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2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线交于点O，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
4．某校八年级大课间设置了四项体育活动：篮球投篮、排球垫球、1分钟跳绳、25米往返跑．将四个项目的名称分别写在四张完全相同不透明的卡片正面上，通过抽取卡片的方式确定各班参加的活动项目．现把四张卡片背面朝上，洗匀后，一班从中随机抽取一张后放回并洗匀，二班再随机抽取一张，则一班和二班恰好抽到同一项体育活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
6．在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：
①当矩形为正方形时，；
②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；
③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．分解因式： 　 　．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
11．方程的解为　 　．
12．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为　 　．
13．某校为调查学生对传统节日文化的了解情况，随机抽取150名学生针对春节、清明、端午、中秋四大传统节日的习俗、文化内涵等知识进行测评，测评结果按测评成绩分为4个等级，数据整理如下：
等级 待提升 合格 良好 优秀
测评成绩M（单位：分）
学生人数 15 45 66 24
根据以上信息，估计该校1500名学生中，达到良好及以上等级的人数是　 　．
14．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为　 　．
15．如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为　 　．
16．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表：
运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁
1 50 36 23 24
2 74 67 42 46
3 96 91 60 71
（1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给　 　运维站，才能使单日总增效利润最大；
（2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为　 　元．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
22．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元．
（1）此次参加活动的教师与学生各有多少人？
（2）若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元．
23．为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，；
b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值：_______，_____；
（2）社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）；
（3）相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表：
甲组叶绿素含量
乙组叶绿素含量
若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
24．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F．
（1）求证：；
（2），，求的长．
25．旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时．
小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下：
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 …
2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 …
4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 …
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象．
（1）在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象；
（2）至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____；
（3）该旋转木马座位总数为________个；
（4）从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等；
（5）当秒时，的值为_____．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
27．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接．
（1）连接，求的度数（用含的式子表示）；
（2）用等式表示与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”．
（1）如图，当点，时，
①画出点的“对应点”点；
②若点是点“的对应点”，则的坐标是______；
（2）当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____；
（3）当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，轴对称图形需沿某条直线对折后完全重合，中心对称图形需绕某点旋转180°后与原图重合，据此逐一判断选项图形的对称性即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴，；
综上，只有选项D正确．
故答案为：D
【分析】本题考查数轴上实数的大小关系及绝对值、有理数运算符号的判断，先从数轴读取、的取值范围，再据此分析各选项：由范围可知、、，且到原点距离小于2，故，从而确定正确选项。
3．【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵直线交于点O，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查垂直的性质与平角的定义， 可得，直线构成平角，因此，代入角度数值即可计算出结果。
4．【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：记四个体育活动分别为，，，，
∵一班抽取后放回洗匀，二班再抽取，
∴一班有种等可能的抽取结果，二班也有种等可能的抽取结果，
所有等可能结果总数为 种，
其中一班和二班抽到同一项活动的结果，共种，
∴概率．
故答案为：A
【分析】本题考查放回型随机事件的概率计算概率，根据题意得到一班、二班各有4种抽取结果，总结果数为种，而抽到同一项目的结果有4种，代入公式即可求出概率。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，解得，满足的条件，
∴的值为1.
