求解；将PQ表达式配方，由二次项系数小于0得顶点为最大值点，求最大值及对应P坐标；
(3)本题考查抛物线平移与整点，结合图象列不等式；写出平移后解析式，根据阴影整点为5个，列不等式组，解得t的取值范围。
（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①将代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
②，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间，
∵，，，，
又∵抛物线关于直线对称
∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个，
如图，
根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上，
根据平移规律可得，抛物线的解析式为，
将代入，得，
∵点在抛物线的下方，
∴，即，
解得或（不符题意，舍去）；
将代入，得，
∵点在抛物线的上方或者在抛物线上，
∴，即，
解得，
综上所述，的取值范围为．
1 / 12026年河北省邯郸市初中学业水平考试数学模拟试卷
1．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，支出元可记为，获得元收入可记为，
∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为．
故答案为：A
【分析】本题考查正数与负数的实际应用，根据题意明确支出和收入对应的正负表示，再列出收支合计的算式即可；支出用负数表示，所以支出5元记为，收入用正数表示，收入8元记为，收支合计就是两者相加。
2．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（　　）
A．2米 B．3米 C．10米 D．14米
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵在中，米，米，
根据三边关系可得： ，
则，即，
对比选项，只有10米符合该范围．
故答案为：C
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，利用三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边确定的取值范围，再匹配选项；在中，已知两边、，先计算两边之差、两边之和，得到，从选项中选出在此区间内的数值。
3．根据国家邮政局公布的数据，2026年我国邮政行业寄递业务量预计达到2300亿件，连续多年位居世界第一．将2300亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2300亿．
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法的表示，核心是将大数转化为（，为整数）的形式；先把2300亿转化为数字，再确定，数出小数点移动的位数为11，得到，从而写出科学记数法表达式。
4．如图，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，连接，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
由作图可知，，
∴．
∴．
故答案为：D
【分析】本题综合考查平行线性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理，先由平行线同旁内角互补求，再结合等腰三角形等边对等角及内角和求角；由得，算出，由作图知，为等腰三角形，用内角和减去顶角后平分，求出底角。
5．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的左视图和主视图是相同的，
故选：B．
【分析】本题考查简单组合体三视图的识别，明确主视图、左视图、俯视图的观察方向，分别画出三个视图后对比；主视图从正面看、左视图从左面看、俯视图从上面看，观察几何体结构，判断出左视图和主视图形状一致，进而确定答案。
6．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即在和之间．
故答案为：C
【分析】本题考查二次根式化简与无理数估算，先利用二次根式乘法法则化简式子，再估算化简后无理数的范围；根据化简得，合并同类二次根式后得，再由推出，确定数值区间。
7．以下是一段模拟抽奖的程序代码，程序随机生成一个1到9之间的整数（包括和），并判断该数能否被3整除．若能，则输出“OK”．
import random #导入随机数模块 num=random. randint #随机生成1到9之间的整数（包含和） if num： #判断该数除以的余数是否为 print("OK") #如果能被整除，输出OK
运行该程序，每次输出OK的概率是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，生成的数为1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个数，其中能被3整除的数为3，6，9共3个，
∴输出“OK”的概率为．
故答案为：B
【分析】本题考查简单概率计算，概率等于符合条件的情况数除以总情况数；先列出1到9共9个整数（总情况数为9），找出其中能被3整除的数（3、6、9，共3个），代入概率公式计算。
8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴，
整理，得，
解得，
∴，且．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0、判别式；由一元二次方程定义得，由方程有实数根得，化简不等式求出，结合确定取值范围。
9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（　　）
A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设正方形的边长为步，
∵四边形是正方形，步，步，
∴，，，
∴，
∴ ，
即，
解得：，
因此正方形的边长为步．
故答案为：C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，通过设边长、证相似、列比例式求解；设正方形边长为，得、，由正方形性质得，证，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程得边长。
10．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（　　）．
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点坐标为，得到，，
又轴于点，轴于点，则四边形为矩形，
四边形的面积为，，，
根据题意有，，则，，
，，
四边形的面积为，
根据题意有，解得．
