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四川省德阳市2024——2025学年下学期八年级期末学业水平检测数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、与是同类二次根式，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式，据此逐项进行分析即可.
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.
3．关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点
B．图象经过一、二、三象限
C．随的增大而增大
D．其图象可由的图象向上平移个单位长度得到
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，有，
∴图象不过点，故A错误；
∵，，
∴图象经过第一、二、四象限，故B错误；
∵，
∴随的增大而减小，故C错误；
一次函数的图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故D正确；
故答案为：D．
【分析】当时，代入函数可得，说明函数图象经过点，并不经过，判断A错误；一次函数中，，，根据一次函数的图象性质可知，该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，判断B错误；在一次函数中，因为，所以函数值会随着自变量的增大而减小，不会出现随增大而增大的情况，判断C错误；根据一次函数图象的平移规律：“上加下减常数项”，一次函数，就是将的图象向上平移个单位长度得到的，判断D正确.
4．如果，那么下面各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
A、中，和无意义（实数范围内），故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C.
【分析】根据，，可得，，然后二次根式的乘除混合运算以及性质逐项进行计算判断即可.
5．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的中位数是（　　）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵本次统计总共有45名同学，
∴数据从小到大排列后，最中间的位置是第23位，根据题意，得，，
∴前四组累计共16人，前五组累计共27人，
∴第23个数据落在人数为11的4.5~4.7这一区间内，
∴中位数为4.7，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义，结合累计人数判断中间位置所在区间即可得到结果.
6．已知，则的值为（　　）
A．5 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题知，
解得x=1
将x=1代入得y=-1
则==3
故答案为：B
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值为1，将x的值代入解得y的值，最后求解二次根式的值。
7．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故A不正确；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确；
C、菱形的对角线互相垂直，故C不正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可．
8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，利用x表示出AB的长，利用勾股定理得出方程，解方程即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线为常数，的交点为，
∴把代入，得，
解得：，
当时，有，
故答案为：D．
【分析】先将坐标代入函数解析式中，得到的值，然后结合函数特征写出不等式的解集即可．
10．已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．或或1
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数，当时，函数有最大值为，
∴当时，有，
∴此时时，取得最大值，即，
解得：(不合题意，舍去)；
当时，时，取得最大值，
∴此时，
解得：(不合题意，舍去)；
当时，有，
∴此时时，取得最大值，即，
解得：；
综上所述，的值为1，
故答案为：A．
【分析】分三种情况讨论：当或或时，结合绝对值的意义去掉绝对值符号，然后根据一次函数的性质，可以求得的值．
11．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（　　）
A．121 B．110 C．100 D．90
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点，
∵，，，
∴，
根据题意，可知，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，
则有，
又∵，
∴，
∴长方形的面积．
故答案为：B．
【分析】如图，延长与相交于点，延长与相交于点，首先根据勾股定理求出直角三角形的一条直角边AC的长度，再利用全等三角形的性质求出长方形的长和宽，最后计算长方形的面积。
12．如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，连接，过点作交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴在点运动过程中，点始终在射线上，故①正确；
②如图，取的中点，连接，
∵在正方形中，，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点是的中点，点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是线段上一点，
∴当时，有最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴有最小值为，故②正确；
③∵，，
∴，
当点是中点时，，则是等腰三角形，
当时，是等腰三角形，此时，
∴为等腰三角形时，的值为或，故③正确；
综上所述，①②③正确，
故答案为：D．
【分析】①如图，连接，过点作交于点，结合正方形的性质证明，从而可得，进而可证三点共线，得到①正确；②取的中点，连接，结合正方形的性质证明，可得，根据垂线段最短可知当时，有最小值为，即有最小值为，得到②正确；③由等腰三角形的性质可得的值为或，得到③正确，即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上．）
13．已知函数是一次函数，则　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是一次函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的定义，得到，且，即可求解.
14．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：1．
【分析】先把二次根式除法转化为乘法，然后利用二次根式的乘法法则进行计算即可．
15．已知一组数据：，，，…，的方差是3，则另一组数据：的方差是　 　．
【答案】3
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设数据：的平均数为，
∵数据的方差是3，
∴，
∴，
设数据，，…，的平均数为，
∴
，
∴
，
故答案为：3 ．
【分析】设数据：的平均数为，设数据，，…，的平均数为，根据平均数以及方差的计算公式即可得到答案.