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程需满足二次项系数，方程有两个相等实数根时判别式，列出不等式组，解方程组即可求出的值。
6．【答案】B
【知识点】科学记数法表示数的除法
【解析】【解答】解：140万亿亿亿，1000亿亿
由题意得．
【分析】根据，将数值代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意，，
∵轴，
∴关于轴对称，
∴，
∴，
当时，即时，矩形为正方形，
解得（舍去）或；故①正确；
连接，则，
观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部，
故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确；
连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，，
∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数性质、矩形与正方形判定、图形面积比较，先确定各点坐标：、、，①正方形需邻边相等，即，列方程求解；②连接OB，面积为，曲线图形在三角形内部，面积更小；③利用抛物线对称性，，结合曲线面积对称关系，推导得，据此判断三个结论均正确。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】原式提取公因式2，然后再运用平方差公式进行二次分解即可．
10．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若在实数范围内有意义，
则有，解得，
则实数x的取值范围是．
故答案为：
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数需为非负数，因此列不等式，解一元一次不等式即可得到x的取值范围。
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得，
移项得，
合并同类项得，
检验：当时，．
因此是原分式方程的解．
故答案为：
【分析】本题考查分式方程的求解，核心是去分母转化为整式方程，两边同乘最简公分母，得到整式方程，解整式方程后，需代入最简公分母检验，确保分母不为0，从而确定分式方程的解。
12．【答案】0
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点都在函数的图象上，
∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，，
整理得 ，，
∴，即 ，
∴．
故答案为：0
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，将A、B两点坐标代入解析式，得、，联立得，化简为，代入计算的值即可。
13．【答案】900
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：从数据中可知，良好等级的人数为66人，优秀等级的人数为24人，
所以达到良好及以上等级的人数为人，
达到良好及以上等级的学生所占比例为，
估计全校1500名学生中，达到良好及以上等级的学生人数为人．
故答案为：900
【分析】本题考查用样本估计总体，先计算样本中良好及以上人数占比，良好与优秀人数之和为90人，占抽取150人的比例为，再用全校总人数1500乘以该比例，即可估算出全校对应人数。
14．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
已知是的直径，且，
可得，
因为，，
所以．
因为弦于点，
根据勾股定理可得，
因为弦于点，
所以．
故答案为：6
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，连接OC，直径AB=10得半径OC=5，由AE=1算出OE=4，在中用勾股定理求CE，再由垂径定理CD=2CE，计算出弦长CD。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作的垂线，垂足为G，如下图：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：
【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，过A作于G，由正方形对边平行得，结合直角相等证，用相似三角形面积比等于相似比平方求，再由、得，故，代入数值计算结果。
16．【答案】乙；189
【知识点】推理与论证；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润：
若追加给甲：总利润为；
若追加给乙：总利润为；
若追加给丙：总利润为；
若追加给丁：总利润为；
因为，因此应优先追加投放给乙；
（2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况：
①投放甲台，乙台，总利润；
②投放甲台，乙台，丁台，总利润；
③投放甲台，乙台，丁台，总利润；
④投放甲台，乙台，丁台，总利润；
⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润；
故最大总利润为元.
【分析】（1）本题考查利润优化的方案比较，先给每个站分1台，剩余2台给同一站，形成1个站3台、其余各1台的分配，分别计算四种分配方案的总利润，对比数值确定利润最大的投放站；
（2）本题考查多方案利润最大化，优先向高利润站分配，枚举甲、乙、丙、丁不同台数组合（每站≤3台、总数6台），计算各组合总利润，筛选出最大值即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值，分别化简各项：绝对值、零指数幂、二次根式、三角函数，再合并同类二次根式计算最终结果。
18．【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，分别解两个一元一次不等式：不等式①化简得，不等式②化简得，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
19．【答案】解：已知，移项可得，
，
将代入可得．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题考查代数式化简求值，先化简代数式：分子展开合并为，分母因式分解为，约分后得；再由已知条件得，代入化简后的式子计算结果。
20．【答案】（1）证明：∵点E，F分别为的中点，∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）得四边形为菱形，∴，
∵，点E为的中点，
∴，
即，
在中，．
【知识点】最简二次根式；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定，先由三角形中位线定理得、，结合、，证四边形EFCD是平行四边形；再由得，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）本题考查菱形性质与直角三角形性质，菱形得，直角三角形ADC中，E是AC中点，斜边中线，故，再用勾股定理计算长度。
（1）证明：∵点E，F分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）得四边形为菱形，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
即，
在中，．
21．【答案】（1）解：把代入，
可得：，
解得：；
把代入，
可得：，
解得：；
（2）
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知，，
函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，
，
，
当时，若，
可得：，
解得：，
．
【分析】（1）本题考查一次函数解析式的求解，交点坐标满足两个函数解析式，将分别代入两个一次函数，列一元一次方程，解出k、b的值；
（2）本题考查一次函数的大小比较，由（1）得三个函数解析式，恒成立得；再结合时，代入得临界值，故n的范围为。
（1）解：把代入，