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，利用矩形面积、三角形面积的关系建立方程；设，得矩形面积为，再表示出、，算出和的面积均为，用矩形面积减去两个三角形面积得四边形面积为，代入面积值求。
11．如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论：
①当时，．
②当点落在上时，四边形是菱形．
③在点运动的过程中，线段的最小值为．
④连接，则的面积等于
其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：对于①：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，故①正确；
对于②：由折叠的性质可得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴当点落在上时，点与点重合，
又∵菱形关于直线对称，
∴此时点与点重合，
∴四边形即菱形，故②正确；
对于③：由①可知，，
∴为钝角，
∴，仅当点、、三点重合时取等号，
∴的最小值为2，故③正确；
对于④：如图，设与的交点为，
由折叠的性质可得，，
∴，故④错误；
综上，正确的结论有3个．
故答案为：C
【分析】本题综合考查菱形性质、折叠性质、等腰三角形判定及最值问题，逐一分析每个结论的正确性；①由菱形内角得，结合求角，证为等腰三角形；②由折叠和菱形边长相等，判断与D重合，得四边形为菱形；③由，根据垂线段最短得；④由折叠得，用三角形面积公式判断结论错误，最终统计正确结论个数。
12．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（　　）
A．5 B．8 C．13 D．21
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数．
如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时．
根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为．
若，，点在直线，则有
①，解得，此时不是整数，不满足题意；
②，解得，此时不是整数，不满足题意；
③，解得，此时；
综上可知，满足条件的n的值为5和8，
所以满足条件的所有n的和为．
故答案为：C
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的规律探究与一次函数，先找移动周期规律，再表示各周期点坐标，代入直线方程求n；移动以4次为周期，分别表示出、、、的坐标，代入，解出整数k对应的n，最后求和。
13．计算：　 　．
【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：0
【分析】本题考查有理数乘方与零指数幂运算，牢记乘方和零指数幂的运算法则；的偶次幂为1，非零数的0次幂为1，分别计算两项后相减。
14．某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形；
内角和为：．
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和与内角和公式，先由外角求边数，再代入内角和公式；多边形外角和为，用得边数6，再代入内角和公式计算。
15．若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和互为相反数，和互为倒数，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查相反数、倒数的性质及代数式求值，利用性质化简代数式；互为相反数的两数平方相等，故，互为倒数的两数乘积为1，故，代入代数式直接计算。
16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为　 　．
【答案】12
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图，
即有，，，
∴，
∴，
根据平移有：，轴，
又∵，
∴，即四边形是平行四边形，
∴，
根据轴对称的性质有：，，
根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短，
且为：．
故答案为：12
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，通过对称变换将折线转化为直线段；作A关于y轴的对称点G，将B左移2个单位得E，作E关于x轴的对称点F，连接GF，其长度加2即为最短路径，利用两点间距离公式计算GF长度。
17．嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为．
（1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集；
（2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）解：由，得，
数轴表示：
（2）嘉嘉的说法正确．
理由：
，
故恒成立．
【知识点】完全平方公式及运用；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)本题考查一元一次不等式的求解与数轴表示，通过移项、合并同类项解不等式；根据列不等式，移项后解得，再在数轴上用空心圆圈表示2，向右画射线；
(2)本题考查代数式恒成立证明，通过作差法、完全平方公式化简；计算，展开化简后得，由平方数非负得恒成立，从而判断说法正确。
（1）解：由，得，
数轴表示：
（2）嘉嘉的说法正确．
理由：，
故恒成立．
18．将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）．
现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片．
方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米；
方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米．
已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程：
解：
…………第一步
……………第二步
……………………………第三步
（1）该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程；
（2）若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值．
【答案】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错．
正确过程：
．
（2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和．根据“长宽比相等”，列方程：
