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广东省深圳市南山外国语学校（集团）2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形需存在一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合；中心对称图形需绕某点旋转后与自身重合。
A选项图形同时满足轴对称与中心对称定义；
B、C选项图形仅为轴对称图形，不满足中心对称；
D选项图形仅为中心对称图形，不满足轴对称。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时需紧扣两类图形的定义，逐一核对选项图形是否同时符合两种图形的特征，即可快速筛选出正确答案。
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．(x+1)(x-1)=x2-1 B．
C．x2+2x-1=x(x+2)-1 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：是整式乘法，将乘积化为多项式，不属于因式分解；
B：将二次三项式化为两个整式的平方乘积，符合因式分解定义；
C：等式右侧为多项式加减形式，并非整式乘积，不属于因式分解；
D：是整式乘法，不属于因式分解。
故答案为：
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是区分因式分解与整式乘法，判断变形后式子是否化为整式乘积形式，据此逐一判断选项即可。
3．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
4．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
5．如图， AB⊥BC， AD⊥DC，下列根据“HL”定理，添加一个条件可以使得Rt△ABC≌Rt△ADC成立的是(　　)
A．AB=AC B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC=AC
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
，即和均为直角三角形。
在和中，斜边（公共边），
根据“HL”定理，需添加一组直角边相等，即或。
选项中符合条件的为。
故答案为：。
【分析】本题考查直角三角形全等的“HL”判定定理，解题时先确定两个直角三角形的公共斜边，再依据“HL”需一组直角边相等的要求，匹配选项中的条件即可。
6．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何.如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形.则八边形的内角和为(　　)
A．540° B．720° C．1080° D．1200°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形内角和公式为（为边数，且为整数）。
对于八边形，边数，代入公式得：
。
故答案为：
【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，牢记公式，将八边形的边数代入计算，即可快速求出内角和。
7．如图， 三角形纸片 ABC中， ∠A=65°， ∠B=75°， 将∠C沿 DE对折，使点 C落在△ABC外的点 C' 处， 若∠1=30°， 则∠2的度数为 (　　)
A．100° B．110° C．125° D．130°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，由三角形内角和为，得：
。
由折叠性质可知，。
根据三角形外角性质，。
同理，。
故答案为：
【分析】本题考查三角形内角和、折叠性质与三角形外角性质的综合应用，先求原三角形内角，再利用折叠得，最后通过外角性质逐步推导的度数。
8．如图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出.
已知当电梯乘载的重量超过 800kg时警示音响起，且甲、乙的体重分别为 50kg，60kg.若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为 xkg，则满足题意的不等式是 (　　)
A．690【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，超重标准为重量超过800kg响警示音。
甲进入后不超重，得，解得；
甲、乙都进入后超重，得，解得。
综上，不等式为。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组在实际问题中的应用，关键是从场景中提取“甲进入不超重、乙进入后超重”两个不等关系，列不等式组求解。
9．x不大于 y的 2倍，用不等式表示为　 　.
【答案】x≤2y
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的2倍表示为，“不大于”即小于等于，因此不等式为。
故答案为：
【分析】本题考查文字语言到不等式的转化，明确“不大于”的数学含义是“”，先表示倍数关系，再连接不等号即可。
10．如图△ABC中， ∠C=90°， AM平分∠BAC， CM=4cm，AB=7cm，则△ABM的面积是　 　cm2.
【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
平分，，，
。
故答案为：
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积计算，利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到高，再代入三角形面积公式计算。
11．如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A与 B之间的距离为10cm，双翼的边缘 AC=BD=61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为　 　.
【答案】71cm
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，
。
由对称性，。
最大宽度：
故答案为：。
【分析】本题考查含角的直角三角形性质，通过作垂线构造直角三角形，利用对直角边是斜边一半求垂直距离，再结合对称和长度求总宽度。
12．大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所.如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离(即线段 MN的长度)为 400米，绿道上规划了一段 100米的便民服务带(具体位置未定)，两端分别设置饮水站和休息亭.如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是　 　米.
