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浙江省宁波市宁海县2026年九年级适应性考试数学二模试题卷
1．的绝对值是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且，
∴．
故选：A.
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数即可解答.
2．如图放置的圆锥的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆锥的俯视图为：
，
故答案为：D.
【分析】根据从上面看到的几何图形是附属图解答即可.
3．在 2026 年的全球人工智能博览会上，国产大模型“DeepThink”展示了其强大的推理能力．该模型每秒可进行约1580000000次浮点运算．将数据“1580000000”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a与 不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项正确，符合题意；
故该项不正确，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则进行解题即可.
5．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了 7 名学生的成绩(单位：分)，数据如下： 85， 78， 86， 92， 85， 97， 88．则这组数据的中位数是(　　)
A．92分 B．86分 C．85分 D．78分
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据从小到大排列为： 78， 85， 85， 86， 88，92， 97.
所以中位数是：86，
故选：B.
【分析】根据一组数据从小到大排列后，局域中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可.
6．如图，在直角坐标系中， △OAB 的顶点A (3，4)， B (3，1) .以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的相似比为 的位似图形△OCD，则点 C 的坐标为(　　)
A． B．(-2，-2) C． D．(-1，-1)
【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；位似图形的性质
【解析】【解答】解：作 轴于H， 轴于G，
∵A(2， 2)，
且OA： OC=2，
故选： A.
【分析】作 轴于H， 轴于G，由 H，得 从而得出OG，CG的长.
7．我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何 ”(注：1贯=1000 文)意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱 设每匹绫值x文，每丈绸值y文，那么可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵绫三匹、绸四丈，值钱五贯，
∵绫五匹、绸二丈，值钱四贯，
∴根据题意可列出方程组 ，
故选： B.
【分析】根据“绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
8．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)，并拼出一个新图形如图所示，若AE=1，BE=2，则DE的长为(　　)
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等三角形纸板G ， △DAH，
故选： C.
【分析】根据全等三角形的性质得出AE=DH，BE=AH，进而利用勾股定理解答即可.
9． 已知点A(m，y1)在反比例函数的图象上，点 在一次函数y=x-1的图象上．下列判断正确的是 (　　)
A．当m≤-2时， B．当-2C．当0【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 在反比例函数 上，
点 在一次函数y=x-1上，
接下来分选项逐一验证：
选项A：当 时
则 即 A错误；
选项B：当-2m+2>0，m-1<0，m<0，
则 B错误；
选项C：当(0m+2>0，m-1<0，m>0，
则 即 C错误；
选项D：当 时
m+2>0，m-1≥0，m>0，
则 即 D正确.
故选： D.
【分析】先根据函数解析式，用含m的代数式表示出 和 再通过作差法比较大小，结合m的取值范围判断符号.作差后因式分解，再根据m的不同取值范围判断差的正负，从而比较 与 的大小.
10．如图1，在等腰三角形ABC中，D是底边BC的中点，点E在腰AB上，从点B出发，运动到点A时停止．设BE=x， DE2=y． 如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点P(0，36)， 最低点N(x1， n)， 最高点M(x2， m)， 且经过点Q(7.2， 36)．下列选项正确的是(　　)
A． B．m=64 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连结AD，过点D作 交AB于点F，
由已知可得，y关于x的图象中的点P(0，36) ，Q(7.2，36) ，N(x1， n) ， M(x2， m)，
分别对应图中运动点E在点B，E，F，A四处，
∵∠BFD=∠BDA=90°，∠B=∠B，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴AD=8，BC=12，
∴，
故答案为：B.
【分析】连结AD，过点D作 交AB于点F，根据图2可知y关于x的函数图象过P(0，36) ，Q(7.2，36) ，N(x1， n) ， M(x2， m)，几对应的为图中点B，E，F，A，即可得到BD和BF长，再根据两角对应相等得到△BDF∽△BAD，根据对应边成比例求出AB长，然后求出∠B的余弦，根据勾股定理求出m和n的值，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，逐一判断解答即可.
11．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】提取公因式3a分解因式即可.
12．若代数式 的值为1， 则x=　 　．
【答案】-3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得
去分母得： x-4=2x-1，
解得： x=-3，
经检验，x=-3是分式方程的解，
故答案为：-3.
【分析】由题意列得方程为 解方程并检验即可.
13．一个封闭的箱子里装有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是黑球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共3+2=5个球，其中黑球有2个，
∴从中任意摸出一个球是黑球的概率为
故答案为：
【分析】直接根据概率公式计算即可.
