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广西南宁市隆安县2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．下列实数中，是无理数的（　　）
A． B．3.1415 C．0 D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：．是负数，是有理数，故该选项不符合题意；
.3.1415是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
.0是整数，是有理数，故该选项不符合题意；
．是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】A：图案方向发生了改变（鲸鱼竖直），属于旋转变换，不符合平移特征，排除。
B：图案方向发生了改变（鲸鱼水平翻转），属于轴对称变换，不符合平移特征，排除。
C：图案方向发生了改变（鲸鱼朝右），属于旋转变换，不符合平移特征，排除。
D：图案的形状、大小和方向与原图完全一致，仅位置发生变化，符合平移的特征，正确。
故答案为：D
【分析】本题的解题核心是平移的定义与特征：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置。解题时，关键是对比选项与原图的方向是否一致，方向发生改变的变换（如旋转、翻转）都不是平移。
3． 4的算术平方根是（　　）
A．±2 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】A：±2是 4 的平方根，不是算术平方根，错误。
B：±与 4 的平方根无关，错误。
C：的平方是 2，不是 4，错误。
D：2符合算术平方根的定义，正确
故答案为：D。
【分析】本题的解题关键是区分 “平方根” 与 “算术平方根” 的概念：平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数（如 4 的平方根是±2）。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且必须是非负数（如 4 的算术平方根是2）。 解题时，只要抓住 “算术平方根是非负的” 这一核心特征，就能快速排除错误选项。
4．如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（　　）的长度
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，他的跳远成绩是线段AP的长，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短，以及跳远成绩的实际计算方法即可求解。
5．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等 B．0没有算术平方根
C．任何实数都有立方根 D．点到直线的距离是垂线
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】选项 A：“内错角相等” 是假命题。只有当两条被截直线平行时，内错角才相等，题目缺少 “两直线平行” 这一前提条件，故 A 错误。
选项 B：“0 没有算术平方根” 是假命题。根据定义，0的算术平方根是0，即=0，故 B 错误。
选项 C：“任何实数都有立方根” 是真命题。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，所有实数都有唯一的立方根，故 C 正确。
选项 D：“点到直线的距离是垂线” 是假命题。点到直线的距离是指从该点到直线的垂线段的长度，是一个数量，而垂线是一条直线，二者概念不同，故 D 错误。
故答案为：C.
【分析】内错角相等必须以 “两直线平行” 为前提；0 的算术平方根是 0，并非不存在；立方根的性质决定了所有实数都有唯一的立方根；点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线本身
7．如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠ABE B．∠BAC=∠EBD C．∠ABC=∠BAE D．∠BAC=∠ABE
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】选项 A：∠C 与 ∠ABE 不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 B：∠BAC 与 ∠EBD 不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 C：∠ABC 与 ∠BAE 是直线 AE 与 BC 被 AB 所截的同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 D：∠BAC 与 ∠ABE 是直线 EB 与 AC 被 AB 所截的内错角，根据 “内错角相等，两直线平行”，可判定 EB∥AC。
故答案为：D.
【分析】要判定 EB∥AC，需找到这两条直线被同一条截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角。选项 D 中，AB 是截线，EB 和 AC 是被截线，∠BAC 与 ∠ABE 是内错角，利用 “内错角相等，两直线平行” 即可判定平行。其他选项中的角要么不是对应关系，要么只能判定其他直线平行，无法判定 EB∥AC。
8．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1和∠2是对顶角 B．∠2和∠5是内错角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠4和∠5是邻补角
【答案】C
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】选项 A：∠1 和∠2 是两条直线相交形成的，且有公共顶点、两边互为反向延长线，符对顶角的定义，说法正确。
选项 B：∠2 和∠5 是直线a、b被第三条直线所截，位于截线两侧且夹在两条被截直线之间，符合内错角的定义，说法正确。
选项 C：∠3 和∠4 既不是同位角（同位角需在截线同旁、被截两线同侧），也不是内错角或同旁内角，不符合同位角的定义，说法错误。
选项 D：∠4 和∠5 有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°，符合邻补角的定义，说法正确。
故答案为：C .