【答案】600
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设亲水平台为点，生态湿地为点，饮水站、休息亭分别为、，，
过作且，连接，
由题意，，，则，。
最短路程为，由勾股定理：
总路程：。
故答案为：
【分析】本题考查最短路径问题与勾股定理，通过平移将折线转化为直线，利用两点之间线段最短，构造直角三角形，代入勾股定理计算最短路径长度。
13．如图， D是等边△ABC内的一点， ∠ADC=150°， ∠ADB=90°，若△ACD的面积为 则边 AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得，作交延长线于，
，，，
为等边三角形，，。
设，则，。
由：
，由勾股定理：
，
故答案为：
【分析】本题考查旋转、等边三角形、勾股定理的综合应用，将绕点逆时针旋转得，作交延长线于，进而根据旋转的性质得到，，，再根据三角形全等的性质结合题意得到为等边三角形，，。设，则，，根据三角形的面积结合勾股定理求出BC，从而即可求解。
14．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考查提公因式法因式分解，观察多项式各项，提取各项系数和字母的最大公因式，即可完成分解；
（2）本题考查提公因式法与完全平方公式的综合因式分解，先提取公因式，再将剩余部分转化为完全平方形式，完成分解。
15．下面是某同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由①去分母，得 1-2 (2x-2) ≥5 (3-x) …第一步
去括号，得 1-4x+4≥15-5x…第二步
移项，得-4x+5x≥15-1-4…第三步
合并同类项，得 x≥10…第四步
（1）任务一：以上解题过程从第　 　步开始出现错误，这一步的正确写法应为　 　；
（2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上.
【答案】（1）一；10-2(2x-2)≥5(3-x)
（2）解：正确的解题过程如下：
解不等式①得： 10-2 (2x-2) ≥5 (3-x) ，
10-4x+4≥15-5x，
-4x+5x≥15-10-4，
x≥1，
解不等式②得： 3x<9，
x<3，
∴原不等式组的解集为：1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：以上解题过程从第一步开始出现错误，常数项1没有乘以10，正确写法应该是；
【分析】（1）本题考查一元一次不等式去分母的易错点，去分母时需给不等式两边每一项都乘最简公分母，观察第一步常数项未乘，由此定位错误步骤并修正；
（2）本题考查一元一次不等式组的完整解法，先按正确步骤解第一个不等式，再解第二个不等式，取两个解集的公共部分，最后规范在数轴上表示解集。
16．如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和点 C1均为格点(网格线的交点) .已知点 C (-3， 3) ， C1(1， 0) .
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，使得点 C的对应点为 C1，在所给的网格中画出△A1B1C1；线段 AB和A1B1的关系是 ▲ ；若△ABC内任意一点 P的坐标为(a，b)，则平移后其对应点 P1的坐标为 ▲ .
（2）以点 C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转 90°得到△A2B2C，请在所给的网格中画出△A2B2C，点A2的坐标是 ▲ .
【答案】（1）解：；
平行且相等；（a+4，b-3）；
（2）解：；
（1，2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：∵点，，将平移得到，使得点的对应点为，
∴将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到，
如图，即为所求；
根据平移可得：且；
内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；根据图可得点的坐标是．
【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中的平移变换，先通过C和坐标确定平移方向和距离，再画出平移后的三角形，依据平移性质判断线段关系，推导点的平移坐标规律；
（2）本题考查平面直角坐标系中的旋转变换，明确绕定点逆时针旋转的坐标变换规律，据此确定顶点对应点坐标，画出旋转后的三角形并写出指定点坐标。
17．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题.如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分.
排球是深圳体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球 25个，B种品牌的排球 50个，共花费 4500元，已知， A、B两种品牌排球的单价.
小明通过查看例题的解析发现：
解：设A种品牌排球的单价为 x元，B种品牌排球的单价为 y元， 则列出二元一次方程组： …
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：　 　(填序号).
①A种品牌排球的单价比 B种品牌排球的单价低 30元；
②A种品牌排球的单价比 B种品牌排球的单价高 30元.
（2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整.
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进 A、B两种品牌的排球共 50个，总费用不超过 3250元，且购买 A种品牌的排球不少于 23个，学校共有哪几种购买方案
【答案】（1）②
（2）解：
解得：
答：A种品牌排球的单价为 80元，B种品牌排球的单价为 50元
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用。
（1）根据所列方程组中的第一个方程，可以得出A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元，因此被覆盖的条件是②；
（2）解二元一次方程组，可采用代入消元法或加减消元法，将第一个方程变形为，代入第二个方程，先求出y的值，再求出x的值，即可得到两种品牌排球的单价；
（3）设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个，根据“总费用不超过3250元”和“购买A种品牌的排球不少于23个”这两个条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得到m的取值范围，再结合m为正整数，确定m的所有可能取值，进而得出所有的购买方案。
18．如图，在等边△ABC中， BD=ED， D是边 AC上的一点，点 E在边 BC的延长线上.