16．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED'的大小为　 　．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝52°，∠EAD'＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED'＝180°－∠EAD'－∠D'＝108°，
∴∠FED'＝108°－72°＝36°；
故答案为：36°．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED'是解决问题的关键．
根据平行四边形的性质：对角相等可知：∠D＝∠B＝52°，再根据折叠的性质：折叠前后的两个图形对应角相等可知：∠D'＝∠D＝52°，∠EAD'＝∠DAE＝20°，根据角的和差运算可知：∠AEF＝∠D＋∠DAE=72°，根据三角形内角和为180°可得：∠AED'＝180°－∠EAD'－∠D'＝108°，再根据角的和差运算可得：∠FED'＝108°－72°＝36°，由此可得出答案.
17．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
【答案】17
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，宽为8dm，长为，
则点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得．
故答案为：17．
【分析】将三级台阶的侧面展开得到一个长方形，该长方形的长为三级台阶的宽与高的和，宽为8dm，根据两点之间线段最短可得点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，然后利用勾股定理求解即可.
18．如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；探索规律-函数上点的规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当，有，
∴，
当，有，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，，
∴，，
当，有，
∴，
同理可求，，
当，有，
∴，
同理可求，，……
∴的纵坐标为，
∴点的纵坐标是，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据菱形以及等腰三角形“等边对等角”性质得到，从而得，进而结合等腰三角形的判定得到，于是利用中点坐标公式得到，然后结合菱形的性质求出，，，推出的纵坐标为，即可求解．
三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
19．计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，有理数的乘方，二次根式的除法，负整数指数幂，然后进行加减乘运算；
（2）先利用平方差公式计算二次根式的乘法，然后合并同类项即可．
（1）解：
（2）解：
20．2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84；
抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68．
抽取的对“”、“”的评分统计表
品牌 平均数 众数 A等级所占百分比
88 98
b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有多少人？
【答案】（1）解：∵“”的评分数据中等级数据为：89，89，88，87，86，86，84，
∴，
∴，
∴，
∵抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，
78，72，69，68，
∴，
∵抽取的对“”的评分数据中，97出现了3次，出现的次数最多，
∴；
（2）解：（人），
答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有239人．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出“”的评分数据中等级所占百分比，然后用1减去所占百分比得到的值，即可求出的值，根据平均数计算方法可求的值，根据众数的定义可求的值；
（2）用两种软件的总人数乘以等级所占百分比，然后求和即可.
（1）解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：，
，
∴
平均数为：，
抽取的对“”的评分数据中，97出现了3次，出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：15；88；97；
（2）解：（人）
答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人．
21．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
22．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且．
（1）求直线和的解析式；
（2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线交轴于点，
∴当时，有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线交轴负半轴于点，
∴，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得：或，
当时，有，
当时，有，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法得直线的解析式，从而可得点的坐标，进而得到的值，然后根据可得点的坐标，最后利用待定系数法可得直线的解析式；
（2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，
∵点位于轴负半轴，
∴，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
则点的坐标为或．
23．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元．
（1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？
（3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】（1）解：设，两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元，
根据题意，得，
解得：，
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴共有种满足条件的方案；
（3）解：设收益为元，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
∴售出种柑橘礼盒（盒），
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设，两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元，根据“每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元”建立二元一次方程组，即可求解；
（2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据“品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元”列出不等式，解不等式即可求解；
（3）设销售的总收益为元，根据题意列出函数关系式，再结合一次函数的增减性性质，即可得到答案.
（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得，
解得：
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得，
解得：，
，
∴共有种满足条件的方案；
（3）设收益为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
∴售出种柑橘礼盒（盒）
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
24．已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．
（1）求证：≌；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）结合等腰直角三角形性质得到，，，然后由即可得证结论；
（2）根据等腰直角三角形性质得到，由全等三角形的性质可以证明是直角三角形，，然后用勾股定理得到，，即可证得结论成立．
25．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为(________，________)．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：将代入直线得：，
∴，
∴，
将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，且点在直线上，
∴，，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得：或，
∴当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）解：存在，点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，
解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得点坐标；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
1 / 1四川省德阳市2024——2025学年下学期八年级期末学业水平检测数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
3．关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点
B．图象经过一、二、三象限
C．随的增大而增大
D．其图象可由的图象向上平移个单位长度得到
4．如果，那么下面各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的中位数是（　　）
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
6．已知，则的值为（　　）
A．5 B．3 C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线为常数，的交点为，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．或或1
11．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（　　）
A．121 B．110 C．100 D．90
12．如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上．）
13．已知函数是一次函数，则　 　．
14．计算：　 　．
15．已知一组数据：，，，…，的方差是3，则另一组数据：的方差是　 　．
16．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED'的大小为　 　．
17．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
18．如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
19．计算：
（1）.