【分析】解题关键是掌握对顶角、内错角、同位角、邻补角的特征：对顶角：两条直线相交形成，顶点相同，两边互为反向延长线。内错角：两条直线被第三条直线所截，位于两直线之间、截线两侧的角。同位角：两条直线被第三条直线所截，位于截线同旁、被截两直线同一侧的角。邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，和为 180°的角。
9．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“马”位于点（2，-2），“兵”位于点（-3，1），则“帅”位于（　　）
A．（2，0） B．（2，1） C．（-1，-2） D．（1，0）
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】以 “马”(2， 2)为参考，它在从左往右数第 4 列、从下往上数第 1 行。
以 “兵”( 3，1)为参考，它在从左往右数第 1 列、从下往上数第 4 行。
由此可确定，原点 (0，0) 位于棋盘的中心交叉点。
“帅” 在从左往右数第 2 列、从下往上数第 1 行，位于原点左侧 1 格、下方 2 格。
因此，“帅” 的坐标为 ( 1， 2)。
故答案为：C .
【分析】根据已知点坐标还原坐标系，再利用坐标系确定目标点坐标。利用 “马” 和 “兵” 的坐标，确定坐标系的原点、x 轴和 y 轴的方向；在确定的坐标系中，根据 “帅” 的位置读取其横、纵坐标；对照选项，选出正确答案。
10．湿地公园位于学校北偏西30°方向2km处，下列选项中表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】A 选项：湿地公园在学校北偏东 30°方向，不符合 “北偏西 30°” 的要求，错误。
B 选项：湿地公园在学校的北偏西方向，图中标注的60°是与正东方向的夹角，因此与正北方向的夹角为90 60 =30 ，距离为2km，符合题意，正确。
C 选项：湿地公园在学校北偏东 60° 方向，不符合 “北偏西 30°” 的要求，错误。
D 选项：湿地公园在学校西偏北 30°方向，与 “北偏西 30°” 描述的夹角位置不符，错误。
故答案为：B .
【分析】本题的核心是理解方位角的定义：方位角是以正北或正南为基准，描述物体方向的角。明确基准方向（正北）；确定旋转方向（向西）和角度（30°）；结合距离（2km）判断图形是否符合要求。
11．如图，被覆盖的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】从数轴可知，被覆盖的数在 2 和 3 之间，即 2·选项 A：≈ 1.732，在 2 和 1 之间，不符合 2·选项 B：>=5，大于 5，不符合 2·选项 C：>=3，大于 3，不符合 2·选项 D：<<，即 2<<3，符合数轴上的范围，正确。
·综上，被覆盖的数可能是。
故答案为：D .
【分析】先确定被覆盖数的范围，再估算每个选项的无理数大小：从数轴上看出，被覆盖的数在 2 和 3 之间，即 212．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
13．比较下列两个数的大小：　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数比较大小，根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，由 ，可得
14．若点A（2，3）向上平移个2个单位长度，再向左平移2个单位长，经过平移后A的坐标为　 　.
【答案】（0，5）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】根据平面直角坐标系中点的平移规律：向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加；向左平移时，纵坐标不变，横坐标减少。∴向上平移 2 个单位 点 A(2，3) 向上平移 2 个单位，纵坐标 3+2=5，横坐标不变，得到点 (2，5)。
向左平移 2 个单位 点 (2，5) 向左平移 2 个单位，横坐标 2 2=0，纵坐标不变，得到点 (0，5)。
故答案为：（0，5）
【分析】本题的核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移：左减右加（横坐标）；上下平移：上加下减（纵坐标）。解题时，分两步进行：先处理上下平移，再处理左右平移，根据平移方向和单位，对相应坐标进行加减运算，即可得到平移后的坐标。
15．如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，若∠2=40°，则∠1=　 　.
【答案】50°
【知识点】角的概念及表示；垂线的概念
【解析】【解答】已知直线 AB 经过点 O，OC⊥OD，
∴∠COD=90 。
∵A、O、B 在同一直线上，
∴∠1+∠COD+∠2=180 （平角的定义）。
∵∠2=40 ，
∴∠1=180 ∠COD ∠2=180 90 40 =50
因此，∠1=50 。
故答案为：50 .
【分析】本题解题核心是利用垂直的定义和平角的性质来求解角度：首先根据 OC⊥OD，得出 ∠COD=90 ；再利用直线 AB 形成的平角（180 ），得到 ∠1+∠COD+∠2=180 ；最后代入已知角度，通过简单的减法运算求出 ∠1 的度数。
16．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是　 　.