（1）若 ▲ ，求证： CD=CE.(请从信息“①D为 AC的中点； ②BD⊥AC”中选择一个填入横线中，将题目补充完整，并完成证明.)
（2）在(1)的条件下，用圆规和无刻度的直尺作△BDE中 BE边上的高 DM (保留作图痕迹，不写作法)，若 MC=1，求 BE的长.
【答案】（1）解：选①：
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
选②：
∵是等边三角形，，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图，即为所求的高线；
∵，
∴，
∵在等边中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作高
【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图。
（1）选择①或②均可证明。若选择①，利用等边三角形三线合一的性质，得出BD平分，得到，再由得出，然后利用三角形外角的性质求出，根据等角对等边得出；若选择②，同样利用等边三角形三线合一的性质，得出BD平分，后续证明过程与选择①相同；
（2）根据尺规作垂线的方法，作出BE边上的高DM；在中，利用含30°角的直角三角形的性质，得出，再由(1)的结论得到，进而求出，最后根据等腰三角形三线合一的性质，得出。
19．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
数学方法
换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决.换元的实质是转化，关键是构造元和设元.
例：把 因式分解.
方法一：整体换元 方法二：均值换元
解：把 ’看成一个整体，令 原式 解：把 ”看成一个整体，令 原式
任务：
（1）例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为　 　.
（2）请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式 因式分解，并说明你选择这种方法的理由.
【答案】（1）
（2）解：令
原式
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）解：把“”看成一个整体，令．
原式
．
【分析】本题考查换元法因式分解，包括整体换元法和均值换元法。
（1）例题中得到的结果还可以继续分解，因为，所以最终的因式分解结果为；
（2）若选择整体换元法，把“”看成一个整体，令，将原式转化为关于y的多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将y换回，继续利用完全平方公式分解彻底；若选择均值换元法，先求出两个多项式和的平均值为，把“”看成一个整体，令，将原式转化为关于t的多项式，利用平方差公式展开后化简，再将t换回，继续利用完全平方公式分解彻底。选择理由可从方法的难易程度、计算量等方面进行说明。
20．我们定义：如图 1，在△ABC中，把 AC绕点 C顺时针旋转 90°得到 CA'，把 BC绕点 C逆时针旋转90°得到 CB'，连接 A'B'.我们称△A'B'C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接 AB'、A'B，我们将 AB'、A'B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”.如图 1，∠B'OB 即为△ABC“旋补交差角”.
（1）当∠ACB=90°，则△ABC“旋补交差角”∠B'OB=　 　°.
（2）若图 1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变 若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由.
（3）已知图 2中△A'B'C是△ABC“旋补交差三角形”， AB的长度等于 4， A'B'中点为点 E，求出CE的长度.
【答案】（1）90
（2）解：“旋补交差角”度数不变；即；
如图，设与交于点H，
根据旋转可得：，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：延长，取点F，使，连接，如图所示：
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据旋转可得：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：根据旋转可得：，
∵，
∴，
∴、C、B三点共线，、C、A三点共线，
∴点O与点C重合，
∴；
故答案为：90
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用。
（1）当时，根据旋转的性质，，可推出、C、B三点共线，、C、A三点共线，此时点O与点C重合，因此；
（2）的“旋补交差角”度数不发生改变，始终为90°。证明时先根据旋转的性质得出，，，进而推出，利用SAS证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理，得出；
（3）延长CE到点F，使，连接，利用SAS证明，得到，，进而推出，得到，再根据旋转的性质推出，结合，，利用SAS证明，得到，最后由求出。
1 / 1广东省深圳市南山外国语学校（集团）2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．(x+1)(x-1)=x2-1 B．
C．x2+2x-1=x(x+2)-1 D．
3．若a>b，则下列结论正确的是（　　）
A．-a>-b B．2a>a+b C．1-a>1-b D．2a+1<2b+1
4．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．如图， AB⊥BC， AD⊥DC，下列根据“HL”定理，添加一个条件可以使得Rt△ABC≌Rt△ADC成立的是(　　)
A．AB=AC B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC=AC
6．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何.如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形.则八边形的内角和为(　　)
A．540° B．720° C．1080° D．1200°
7．如图， 三角形纸片 ABC中， ∠A=65°， ∠B=75°， 将∠C沿 DE对折，使点 C落在△ABC外的点 C' 处， 若∠1=30°， 则∠2的度数为 (　　)
A．100° B．110° C．125° D．130°
8．如图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出.
