资源简介

浙江省强基联盟2026年高三5月题库数学试题
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（　　）
A．垂直平面内的两条直线
B．垂直平面内的无数条直线
C．的方向向量垂直于平面的法向量
D．的方向向量平行于平面的法向量
6．在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（　　）
A．或7 B．2或7 C．或14 D．2或14
7．已知为的外心，且满足，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
9．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（　　）
A．圆心坐标为 B．
C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交
10．如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
12．在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是　 　.
13．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为　 　.
14．设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则　 　.
15．已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败．
（1）求该系统单次有效密钥分发成功的概率；
（2）若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望；
（3）科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
附：若，则，，．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上.
（1）求证：直线与直线为异面直线；
（2）求直线与平面所成角的最大值.
18．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若为函数的三个零点，且满足，
①求实数的取值范围；
②求的最小值.
19．为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记.
（1）求的方程；
（2）求证：；
（3）设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点.问是否存在，使得点四点共圆（为坐标原点）？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意易知共6个数据，且，
因此第60百分位数取第四个数即可，即为5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而得出数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数.
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：所有选项的定义域都是.
对于A，因为，所以是奇函数，故A错误；
对于B：因为，所以是偶函数，
则的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图），
故B正确；
对于C：，图象如下：
很显然函数不具备周期性，故C错误；
对于D，因为是周期为的偶函数，故D错误．
故答案为：B.
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，从而找出最小正周期为且为偶函数的函数.
4．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则，所以，，
则曲线的图象上存在与轴平行的切线，故A正确；
对于选项B，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则，无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故B错误；
对于选项C，因为的定义域为，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故C错误；
对于选项D，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故D错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，设出切点，根据导函数几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出切线方程，结合两直线平行斜率相等，从而找出满足要求的函数.
5．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A，因为直线垂直平面内的两条直线，
若两直线平行，则不能推出，故A错误；
对于B，因为直线垂直平面内的无数条直线，
若无数条直线两两平行，则不能推出，故B错误；
对于C，因为直线的方向向量垂直于平面的法向量，
则或，故C错误；
对于D，因为直线的方向向量平行于平面的法向量，则，
反之，若，则存在直线的方向向量平行于平面的法向量，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和线线垂直的判断方法、直线的方向向量的定义、法向量的定义、线面垂直的判定定理，再根据充要条件判断方法，从而找出满足要求的选项.
6．【答案】D
【知识点】等差中项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
由，则，，
因为成等差数列，所以，
则，所以，
则，解得或m=.
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，从而得出，再由等差中项公式，从而解一元二次方程得出实数m的值.
7．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；三角形五心；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为为外心，又因为外心为三角形各边垂直平分线的交点，
所以外心在各边的投影为各边中点，
则在上的投影为，在上的投影为，
所以 ，，
又因为，
两边点乘，得： ，
则，
整理得：，（1）
两边点乘，得： ，
则，
整理得：，（2）
联立（1）（2），消去，得： ，
化简得： ，则.
故答案为：C.
【分析】由三角形外心的性质，从而得到，，再利用平面向量基本定理结合两边分别点乘，，结合数量积运算律，从而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的标准方程为，，
则双曲线的标准方程为，，
所以，，则，
设，则，
设，则，
令，解得，因为，所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
则当时，函数有最大值，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设双曲线的标准方程和双曲线的标准方程，利用双曲线的离心率公式，从而用，表示出，，再代入后，则换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，则得出的最大值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于选项A，由，
得圆心为，故A错误；
对于选项B，联立抛物线与圆，
消去得，解得或x=，
当时，，不合要求，舍去；
当时，，解得，则，
所以，故B正确；
对于选项C，因为抛物线的准线为，
所以，圆心到的距离为2，等于圆的半径，
则抛物线的准线与圆相切，故C正确；
对于选项D，因为抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，
则直线与圆一定相交，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得出圆心坐标，则判断出选项A；联立抛物线方程和圆的方程得出交点坐标，再根据两点距离公式判断出选项B；利用抛物线方程得出准线方程，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，则判断出选项C；利用抛物线方程得出焦点坐标，此时直线过圆的圆心，再利用直线与圆相交位置关系判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取的中点为，连接 ，作 ，垂足为，连接 ，如下图所示：
根据正三棱台性质，可得 ，
因为 ，且 平面 ，
所以平面 ，
又因为平面 ，所以，
因为 ， ，且 平面，
所以平面，
依题意可知，直线与直线所成角为 ，
直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ，
易知，且，
则可得 ，所以 ，
故选项A、选项D正确；
又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，
可得；
当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得，
所以的大小无法比较，故选项B、选项C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据线线角的定义、线面角的定义和二面角的定义以及正三棱台的性质、线线垂直与线面垂直的推导关系，从而分别作出 ， ， ，再利用角的取值范围和正弦函数的定义以及求极限的方法，从而分类讨论比较出的大小，进而找出一定正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，
可知：，，，，
则，
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，所以，故A正确；
因为，所以，则，故B正确；
因为，
则，
所以，不存在，使得，故C错误；
由等比数列性质，可知，
则，都有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合递推公式以及等比数列的定义，从而判断出数列是以首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式和等比数列的性质以及恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复平面上的向量加法与复数加法法则一致，则对应坐标相加，
又因为，
所以对应的复数是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和复数的几何意义，再利用三角形法则，从而得出对应的复数.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，
由正弦定理，得，
则，所以，
又因为，所以，则，
因为，所以，
，
，
则，
所以的面积.