【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为．
【分析】根据流程图依次计算，不满足输出条件，循环计算解答即可．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解，原式=3+0-
=3-2
1
（2）解，原式=-3+
=-3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题是实数混合运算的基础题，解题核心是掌握各类运算的定义与法则：算术平方根：=|a|，=3，=2；立方根：=0，=3；绝对值：（负数的绝对值是它的相反数）；同类二次根式合并：将含的项合并，常数项单独计算。
18．如图是广西六个城市旅游景点大致位置的平面示意图，每个小正方形的边长均相等，且设为1个单位长度.
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系.
（2）在（1）所建立的平面直角坐标系中，写出其中3个景点的坐标.
（3）求出以南宁青秀山、钦州三娘湾、北海银滩为顶点的三角形面积.
【答案】（1）
（2）桂林七星岩坐标为（4，5），柳州龙潭公园坐标为（3，3），百色起义纪念馆坐标为（-2，2）
（3）南宁青秀山坐标为（1，1），钦州三娘湾坐标为（0，0），北海银滩坐标为；
S三角形=2×2-×1×1-×2×1-×2×1
=4--1-1
==
【知识点】三角形的面积；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】(1)根据实际场景建立平面直角坐标系，解题时先选定参照物作为坐标原点，再按照 “上北下南、左西右东” 确定x轴、y轴正方向，结合网格单位长度完成作图。
(2)在已建好的坐标系中，根据点的坐标定义，分别读取每个景点对应横轴、纵轴上的数值，按照有序数对横坐标纵坐标的形式写出坐标。
(3)本题三角形的边不与坐标轴平行，无法直接套用三角形面积公式。采用课本常规割补法，先用矩形将三角形整体包围，再用矩形面积减去四周三个直角三角形的面积，间接求出目标三角形面积。
19．如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1=∠3，∠2=∠4，求证：AE∥DF.（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由.注：填到相应的序号内）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD=∠ADF=90°（①　 　
∴EC∥②　 　（③　 　
∴∠EBA=④　 　（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠4（已知）
∴∠EBA=∠4（等量代换）
∴AB∥⑤　 　（⑥　 　
∴∠2+⑦　 　=180°（⑧　 　
∴∠2+∠ADF+∠3=180°.
∵∠1=∠3（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1=180°（等量代换）
∴⑨　 　+∠ADF=180°，
∴AE∥DF（⑩　 　.
【答案】垂直的定义；AD；如果内错角相等，那么两直线平行；∠2；CD；如果同位角相等，那么两直线平行；∠ADC；如果两直线平行，那么同旁内角互补；∠EAD；如果同旁内角互补，那么两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直证平行 根据 “垂直的定义” 得到两个直角，再利用 “同位角相等，两直线平行” 证明 EC∥AD。平行证角相等利用 EC∥AD，根据 “两直线平行，同位角相等”得到 ∠EBA=∠4，再结合已知条件进行等量代换，得到 ∠EBA=∠2，从而证明 AB∥CD。利用 AB∥CD，根据 “两直线平行，同旁内角互补” 得到 ∠2+∠ADC=180 。等量代换，完成最终证明 结合 ∠1=∠3，将 ∠2+∠ADF+∠3=180 代换为 ∠EAD+∠ADF=180 ，最后根据 “同旁内角互补，两直线平行” 证明 AE∥DF。
20．壮族三月三的历史由来有着深厚的文化底蕴和民族特色.据史书记载，这一节日起源于壮族的原始宗教信仰，人们认为在农历三月三日这一天，大地回春、万物复苏，是神圣而重要的时刻.某学习小组为宣传三月三，分别制作正方形三月三活动照卡片和长方形封皮，如图.已知正方形卡片面积为长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮当中.
