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甘肃省陇南市武都区部分学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
1．下列图形中对称轴最多的是（　　）
A．正三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．在中，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
5．一次函数的图像和轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．若点A在函数第一象限的图象上，且点A到原点O的距离为4，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（　　）
A．5 B．6 C．5.5 D．6.5
8．一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
9．如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
10．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是　 　．
12．如图，在中，E是上一点，若，则　 　．
13．直线和两坐标轴交于A、B两点，则A、B之间的距离为　 　．
14．一次函数和交于点，则k的值为　 　．
15．小宇同学参加了学校举办的“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达、形象风度的得分分别是分，分，分，若依次按的比例确定成绩，则小宇的演讲成绩是　 　分．
16．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为　 　．
17．计算：．
18．计算：．
19．如图，已知，求作一个菱形，使点D在上，点E在上，点F在上（保留作图痕迹，不写作法）．
20．如图，在四边形中，已知，，，求对角线和的长．
21．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长．
22．在平面直角坐标系中，两条直线，交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）在如图所示的坐标系中画出这两条直线的大致图象，根据图象写出的解集．
23．如图，在四边形中，，垂直平分交、于点E、F，垂足为点O，连接、．求证：四边形是菱形．
24．如图，直线l和x轴交于，和y轴交于．
（1）求直线l的表达式；
（2）在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标．
25．某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工资．方案甲：底薪2000元，每销售一件产品奖励300元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500元．应聘者只能选择其中的一种工资结算方式．
（1）设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y和x的关系式（不需要写出自变量范围）；
（2）销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
26．某射击俱乐部对甲、乙两位选手的射击成绩进行测试，并选拔一位选手参加比赛，对每位选手打靶10次的环数进行了统计，数据如下．
甲：6、6、6、7、7、9、9、10、10、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
请结合以上信息完成下列问题：
（1）补全统计表；
　 平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 　 6和10 　
乙 8 　 8
（2）利用方差比较哪位选手的成绩更稳定．
27．如图，在矩形中，，，点E为边中点，连接、交于点F，以矩形的顶点B为原点，边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：正三角形有3条对称轴；
矩形有2条对称轴；
菱形有2条对称轴；
正方形有4条对称轴；
则对称轴最多的是正方形，
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形对称轴数量的判断，先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两侧部分能完全重合，这条直线就是对称轴，再分别确定每个选项图形的对称轴数量，对比后找出数量最多的图形即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
A、在中，，则 ，选项正确，不符合题意；
B、在中，，，选项正确，不符合题意；
C、在中，，，选项正确，不符合题意；
D、在中，，，选项错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题结合直角三角形内角和定理与勾股定理进行判断，直角三角形内角和为，直角为，可推导两锐角和为；勾股定理指出直角边的平方和等于斜边平方，据此逐一验证每个选项的等式是否成立，找出错误结论。
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，点D的纵坐标为2，
∴点D的横坐标为，
∴点D的坐标为．
故选：A
【分析】本题考查平行四边形的性质与平面直角坐标系中点的坐标特征，平行四边形对边平行且相等，由可知点与点纵坐标相同，由算出长度，再结合点横坐标求出点横坐标，即可确定点坐标。
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选B．
【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，得，
解得，
∴一次函数的图像和轴的交点坐标为，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴交点的求法，轴上所有点的纵坐标都为，只需将代入一次函数解析式，解一元一次方程求出对应的值，就能得到函数图象与轴的交点坐标。
6．【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A在函数第一象限的图象上，
∴可设点A，
∵点A到原点O的距离为4，
∴，
解得（负值已舍去），
∴点A的坐标为，
故选：C
【分析】本题结合正比例函数性质与勾股定理求解点的坐标，函数上的点横、纵坐标相等，因此设；平面内点到原点的距离可由勾股定理计算，代入距离为列方程，求解并舍去负值，即可确定点坐标。
7．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
解得，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
综上可得：
故选：B．