已知当电梯乘载的重量超过 800kg时警示音响起，且甲、乙的体重分别为 50kg，60kg.若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为 xkg，则满足题意的不等式是 (　　)
A．6909．x不大于 y的 2倍，用不等式表示为　 　.
10．如图△ABC中， ∠C=90°， AM平分∠BAC， CM=4cm，AB=7cm，则△ABM的面积是　 　cm2.
11．如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A与 B之间的距离为10cm，双翼的边缘 AC=BD=61cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为　 　.
12．大沙河生态长廊风景如画，为市民提供了休闲运动的场所.如图是其中一段直线型绿道，亲水平台、生态湿地分别坐落于绿道两侧且到绿道的垂直距离均为200米，两者在绿道上的投影点之间的距离(即线段 MN的长度)为 400米，绿道上规划了一段 100米的便民服务带(具体位置未定)，两端分别设置饮水站和休息亭.如果一位市民从亲水平台出发，到饮水站喝水，再沿服务带走到休息亭休息，最后前往生态湿地参加活动，他行走的最短路程是　 　米.
13．如图， D是等边△ABC内的一点， ∠ADC=150°， ∠ADB=90°，若△ACD的面积为 则边 AB的长为　 　.
14．因式分解：
（1）
（2）
15．下面是某同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由①去分母，得 1-2 (2x-2) ≥5 (3-x) …第一步
去括号，得 1-4x+4≥15-5x…第二步
移项，得-4x+5x≥15-1-4…第三步
合并同类项，得 x≥10…第四步
（1）任务一：以上解题过程从第　 　步开始出现错误，这一步的正确写法应为　 　；
（2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上.
16．如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和点 C1均为格点(网格线的交点) .已知点 C (-3， 3) ， C1(1， 0) .
（1）将△ABC平移得到△A1B1C1，使得点 C的对应点为 C1，在所给的网格中画出△A1B1C1；线段 AB和A1B1的关系是 ▲ ；若△ABC内任意一点 P的坐标为(a，b)，则平移后其对应点 P1的坐标为 ▲ .
（2）以点 C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转 90°得到△A2B2C，请在所给的网格中画出△A2B2C，点A2的坐标是 ▲ .
17．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题.如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分.
排球是深圳体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球 25个，B种品牌的排球 50个，共花费 4500元，已知， A、B两种品牌排球的单价.
小明通过查看例题的解析发现：
解：设A种品牌排球的单价为 x元，B种品牌排球的单价为 y元， 则列出二元一次方程组： …
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：　 　(填序号).
①A种品牌排球的单价比 B种品牌排球的单价低 30元；
②A种品牌排球的单价比 B种品牌排球的单价高 30元.
（2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整.
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进 A、B两种品牌的排球共 50个，总费用不超过 3250元，且购买 A种品牌的排球不少于 23个，学校共有哪几种购买方案
18．如图，在等边△ABC中， BD=ED， D是边 AC上的一点，点 E在边 BC的延长线上.
（1）若 ▲ ，求证： CD=CE.(请从信息“①D为 AC的中点； ②BD⊥AC”中选择一个填入横线中，将题目补充完整，并完成证明.)
（2）在(1)的条件下，用圆规和无刻度的直尺作△BDE中 BE边上的高 DM (保留作图痕迹，不写作法)，若 MC=1，求 BE的长.
19．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
数学方法
换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决.换元的实质是转化，关键是构造元和设元.
例：把 因式分解.
方法一：整体换元 方法二：均值换元
解：把 ’看成一个整体，令 原式 解：把 ”看成一个整体，令 原式
任务：
（1）例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为　 　.
（2）请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式 因式分解，并说明你选择这种方法的理由.