【答案】解：已知正方形卡片的面积为 100 cm2，设其边长为 a，则：a2=100，
∵边长为正数，
∴a==10 cm，
已知长方形封皮的长与宽的比为 3：2，设长为 3x cm，宽为 2x cm，其面积为 180 cm2，
∴3x×2x=180，
6x2=180，
x2=30，
∵边长为正数，
∴x=，
∴长方形的长为 330 cm，宽为 230 cm。
∵ 25<30<36，
∴ 5<<6，
∴ 10<<12，
即>10。
因为长方形的宽cm 大于正方形的边长 10 cm，
所以正方形卡片能够直接装进长方形封皮中。
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；多边形的面积
【解析】【分析】首先根据正方形面积，求出卡片的关键尺寸 —— 边长a=10，再根据长方形的长宽比设长为 3x cm，宽为 2x cm，根据面积为180，求出其宽（短边）x=。最后通过 “夹逼法” 5<<6估算无理数的大小10<<12，从而判断卡片能否装入。
21．理解与运用
【阅读理解】设a，b是有理数，且满足求b 的值.
解：由题意，得
因为a，b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数.
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0.
解得a=3，b=-2.
所以
【方法迁移】设x，y都是有理数，且满足求x+y的值.
【答案】将等式两边的有理数部分和无理数部分分别整理：(x 2y)+ =，
∵x，y是有理数，
∴（x-2y）是有理数，y 是有理数；
又∵是无理数，要使等式成立，等式两边的有理数部分和无理数部分必须分别相等：
∴，
∴把 y=3 代入第一个方程得 x=16 ，
∴x+y=16+3=19。
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【分析】先把等式整理成“有理数部分 + 无理数部分”的形式，利用“有理数 + 无理数 = 有理数 + 无理数”，由“有理数≠无理数”的性质，得出等式两边的有理数部分和无理数部分必须分别相等，从而列出方程组。解方程组求出 x，y 的值，再计算 x+y。
22．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务.
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系
小南用自己的方法进行了探究：而即
任务：
（1）结合材料，猜想：当a≥0，b≥0时，请直接写出与存在怎样的关系
（2）运用以上结论，计算：
①
②
（3）运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为宽为求长方形的面积.
【答案】（1）
（2） =6×4
=24.
=10×11
=110.
（3）长方形的面积公式为：面积=长×宽
已知长方形的长为宽为
所以面积==
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）通过材料给出的例子，观察、猜想并总结出二次根式的乘法法则：当 a≥0，b≥0 时，。
（2）直接套用二次根式的乘法法则，将根号内的乘法转化为两个算术平方根的乘法，分别计算后再相乘，简化运算过程。
（3）利用长方形面积公式=长×宽，结合二次根式乘法法则，求出长方形的面积。
23．探究与证明
（1）【推理证明】
如图，GF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，DE∥BC，求证：∠1=∠2.
请补全下面的证明过程.
证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义）.
∴GF∥CD　 　.
∴∠2=∠　 　（两直线平行，同位角相等）.
又：DE∥BC（已知），
∴∠1=∠　 　　 　.
∴∠1=∠2　 　.
（2）【拓展证明】
若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“∠1=∠2”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题 若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例.
（3）【迁移应用】
如图，有下列四个条件：①GF⊥AB，②CD⊥AB，③∠1=∠2，④DE∥BC.从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有　 　个真命题.
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换
（2）真命题，理由如下：
∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴DE∥BC（两直线平行，内错角相等）
（3）从四个条件①GF⊥AB、②CD⊥AB、③∠1=∠2、④DE∥BC中选三个为题设，另一个为结论，可构成以下 4 个真命题：题设：①②④，结论：③题设：①②③，结论：④题设：①③④，结论：②题设：②③④，结论：①因此，真命题共有4个故答案为：4。
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）利用垂直定义证得GF∥CD，再通过平行线的性质得到∠2=∠3，结合DE∥BC得到∠1=∠3，最终等量代换证明∠1=∠2。
（2）将题设与结论对调，同样先证GF∥CD，再通过∠1=∠2等量代换得到∠1=∠3，从而用内错角相等证DE∥BC，证明命题为真。
（3）通过枚举法列出所有可能的命题，结合前两问的结论，验证得出 4 个真命题，考查逻辑推理的完整性。
1 / 1广西南宁市隆安县2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．下列实数中，是无理数的（　　）
A． B．3.1415 C．0 D．
2．观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 4的算术平方根是（　　）
A．±2 B． C． D．2
4．如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（　　）的长度
A． B． C． D．以上都不对
5．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等 B．0没有算术平方根
C．任何实数都有立方根 D．点到直线的距离是垂线
7．如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠ABE B．∠BAC=∠EBD C．∠ABC=∠BAE D．∠BAC=∠ABE
8．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠1和∠2是对顶角 B．∠2和∠5是内错角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠4和∠5是邻补角
9．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“马”位于点（2，-2），“兵”位于点（-3，1），则“帅”位于（　　）
A．（2，0） B．（2，1） C．（-1，-2） D．（1，0）
10．湿地公园位于学校北偏西30°方向2km处，下列选项中表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，被覆盖的数可能是（　　）
A． B． C． D．
12．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
13．比较下列两个数的大小：　 　．
14．若点A（2，3）向上平移个2个单位长度，再向左平移2个单位长，经过平移后A的坐标为　 　.