解得
验证：时，，符合实际意义．
答：原正方形边长为12厘米．
【知识点】整式的混合运算；去括号法则及应用；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)本题考查整式的加减运算，重点考查去括号法则；原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号需注意括号前是负号，括号内各项变号，再合并同类项化简；
(2)本题考查分式方程的应用，根据长宽比相等列方程求解；方案一长宽为、，方案二长宽为、，列比例式，交叉相乘化简后解方程，验证边长为正数即可。
（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错．
正确过程：
．
（2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和．
根据“长宽比相等”，列方程：
解得
验证：时，，符合实际意义．
答：原正方形边长为12厘米．
19．如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且．
（1）求证：；
（2）当时，把沿直线翻折得到，证明：．
【答案】（1）证明：平分，，
又，，
∴．
（2）证明：由翻折得，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)本题考查全等三角形的判定（SAS），利用角平分线性质找等角；由平分得，结合、公共边，用SAS证全等；
(2)本题考查翻折性质与角的和差，通过角的转化证垂直；由翻折得，由全等得，结合，推出，从而证。
（1）证明：平分，
，
又，，
∴．
（2）证明：由翻折得，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，即，
．
20．随着电池技术的不断突破，我国新能源汽车产业发展迅速，产销量连续多年位居全球前列，新能源汽车的续航里程也持续提升．某校数学兴趣小组对市面上主流新能源汽车做了抽样调查，按续航里程（单位：千米）进行统计，绘制了如下尚不完整的统计表和统计图（如图）．
某市新能源汽车续航里程抽样统计表
组别 续航里程x（千米） 频数（辆）
A 4
B 8
C m
D 12
E 4
（1）根据上述图表信息，求统计表中m的值；
（2）行业标准认为，续航里程不低于500千米的新能源汽车能够较好地满足长途出行需求．若该市新能源汽车保有量约为8.2万辆，根据现有数据，估计其中续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有多少万辆？
（3）若兴趣小组对续航里程超过800千米的新能源汽车进行补充调查，得到续航里程（）的频数（辆）为n．将补充数据与原样本合并后，新样本数据的中位数恰好落在组，直接写出n的最小值．
【答案】（1）根据题意有：，
则：；
（2）根据题意有：（万辆），
答：续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有万辆；
（3）n的最小值为9
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（3）按照里程数由低到高，各组的频数依次按序排列为：4、8、12、12、4、，
∵中位数落在组，
∴即原排序简化为：、12（包含中位数）、，
即：、12（包含中位数）、，
当中位数处在这12个数中的第一个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
当中位数处在这12个数中的第二个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
依次类推，当该中位数（包含多个数同为中位数的情况）在这12个数中的位置相对向后移动时，则此中位数前面的数据个数越来越多，那么依据中位数的定义，其后面需要补充的数据也越来越多，此时的值会越来越大，
综上：当中位数处在这12个数中的第一个数时，的值最小，且为9．
【分析】(1)本题考查扇形统计图与频数计算，由扇形圆心角求总数；由E组圆心角占的，结合频数4得总数40，用总数减去其他组频数求m；
(2)本题考查用样本估计总体，计算不低于500千米的频率再估算；先算出C、D、E组频数和，求其占总数的比例，再乘以总保有量8.2万；
(3)本题考查中位数定义，根据中位数位置确定n的最小值；原数据从小到大排序，中位数落在D组，需保证D组第一个数为中位数，列不等式求n最小值。
（1）根据题意有：，
则：；
（2）根据题意有：（万辆），
答：续航里程不低于500千米的新能源汽车大约有万辆；
（3）按照里程数由低到高，各组的频数依次按序排列为：4、8、12、12、4、，
∵中位数落在组，
∴即原排序简化为：、12（包含中位数）、，
即：、12（包含中位数）、，
当中位数处在这12个数中的第一个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
当中位数处在这12个数中的第二个数时，依据中位数的定义有：，
解得：，
依次类推，当该中位数（包含多个数同为中位数的情况）在这12个数中的位置相对向后移动时，则此中位数前面的数据个数越来越多，那么依据中位数的定义，其后面需要补充的数据也越来越多，此时的值会越来越大，
综上：当中位数处在这12个数中的第一个数时，的值最小，且为9．
21．如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．
（1）如图1，连接，求的长；
（2）如图2，连接，当时，求的长；
（3）如图3，连接，求面积的最大值．
【答案】（1）解：在中，，，∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
（2）解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
（3）解：当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形；圆与四边形的综合
【解析】【分析】(1)本题考查正方形、圆周角定理及特殊角三角函数，利用直径所对圆周角为直角；在中，由三角函数得，由直径得，用直角三角形边角关系求；
(2)本题考查弧长计算，结合垂直平分线、圆心角求弧长；由得G在CD垂直平分线上，推出，结合圆周角定理求，代入弧长公式计算；
(3)本题考查圆内三角形面积最值，利用垂径定理和等边三角形性质；当G为中点时面积最大，由垂径定理得，结合角度证为等边三角形，求高后算面积最大值。
（1）解：在中，，，
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
（2）解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
（3）解：当点G为中点时，面积最大，
连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