【分析】本题考查中位数的定义，中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；这组数据共个，中间两个数为第、个，结合中位数为，分在不同区间讨论，列方程求解的值。
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象向左平移m个单位后得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，遵循“左加右减”原则，向左平移个单位时，自变量替换为，得到平移后的解析式；原点坐标为，将其代入平移后的解析式，解一元一次方程即可求出的值。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意；
②两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意；
③良马的速度为（里/日），
劣马的速度为（里/日），
（里/日），
∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意，
故正确的椒①②．
故选：A．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
12．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴．
故答案为：6
【分析】本题考查平行四边形的面积性质，平行四边形中，以一边为底、对边上任意一点为顶点的三角形，面积是平行四边形的一半；因此，用平行四边形面积减去面积，即可得到与的面积和。
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
直线和两坐标轴交于两点为，，
∴A、B之间的距离为，
故答案为：
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点及勾股定理的应用，分别令、，求出直线与轴、轴的交点坐标，两点与原点构成直角三角形，直角边为两交点到原点的距离，再由勾股定理计算两点间距离。
14．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入得：
，
解得：．
故答案为：3
【分析】本题考查一次函数交点的性质，两函数交点坐标同时满足两个函数解析式，因此将交点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值。
15．【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数需用各数据乘以对应权重后求和，分别用三项得分乘以各自所占比例，再将结果相加，即可得到小宇的最终演讲成绩。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，，
∴，
即的最小值为的长，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴点B，C，G三点共线，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：
【分析】本题考查轴对称性质与勾股定理的最值应用，求线段和的最小值可利用轴对称转化线段：作关于的对称点，则，最小值转化为的长度；结合正方形边长算出长度，再在中用勾股定理计算长度。
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查零指数幂、二次根式化简及绝对值的运算，先根据零指数幂性质（非零数的次幂为）化简第一项；再将二次根式化为最简形式；最后根据绝对值内式子正负去掉绝对值符号，合并同类二次根式即可得到结果。
18．【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，可利用平方差公式简化计算，平方差公式为，将看作，看作，代入公式展开后计算，避免直接平方展开的繁琐运算。
19．【答案】解：如图，菱形即为所求．
理由：由作法得：是的角平分线，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查菱形的尺规作图，菱形需满足邻边相等且对边平行，先作的角平分线，再作的垂直平分线交AB、AC于D、F；由角平分线和垂直平分线性质可证，进而判定四边形为菱形。
20．【答案】解：在中，，，，∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】本题考查勾股定理与线段垂直平分线性质，先在中，由勾股定理直接算出长度；再由、，根据线段垂直平分线判定定理，确定垂直平分；最后利用面积的两种表示方法，算出长度，进而得到长度。
21．【答案】解：∵四边形是菱形，，，∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质与面积计算，菱形对角线互相垂直平分，先由对角线长度算出$OB、OC$，再用勾股定理求；菱形面积为对角线乘积的一半，结合，推出，同高三角形面积比等于底边长之比，据此算出长度。
22．【答案】（1）解：联立得：，解得：，
∴点A的坐标为；
（2）解：对于，当时，，
∴直线过点，
对于，
当时，，当时，，
∴直线过点，
画出函数图象，如下：
观察图象得：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）本题考查两直线交点坐标的求法，交点坐标同时满足两个直线解析式，联立与的解析式组成方程组，解二元一次方程组，得到的x、y值即为点横、纵坐标；
（2）本题考查一次函数图象绘制与不等式解集的图象法求解，绘制直线只需找两个点连线即可，正比例函数过原点，一次函数找与坐标轴交点；不等式的解集，对应图像在图像上方时的取值范围，结合交点横坐标确定解集。
（1）解：联立得：，
解得：，
∴点A的坐标为；
（2）解：对于，
当时，，
∴直线过点，
对于，
当时，，当时，，
∴直线过点，
画出函数图象，如下：
观察图象得：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为．
23．【答案】证明：∵垂直平分，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】本题考查菱形的判定，先由线段垂直平分线性质得，推出；再由得内错角相等，进而推出，得到；由此得，先证四边形是平行四边形，再结合邻边相等，判定其为菱形。
24．【答案】（1）解：设直线l的表达式为，∵直线l和x轴交于，和y轴交于，
∴，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，∴点P的纵坐标为10，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为．
【知识点】点的坐标；函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数解析式的求法，采用待定系数法，设直线表达式为，将A、B两点坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定直线表达式；
（2）本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴上方的点纵坐标为正，点到轴距离为纵坐标绝对值，因此点纵坐标为，将代入直线表达式，求出值，即可得到点坐标。