故答案为：.
【分析】先根据正弦定理和二倍角的正弦公式，从而求出，，，的值，再利用三角形内角和定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，从而得出的值，根据的面积公式得出的面积.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知，，将原方程两边同时除以，
化简为：，
令，则方程变为：，解得或，
则或，所以，原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，函数在处取得最小值为，
当时，；当时，，
因为，所以与、图象各有两个交点，
则原方程共有个互不相等的实数解，
由，得，两边取自然对数，则，
所以，
由，化简得：，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和换元法，则将方程转化为二次方程，从而得出的值，利用方程的解和两函数图象交点的横坐标的等价关系，则将原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法和对数的运算法则，从而求和得出的值.
15．【答案】（1）解：由，
可得，
则，
当时，可得.
（2）解：因为，
所以，
则
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）先利用已知条件和的关系式，从而求出，再利用的关系式和赋值法，从而得出的值.
（2）利用（1）中得出，再利用裂项相消法求和得出的值.
（1）由可得，
所以可得.
当时，可得.
（2）因为，所以.
则
.
16．【答案】（1）解：设 “量子信道成功密钥生成”为事件，
“经典信道完成信息匹配” 为事件，
由题意，得，，且与相互独立，
所以，该系统单次有效密钥分发成功的概率.
（2）解：由题意，得，
所以.
（3）解：由题意，得，
则，，
因为“最优传输”要求，
所以，
则，
又因为，
所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）根据已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出该系统单次有效密钥分发成功的概率.
（2）利用单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，再利用二项分布求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（3）先由已知条件和正态分布参数算出均值与标准差，再将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，再利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性求概率方法，从而得出，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而估算出次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件，
由题意得，，且与相互独立，
所以该系统单次有效密钥分发成功的概率；
（2）由题意得，，所以；
（3）由题意得，，则，，
因为“最优传输”要求，即，
所以，
，
所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为．
17．【答案】（1）证明：取中点，连接、，
由分别为的中点，底面是正方形，
得、，则，
所以、、、四点共面，
因为平面，，平面，
所以，直线与直线为异面直线.
（2）解：由是正三角形，且为中点，得，
由平面，平面，则，
因为，、平面，
所以平面，
则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
所以、、、、
、、，
由分别为的中点，
得、，
则、、、，
设，，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则、，
所以，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，则最大值为，
所以直线与平面所成角的最大值为.
【知识点】函数的最大（小）值；异面直线的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，利用中位线性质可得，从而判断出、、、四点共面，再结合点在直线上，从而证出直线与直线为异面直线.
（2）建立适当空间直角坐标系，利用中点坐标公式，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式及函数求最值的方法，从而求出直线与平面所成角的最大值.
（1）取中点，连接、，
由分别为的中点，底面是正方形，
故、，则，故、、、四点共面，
因为平面，，平面，
故直线与直线为异面直线；
（2）由是正三角形，且为中点，故，
由平面，平面，故，
又，、平面，故平面，
故可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、
、、，
由分别为的中点，故、，
则、、、，
设，，则，
设平面的法向量为，
则有，
取，则、，即，
有，
设直线与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，
故最大值为，即直线与平面所成角的最大值为.
18．【答案】（1）解：因为，所以 ，
可得点
因为，所以 ，
则切线方程为.
（2）解：①因为，
若，则恒成立，
所以在上递增，不可能有三个零点，不合题意；
若，则有两个不相等的实数根，
记为，且，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
当时，，
令，
则，
所以在上单调递增，且，
同理可得，
所以在和上各有一个零点，
又因为显然是的一个零点，
综上所述，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为.