15．如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，若∠2=40°，则∠1=　 　.
16．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图.当输入x的值是64时，输出的y值是　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．如图是广西六个城市旅游景点大致位置的平面示意图，每个小正方形的边长均相等，且设为1个单位长度.
（1）请选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系.
（2）在（1）所建立的平面直角坐标系中，写出其中3个景点的坐标.
（3）求出以南宁青秀山、钦州三娘湾、北海银滩为顶点的三角形面积.
19．如图，已知AD⊥DF，EC⊥DF，∠1=∠3，∠2=∠4，求证：AE∥DF.（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由.注：填到相应的序号内）
证明：∵AD⊥DF，EC⊥DF，（已知）
∴∠BFD=∠ADF=90°（①　 　
∴EC∥②　 　（③　 　
∴∠EBA=④　 　（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠4（已知）
∴∠EBA=∠4（等量代换）
∴AB∥⑤　 　（⑥　 　
∴∠2+⑦　 　=180°（⑧　 　
∴∠2+∠ADF+∠3=180°.
∵∠1=∠3（已知）
∴∠2+∠ADF+∠1=180°（等量代换）
∴⑨　 　+∠ADF=180°，
∴AE∥DF（⑩　 　.
20．壮族三月三的历史由来有着深厚的文化底蕴和民族特色.据史书记载，这一节日起源于壮族的原始宗教信仰，人们认为在农历三月三日这一天，大地回春、万物复苏，是神圣而重要的时刻.某学习小组为宣传三月三，分别制作正方形三月三活动照卡片和长方形封皮，如图.已知正方形卡片面积为长方形封皮的长与宽的比为3：2，面积为请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮当中.
21．理解与运用
【阅读理解】设a，b是有理数，且满足求b 的值.
解：由题意，得
因为a，b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数.
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0.
解得a=3，b=-2.
所以
【方法迁移】设x，y都是有理数，且满足求x+y的值.
22．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务.
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系
小南用自己的方法进行了探究：而即
任务：
（1）结合材料，猜想：当a≥0，b≥0时，请直接写出与存在怎样的关系
（2）运用以上结论，计算：
①
②
（3）运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为宽为求长方形的面积.
23．探究与证明
（1）【推理证明】
如图，GF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，DE∥BC，求证：∠1=∠2.
请补全下面的证明过程.
证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义）.
∴GF∥CD　 　.
∴∠2=∠　 　（两直线平行，同位角相等）.
又：DE∥BC（已知），
∴∠1=∠　 　　 　.
∴∠1=∠2　 　.
（2）【拓展证明】
若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“∠1=∠2”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题 若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例.