（1）解：设直线l的表达式为，
∵直线l和x轴交于，和y轴交于，
∴，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，
∴点P的纵坐标为10，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为．
25．【答案】（1）解：甲方案：；
乙方案：；
（2）解：∵两种方案的工资相等，∴，
解得：，
此时，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数的实际建模，根据两种方案的工资构成，方案甲收入为底薪加销售奖励，方案乙收入为仅销售奖励，分别用表示销售件数，列出对应与的关系式；
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，两种方案工资相等即值相等，联立两个函数关系式得到一元一次方程，解方程求出值，再代入关系式算出对应工资即可。
（1）解：甲方案：；
乙方案：；
（2）解：∵两种方案的工资相等，
∴，
解得：，
此时，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
26．【答案】（1）解：甲的成绩的平均数为，把甲的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数分别为7和9，
∴甲的成绩的中位数为；
∵乙的成绩中8出现的次数最多，
∴乙的成绩的众数为8，
补全统计表，如下：
平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 8 6和10 8
乙 8 8 8
（2）解：甲的成绩的方差为，，
∴，
∴乙选手的成绩更稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）本题考查平均数、众数、中位数的计算，平均数为所有数据和除以数据个数；众数是数据中出现次数最多的数；中位数是数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数，分别按定义计算甲的平均数、中位数和乙的众数，补全表格；
（2）本题考查方差的计算与意义，方差反映数据波动程度，方差越小成绩越稳定；根据方差公式，分别计算甲、乙成绩的方差，比较大小后判断谁的成绩更稳定。
（1）解：甲的成绩的平均数为，
把甲的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数分别为7和9，
∴甲的成绩的中位数为；
∵乙的成绩中8出现的次数最多，
∴乙的成绩的众数为8，
补全统计表，如下：
　 平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 8 6和10 8
乙 8 8 8
（2）解：甲的成绩的方差为，
，
∴，
∴乙选手的成绩更稳定．
27．【答案】解：∵在矩形中，，，∴轴，轴，
∴点A的坐标为，点D的坐标为，
∵点E为边的中点，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴点F的坐标为，
如图，过点F作轴于点G，则，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数解析式、交点坐标及勾股定理的综合应用，先根据矩形边长和坐标系，确定A、D、E点坐标；再用待定系数法分别求出直线AE、BD的解析式，联立解析式求交点坐标；最后过作轴垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算长度。
1 / 1甘肃省陇南市武都区部分学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
1．下列图形中对称轴最多的是（　　）
A．正三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：正三角形有3条对称轴；
矩形有2条对称轴；
菱形有2条对称轴；
正方形有4条对称轴；
则对称轴最多的是正方形，
故选：D．
【分析】本题考查轴对称图形对称轴数量的判断，先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后直线两侧部分能完全重合，这条直线就是对称轴，再分别确定每个选项图形的对称轴数量，对比后找出数量最多的图形即可。
2．在中，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
A、在中，，则 ，选项正确，不符合题意；
B、在中，，，选项正确，不符合题意；
C、在中，，，选项正确，不符合题意；
D、在中，，，选项错误，符合题意；
故选：D．
【分析】本题结合直角三角形内角和定理与勾股定理进行判断，直角三角形内角和为，直角为，可推导两锐角和为；勾股定理指出直角边的平方和等于斜边平方，据此逐一验证每个选项的等式是否成立，找出错误结论。
3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，点D的纵坐标为2，
∴点D的横坐标为，
∴点D的坐标为．
故选：A
【分析】本题考查平行四边形的性质与平面直角坐标系中点的坐标特征，平行四边形对边平行且相等，由可知点与点纵坐标相同，由算出长度，再结合点横坐标求出点横坐标，即可确定点坐标。
4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选B．
【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
5．一次函数的图像和轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入，得，
解得，
∴一次函数的图像和轴的交点坐标为，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴交点的求法，轴上所有点的纵坐标都为，只需将代入一次函数解析式，解一元一次方程求出对应的值，就能得到函数图象与轴的交点坐标。
6．若点A在函数第一象限的图象上，且点A到原点O的距离为4，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A在函数第一象限的图象上，
∴可设点A，
∵点A到原点O的距离为4，
∴，
解得（负值已舍去），
∴点A的坐标为，
故选：C
【分析】本题结合正比例函数性质与勾股定理求解点的坐标，函数上的点横、纵坐标相等，因此设；平面内点到原点的距离可由勾股定理计算，代入距离为列方程，求解并舍去负值，即可确定点坐标。
7．一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，则x是（　　）
A．5 B．6 C．5.5 D．6.5
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵一组数据1、2、3、4、x、7、8、9的中位数是5，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
解得，
∴当时，则位于中间位置的两个数为，