可得：，
解得：；
把代入，
可得：，
解得：；
（2）解：由（1）可知，，
函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，
，
，
当时，若，
可得：，
解得：，
．
22．【答案】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人，根据题意，得，
解得，
∴，
答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人；
（2）320
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元），
全部按门票原价八折购票需要（元），
∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）．
【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用，设教师人数为x，学生人数为，原价与八折的单价差为元，根据总差价列方程，解方程得教师人数，再求学生人数；
（2）本题考查购票方案优化，总人数81人，双人票88元更划算，81人可买40张双人票+1张八折单人票，计算该方案费用与全八折费用的差值，即为节省金额。
（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人；
（2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元），
全部按门票原价八折购票需要（元），
∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）．
23．【答案】（1），
（2）
（3）甲
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数．
（2）解：．
（3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差，
因为，
所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
【分析】（1）本题考查中位数与众数的定义，15个数据的中位数是第8个数据，即1.60；众数是出现次数最多的数据，1.64出现2次，次数最多，故众数为1.64；
（2）本题考查平均数的计算，去掉最小值1.21和最大值1.91后，剩余13个数据的和为，计算平均数并与1.58比较大小；
（3）本题考查方差的意义，方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，分别计算甲、乙两组数据方差，比较大小，方差小的组稳定性更好。
（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数．
（2）解：．
（3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差，
因为，
所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
24．【答案】（1）证明：是的切线，为直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，则，
，
，
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得（负值舍去），
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）本题考查切线性质、平行线判定与等腰三角形性质，AE是切线得，结合证，得；再由得，等量代换得证；
（2）本题考查相似三角形与勾股定理，由证，得，设、；作，得矩形ABGE，用勾股定理求x，再算BE长度，结合比例求BF。
（1）证明：是的切线，为直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，则，
，
，
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得（负值舍去），
．
在中，，
，
．
25．【答案】（1）解：与t之间关系的函数图象如图：
（2）30
（3）6
（4）12.5
（5）
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；轴对称的性质；通过函数图象获取信息；圆周角的概念
【解析】【解答】（2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，
∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置；
（3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转，
由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点，
∴A点转动过的角度为，
即每相邻的两个座位之间的角度为，
∴旋转木马座位总数为个；
（4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图，
∵，
∴，
即当点C到A，B的距离相等时，点A转过，
∴秒，
∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等；
（5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图，
根据表格可知，当时，有最大值为，
此时点A位于点D的位置，则有，
记圆的半径为r，则有，解得，
在中，，，
∴，
∴当秒时，的值为．
【分析】（1）本题考查函数图象的绘制，根据表格中与t的对应数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接各点即可；
（2）本题考查周期的判定，A回到初始位置对应回到初始值，由表格数据得周期为30秒，故m=30；
（3）本题考查圆周角与座位数计算，30秒转360°，每秒转12°，A到B需5秒，对应圆心角60°，座位数为；
（4）本题考查对称性质应用，C到A、B距离相等时，A转过150°，时间为秒；
（5）本题考查勾股定理应用，t=7.5秒时A转90°，先求圆半径r=3、OC=5，在Rt△AOC中，用勾股定理算。
（1）解：与t之间关系的函数图象如图：
（2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，
∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置；
（3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转，
由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点，
∴A点转动过的角度为，
即每相邻的两个座位之间的角度为，
∴旋转木马座位总数为个；
（4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图，
∵，
∴，
即当点C到A，B的距离相等时，点A转过，
∴秒，
∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等；
（5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图，
根据表格可知，当时，有最大值为，
此时点A位于点D的位置，则有，
记圆的半径为r，则有，解得，
在中，，，
∴，
∴当秒时，的值为．
26．【答案】（1）解：抛物线经过点，
，且抛物线的对称轴为直线，
；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线为，
过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，
又，
点M的坐标为，点N的坐标为，
；
②抛物线为，直线为， M，N不重合，
当M在N的上方时，
，
，
的长在直线左侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得，
故无解；
当M在N的下方时，
，
，