（3）【迁移应用】
如图，有下列四个条件：①GF⊥AB，②CD⊥AB，③∠1=∠2，④DE∥BC.从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有　 　个真命题.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：．是负数，是有理数，故该选项不符合题意；
.3.1415是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
.0是整数，是有理数，故该选项不符合题意；
．是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】A：图案方向发生了改变（鲸鱼竖直），属于旋转变换，不符合平移特征，排除。
B：图案方向发生了改变（鲸鱼水平翻转），属于轴对称变换，不符合平移特征，排除。
C：图案方向发生了改变（鲸鱼朝右），属于旋转变换，不符合平移特征，排除。
D：图案的形状、大小和方向与原图完全一致，仅位置发生变化，符合平移的特征，正确。
故答案为：D
【分析】本题的解题核心是平移的定义与特征：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置。解题时，关键是对比选项与原图的方向是否一致，方向发生改变的变换（如旋转、翻转）都不是平移。
3．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】A：±2是 4 的平方根，不是算术平方根，错误。
B：±与 4 的平方根无关，错误。
C：的平方是 2，不是 4，错误。
D：2符合算术平方根的定义，正确
故答案为：D。
【分析】本题的解题关键是区分 “平方根” 与 “算术平方根” 的概念：平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数（如 4 的平方根是±2）。算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且必须是非负数（如 4 的算术平方根是2）。 解题时，只要抓住 “算术平方根是非负的” 这一核心特征，就能快速排除错误选项。
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，他的跳远成绩是线段AP的长，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短，以及跳远成绩的实际计算方法即可求解。
5．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】选项 A：“内错角相等” 是假命题。只有当两条被截直线平行时，内错角才相等，题目缺少 “两直线平行” 这一前提条件，故 A 错误。
选项 B：“0 没有算术平方根” 是假命题。根据定义，0的算术平方根是0，即=0，故 B 错误。
选项 C：“任何实数都有立方根” 是真命题。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，所有实数都有唯一的立方根，故 C 正确。
选项 D：“点到直线的距离是垂线” 是假命题。点到直线的距离是指从该点到直线的垂线段的长度，是一个数量，而垂线是一条直线，二者概念不同，故 D 错误。
故答案为：C.
【分析】内错角相等必须以 “两直线平行” 为前提；0 的算术平方根是 0，并非不存在；立方根的性质决定了所有实数都有唯一的立方根；点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线本身
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】选项 A：∠C 与 ∠ABE 不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 B：∠BAC 与 ∠EBD 不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 C：∠ABC 与 ∠BAE 是直线 AE 与 BC 被 AB 所截的同旁内角，无法判定 EB∥AC。
选项 D：∠BAC 与 ∠ABE 是直线 EB 与 AC 被 AB 所截的内错角，根据 “内错角相等，两直线平行”，可判定 EB∥AC。
故答案为：D.
【分析】要判定 EB∥AC，需找到这两条直线被同一条截线所截形成的同位角、内错角或同旁内角。选项 D 中，AB 是截线，EB 和 AC 是被截线，∠BAC 与 ∠ABE 是内错角，利用 “内错角相等，两直线平行” 即可判定平行。其他选项中的角要么不是对应关系，要么只能判定其他直线平行，无法判定 EB∥AC。
8．【答案】C
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】选项 A：∠1 和∠2 是两条直线相交形成的，且有公共顶点、两边互为反向延长线，符对顶角的定义，说法正确。
选项 B：∠2 和∠5 是直线a、b被第三条直线所截，位于截线两侧且夹在两条被截直线之间，符合内错角的定义，说法正确。
选项 C：∠3 和∠4 既不是同位角（同位角需在截线同旁、被截两线同侧），也不是内错角或同旁内角，不符合同位角的定义，说法错误。
选项 D：∠4 和∠5 有一条公共边，另一边互为反向延长线，和为180°，符合邻补角的定义，说法正确。
故答案为：C .
【分析】解题关键是掌握对顶角、内错角、同位角、邻补角的特征：对顶角：两条直线相交形成，顶点相同，两边互为反向延长线。内错角：两条直线被第三条直线所截，位于两直线之间、截线两侧的角。同位角：两条直线被第三条直线所截，位于截线同旁、被截两直线同一侧的角。邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，和为 180°的角。
9．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】以 “马”(2， 2)为参考，它在从左往右数第 4 列、从下往上数第 1 行。
以 “兵”( 3，1)为参考，它在从左往右数第 1 列、从下往上数第 4 行。
由此可确定，原点 (0，0) 位于棋盘的中心交叉点。
“帅” 在从左往右数第 2 列、从下往上数第 1 行，位于原点左侧 1 格、下方 2 格。
因此，“帅” 的坐标为 ( 1， 2)。
故答案为：C .
【分析】根据已知点坐标还原坐标系，再利用坐标系确定目标点坐标。利用 “马” 和 “兵” 的坐标，确定坐标系的原点、x 轴和 y 轴的方向；在确定的坐标系中，根据 “帅” 的位置读取其横、纵坐标；对照选项，选出正确答案。
10．【答案】B
【知识点】方位角
【解析】【解答】A 选项：湿地公园在学校北偏东 30°方向，不符合 “北偏西 30°” 的要求，错误。
B 选项：湿地公园在学校的北偏西方向，图中标注的60°是与正东方向的夹角，因此与正北方向的夹角为90 60 =30 ，距离为2km，符合题意，正确。
C 选项：湿地公园在学校北偏东 60° 方向，不符合 “北偏西 30°” 的要求，错误。
D 选项：湿地公园在学校西偏北 30°方向，与 “北偏西 30°” 描述的夹角位置不符，错误。
故答案为：B .