此时，
综上可得：
故选：B．
【分析】本题考查中位数的定义，中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；这组数据共个，中间两个数为第、个，结合中位数为，分在不同区间讨论，列方程求解的值。
8．一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象向左平移m个单位后得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，遵循“左加右减”原则，向左平移个单位时，自变量替换为，得到平移后的解析式；原点坐标为，将其代入平移后的解析式，解一元一次方程即可求出的值。
9．如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
10．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意；
②两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意；
③良马的速度为（里/日），
劣马的速度为（里/日），
（里/日），
∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意，
故正确的椒①②．
故选：A．
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
11．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是　 　．
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
12．如图，在中，E是上一点，若，则　 　．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴．
故答案为：6
【分析】本题考查平行四边形的面积性质，平行四边形中，以一边为底、对边上任意一点为顶点的三角形，面积是平行四边形的一半；因此，用平行四边形面积减去面积，即可得到与的面积和。
13．直线和两坐标轴交于A、B两点，则A、B之间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当时，，解得，
当时，，
直线和两坐标轴交于两点为，，
∴A、B之间的距离为，
故答案为：
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点及勾股定理的应用，分别令、，求出直线与轴、轴的交点坐标，两点与原点构成直角三角形，直角边为两交点到原点的距离，再由勾股定理计算两点间距离。
14．一次函数和交于点，则k的值为　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把点代入得：
，
解得：．
故答案为：3
【分析】本题考查一次函数交点的性质，两函数交点坐标同时满足两个函数解析式，因此将交点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值。
15．小宇同学参加了学校举办的“青春筑梦，强国有我”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达、形象风度的得分分别是分，分，分，若依次按的比例确定成绩，则小宇的演讲成绩是　 　分．
【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
故答案为：．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数需用各数据乘以对应权重后求和，分别用三项得分乘以各自所占比例，再将结果相加，即可得到小宇的最终演讲成绩。
16．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，，
∴，
即的最小值为的长，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴点B，C，G三点共线，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：
【分析】本题考查轴对称性质与勾股定理的最值应用，求线段和的最小值可利用轴对称转化线段：作关于的对称点，则，最小值转化为的长度；结合正方形边长算出长度，再在中用勾股定理计算长度。
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查零指数幂、二次根式化简及绝对值的运算，先根据零指数幂性质（非零数的次幂为）化简第一项；再将二次根式化为最简形式；最后根据绝对值内式子正负去掉绝对值符号，合并同类二次根式即可得到结果。
18．计算：．
【答案】解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，可利用平方差公式简化计算，平方差公式为，将看作，看作，代入公式展开后计算，避免直接平方展开的繁琐运算。
19．如图，已知，求作一个菱形，使点D在上，点E在上，点F在上（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：如图，菱形即为所求．
理由：由作法得：是的角平分线，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查菱形的尺规作图，菱形需满足邻边相等且对边平行，先作的角平分线，再作的垂直平分线交AB、AC于D、F；由角平分线和垂直平分线性质可证，进而判定四边形为菱形。
20．如图，在四边形中，已知，，，求对角线和的长．
【答案】解：在中，，，，∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】本题考查勾股定理与线段垂直平分线性质，先在中，由勾股定理直接算出长度；再由、，根据线段垂直平分线判定定理，确定垂直平分；最后利用面积的两种表示方法，算出长度，进而得到长度。
21．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长．
【答案】解：∵四边形是菱形，，，∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质与面积计算，菱形对角线互相垂直平分，先由对角线长度算出$OB、OC$，再用勾股定理求；菱形面积为对角线乘积的一半，结合，推出，同高三角形面积比等于底边长之比，据此算出长度。
22．在平面直角坐标系中，两条直线，交于点A．
（1）求A点坐标；
（2）在如图所示的坐标系中画出这两条直线的大致图象，根据图象写出的解集．
【答案】（1）解：联立得：，解得：，
∴点A的坐标为；
（2）解：对于，当时，，
∴直线过点，
对于，
当时，，当时，，
∴直线过点，
画出函数图象，如下：
观察图象得：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）本题考查两直线交点坐标的求法，交点坐标同时满足两个直线解析式，联立与的解析式组成方程组，解二元一次方程组，得到的x、y值即为点横、纵坐标；