的长在直线右侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得或，
综上或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）本题考查抛物线对称轴与解析式参数求解，对称轴公式为，代入系数得对称轴；将A点坐标代入抛物线解析式，解方程得；
（2）①本题考查抛物线上点与直线上点的距离计算，代入m=1、t=2，确定抛物线与直线解析式，求M、N坐标，两点纵坐标差即为MN长度；
②本题考查二次函数增减性，分M在N上方、下方两种情况表示MN，结合二次函数增减性，列不等式且，解不等式得m的范围。
（1）解：抛物线经过点，
，且抛物线的对称轴为直线，
；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线为，
过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，
又，
点M的坐标为，点N的坐标为，
；
②抛物线为，直线为， M，N不重合，
当M在N的上方时，
，
，
的长在直线左侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得，
故无解；
当M在N的下方时，
，
，
的长在直线右侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得或，
综上或．
27．【答案】（1）解：连接，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：作于点，作于点，则，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在上截取，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查旋转性质与角的和差，旋转得是等腰直角三角形，；由得，代入，得；
（2）本题考查全等三角形、等腰三角形与中位线定理，作、，证，得；截取，由中位线定理得，再证，故。
（1）解：连接，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
作于点，作于点，则，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在上截取，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴，
∴，即．
28．【答案】（1）解：①如图所示，
∵，
∴，
∴，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到
②
（2）；；
（3）或
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）②依题意，点是点的“对应点”，
∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位
设，
∴，解得：
∴
（2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，
将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，
∴点在以为圆心半径为1的圆上
∴
∴线段的最小值是；最大值为；
（3）解：点，时，是以线段为半径的上一点，
∴
∵点是点的“对应点”，
∴
如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动，
依题意，点是沿方向平移得到的，则
若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交，
当两圆相切时，
∴
∵，
∴，
∴
解得：或
当点在的左侧时，
如图，当点在的右侧时，
综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或
【分析】（1）①本题考查新定义平移作图，根据定义计算平移方向与距离，O向左移4、向上移2得P(-4，2)，在坐标系描点即可；
②本题考查新定义坐标计算，设，由平移得方程组，解方程组得坐标；
（2）本题考查圆外一点到圆的最值，P点轨迹是以为圆心、1为半径的圆，计算，OP最小值为、最大值为；
（3）本题考查圆与圆的位置关系，P点轨迹是以为圆心、为半径的圆，两圆有交点时相切或相交，列方程，解得t的范围为或。
（1）解：①如图所示，
∵，
∴，
∴，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到
②依题意，点是点的“对应点”，
∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位
设，
∴，解得：
∴
（2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，
将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，
∴点在以为圆心半径为1的圆上
∴
∴线段的最小值是；最大值为；
（3）解：点，时，是以线段为半径的上一点，
∴
∵点是点的“对应点”，
∴
如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动，
依题意，点是沿方向平移得到的，则
若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交，
当两圆相切时，
∴
∵，
∴，
∴
解得：或
当点在的左侧时，
如图，当点在的右侧时，
综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或．
1 / 12026年北京市大兴区中考一模考试数学试题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，轴对称图形需沿某条直线对折后完全重合，中心对称图形需绕某点旋转180°后与原图重合，据此逐一判断选项图形的对称性即可得出答案。
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴，；
综上，只有选项D正确．
故答案为：D
【分析】本题考查数轴上实数的大小关系及绝对值、有理数运算符号的判断，先从数轴读取、的取值范围，再据此分析各选项：由范围可知、、，且到原点距离小于2，故，从而确定正确选项。
3．如图，直线交于点O，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵直线交于点O，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】本题考查垂直的性质与平角的定义， 可得，直线构成平角，因此，代入角度数值即可计算出结果。
4．某校八年级大课间设置了四项体育活动：篮球投篮、排球垫球、1分钟跳绳、25米往返跑．将四个项目的名称分别写在四张完全相同不透明的卡片正面上，通过抽取卡片的方式确定各班参加的活动项目．现把四张卡片背面朝上，洗匀后，一班从中随机抽取一张后放回并洗匀，二班再随机抽取一张，则一班和二班恰好抽到同一项体育活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：记四个体育活动分别为，，，，
∵一班抽取后放回洗匀，二班再抽取，
∴一班有种等可能的抽取结果，二班也有种等可能的抽取结果，
所有等可能结果总数为 种，
其中一班和二班抽到同一项活动的结果，共种，
∴概率．
故答案为：A
【分析】本题考查放回型随机事件的概率计算概率，根据题意得到一班、二班各有4种抽取结果，总结果数为种，而抽到同一项目的结果有4种，代入公式即可求出概率。
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理得，解得，满足的条件，
∴的值为1.
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程需满足二次项系数，方程有两个相等实数根时判别式，列出不等式组，解方程组即可求出的值。
6．在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示数的除法
【解析】【解答】解：140万亿亿亿，1000亿亿
由题意得．
【分析】根据，将数值代入计算即可.