②因为，又因为，所以，，
则，
由，
可得 ，
又因为 ，
根据区间单调性，可得 ，
所以，
因为，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）①对函数求导，利用分类讨论的方法判断满足函数零点条件所需要的函数单调区间，从而建立关于的限制条件，进而解出实数m的取值范围.
②根据函数零点大小关系求出的值，观察函数的结构特征建立函数关系式，再利用区间单调性，从而求出的值，根据基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1），所以 ，可得点
，所以 ，
所以切线方程为.
（2）①因为，
若，则恒成立，故在上递增，不可能有三个零点，不合题意.
若，则有两个不相等的实数根，记为，且，
故在上递增，在上递减，
因为，所以，
又因为当时，，
令，则，
所以在上递增，且，
同理，所以在和上各有一个零点，又显然是的一个零点.
综上，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为.
②，因为，所以，，
所以，
由，
可得 ，
又因为 ，
根据区间单调性，可得 ，
所以，
又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
19．【答案】（1）解：由椭圆方程，可知：，
因为，
解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）证明：因为，
由正弦定理，可得：
则，
整理可得.
（3）解：假设存在，可设直线，，，且，
联立方程，
消去x，可得，
则，
可得，则，，
由题意，可知：，则直线，
令，可得，则，
同理可得，
若四点共圆，则，
可得，且，
则，
可得，
且，，，
则，
整理可得，
则，
所以，
整理可得，
解得或（舍去），
所以，存在，使得点四点共圆，此时.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可知的值，结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而可得的值，进而得出椭圆C的方程.
（2）根据椭圆的离心率公式结合椭圆定义，从而可得，再利用正弦定理和三角恒等变换，从而证出成立.
（3）假设存在，则设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，从而可得韦达定理式，再结合四点共圆可得，根据两点距离公式和韦达定理式，从而得出存在，使得点四点共圆，此时.
（1）由椭圆方程可知：，
因为，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，
由正弦定理可得，
即，整理可得.
（3）假设存在，可设直线，，，且，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
则，，
由题意可知：，则直线，
令，可得，即，
同理可得，
若四点共圆，则，
可得，
且，则，可得，
且，，，
则，
整理可得，
即，
则，
整理可得，解得或（舍去），
所以存在，使得点四点共圆，此时.
1 / 1浙江省强基联盟2026年高三5月题库数学试题
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意易知共6个数据，且，
因此第60百分位数取第四个数即可，即为5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而得出数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数.
3．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：所有选项的定义域都是.
对于A，因为，所以是奇函数，故A错误；
对于B：因为，所以是偶函数，
则的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图），
故B正确；
对于C：，图象如下：
很显然函数不具备周期性，故C错误；
对于D，因为是周期为的偶函数，故D错误．
故答案为：B.
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，从而找出最小正周期为且为偶函数的函数.
4．下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则，所以，，
则曲线的图象上存在与轴平行的切线，故A正确；
对于选项B，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则，无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故B错误；
对于选项C，因为的定义域为，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故C错误；
对于选项D，因为的定义域为R，所以，
设切点为，假设在处的切线与轴平行，
则无解，所以的图象上不存在与轴平行的切线，故D错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，设出切点，根据导函数几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出切线方程，结合两直线平行斜率相等，从而找出满足要求的函数.
5．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（　　）
A．垂直平面内的两条直线
B．垂直平面内的无数条直线
C．的方向向量垂直于平面的法向量
D．的方向向量平行于平面的法向量
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线的方向向量
【解析】【解答】解：对于A，因为直线垂直平面内的两条直线，
若两直线平行，则不能推出，故A错误；
对于B，因为直线垂直平面内的无数条直线，
若无数条直线两两平行，则不能推出，故B错误；
对于C，因为直线的方向向量垂直于平面的法向量，
则或，故C错误；
对于D，因为直线的方向向量平行于平面的法向量，则，
反之，若，则存在直线的方向向量平行于平面的法向量，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和线线垂直的判断方法、直线的方向向量的定义、法向量的定义、线面垂直的判定定理，再根据充要条件判断方法，从而找出满足要求的选项.
6．在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（　　）
A．或7 B．2或7 C．或14 D．2或14
【答案】D
【知识点】等差中项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得，
由，则，，
因为成等差数列，所以，
则，所以，
则，解得或m=.
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，从而得出，再由等差中项公式，从而解一元二次方程得出实数m的值.
7．已知为的外心，且满足，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；三角形五心；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为为外心，又因为外心为三角形各边垂直平分线的交点，
所以外心在各边的投影为各边中点，
则在上的投影为，在上的投影为，
所以 ，，
又因为，
两边点乘，得： ，
则，
整理得：，（1）
两边点乘，得： ，
则，
整理得：，（2）
联立（1）（2），消去，得： ，
化简得： ，则.
