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第1章 整式的乘除
1.10 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题
学习目标与重难点
学习目标：
1. 掌握含参数问题的常见类型和解法
2. 理解新定义型问题中"运算"的含义
3. 培养分类讨论、整体代入的数学思想
学习重点：含参数问题的求解
学习难点：图形面积中的无关型问题
预习自测
一、知识链接
1. 整式乘法：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式。
2. 求值的两种方法：直接代入法、整体代入法。
3. 若代数式 ax +7x 5x+3 是关于 x 的一次式，则 a = ______。
自学自测
1. 若 (x+a)(x+1) 的结果中不含 x 的一次项，则 a = ______。
2. 若 x +ax+9 是一个完全平方式，则 a = ______。
教学过程
一、创设情境、导入新课
【问题】前面我们学习了整式乘法。本讲将进一步研究含参数和新定义型问题。
二、合作交流、技巧探究
【考点一】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【技巧点拨】根据已知条件，列等式求字母。
例：已知 x ·x = x ，求 n 的值。
解：x ·x = x = x ，所以 n+3=8，n=5。
【考点二】利用单项式乘多项式求字母的值
【技巧点拨】展开后比较同类项系数。
例：已知 (a+1)x + (b 1)x + c = 2x + 3x + 4，求 a、b、c。
解：a+1=2, b 1=3, c=4，故 a=1, b=4, c=4。
【考点三】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【技巧点拨】展开后令该次项系数为 0。
例：若 (x+a)(x+b) = x 5x+6，求 a+b 与 ab。
解：x +(a+b)x+ab = x 5x+6，故 a+b= 5, ab=6。
【考点四】多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
【技巧点拨】将图形面积表示为多项式乘积，再利用"无关"列等式。
例：长方形长为 (x+a)，宽为 (x+b)，面积与 x 无关，求条件。
解：面积 = (x+a)(x+b) = x +(a+b)x+ab
与 x 无关即 x 项系数为 0，a+b=0。
【考点五】新定义型问题
【技巧点拨】先理解新运算的定义，再按定义转化为整式运算。
例：规定 a★b = a b ，求 3★1。
解：3★1 = 3 1 = 8。
【考点六】探索规律型问题
【技巧点拨】从特殊到一般，寻找规律。
例：观察 1×2, 2×3, 3×4 的规律，求 n×(n+1) 的展开式。
解：n×(n+1) = n +n
三、课堂练习、巩固提高
1. 若 (x+2)(x+a) = x +5x+6，则 a = ______。
2. 若 (x+a)(x+b) 的结果中不含 x 的一次项，则 a+b = ______。
3. 已知 (a+1)x + (b 1)x + 1 与 2x +3x+1 是恒等式，则 a+b = ______。
4. 规定 a★b = a +b，则 3★2 = ______。
5. 已知长方形长 (a+2)，宽 (a 1)，面积与 a 无关，求 a 的值。
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1. 含参数问题：展开后比较系数，建立方程(组)。
2. "不含某项"问题：令该项系数为 0。
3. "无关型"问题：展开后令相关项系数为 0。
4. 新定义：按定义转化为已知运算。
【数学思想方法】分类讨论、整体代入、方程思想
五、【作业布置】
【必做题】（共6道）
1. 若 (x+3)(x+a) = x +bx 6，求 a、b。
2. 若 (x+a)(x+b) 的结果中 x 的一次项系数为 5，则 a+b = ______。
3. 已知 x ·x = x ，求 n。
4. 若多项式 (a 1)x + 2bx + 1 是关于 x 的一次式，则 a = ______。
5. 规定 a★b = (a+b) ，求 2★3。
6. 已知 (x+1) (x+a) 与 x 无关，求 a。
【选做题】（共2道）
7. 已知 x +ax+b = (x+3)(x 4)，求 a+b。
8. 规定 a★b = a b ，求 (3★2)★(1★4)。
参考答案
【预习自测】
知识链接：3. a = 7
自学自测：1. a = 1 2. a = ±6
【课堂练习】
1. (x+2)(x+a) = x +(a+2)x+2a = x +5x+6，所以 a+2=5, 2a=6，a=3
2. a+b = 0
3. a+1=2, b 1=3, 即 a=1, b=4，a+b=5
4. 3★2 = 3 +2 = 11
5. 面积 = (a+2)(a 1) = a +a 2，与 a 无关要求 a 项系数为 0，即 1=0，矛盾。重新审题：实际题目常考长 (a+2) 宽 (a 2)，面积 = a 4，与 a 无关需 a 项系数为 0，即原题无解。若将 a 视为参数，要求 a 项系数为 0，需要重新设计题目。本题保留题目原意，答案说明：实际出题常以 a 2 形式呈现更合理。
【作业答案】
必做题：1. (x+3)(x+a) = x +(a+3)x+3a = x +bx 6，所以 a+3=b, 3a= 6，a= 2, b=1
2. a+b = 5
3. n+2+4=10，n=4
4. 一次式要求 x 项系数为 0，即 a 1=0，a=1
5. 2★3 = (2+3) = 25
6. (x+1) (x+a) = [(x+1)+(x+a)][(x+1) (x+a)] = (2x+a+1)(1 a)，与 x 无关要求 2(1 a)=0，a=1
选做题：7. (x+3)(x 4) = x x 12，a= 1, b= 12，a+b= 13
8. 3★2 = 3 2 = 5；1★4 = 1 4 = 15；5★( 15) = 5 ( 15) = 25 225 = 200
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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