7．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：
①当矩形为正方形时，；
②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；
③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意，，
∵轴，
∴关于轴对称，
∴，
∴，
当时，即时，矩形为正方形，
解得（舍去）或；故①正确；
连接，则，
观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部，
故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确；
连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，，
∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数性质、矩形与正方形判定、图形面积比较，先确定各点坐标：、、，①正方形需邻边相等，即，列方程求解；②连接OB，面积为，曲线图形在三角形内部，面积更小；③利用抛物线对称性，，结合曲线面积对称关系，推导得，据此判断三个结论均正确。
9．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为： ．
【分析】原式提取公因式2，然后再运用平方差公式进行二次分解即可．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若在实数范围内有意义，
则有，解得，
则实数x的取值范围是．
故答案为：
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数需为非负数，因此列不等式，解一元一次不等式即可得到x的取值范围。
11．方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得，
移项得，
合并同类项得，
检验：当时，．
因此是原分式方程的解．
故答案为：
【分析】本题考查分式方程的求解，核心是去分母转化为整式方程，两边同乘最简公分母，得到整式方程，解整式方程后，需代入最简公分母检验，确保分母不为0，从而确定分式方程的解。
12．在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点和点都在函数的图象上，
∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，，
整理得 ，，
∴，即 ，
∴．
故答案为：0
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，将A、B两点坐标代入解析式，得、，联立得，化简为，代入计算的值即可。
13．某校为调查学生对传统节日文化的了解情况，随机抽取150名学生针对春节、清明、端午、中秋四大传统节日的习俗、文化内涵等知识进行测评，测评结果按测评成绩分为4个等级，数据整理如下：
等级 待提升 合格 良好 优秀
测评成绩M（单位：分）
学生人数 15 45 66 24
根据以上信息，估计该校1500名学生中，达到良好及以上等级的人数是　 　．
【答案】900
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：从数据中可知，良好等级的人数为66人，优秀等级的人数为24人，
所以达到良好及以上等级的人数为人，
达到良好及以上等级的学生所占比例为，
估计全校1500名学生中，达到良好及以上等级的学生人数为人．
故答案为：900
【分析】本题考查用样本估计总体，先计算样本中良好及以上人数占比，良好与优秀人数之和为90人，占抽取150人的比例为，再用全校总人数1500乘以该比例，即可估算出全校对应人数。
14．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
已知是的直径，且，
可得，
因为，，
所以．
因为弦于点，
根据勾股定理可得，
因为弦于点，
所以．
故答案为：6
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的应用，连接OC，直径AB=10得半径OC=5，由AE=1算出OE=4，在中用勾股定理求CE，再由垂径定理CD=2CE，计算出弦长CD。
15．如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作的垂线，垂足为G，如下图：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：
【分析】本题考查正方形性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，过A作于G，由正方形对边平行得，结合直角相等证，用相似三角形面积比等于相似比平方求，再由、得，故，代入数值计算结果。
16．某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表：
运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁
1 50 36 23 24
2 74 67 42 46
3 96 91 60 71
（1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给　 　运维站，才能使单日总增效利润最大；
（2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为　 　元．
【答案】乙；189
【知识点】推理与论证；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润：
若追加给甲：总利润为；
若追加给乙：总利润为；
若追加给丙：总利润为；
若追加给丁：总利润为；
因为，因此应优先追加投放给乙；
（2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况：
①投放甲台，乙台，总利润；
②投放甲台，乙台，丁台，总利润；
③投放甲台，乙台，丁台，总利润；
④投放甲台，乙台，丁台，总利润；
⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润；
故最大总利润为元.