故答案为：C.
【分析】由三角形外心的性质，从而得到，，再利用平面向量基本定理结合两边分别点乘，，结合数量积运算律，从而得出的值.
8．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的标准方程为，，
则双曲线的标准方程为，，
所以，，则，
设，则，
设，则，
令，解得，因为，所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
则当时，函数有最大值，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设双曲线的标准方程和双曲线的标准方程，利用双曲线的离心率公式，从而用，表示出，，再代入后，则换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，则得出的最大值.
9．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（　　）
A．圆心坐标为 B．
C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：对于选项A，由，
得圆心为，故A错误；
对于选项B，联立抛物线与圆，
消去得，解得或x=，
当时，，不合要求，舍去；
当时，，解得，则，
所以，故B正确；
对于选项C，因为抛物线的准线为，
所以，圆心到的距离为2，等于圆的半径，
则抛物线的准线与圆相切，故C正确；
对于选项D，因为抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，
则直线与圆一定相交，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得出圆心坐标，则判断出选项A；联立抛物线方程和圆的方程得出交点坐标，再根据两点距离公式判断出选项B；利用抛物线方程得出准线方程，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，则判断出选项C；利用抛物线方程得出焦点坐标，此时直线过圆的圆心，再利用直线与圆相交位置关系判断方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取的中点为，连接 ，作 ，垂足为，连接 ，如下图所示：
根据正三棱台性质，可得 ，
因为 ，且 平面 ，
所以平面 ，
又因为平面 ，所以，
因为 ， ，且 平面，
所以平面，
依题意可知，直线与直线所成角为 ，
直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ，
易知，且，
则可得 ，所以 ，
故选项A、选项D正确；
又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，
可得；
当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得，
所以的大小无法比较，故选项B、选项C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据线线角的定义、线面角的定义和二面角的定义以及正三棱台的性质、线线垂直与线面垂直的推导关系，从而分别作出 ， ， ，再利用角的取值范围和正弦函数的定义以及求极限的方法，从而分类讨论比较出的大小，进而找出一定正确的选项.
11．我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．，使得
D．，都有
【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意，
可知：，，，，
则，
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，所以，故A正确；
因为，所以，则，故B正确；
因为，
则，
所以，不存在，使得，故C错误；
由等比数列性质，可知，
则，都有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合递推公式以及等比数列的定义，从而判断出数列是以首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式和等比数列的性质以及恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．在复平面内，i为虚数单位，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是　 　.
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复平面上的向量加法与复数加法法则一致，则对应坐标相加，
又因为，
所以对应的复数是.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和复数的几何意义，再利用三角形法则，从而得出对应的复数.
13．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，
由正弦定理，得，
则，所以，
又因为，所以，则，
因为，所以，
，
，
则，
所以的面积.
故答案为：.
【分析】先根据正弦定理和二倍角的正弦公式，从而求出，，，的值，再利用三角形内角和定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，从而得出的值，根据的面积公式得出的面积.
14．设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则　 　.
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知，，将原方程两边同时除以，
化简为：，
令，则方程变为：，解得或，
则或，所以，原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，函数在处取得最小值为，
当时，；当时，，
因为，所以与、图象各有两个交点，
则原方程共有个互不相等的实数解，
由，得，两边取自然对数，则，
所以，
由，化简得：，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和换元法，则将方程转化为二次方程，从而得出的值，利用方程的解和两函数图象交点的横坐标的等价关系，则将原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法和对数的运算法则，从而求和得出的值.
15．已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由，
可得，
则，
当时，可得.
（2）解：因为，
所以，
则
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）先利用已知条件和的关系式，从而求出，再利用的关系式和赋值法，从而得出的值.
（2）利用（1）中得出，再利用裂项相消法求和得出的值.
（1）由可得，
所以可得.
当时，可得.
（2）因为，所以.
则
.
16．信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败．
（1）求该系统单次有效密钥分发成功的概率；
（2）若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望；
（3）科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
附：若，则，，．
【答案】（1）解：设 “量子信道成功密钥生成”为事件，
“经典信道完成信息匹配” 为事件，
由题意，得，，且与相互独立，
所以，该系统单次有效密钥分发成功的概率.
（2）解：由题意，得，
所以.
（3）解：由题意，得，
则，，
因为“最优传输”要求，
所以，
则，
又因为，
所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）根据已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出该系统单次有效密钥分发成功的概率.
（2）利用单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，再利用二项分布求数学期望公式，从而得出的数学期望.
