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广西南宁市第三中学2025-2026学年下学期期中质量监测八年级数学试题
1．下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（　　）
A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
5．将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数是正比例函数，则的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．3或5
8．如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是菱形
9．平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（　　）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
11．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　）
A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺
12．定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．点在函数图象上
B．图象经过第一、三、四象限
C．函数图象与轴的交点为
D．若点、在函数图象上，则
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为　 　．
15．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
16．如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为　 　．
17．计算、化简求值
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．如图，已知，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l交于点O；连接并延长，在延长线上截取，使得，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是矩形．
19．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）
（1）求线段的长度；
（2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
20．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
（1）求直线的表达式和a的值；
（2）若点P在线段上，且，求点P的坐标．
21．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；……
（1）请你直接写出_________，_________；
（2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________．
（3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值．
22．综合与实践：壮美广西·绿色出行
【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况．
【实验数据】
实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2；
表1： 表2：
电池充电状态时间t（分钟）0101540增加的电量0203080
汽车行驶过程已行驶里程s（千米）0100160200显示剩余电量100705240
【建立模型】
（1）表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．
y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________
【解决问题】
（2）五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示：
①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%．
②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？
③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？
23．【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
【操作探究】
（1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________．
（2）若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，不是二次根式，故Ａ错误.
B、的被开方数，无意义，不是二次根式，故Ｂ错误.
C、根指数为2，被开方数，是二次根式定义，故Ｃ正确.
D、根指数为3，属于三次根式，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据二次根式定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得得答案.
2．【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【分析】根据四边形的不稳定性即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故Ａ正确.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：Ａ.
【分析】根据同类二次根式合并，绝对值和算术平方根的性质计算，，，即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式得：.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据边形的内角和为，计算即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为
．
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，恰好互相垂直，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】∵是正比例函数，
∴，
解得：或，即或，
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n方程及不等式，求解后代入计算即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A．，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
B．，
是菱形，
故结论正确，但不符合题意；
C．四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
D．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得，，即可得的图象经过一、三、四象限．
10．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；
故结合图2可得当时，点在处，
故选：C．
【分析】由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设芦苇长为尺，水深尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
即芦苇的长度13尺．
故选：A．
【分析】设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意；
B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意；
D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据新定义求出函数解析式，结合一次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"列关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．【答案】9
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，周长为20，
∴，，
∵，
∴，
∵P是的中点，，
∴，，
∴．
故答案为：9.
【分析】四边形是菱形，周长为20，得等于5，垂直，根据勾股定理得，根据P是的中点，，得，，即可计算的周长.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
将点坐标代入直线，得，
从图中直接看出，当时，，
故答案为：．
【分析】先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，即可得答案.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为的最小值，
∴当最小时，最小，
∵最小值为，
∴的最小值为．
【分析】连接，根据矩形的性质结合中点的性质得出等于的一半，等于8，等于的一半，等于8，根据勾股定理求得相等，等于10，从而求得的面积，再根据求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，即可得答案.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）对化简二次根式、计算零指数幂和绝对值得，再依次加减即可答案.
（2）先计算的括号内的减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简式，再代入x的值计算即可得答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
当时，原式．
18．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）证明：如图，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
又∵在延长线上截取，使得，
∵点O为斜边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点与交于点O，即可得线段的垂直平分线l，再连接并延长，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，则相等.
（2）由作图可得l是线段的垂直平分线，即可得相等，相等，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得相等，即可得相等，即可证明四边形是平行四边形，再根据等于90度，即可证明平行四边形是矩形．
（1）解：如图所示为所求：
（2）证明：由作图可知，直线l是线段的垂直平分线，
∴，
又∵在延长线上截取，使得，
∵点O为斜边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
19．【答案】（1）解：如图，
∵，，，
∴在中，．
∴线段的长度为15dm.
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理结合已知得即可得答案.
（2）根据勾股定理逆定理结合已知得即可得该车符合安全标准.
（1）解：∵，，，
∴在中，．
（2）解：该车符合安全标准，
理由：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即该车符合安全标准．
20．【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线与直线相交于点M，点M的横坐标为，
∴当时，，
∴，
将点代入直线得：，解得：．
∴直线的表达式为，a的值为-3.