【分析】（1）本题考查利润优化的方案比较，先给每个站分1台，剩余2台给同一站，形成1个站3台、其余各1台的分配，分别计算四种分配方案的总利润，对比数值确定利润最大的投放站；
（2）本题考查多方案利润最大化，优先向高利润站分配，枚举甲、乙、丙、丁不同台数组合（每站≤3台、总数6台），计算各组合总利润，筛选出最大值即可。
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值，分别化简各项：绝对值、零指数幂、二次根式、三角函数，再合并同类二次根式计算最终结果。
18．解不等式组：．
【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，分别解两个一元一次不等式：不等式①化简得，不等式②化简得，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
19．已知，求代数式的值．
【答案】解：已知，移项可得，
，
将代入可得．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题考查代数式化简求值，先化简代数式：分子展开合并为，分母因式分解为，约分后得；再由已知条件得，代入化简后的式子计算结果。
20．如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点E，F分别为的中点，∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）得四边形为菱形，∴，
∵，点E为的中点，
∴，
即，
在中，．
【知识点】最简二次根式；勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查菱形的判定，先由三角形中位线定理得、，结合、，证四边形EFCD是平行四边形；再由得，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）本题考查菱形性质与直角三角形性质，菱形得，直角三角形ADC中，E是AC中点，斜边中线，故，再用勾股定理计算长度。
（1）证明：∵点E，F分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）得四边形为菱形，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
即，
在中，．
21．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
解得：；
把代入，
可得：，
解得：；
（2）
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】（2）解：由（1）可知，，
函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，
，
，
当时，若，
可得：，
解得：，
．
【分析】（1）本题考查一次函数解析式的求解，交点坐标满足两个函数解析式，将分别代入两个一次函数，列一元一次方程，解出k、b的值；
（2）本题考查一次函数的大小比较，由（1）得三个函数解析式，恒成立得；再结合时，代入得临界值，故n的范围为。
（1）解：把代入，
可得：，
解得：；
把代入，
可得：，
解得：；
（2）解：由（1）可知，，
函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，
，
，
当时，若，
可得：，
解得：，
．
22．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元．
（1）此次参加活动的教师与学生各有多少人？
（2）若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元．
【答案】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人，根据题意，得，
解得，
∴，
答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人；
（2）320
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元），
全部按门票原价八折购票需要（元），
∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）．
【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用，设教师人数为x，学生人数为，原价与八折的单价差为元，根据总差价列方程，解方程得教师人数，再求学生人数；
（2）本题考查购票方案优化，总人数81人，双人票88元更划算，81人可买40张双人票+1张八折单人票，计算该方案费用与全八折费用的差值，即为节省金额。
（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人；
（2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元），
全部按门票原价八折购票需要（元），
∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）．
23．为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，；
b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值：_______，_____；
（2）社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）；
（3）相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表：
甲组叶绿素含量
乙组叶绿素含量
若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
【答案】（1），
（2）
（3）甲
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数．
（2）解：．
（3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差，
因为，
所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
【分析】（1）本题考查中位数与众数的定义，15个数据的中位数是第8个数据，即1.60；众数是出现次数最多的数据，1.64出现2次，次数最多，故众数为1.64；
（2）本题考查平均数的计算，去掉最小值1.21和最大值1.91后，剩余13个数据的和为，计算平均数并与1.58比较大小；
（3）本题考查方差的意义，方差反映数据波动程度，方差越小数据越稳定，分别计算甲、乙两组数据方差，比较大小，方差小的组稳定性更好。
（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数．
（2）解：．
（3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差，
因为，
所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好．
24．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F．
（1）求证：；
（2），，求的长．
【答案】（1）证明：是的切线，为直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，则，
，
，
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得（负值舍去），
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）本题考查切线性质、平行线判定与等腰三角形性质，AE是切线得，结合证，得；再由得，等量代换得证；
（2）本题考查相似三角形与勾股定理，由证，得，设、；作，得矩形ABGE，用勾股定理求x，再算BE长度，结合比例求BF。
（1）证明：是的切线，为直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，则，
，
，
过点作于点，如图，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，解得（负值舍去），
．
在中，，
，
．
25．旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时．
小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下：
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 …
2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 …
4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 …
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象．
（1）在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象；
（2）至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____；
（3）该旋转木马座位总数为________个；
（4）从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等；
（5）当秒时，的值为_____．
【答案】（1）解：与t之间关系的函数图象如图：
（2）30
（3）6
（4）12.5
（5）
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；轴对称的性质；通过函数图象获取信息；圆周角的概念
【解析】【解答】（2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，
∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置；