22．在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
（1）求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式；
（2）网络工程师将信号强度划分为以下等级：
信号强度
等级 优秀 良好 一般 弱覆盖
用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线
若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明；
（3）该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留．
【答案】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．∴，，
∴
，
∴P关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，，，∴．
∵，
∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好．
（3）解：令，则，解得，∴，
覆盖面积：（平方米）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考查反比例函数解析式求解，代入已知点坐标求k；将、代入（），算出，写出解析式；
(2)本题考查反比例函数实际应用，先求距离再算强度等级；由速度和时间算，得，代入解析式算，对照等级表判断；
(3)本题考查反比例函数与圆面积结合，由强度求半径再算面积；令，代入解析式求，代入圆面积公式计算。
（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位．
∴，，
∴
，
∴P关于x的函数解析式为．
（2）解：当时，，，
∴．
∵，
∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好．
（3）解：令，则，解得，
∴，
覆盖面积：（平方米）．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ；
（2）当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：）
【答案】（1）；
（2）解：折痕和点如图所示：
根据尺规作图可得，，，
又∵，
∴，
∴点与点关于对称；
（3）解：由折叠的性质可得，，∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点在点处时，点与点重合；
当点在点处时，如图，取的中点，连接，
此时，点在上，
∴点的运动路径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长为，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】（1）解：如图，落在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
【分析】(1)本题考查矩形折叠性质，证正方形求边长和面积；由矩形和折叠性质得四边形为正方形，边长为6，面积为；
(2)本题考查尺规作图，作中点和折叠对应点；作垂直平分线得中点E，再以A、E为圆心，、为半径画弧，交点为；
(3)本题考查动点轨迹与弧长计算，确定轨迹为圆弧；由折叠得，知F在以AB为直径的圆上，求圆心角，代入弧长公式算路径长。
（1）解：如图，落在上，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：折痕和点如图所示：
根据尺规作图可得，，，
又∵，
∴，
∴点与点关于对称；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点在点处时，点与点重合；
当点在点处时，如图，取的中点，连接，
此时，点在上，
∴点的运动路径为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长为，
∴点的运动路径长为．
24．如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长；
②求的最大值及此时点的坐标；
（3）现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界）
【答案】（1）解：将点，代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①将代入，得，∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
②，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间，
∵，，，，
又∵抛物线关于直线对称
∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个，
如图，
根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上，
根据平移规律可得，抛物线的解析式为，
将代入，得，
∵点在抛物线的下方，
∴，即，
解得或（不符题意，舍去）；
将代入，得，
∵点在抛物线的上方或者在抛物线上，
∴，即，
解得，
综上所述，的取值范围为．
【分析】(1)本题考查抛物线解析式与顶点坐标，待定系数法求解；将A、B代入解析式列方程组，解得、，化为顶点式得顶点D坐标；
(2)①本题考查抛物线上线段长度表示，联立坐标求差值；先求直线BC解析式，得P、Q坐标，用Q纵坐标减P纵坐标表示PQ；
②本题考查二次函数最值，配方法求解；将PQ表达式配方，由二次项系数小于0得顶点为最大值点，求最大值及对应P坐标；
(3)本题考查抛物线平移与整点，结合图象列不等式；写出平移后解析式，根据阴影整点为5个，列不等式组，解得t的取值范围。
（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①将代入，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
②，
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间，
∵，，，，
又∵抛物线关于直线对称
∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个，
如图，
根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上，
根据平移规律可得，抛物线的解析式为，
将代入，得，
∵点在抛物线的下方，
∴，即，
解得或（不符题意，舍去）；
将代入，得，
∵点在抛物线的上方或者在抛物线上，
∴，即，
解得，
综上所述，的取值范围为．
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