（2）解：∵直线与x轴交于点D，由（1）知，，
∴，
令，得，解得，
∴，
∴，
∵点P在线段上，且，
设，
∴，即，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点，代入，列方程组，解出即可得的解析式，进而可求出点M的坐标，把M的坐标代入解出a的值即可.
（2）直线与x轴交于点D，由（1）知，，设，求出，进而得到，进一步得，设，根据三角形面积公式列方程计算即可得点P的坐标．
（1）解：∵直线经过点，，
将点，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线与直线相交于点M，点M的横坐标为，
∴当时，，
∴，
将点代入直线得：，
解得：．
（2）解：∵直线与x轴交于点D，
由（1）知，，
∴，
令，得，解得，
∴，
∴，
∵点P在线段上，且，
设，
∴，即，
解得，
∴．
21．【答案】（1）7；
（2）n；.
（3）解：原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，．
故答案为：7；.
（2）根据题意得：，．
故答案为：n；.
【分析】（1）细心观察图形，结合题目情境即可得答案.
（2）细心观察图形，结合题目情境中、、及面积找出规律，即可得答案.
（3）根据题目情境将原式化为，即可求解.
（1）解：，．
（2）解：，．
（3）解：原式
．
22．【答案】解：(1) ；.
(2) ① 15；40.
②由题意知，汽车每千米耗电量为：，
设该车距离出发点x千米，
（i）当汽车到达服务区前，，解得：；
（ii）当汽车离开服务区后，走完剩余路程的耗电量为，
∴，解得：；
（iii）当汽车在服务区充电时，汽车最终达到的电量为：，汽车显示剩余电量e的值为从40变为90，
∴当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点200千米，
综上所述，当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米.
③设该车在服务区充电y分钟，由题意知：，
∴，
∴该车在服务区至少需要充电27.5分钟．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设，，
将，代入得：，解得，
∴函数解析式为：.
将，代入得：，解得，
∴函数解析式为：．
故答案为：；.
（2）①如图，
由图可知，该车到达贺州黄姚古镇时，，显示剩余电量e为.
该车进入服务区充电前，，
将代入，得：，
∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e为，
故答案为：15；40.
【分析】（1），设，，根据待定系数法，结合已知条件列方程组，求解即可得解析式.
（2）①根据图象可得出时，e的值，再将代入即可得答案.
②根据题意知汽车每千米耗电量为：，设该车距离出发点x千米，当汽车到达服务区前，，解得：，同理得当汽车离开服务区后，，当汽车在服务区充电时，汽车显示剩余电量e的值为从40变为90，即可得答案.
③设该车在服务区充电y分钟，根据题目情境列出电量与时间和行驶路程的关系式即可得答案.
23．【答案】（1）正方形
（2）解：①四边形为菱形，理由如下：
如图2，
根据折叠性质得：
，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形.
②，理由如下：
如图3，
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：的长为或4.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
故答案为：正方形.
（3）∵四边形为矩形，，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
如图，当时，过点M作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，解得：.
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
由（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
如图，连接，
由勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在，
综上所述，或4．
【分析】（1）根据折叠得出等于，再根据等于，即可证明四边形为矩形，根据相等，即可证明四边形为正方形.
（2）①根据折叠得出等于，相等，相等，相等，即可证明平行，即可得出相等，证明相等，即可证明四边形为菱形.
②先证明平行，根据矩形中，平行，相等，即可证明四边形为平行四边形，得出等于，等于，即可求出等于，等于，进一步得.
（3）根据四边形为矩形，等于4，等于8，即可得等于8，等于4，等于90度，根据折叠可知等于90度，相等，等于4，当时，过点M作，根据条件得四边形为矩形，进一步得，再根据勾股定理得，列方程解出即可得的长为，同理得当时，的长为4，综合即可得答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）解：①四边形为菱形，
理由：根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形；
②，
理由：∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵四边形为矩形，，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
如图，当时，过点M作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
由（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
如图，连接，
由勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在，
综上所述，或4．
1 / 1广西南宁市第三中学2025-2026学年下学期期中质量监测八年级数学试题
1．下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，不是二次根式，故Ａ错误.
B、的被开方数，无意义，不是二次根式，故Ｂ错误.