（3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转，
由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点，
∴A点转动过的角度为，
即每相邻的两个座位之间的角度为，
∴旋转木马座位总数为个；
（4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图，
∵，
∴，
即当点C到A，B的距离相等时，点A转过，
∴秒，
∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等；
（5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图，
根据表格可知，当时，有最大值为，
此时点A位于点D的位置，则有，
记圆的半径为r，则有，解得，
在中，，，
∴，
∴当秒时，的值为．
【分析】（1）本题考查函数图象的绘制，根据表格中与t的对应数据，在坐标系中描点，再用平滑曲线连接各点即可；
（2）本题考查周期的判定，A回到初始位置对应回到初始值，由表格数据得周期为30秒，故m=30；
（3）本题考查圆周角与座位数计算，30秒转360°，每秒转12°，A到B需5秒，对应圆心角60°，座位数为；
（4）本题考查对称性质应用，C到A、B距离相等时，A转过150°，时间为秒；
（5）本题考查勾股定理应用，t=7.5秒时A转90°，先求圆半径r=3、OC=5，在Rt△AOC中，用勾股定理算。
（1）解：与t之间关系的函数图象如图：
（2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，
∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置；
（3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转，
由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点，
∴A点转动过的角度为，
即每相邻的两个座位之间的角度为，
∴旋转木马座位总数为个；
（4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图，
∵，
∴，
即当点C到A，B的距离相等时，点A转过，
∴秒，
∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等；
（5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图，
根据表格可知，当时，有最大值为，
此时点A位于点D的位置，则有，
记圆的半径为r，则有，解得，
在中，，，
∴，
∴当秒时，的值为．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）；
（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线经过点，
，且抛物线的对称轴为直线，
；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线为，
过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，
又，
点M的坐标为，点N的坐标为，
；
②抛物线为，直线为， M，N不重合，
当M在N的上方时，
，
，
的长在直线左侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得，
故无解；
当M在N的下方时，
，
，
的长在直线右侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得或，
综上或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）本题考查抛物线对称轴与解析式参数求解，对称轴公式为，代入系数得对称轴；将A点坐标代入抛物线解析式，解方程得；
（2）①本题考查抛物线上点与直线上点的距离计算，代入m=1、t=2，确定抛物线与直线解析式，求M、N坐标，两点纵坐标差即为MN长度；
②本题考查二次函数增减性，分M在N上方、下方两种情况表示MN，结合二次函数增减性，列不等式且，解不等式得m的范围。
（1）解：抛物线经过点，
，且抛物线的对称轴为直线，
；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线为，
过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，
又，
点M的坐标为，点N的坐标为，
；
②抛物线为，直线为， M，N不重合，
当M在N的上方时，
，
，
的长在直线左侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得，
故无解；
当M在N的下方时，
，
，
的长在直线右侧随的增大而减小，
又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，
，即，
且当时，有，
解得或，
综上或．
27．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接．
（1）连接，求的度数（用含的式子表示）；
（2）用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：连接，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：作于点，作于点，则，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在上截取，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题考查旋转性质与角的和差，旋转得是等腰直角三角形，；由得，代入，得；
（2）本题考查全等三角形、等腰三角形与中位线定理，作、，证，得；截取，由中位线定理得，再证，故。
（1）解：连接，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
作于点，作于点，则，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
在上截取，则，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴，
∴，即．
28．在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”．
（1）如图，当点，时，
①画出点的“对应点”点；
②若点是点“的对应点”，则的坐标是______；
（2）当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____；
（3）当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：①如图所示，
∵，
∴，
∴，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到
②
（2）；；
（3）或
【知识点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）②依题意，点是点的“对应点”，
∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位
设，
∴，解得：
∴
（2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，
将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，
∴点在以为圆心半径为1的圆上
∴
∴线段的最小值是；最大值为；
（3）解：点，时，是以线段为半径的上一点，
∴
∵点是点的“对应点”，
∴
如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动，
依题意，点是沿方向平移得到的，则
若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交，
当两圆相切时，
∴
∵，
∴，
∴
解得：或
当点在的左侧时，
如图，当点在的右侧时，
综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或
【分析】（1）①本题考查新定义平移作图，根据定义计算平移方向与距离，O向左移4、向上移2得P(-4，2)，在坐标系描点即可；
②本题考查新定义坐标计算，设，由平移得方程组，解方程组得坐标；
（2）本题考查圆外一点到圆的最值，P点轨迹是以为圆心、1为半径的圆，计算，OP最小值为、最大值为；
（3）本题考查圆与圆的位置关系，P点轨迹是以为圆心、为半径的圆，两圆有交点时相切或相交，列方程，解得t的范围为或。
（1）解：①如图所示，
∵，
∴，
∴，
将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到
②依题意，点是点的“对应点”，
∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位
设，
∴，解得：
∴
（2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，
将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，
∴点在以为圆心半径为1的圆上
∴
∴线段的最小值是；最大值为；
（3）解：点，时，是以线段为半径的上一点，
∴
∵点是点的“对应点”，
∴
如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动，
依题意，点是沿方向平移得到的，则
若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交，
当两圆相切时，
∴
∵，
∴，
∴
解得：或
当点在的左侧时，
如图，当点在的右侧时，
综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或．
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