（2）.
20．2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84；
抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68．
抽取的对“”、“”的评分统计表
品牌 平均数 众数 A等级所占百分比
88 98
b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有多少人？
21．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
22．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且．
（1）求直线和的解析式；
（2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
23．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元．
（1）求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？
（3）在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
24．已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．
（1）求证：≌；
（2）求证：．
25．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为(________，________)．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、与是同类二次根式，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同类二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式，据此逐项进行分析即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.
3．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，有，
∴图象不过点，故A错误；
∵，，
∴图象经过第一、二、四象限，故B错误；
∵，
∴随的增大而减小，故C错误；
一次函数的图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故D正确；
故答案为：D．
【分析】当时，代入函数可得，说明函数图象经过点，并不经过，判断A错误；一次函数中，，，根据一次函数的图象性质可知，该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，判断B错误；在一次函数中，因为，所以函数值会随着自变量的增大而减小，不会出现随增大而增大的情况，判断C错误；根据一次函数图象的平移规律：“上加下减常数项”，一次函数，就是将的图象向上平移个单位长度得到的，判断D正确.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
A、中，和无意义（实数范围内），故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C正确；
D、，故D不正确；
故答案为：C.
【分析】根据，，可得，，然后二次根式的乘除混合运算以及性质逐项进行计算判断即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵本次统计总共有45名同学，
∴数据从小到大排列后，最中间的位置是第23位，根据题意，得，，
∴前四组累计共16人，前五组累计共27人，
∴第23个数据落在人数为11的4.5~4.7这一区间内，
∴中位数为4.7，
故答案为：B.
【分析】根据中位数的定义，结合累计人数判断中间位置所在区间即可得到结果.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题知，
解得x=1
将x=1代入得y=-1
则==3
故答案为：B
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值为1，将x的值代入解得y的值，最后求解二次根式的值。
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故A不正确；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确；
C、菱形的对角线互相垂直，故C不正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，利用x表示出AB的长，利用勾股定理得出方程，解方程即可．
9．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线为常数，的交点为，
∴把代入，得，
解得：，
当时，有，
故答案为：D．
【分析】先将坐标代入函数解析式中，得到的值，然后结合函数特征写出不等式的解集即可．
10．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数，当时，函数有最大值为，
∴当时，有，
∴此时时，取得最大值，即，
解得：(不合题意，舍去)；
当时，时，取得最大值，
∴此时，
解得：(不合题意，舍去)；
当时，有，
∴此时时，取得最大值，即，
解得：；
综上所述，的值为1，
故答案为：A．
【分析】分三种情况讨论：当或或时，结合绝对值的意义去掉绝对值符号，然后根据一次函数的性质，可以求得的值．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点，
∵，，，
∴，
根据题意，可知，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得，
则有，
又∵，
∴，
∴长方形的面积．
故答案为：B．
【分析】如图，延长与相交于点，延长与相交于点，首先根据勾股定理求出直角三角形的一条直角边AC的长度，再利用全等三角形的性质求出长方形的长和宽，最后计算长方形的面积。
12．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：①如图，连接，过点作交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴在点运动过程中，点始终在射线上，故①正确；
②如图，取的中点，连接，
∵在正方形中，，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵点是的中点，点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是线段上一点，
∴当时，有最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴有最小值为，故②正确；
③∵，，
∴，
当点是中点时，，则是等腰三角形，
当时，是等腰三角形，此时，
∴为等腰三角形时，的值为或，故③正确；
综上所述，①②③正确，
故答案为：D．
【分析】①如图，连接，过点作交于点，结合正方形的性质证明，从而可得，进而可证三点共线，得到①正确；②取的中点，连接，结合正方形的性质证明，可得，根据垂线段最短可知当时，有最小值为，即有最小值为，得到②正确；③由等腰三角形的性质可得的值为或，得到③正确，即可求解．
13．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是一次函数，
，且，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的定义，得到，且，即可求解.