20．我们定义：如图 1，在△ABC中，把 AC绕点 C顺时针旋转 90°得到 CA'，把 BC绕点 C逆时针旋转90°得到 CB'，连接 A'B'.我们称△A'B'C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接 AB'、A'B，我们将 AB'、A'B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”.如图 1，∠B'OB 即为△ABC“旋补交差角”.
（1）当∠ACB=90°，则△ABC“旋补交差角”∠B'OB=　 　°.
（2）若图 1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变 若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由.
（3）已知图 2中△A'B'C是△ABC“旋补交差三角形”， AB的长度等于 4， A'B'中点为点 E，求出CE的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形需存在一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合；中心对称图形需绕某点旋转后与自身重合。
A选项图形同时满足轴对称与中心对称定义；
B、C选项图形仅为轴对称图形，不满足中心对称；
D选项图形仅为中心对称图形，不满足轴对称。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时需紧扣两类图形的定义，逐一核对选项图形是否同时符合两种图形的特征，即可快速筛选出正确答案。
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：是整式乘法，将乘积化为多项式，不属于因式分解；
B：将二次三项式化为两个整式的平方乘积，符合因式分解定义；
C：等式右侧为多项式加减形式，并非整式乘积，不属于因式分解；
D：是整式乘法，不属于因式分解。
故答案为：
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是区分因式分解与整式乘法，判断变形后式子是否化为整式乘积形式，据此逐一判断选项即可。
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴-a<-b， 2a>a+b， 1-a<1-b， 2a+1>2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，，
，即和均为直角三角形。
在和中，斜边（公共边），
根据“HL”定理，需添加一组直角边相等，即或。
选项中符合条件的为。
故答案为：。
【分析】本题考查直角三角形全等的“HL”判定定理，解题时先确定两个直角三角形的公共斜边，再依据“HL”需一组直角边相等的要求，匹配选项中的条件即可。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形内角和公式为（为边数，且为整数）。
对于八边形，边数，代入公式得：
。
故答案为：
【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，牢记公式，将八边形的边数代入计算，即可快速求出内角和。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在中，由三角形内角和为，得：
。
由折叠性质可知，。
根据三角形外角性质，。
同理，。
故答案为：
【分析】本题考查三角形内角和、折叠性质与三角形外角性质的综合应用，先求原三角形内角，再利用折叠得，最后通过外角性质逐步推导的度数。
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意，超重标准为重量超过800kg响警示音。
甲进入后不超重，得，解得；
甲、乙都进入后超重，得，解得。
综上，不等式为。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组在实际问题中的应用，关键是从场景中提取“甲进入不超重、乙进入后超重”两个不等关系，列不等式组求解。
9．【答案】x≤2y
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的2倍表示为，“不大于”即小于等于，因此不等式为。
故答案为：
【分析】本题考查文字语言到不等式的转化，明确“不大于”的数学含义是“”，先表示倍数关系，再连接不等号即可。
10．【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
平分，，，
。
故答案为：
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积计算，利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到高，再代入三角形面积公式计算。
11．【答案】71cm
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，
。
由对称性，。
最大宽度：
故答案为：。
【分析】本题考查含角的直角三角形性质，通过作垂线构造直角三角形，利用对直角边是斜边一半求垂直距离，再结合对称和长度求总宽度。
12．【答案】600
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设亲水平台为点，生态湿地为点，饮水站、休息亭分别为、，，
过作且，连接，
由题意，，，则，。
最短路程为，由勾股定理：
总路程：。
故答案为：
【分析】本题考查最短路径问题与勾股定理，通过平移将折线转化为直线，利用两点之间线段最短，构造直角三角形，代入勾股定理计算最短路径长度。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得，作交延长线于，
，，，
为等边三角形，，。
设，则，。
由：
，由勾股定理：
，
故答案为：
【分析】本题考查旋转、等边三角形、勾股定理的综合应用，将绕点逆时针旋转得，作交延长线于，进而根据旋转的性质得到，，，再根据三角形全等的性质结合题意得到为等边三角形，，。设，则，，根据三角形的面积结合勾股定理求出BC，从而即可求解。
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考查提公因式法因式分解，观察多项式各项，提取各项系数和字母的最大公因式，即可完成分解；