【分析】本题的核心是理解方位角的定义：方位角是以正北或正南为基准，描述物体方向的角。明确基准方向（正北）；确定旋转方向（向西）和角度（30°）；结合距离（2km）判断图形是否符合要求。
11．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】从数轴可知，被覆盖的数在 2 和 3 之间，即 2·选项 A：≈ 1.732，在 2 和 1 之间，不符合 2·选项 B：>=5，大于 5，不符合 2·选项 C：>=3，大于 3，不符合 2·选项 D：<<，即 2<<3，符合数轴上的范围，正确。
·综上，被覆盖的数可能是。
故答案为：D .
【分析】先确定被覆盖数的范围，再估算每个选项的无理数大小：从数轴上看出，被覆盖的数在 2 和 3 之间，即 212．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
13．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，
故答案为：．
【分析】本题考查无理数比较大小，根据 “被开方数越大，算术平方根越大” 的性质，由 ，可得
14．【答案】（0，5）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】根据平面直角坐标系中点的平移规律：向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加；向左平移时，纵坐标不变，横坐标减少。∴向上平移 2 个单位 点 A(2，3) 向上平移 2 个单位，纵坐标 3+2=5，横坐标不变，得到点 (2，5)。
向左平移 2 个单位 点 (2，5) 向左平移 2 个单位，横坐标 2 2=0，纵坐标不变，得到点 (0，5)。
故答案为：（0，5）
【分析】本题的核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移：左减右加（横坐标）；上下平移：上加下减（纵坐标）。解题时，分两步进行：先处理上下平移，再处理左右平移，根据平移方向和单位，对相应坐标进行加减运算，即可得到平移后的坐标。
15．【答案】50°
【知识点】角的概念及表示；垂线的概念
【解析】【解答】已知直线 AB 经过点 O，OC⊥OD，
∴∠COD=90 。
∵A、O、B 在同一直线上，
∴∠1+∠COD+∠2=180 （平角的定义）。
∵∠2=40 ，
∴∠1=180 ∠COD ∠2=180 90 40 =50
因此，∠1=50 。
故答案为：50 .
【分析】本题解题核心是利用垂直的定义和平角的性质来求解角度：首先根据 OC⊥OD，得出 ∠COD=90 ；再利用直线 AB 形成的平角（180 ），得到 ∠1+∠COD+∠2=180 ；最后代入已知角度，通过简单的减法运算求出 ∠1 的度数。
16．【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为．
【分析】根据流程图依次计算，不满足输出条件，循环计算解答即可．
17．【答案】（1）解，原式=3+0-
=3-2
1
（2）解，原式=-3+
=-3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题是实数混合运算的基础题，解题核心是掌握各类运算的定义与法则：算术平方根：=|a|，=3，=2；立方根：=0，=3；绝对值：（负数的绝对值是它的相反数）；同类二次根式合并：将含的项合并，常数项单独计算。
18．【答案】（1）
（2）桂林七星岩坐标为（4，5），柳州龙潭公园坐标为（3，3），百色起义纪念馆坐标为（-2，2）
（3）南宁青秀山坐标为（1，1），钦州三娘湾坐标为（0，0），北海银滩坐标为；
S三角形=2×2-×1×1-×2×1-×2×1
=4--1-1
==
【知识点】三角形的面积；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】(1)根据实际场景建立平面直角坐标系，解题时先选定参照物作为坐标原点，再按照 “上北下南、左西右东” 确定x轴、y轴正方向，结合网格单位长度完成作图。
(2)在已建好的坐标系中，根据点的坐标定义，分别读取每个景点对应横轴、纵轴上的数值，按照有序数对横坐标纵坐标的形式写出坐标。
(3)本题三角形的边不与坐标轴平行，无法直接套用三角形面积公式。采用课本常规割补法，先用矩形将三角形整体包围，再用矩形面积减去四周三个直角三角形的面积，间接求出目标三角形面积。