C、根指数为2，被开方数，是二次根式定义，故Ｃ正确.
D、根指数为3，属于三次根式，故Ｄ错误.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据二次根式定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得得答案.
2．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（　　）
A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
【答案】B
【知识点】四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【分析】根据四边形的不稳定性即可求出答案.
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故Ａ正确.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ错误.
故答案为：Ａ.
【分析】根据同类二次根式合并，绝对值和算术平方根的性质计算，，，即可得答案.
4．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式得：.
故答案为：Ｃ.
【分析】根据边形的内角和为，计算即可得答案.
5．将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为
．
故选：C．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，恰好互相垂直，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
7．已知函数是正比例函数，则的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．3或5
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】∵是正比例函数，
∴，
解得：或，即或，
∵，即，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n方程及不等式，求解后代入计算即可得答案.
8．如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A．，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
B．，
是菱形，
故结论正确，但不符合题意；
C．四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
D．当时，四边形不一定是菱形，
故结论错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可得，，即可得的图象经过一、三、四象限．
10．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（　　）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；
故结合图2可得当时，点在处，
故选：C．
【分析】由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可求出答案.
11．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　）
A．13尺 B．12尺 C．24尺 D．26尺
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设芦苇长为尺，水深尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
即芦苇的长度13尺．
故选：A．
【分析】设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．点在函数图象上
B．图象经过第一、三、四象限
C．函数图象与轴的交点为
D．若点、在函数图象上，则
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意；
B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意；
D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据新定义求出函数解析式，结合一次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"列关于x的不等式，解不等式即可求解．
14．如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为　 　．
【答案】9
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，周长为20，
∴，，
∵，
∴，
∵P是的中点，，
∴，，
∴．
故答案为：9.
【分析】四边形是菱形，周长为20，得等于5，垂直，根据勾股定理得，根据P是的中点，，得，，即可计算的周长.
15．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：如图，
将点坐标代入直线，得，
从图中直接看出，当时，，
故答案为：．
【分析】先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，即可得答案.
16．如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为的最小值，
∴当最小时，最小，
∵最小值为，
∴的最小值为．
【分析】连接，根据矩形的性质结合中点的性质得出等于的一半，等于8，等于的一半，等于8，根据勾股定理求得相等，等于10，从而求得的面积，再根据求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，即可得答案.
17．计算、化简求值
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）对化简二次根式、计算零指数幂和绝对值得，再依次加减即可答案.
（2）先计算的括号内的减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简式，再代入x的值计算即可得答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
，
当时，原式．
18．如图，已知，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l交于点O；连接并延长，在延长线上截取，使得，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）证明：如图，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
又∵在延长线上截取，使得，
∵点O为斜边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点与交于点O，即可得线段的垂直平分线l，再连接并延长，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，则相等.
（2）由作图可得l是线段的垂直平分线，即可得相等，相等，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得相等，即可得相等，即可证明四边形是平行四边形，再根据等于90度，即可证明平行四边形是矩形．
（1）解：如图所示为所求：
（2）证明：由作图可知，直线l是线段的垂直平分线，
∴，
又∵在延长线上截取，使得，
∵点O为斜边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
19．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）
（1）求线段的长度；
（2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，
∵，，，
∴在中，．
∴线段的长度为15dm.
（2）解：该车符合安全标准，理由如下：
如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴该车符合安全标准．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理结合已知得即可得答案.
（2）根据勾股定理逆定理结合已知得即可得该车符合安全标准.
（1）解：∵，，，
∴在中，．
（2）解：该车符合安全标准，
理由：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即该车符合安全标准．
20．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
（1）求直线的表达式和a的值；
（2）若点P在线段上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线与直线相交于点M，点M的横坐标为，
∴当时，，
∴，
将点代入直线得：，解得：．
∴直线的表达式为，a的值为-3.
（2）解：∵直线与x轴交于点D，由（1）知，，
∴，
令，得，解得，
∴，
∴，
∵点P在线段上，且，
设，
∴，即，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点，代入，列方程组，解出即可得的解析式，进而可求出点M的坐标，把M的坐标代入解出a的值即可.