（2）本题考查一次函数图象绘制与不等式解集的图象法求解，绘制直线只需找两个点连线即可，正比例函数过原点，一次函数找与坐标轴交点；不等式的解集，对应图像在图像上方时的取值范围，结合交点横坐标确定解集。
（1）解：联立得：，
解得：，
∴点A的坐标为；
（2）解：对于，
当时，，
∴直线过点，
对于，
当时，，当时，，
∴直线过点，
画出函数图象，如下：
观察图象得：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为．
23．如图，在四边形中，，垂直平分交、于点E、F，垂足为点O，连接、．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵垂直平分，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】本题考查菱形的判定，先由线段垂直平分线性质得，推出；再由得内错角相等，进而推出，得到；由此得，先证四边形是平行四边形，再结合邻边相等，判定其为菱形。
24．如图，直线l和x轴交于，和y轴交于．
（1）求直线l的表达式；
（2）在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：设直线l的表达式为，∵直线l和x轴交于，和y轴交于，
∴，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，∴点P的纵坐标为10，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为．
【知识点】点的坐标；函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数解析式的求法，采用待定系数法，设直线表达式为，将A、B两点坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定直线表达式；
（2）本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴上方的点纵坐标为正，点到轴距离为纵坐标绝对值，因此点纵坐标为，将代入直线表达式，求出值，即可得到点坐标。
（1）解：设直线l的表达式为，
∵直线l和x轴交于，和y轴交于，
∴，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，
∴点P的纵坐标为10，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为．
25．某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工资．方案甲：底薪2000元，每销售一件产品奖励300元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500元．应聘者只能选择其中的一种工资结算方式．
（1）设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y和x的关系式（不需要写出自变量范围）；
（2）销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
【答案】（1）解：甲方案：；
乙方案：；
（2）解：∵两种方案的工资相等，∴，
解得：，
此时，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数的实际建模，根据两种方案的工资构成，方案甲收入为底薪加销售奖励，方案乙收入为仅销售奖励，分别用表示销售件数，列出对应与的关系式；
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，两种方案工资相等即值相等，联立两个函数关系式得到一元一次方程，解方程求出值，再代入关系式算出对应工资即可。
（1）解：甲方案：；
乙方案：；
（2）解：∵两种方案的工资相等，
∴，
解得：，
此时，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
26．某射击俱乐部对甲、乙两位选手的射击成绩进行测试，并选拔一位选手参加比赛，对每位选手打靶10次的环数进行了统计，数据如下．
甲：6、6、6、7、7、9、9、10、10、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
请结合以上信息完成下列问题：
（1）补全统计表；
　 平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 　 6和10 　
乙 8 　 8
（2）利用方差比较哪位选手的成绩更稳定．
【答案】（1）解：甲的成绩的平均数为，把甲的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数分别为7和9，
∴甲的成绩的中位数为；
∵乙的成绩中8出现的次数最多，
∴乙的成绩的众数为8，
补全统计表，如下：
平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 8 6和10 8
乙 8 8 8
（2）解：甲的成绩的方差为，，
∴，
∴乙选手的成绩更稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）本题考查平均数、众数、中位数的计算，平均数为所有数据和除以数据个数；众数是数据中出现次数最多的数；中位数是数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数，分别按定义计算甲的平均数、中位数和乙的众数，补全表格；
（2）本题考查方差的计算与意义，方差反映数据波动程度，方差越小成绩越稳定；根据方差公式，分别计算甲、乙成绩的方差，比较大小后判断谁的成绩更稳定。
（1）解：甲的成绩的平均数为，
把甲的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数分别为7和9，
∴甲的成绩的中位数为；
∵乙的成绩中8出现的次数最多，
∴乙的成绩的众数为8，
补全统计表，如下：
　 平均数（环） 众数（环） 中位数（环）
甲 8 6和10 8
乙 8 8 8
（2）解：甲的成绩的方差为，
，
∴，
∴乙选手的成绩更稳定．
27．如图，在矩形中，，，点E为边中点，连接、交于点F，以矩形的顶点B为原点，边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求的长．
【答案】解：∵在矩形中，，，∴轴，轴，
∴点A的坐标为，点D的坐标为，
∵点E为边的中点，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴点F的坐标为，
如图，过点F作轴于点G，则，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数解析式、交点坐标及勾股定理的综合应用，先根据矩形边长和坐标系，确定A、D、E点坐标；再用待定系数法分别求出直线AE、BD的解析式，联立解析式求交点坐标；最后过作轴垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算长度。
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