14．【答案】1
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：1．
【分析】先把二次根式除法转化为乘法，然后利用二次根式的乘法法则进行计算即可．
15．【答案】3
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：设数据：的平均数为，
∵数据的方差是3，
∴，
∴，
设数据，，…，的平均数为，
∴
，
∴
，
故答案为：3 ．
【分析】设数据：的平均数为，设数据，，…，的平均数为，根据平均数以及方差的计算公式即可得到答案.
16．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝52°，∠EAD'＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED'＝180°－∠EAD'－∠D'＝108°，
∴∠FED'＝108°－72°＝36°；
故答案为：36°．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED'是解决问题的关键．
根据平行四边形的性质：对角相等可知：∠D＝∠B＝52°，再根据折叠的性质：折叠前后的两个图形对应角相等可知：∠D'＝∠D＝52°，∠EAD'＝∠DAE＝20°，根据角的和差运算可知：∠AEF＝∠D＋∠DAE=72°，根据三角形内角和为180°可得：∠AED'＝180°－∠EAD'－∠D'＝108°，再根据角的和差运算可得：∠FED'＝108°－72°＝36°，由此可得出答案.
17．【答案】17
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，宽为8dm，长为，
则点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得．
故答案为：17．
【分析】将三级台阶的侧面展开得到一个长方形，该长方形的长为三级台阶的宽与高的和，宽为8dm，根据两点之间线段最短可得点A处的蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，然后利用勾股定理求解即可.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；探索规律-函数上点的规律；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴当，有，
∴，
当，有，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，，
∴，，
当，有，
∴，
同理可求，，
当，有，
∴，
同理可求，，……
∴的纵坐标为，
∴点的纵坐标是，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据菱形以及等腰三角形“等边对等角”性质得到，从而得，进而结合等腰三角形的判定得到，于是利用中点坐标公式得到，然后结合菱形的性质求出，，，推出的纵坐标为，即可求解．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，有理数的乘方，二次根式的除法，负整数指数幂，然后进行加减乘运算；
（2）先利用平方差公式计算二次根式的乘法，然后合并同类项即可．
（1）解：
（2）解：
20．【答案】（1）解：∵“”的评分数据中等级数据为：89，89，88，87，86，86，84，
∴，
∴，
∴，
∵抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，
78，72，69，68，
∴，
∵抽取的对“”的评分数据中，97出现了3次，出现的次数最多，
∴；
（2）解：（人），
答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为等级的共有239人．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出“”的评分数据中等级所占百分比，然后用1减去所占百分比得到的值，即可求出的值，根据平均数计算方法可求的值，根据众数的定义可求的值；
（2）用两种软件的总人数乘以等级所占百分比，然后求和即可.
（1）解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：，
，
∴
平均数为：，
抽取的对“”的评分数据中，97出现了3次，出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：15；88；97；
（2）解：（人）
答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人．
21．【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线交轴于点，
∴当时，有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线交轴负半轴于点，
∴，
将点，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得：或，
当时，有，
当时，有，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法得直线的解析式，从而可得点的坐标，进而得到的值，然后根据可得点的坐标，最后利用待定系数法可得直线的解析式；
（2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，即，
∵，
∴，
∵点位于轴负半轴，
∴，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
设点的坐标为，
∵的面积是9，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
则点的坐标为或．
23．【答案】（1）解：设，两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元，
根据题意，得，
解得：，
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴共有种满足条件的方案；
（3）解：设收益为元，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
∴售出种柑橘礼盒（盒），
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设，两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，元，根据“每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元”建立二元一次方程组，即可求解；
（2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据“品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元”列出不等式，解不等式即可求解；
（3）设销售的总收益为元，根据题意列出函数关系式，再结合一次函数的增减性性质，即可得到答案.
（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得，
解得：
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得，
解得：，
，
∴共有种满足条件的方案；
（3）设收益为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
∴售出种柑橘礼盒（盒）
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
24．【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）结合等腰直角三角形性质得到，，，然后由即可得证结论；
（2）根据等腰直角三角形性质得到，由全等三角形的性质可以证明是直角三角形，，然后用勾股定理得到，，即可证得结论成立．
25．【答案】（1）
（2）解：将代入直线得：，
∴，
∴，
将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，且点在直线上，
∴，，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得：或，
∴当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）解：存在，点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点代入直线得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，
解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得点坐标；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
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