（2）直线与x轴交于点D，由（1）知，，设，求出，进而得到，进一步得，设，根据三角形面积公式列方程计算即可得点P的坐标．
（1）解：∵直线经过点，，
将点，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∵直线与直线相交于点M，点M的横坐标为，
∴当时，，
∴，
将点代入直线得：，
解得：．
（2）解：∵直线与x轴交于点D，
由（1）知，，
∴，
令，得，解得，
∴，
∴，
∵点P在线段上，且，
设，
∴，即，
解得，
∴．
21．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；……
（1）请你直接写出_________，_________；
（2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________．
（3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值．
【答案】（1）7；
（2）n；.
（3）解：原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，．
故答案为：7；.
（2）根据题意得：，．
故答案为：n；.
【分析】（1）细心观察图形，结合题目情境即可得答案.
（2）细心观察图形，结合题目情境中、、及面积找出规律，即可得答案.
（3）根据题目情境将原式化为，即可求解.
（1）解：，．
（2）解：，．
（3）解：原式
．
22．综合与实践：壮美广西·绿色出行
【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况．
【实验数据】
实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2；
表1： 表2：
电池充电状态时间t（分钟）0101540增加的电量0203080
汽车行驶过程已行驶里程s（千米）0100160200显示剩余电量100705240
【建立模型】
（1）表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．
y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________
【解决问题】
（2）五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示：
①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%．
②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？
③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？
【答案】解：(1) ；.
(2) ① 15；40.
②由题意知，汽车每千米耗电量为：，
设该车距离出发点x千米，
（i）当汽车到达服务区前，，解得：；
（ii）当汽车离开服务区后，走完剩余路程的耗电量为，
∴，解得：；
（iii）当汽车在服务区充电时，汽车最终达到的电量为：，汽车显示剩余电量e的值为从40变为90，
∴当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点200千米，
综上所述，当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米.
③设该车在服务区充电y分钟，由题意知：，
∴，
∴该车在服务区至少需要充电27.5分钟．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，两个函数都为一次函数，设，，
将，代入得：，解得，
∴函数解析式为：.
将，代入得：，解得，
∴函数解析式为：．
故答案为：；.
（2）①如图，
由图可知，该车到达贺州黄姚古镇时，，显示剩余电量e为.
该车进入服务区充电前，，
将代入，得：，
∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e为，
故答案为：15；40.
【分析】（1），设，，根据待定系数法，结合已知条件列方程组，求解即可得解析式.
（2）①根据图象可得出时，e的值，再将代入即可得答案.
②根据题意知汽车每千米耗电量为：，设该车距离出发点x千米，当汽车到达服务区前，，解得：，同理得当汽车离开服务区后，，当汽车在服务区充电时，汽车显示剩余电量e的值为从40变为90，即可得答案.
③设该车在服务区充电y分钟，根据题目情境列出电量与时间和行驶路程的关系式即可得答案.
23．【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
【操作探究】
（1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________．
（2）若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
（3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）正方形
（2）解：①四边形为菱形，理由如下：
如图2，
根据折叠性质得：
，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形.
②，理由如下：
如图3，
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：的长为或4.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
故答案为：正方形.
（3）∵四边形为矩形，，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
如图，当时，过点M作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，解得：.
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
由（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
如图，连接，
由勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在，
综上所述，或4．
【分析】（1）根据折叠得出等于，再根据等于，即可证明四边形为矩形，根据相等，即可证明四边形为正方形.
（2）①根据折叠得出等于，相等，相等，相等，即可证明平行，即可得出相等，证明相等，即可证明四边形为菱形.
②先证明平行，根据矩形中，平行，相等，即可证明四边形为平行四边形，得出等于，等于，即可求出等于，等于，进一步得.
（3）根据四边形为矩形，等于4，等于8，即可得等于8，等于4，等于90度，根据折叠可知等于90度，相等，等于4，当时，过点M作，根据条件得四边形为矩形，进一步得，再根据勾股定理得，列方程解出即可得的长为，同理得当时，的长为4，综合即可得答案.
（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）解：①四边形为菱形，
理由：根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形；
②，
理由：∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵四边形为矩形，，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
如图，当时，过点M作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
由（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
如图，连接，
由勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在，
综上所述，或4．
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