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陕西省西安市西北工业大学附属中学2026届高三下学期第九次适应性训练数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的一条对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知随机变量，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．设抛物线的焦点为，准线为l，过点的直线交于两点，以为圆心，为半径的圆交l于两点.若，则一定有（ ）
A． B．直线的斜率是
C． D．的面积是
8．已知函数，若有两个零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．存在点P，使得平面
10．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（ ）
A．直线的斜率为 B．直线的斜率是
C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为
11．已知函数（且），下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，有恒成立
C．当时，有两个零点
D．存在唯一的使得仅有一个零点
三、填空题
12．在的二项展开式中，的系数为______．
13．数列的前项和，则的通项公式___________.
14．若实数满足，则的最小值为__________.
四、解答题
15．如图所示，已知四棱锥平面平面，.
(1)证明：平面平面；
(2)设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
16．甲乙两人进行围棋比赛，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，胜者得2分，输者得1分，甲胜的概率为，每局胜负不受其他因素的影响.
(1)在三局比赛中，设甲的累计得分为Y，求Y的分布列和数学期望；
(2)设n局比赛中，甲累计得分为的概率为，求.
17．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求k的取值范围.
18．双曲线的离心率为，等边三角形ABC的顶点A在y轴上，点BC在双曲线的右支上，当轴时，.
(1)求W的方程；
(2)设直线BC交y轴于点D，证明：以AD为直径的圆过定点.
19．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
参考答案
1．B
【详解】集合，，
则.
故选：B.
2．D
【详解】对于正弦型函数，其对称轴满足：，
所以对于函数，令，解得对称轴方程为：.
验证选项：当时，.
3．C
【详解】因为，即，
可得，所以.
4．C
【详解】因为正态分布的均值为，故，
故，C正确.
5．D
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，
若，则，与矛盾，故，
所以，
所以，
故选：D.
6．A
【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负，
对于A：,
，满足，A正确；
对于B：，不满足，B错误；
对于C：，不满足，C错误；
对于D：，
，不满足，D错误；
故选：A.
7．D
【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且
故，所以是等边三角形，所以，
设准线与轴交于点,则，如下图：
故故A错误；
对于B，因为,平行于轴，
故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为；
当点位于第四象限时，直线的倾斜角为；所以直线的斜率是，故B不正确；
对于C，因为直线的斜率是，且抛物线，
故直线的方程为：，
联立方程得，即
设则，故，故C不正确；
对于D,由A知 ，故
故,故D正确.
8．B
【详解】易知，
令，则，所以或；
可得或，
因此或，
又因为，所以；
所以
.
故选：B.
9．ACD
【详解】以点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，；
，设（其中，）；
选项A：因为，以为底面，点到平面的距离为高，
因为，所以，
点在上底面内，到平面的距离恒为，
则，
故为定值，A正确；
选项B：，取其方向向量为，；
，
若，则，代入得：，
由于，，故，，
则，方程无解，B错误；
选项C：平面的一个法向量为，
由线面角的正弦值公式得：；
令（），则：
当时，，，
令，则，
因，故，即在上严格单调递增，
；，故；
当时，，则：，
因此：，同时 恒成立；
综上，，C正确；
选项D：，，
设平面的法向量为，则：，
即：，令，则，，可得平面的一个法向量为：，
若直线与平面平行，则，即，
由于点在上底面内（不含边界），即，，方程 在此区域内有解（例如取，则），
此时，且不在平面内，故平面，选项D正确.
10．AD
【详解】设，则，
将的坐标代入椭圆的方程，得
两式相减得，
所以，
因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确；
所以.
如图，设为椭圆的左顶点，连接，则，
所以.
解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误；
所以，
所以，
故，D正确.
故选：AD.
11．BC
【详解】，
①当时，与的图象如下：

由图知，只有一个交点，即函数只有一个零点；
②时，与的图象如下：
若图象相切时且切点，则，解得，原函数有一个零点.

当时，两图象有两个交点，原函数有两个零点；

当时，两图象无交点，原函数无零点，

故D错误；
A：当时，，故，错误.
B：当时，，此时恒在上方，正确
C：当时，与恒有两个交点，正确
故选：BC
12．/2.5
【详解】因为展开式的通项为
令，可得的系数为.
故答案为：.
13．
【详解】由题意数列的前项和，则，
当时，，
不适合上式，
故的通项公式，
故答案为：
14．
【详解】令，
所以，两边平方并化简得，
同理，
由题知，则，
故，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）法一：取中点，连接.
因为且且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.
因为所以，又因为，且，所以平面，
故平面，平面，所以平面平面.
法二：不妨设，以为原点，分别以为轴建系，
则，
所以，
设平面的法向量为
由，所以，令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，
由，，令，则，
所以平面的一个法向量，
因为，故平面平面.
（2）法一：不妨设，以为原点，分别以为轴建系，
则，所以，
，
由，得平面的法向量，
设与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：由，得，
设与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)的分布列为
Y 3 4 5 6
数学期望
(2)
【详解】（1）记甲胜的局数为，则，且，
可得；；
；；
所以的分布列为
Y 3 4 5 6
数学期望.
（2）由题意可知：局比赛中，甲累计得分为分，即局比赛中甲胜2局，
当时，；
当时，；
综上所述：，则，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）当时，函数为：，
代入，得，故切点为，
而，
代入，，
由，得：，即
（2）当 时， 恒成立，即，；
由于时，则，
令（），对求导：
，
令分子为，
对求导：，
故在上单调递减，且，因此（），
由此可知（），即在上单调递减，所以，
由洛必达法则可得，
要使对所有恒成立，则，即.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）（1）由题知①，
当轴时，不妨设直线BC：，
与双曲线联立知，
又因为，
②，
又因为A在BC的中垂线上，故，
③，
将③代入①②知，.
即双曲线W方程为：；
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，不妨设BC：，
设，，，，

直线BC与双曲线联立，需满足，
，，
取BC中点为P，则易知，
，，
又∵，
设直线AP的方程为：，
，
由于为等边三角形，.
，
，
设以AD为直径的圆的圆心为，则，
则以AD为直径的圆的方程为④，
由于，
故④化简得，
令，解得，
∴以AD为直径的圆过定点，证毕.
19．(1)
(2)①12；②
【详解】（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.

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