（3）先由已知条件和正态分布参数算出均值与标准差，再将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，再利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性求概率方法，从而得出，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而估算出次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件，
由题意得，，且与相互独立，
所以该系统单次有效密钥分发成功的概率；
（2）由题意得，，所以；
（3）由题意得，，则，，
因为“最优传输”要求，即，
所以，
，
所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上.
（1）求证：直线与直线为异面直线；
（2）求直线与平面所成角的最大值.
【答案】（1）证明：取中点，连接、，
由分别为的中点，底面是正方形，
得、，则，
所以、、、四点共面，
因为平面，，平面，
所以，直线与直线为异面直线.
（2）解：由是正三角形，且为中点，得，
由平面，平面，则，
因为，、平面，
所以平面，
则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
所以、、、、
、、，
由分别为的中点，
得、，
则、、、，
设，，
则，
设平面的法向量为，
则，取，则、，
所以，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，则最大值为，
所以直线与平面所成角的最大值为.
【知识点】函数的最大（小）值；异面直线的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，利用中位线性质可得，从而判断出、、、四点共面，再结合点在直线上，从而证出直线与直线为异面直线.
（2）建立适当空间直角坐标系，利用中点坐标公式，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式及函数求最值的方法，从而求出直线与平面所成角的最大值.
（1）取中点，连接、，
由分别为的中点，底面是正方形，
故、，则，故、、、四点共面，
因为平面，，平面，
故直线与直线为异面直线；
（2）由是正三角形，且为中点，故，
由平面，平面，故，
又，、平面，故平面，
故可以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、
、、，
由分别为的中点，故、，
则、、、，
设，，则，
设平面的法向量为，
则有，
取，则、，即，
有，
设直线与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，
故最大值为，即直线与平面所成角的最大值为.
18．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若为函数的三个零点，且满足，
①求实数的取值范围；
②求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以 ，
可得点
因为，所以 ，
则切线方程为.
（2）解：①因为，
若，则恒成立，
所以在上递增，不可能有三个零点，不合题意；
若，则有两个不相等的实数根，
记为，且，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
当时，，
令，
则，
所以在上单调递增，且，
同理可得，
所以在和上各有一个零点，
又因为显然是的一个零点，
综上所述，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为.
②因为，又因为，所以，，
则，
由，
可得 ，
又因为 ，
根据区间单调性，可得 ，
所以，
因为，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）①对函数求导，利用分类讨论的方法判断满足函数零点条件所需要的函数单调区间，从而建立关于的限制条件，进而解出实数m的取值范围.
②根据函数零点大小关系求出的值，观察函数的结构特征建立函数关系式，再利用区间单调性，从而求出的值，根据基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1），所以 ，可得点
，所以 ，
所以切线方程为.
（2）①因为，
若，则恒成立，故在上递增，不可能有三个零点，不合题意.
若，则有两个不相等的实数根，记为，且，
故在上递增，在上递减，
因为，所以，
又因为当时，，
令，则，
所以在上递增，且，
同理，所以在和上各有一个零点，又显然是的一个零点.
综上，当函数有三个零点时，可得实数的取值范围为.
②，因为，所以，，
所以，
由，
可得 ，
又因为 ，
根据区间单调性，可得 ，
所以，
又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
19．为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记.
（1）求的方程；
（2）求证：；
（3）设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点.问是否存在，使得点四点共圆（为坐标原点）？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由椭圆方程，可知：，
因为，
解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）证明：因为，
由正弦定理，可得：
则，
整理可得.
（3）解：假设存在，可设直线，，，且，
联立方程，
消去x，可得，
则，
可得，则，，
由题意，可知：，则直线，
令，可得，则，
同理可得，
若四点共圆，则，
可得，且，
则，
可得，
且，，，
则，
整理可得，
则，
所以，
整理可得，
解得或（舍去），
所以，存在，使得点四点共圆，此时.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据椭圆方程可知的值，结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而可得的值，进而得出椭圆C的方程.
（2）根据椭圆的离心率公式结合椭圆定义，从而可得，再利用正弦定理和三角恒等变换，从而证出成立.
（3）假设存在，则设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，从而可得韦达定理式，再结合四点共圆可得，根据两点距离公式和韦达定理式，从而得出存在，使得点四点共圆，此时.
（1）由椭圆方程可知：，
因为，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，
由正弦定理可得，
即，整理可得.
（3）假设存在，可设直线，，，且，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
则，，
由题意可知：，则直线，
令，可得，即，
同理可得，
若四点共圆，则，
可得，
且，则，可得，
且，，，
则，
整理可得，
即，
则，
整理可得，解得或（舍去），
所以存在，使得点四点共圆，此时.
1 / 1

展开更多......

收起↑