19．【答案】垂直的定义；AD；如果内错角相等，那么两直线平行；∠2；CD；如果同位角相等，那么两直线平行；∠ADC；如果两直线平行，那么同旁内角互补；∠EAD；如果同旁内角互补，那么两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直证平行 根据 “垂直的定义” 得到两个直角，再利用 “同位角相等，两直线平行” 证明 EC∥AD。平行证角相等利用 EC∥AD，根据 “两直线平行，同位角相等”得到 ∠EBA=∠4，再结合已知条件进行等量代换，得到 ∠EBA=∠2，从而证明 AB∥CD。利用 AB∥CD，根据 “两直线平行，同旁内角互补” 得到 ∠2+∠ADC=180 。等量代换，完成最终证明 结合 ∠1=∠3，将 ∠2+∠ADF+∠3=180 代换为 ∠EAD+∠ADF=180 ，最后根据 “同旁内角互补，两直线平行” 证明 AE∥DF。
20．【答案】解：已知正方形卡片的面积为 100 cm2，设其边长为 a，则：a2=100，
∵边长为正数，
∴a==10 cm，
已知长方形封皮的长与宽的比为 3：2，设长为 3x cm，宽为 2x cm，其面积为 180 cm2，
∴3x×2x=180，
6x2=180，
x2=30，
∵边长为正数，
∴x=，
∴长方形的长为 330 cm，宽为 230 cm。
∵ 25<30<36，
∴ 5<<6，
∴ 10<<12，
即>10。
因为长方形的宽cm 大于正方形的边长 10 cm，
所以正方形卡片能够直接装进长方形封皮中。
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；多边形的面积
【解析】【分析】首先根据正方形面积，求出卡片的关键尺寸 —— 边长a=10，再根据长方形的长宽比设长为 3x cm，宽为 2x cm，根据面积为180，求出其宽（短边）x=。最后通过 “夹逼法” 5<<6估算无理数的大小10<<12，从而判断卡片能否装入。
21．【答案】将等式两边的有理数部分和无理数部分分别整理：(x 2y)+ =，
∵x，y是有理数，
∴（x-2y）是有理数，y 是有理数；
又∵是无理数，要使等式成立，等式两边的有理数部分和无理数部分必须分别相等：
∴，
∴把 y=3 代入第一个方程得 x=16 ，
∴x+y=16+3=19。
【知识点】解二元一次方程组；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【分析】先把等式整理成“有理数部分 + 无理数部分”的形式，利用“有理数 + 无理数 = 有理数 + 无理数”，由“有理数≠无理数”的性质，得出等式两边的有理数部分和无理数部分必须分别相等，从而列出方程组。解方程组求出 x，y 的值，再计算 x+y。
22．【答案】（1）
（2） =6×4
=24.
=10×11
=110.
（3）长方形的面积公式为：面积=长×宽
已知长方形的长为宽为
所以面积==
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）通过材料给出的例子，观察、猜想并总结出二次根式的乘法法则：当 a≥0，b≥0 时，。
（2）直接套用二次根式的乘法法则，将根号内的乘法转化为两个算术平方根的乘法，分别计算后再相乘，简化运算过程。
（3）利用长方形面积公式=长×宽，结合二次根式乘法法则，求出长方形的面积。
23．【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换
（2）真命题，理由如下：
∵GF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴DE∥BC（两直线平行，内错角相等）
（3）从四个条件①GF⊥AB、②CD⊥AB、③∠1=∠2、④DE∥BC中选三个为题设，另一个为结论，可构成以下 4 个真命题：题设：①②④，结论：③题设：①②③，结论：④题设：①③④，结论：②题设：②③④，结论：①因此，真命题共有4个故答案为：4。
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）利用垂直定义证得GF∥CD，再通过平行线的性质得到∠2=∠3，结合DE∥BC得到∠1=∠3，最终等量代换证明∠1=∠2。
（2）将题设与结论对调，同样先证GF∥CD，再通过∠1=∠2等量代换得到∠1=∠3，从而用内错角相等证DE∥BC，证明命题为真。
（3）通过枚举法列出所有可能的命题，结合前两问的结论，验证得出 4 个真命题，考查逻辑推理的完整性。
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