（2）本题考查提公因式法与完全平方公式的综合因式分解，先提取公因式，再将剩余部分转化为完全平方形式，完成分解。
15．【答案】（1）一；10-2(2x-2)≥5(3-x)
（2）解：正确的解题过程如下：
解不等式①得： 10-2 (2x-2) ≥5 (3-x) ，
10-4x+4≥15-5x，
-4x+5x≥15-10-4，
x≥1，
解不等式②得： 3x<9，
x<3，
∴原不等式组的解集为：1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：以上解题过程从第一步开始出现错误，常数项1没有乘以10，正确写法应该是；
【分析】（1）本题考查一元一次不等式去分母的易错点，去分母时需给不等式两边每一项都乘最简公分母，观察第一步常数项未乘，由此定位错误步骤并修正；
（2）本题考查一元一次不等式组的完整解法，先按正确步骤解第一个不等式，再解第二个不等式，取两个解集的公共部分，最后规范在数轴上表示解集。
16．【答案】（1）解：；
平行且相等；（a+4，b-3）；
（2）解：；
（1，2）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：∵点，，将平移得到，使得点的对应点为，
∴将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到，
如图，即为所求；
根据平移可得：且；
内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；根据图可得点的坐标是．
【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中的平移变换，先通过C和坐标确定平移方向和距离，再画出平移后的三角形，依据平移性质判断线段关系，推导点的平移坐标规律；
（2）本题考查平面直角坐标系中的旋转变换，明确绕定点逆时针旋转的坐标变换规律，据此确定顶点对应点坐标，画出旋转后的三角形并写出指定点坐标。
17．【答案】（1）②
（2）解：
解得：
答：A种品牌排球的单价为 80元，B种品牌排球的单价为 50元
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用。
（1）根据所列方程组中的第一个方程，可以得出A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元，因此被覆盖的条件是②；
（2）解二元一次方程组，可采用代入消元法或加减消元法，将第一个方程变形为，代入第二个方程，先求出y的值，再求出x的值，即可得到两种品牌排球的单价；
（3）设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个，根据“总费用不超过3250元”和“购买A种品牌的排球不少于23个”这两个条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得到m的取值范围，再结合m为正整数，确定m的所有可能取值，进而得出所有的购买方案。
18．【答案】（1）解：选①：
∵是等边三角形，且D为的中点，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
选②：
∵是等边三角形，，
∴平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图，即为所求的高线；
∵，
∴，
∵在等边中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作高
【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图。
（1）选择①或②均可证明。若选择①，利用等边三角形三线合一的性质，得出BD平分，得到，再由得出，然后利用三角形外角的性质求出，根据等角对等边得出；若选择②，同样利用等边三角形三线合一的性质，得出BD平分，后续证明过程与选择①相同；
（2）根据尺规作垂线的方法，作出BE边上的高DM；在中，利用含30°角的直角三角形的性质，得出，再由(1)的结论得到，进而求出，最后根据等腰三角形三线合一的性质，得出。
19．【答案】（1）
（2）解：令
原式
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）解：把“”看成一个整体，令．
原式
．
【分析】本题考查换元法因式分解，包括整体换元法和均值换元法。
（1）例题中得到的结果还可以继续分解，因为，所以最终的因式分解结果为；
（2）若选择整体换元法，把“”看成一个整体，令，将原式转化为关于y的多项式，展开后利用完全平方公式分解，再将y换回，继续利用完全平方公式分解彻底；若选择均值换元法，先求出两个多项式和的平均值为，把“”看成一个整体，令，将原式转化为关于t的多项式，利用平方差公式展开后化简，再将t换回，继续利用完全平方公式分解彻底。选择理由可从方法的难易程度、计算量等方面进行说明。
20．【答案】（1）90
（2）解：“旋补交差角”度数不变；即；
如图，设与交于点H，
根据旋转可得：，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（3）解：延长，取点F，使，连接，如图所示：
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据旋转可得：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：根据旋转可得：，
∵，
∴，
∴、C、B三点共线，、C、A三点共线，
∴点O与点C重合，
∴；
故答案为：90
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用。
（1）当时，根据旋转的性质，，可推出、C、B三点共线，、C、A三点共线，此时点O与点C重合，因此；
（2）的“旋补交差角”度数不发生改变，始终为90°。证明时先根据旋转的性质得出，，，进而推出，利用SAS证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理，得出；
（3）延长CE到点F，使，连接，利用SAS证明，得到，，进而推出，得到，再根据旋转的性质推出，结合，，利用SAS证明，得到，最后由求出。
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