14．如图，点O是△ABC的AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C，与AB 相交于点D，若∠A=24°，则∠B的度数为　 　．
【答案】42°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
由圆周角定理得：
∵BC是⊙O的切线，
即
故答案为：
【分析】连接OC，根据切线的性质求出 根据切线的性质得到 再根据直角三角形的性质计算即可.
15．如图是某机器人举起手帕的示意图，点A 为手帕的最高点，BC垂直水平地面，且B，C，E在同一直线上，其中机械手臂 AB=68cm，手臂与身体连接处到大腿上方 BC=56cm，大腿和小腿长度一样都是40cm，即CD=DE=40cm，此时手臂与身体所成角度∠ABC=120°，身体与大腿所成角度的正切值为 则此时手帕最高点A 到水平地面的距离是　 　cm(结果保留根号)．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作 交CB的延长线于点F， 作 交BC的延长线于点G，如图所示，
由已知可得，
设DG=acm，则CG=3acm，
解得
，
故答案为：
【分析】作 交CB的延长线于点F， 作 交BC的延长线于点G，根据30°的直角三角形的性质得到BF=34，根据正切的定义设DG=acm，则CG=3acm，根据勾股定理求出a的值，然后根据线段的和差解答即可.
16．如图，在 ABCD中，点E为BC上一点，将△DEC沿DE 翻折得到△DEF，点C的对应点F恰好落在AE的中点处，延长DF交AB 于点G，则△AFG与四边形 BEDG 的面积比为　 　．
【答案】1：5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设CE=x，GF=a，
沿DE翻折得到 点C的对应点F恰好落在AE的中点处，
DFE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
即
∴AG=2a， GD=4a，
∴DF=GD-GF=4a-a=3a，
∴AB=CD=3a，
∴BG=3a-2a=a，
连接BF，如图，
设△BFG的面积为S，
∵AG： BG=2a： a=2： 1，
∵DF： GF=3a： a=3： 1，
∵AF=EF，
∵AF=EF，
与四边形BEDG的面积比：=2S：(6S+S+3S)=1：5.
故答案为：1： 5.
【分析】设CE=x， GF=a，先根据折叠的性质得到AF=EF=CE=x， DC=DF， 根据平行四边形的性质得到AB=CD， AD=BC， AD∥BC，∠C=∠DAB，再证明∠AED=∠ADE得到AD=AE=2x，接着证明∠AFG=∠DAG，则可判断△GAF∽△GDA，根据相似三角形的对应边成比例得到AG=2a， GD=4a，从而计算出DF=3a， BG=a，连接BF，设△BFG的面积为S，根据三角形面积公式可得然后利用AF=EF得到 =3S，从而可求出△AFG与四边形BEDG的面积比.
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的定义计算，再合并即可.
18．解不等式组：
【答案】解：由①得， x<3
由②得，
所以原不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．非物质文化遗产承载着一个民族的历史记忆，是人类文明的瑰宝．我国作为文明古国，非遗资源丰富多彩，涵盖了传统技艺、民间文学、传统音乐、舞蹈、戏剧、美术等多个领域．为助力非遗传承与发展，某校开展非物质文化遗产学习活动，为了解学生对中国非遗文化的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，统计结果描述如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1400名学生，根据统计信息，估计该校喜爱“传统手工艺类”的学生人数．
【答案】（1）解：学生的总人数为：(人)， (人)，
补全统计图如下：
（2）解：(人)
答：该校喜爱“传统手工艺类”的学生人数为560人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据喜爱“民宿表演类”的学生人数为64，占比为32%求出总人数，再根据喜欢其他的学生人数占比求出其他类的人数，补全统计图即可；
(2)用总人数乘以样本中喜爱“传统手工艺类”的学生人数占比即可得到答案.
20．如图，在锐角△ABC中， AB小聪：分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧交于点D(BC的下侧)，则点D 即为所求．
小明：分别作AB，AC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA 长为半径画弧，在弧上任意取一点D (异于点A，B，C)，则点D 即为所求．
（1）填空(填“小聪”、“小明”)：
①：　 　的作法正确；②：　 　的作法不正确．
（2）证明①正确，写出证明过程；
（3）说明②中∠BDC 与∠A 的大小关系．
【答案】（1）小聪；小明
（2）解由作法可知BD=AC，CD=AB，

（3）解：由作法可知，根据圆周角定理得，∠BDC=∠A或∠BDC与∠A 互补．
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确.
故答案为：小聪，小明；
【分析】(1)利用全等三角形的判定和性质判断小聪的作法正确；利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质判断小明的作法错误；
(2)利用全等三角形的判定和性质解决问题；
(3)分点D在BC的上方或下方两种情形讨论求解.
21．如图，在矩形ABCD中， E是BC上一点，连结AE， AE=BC，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证： △ABE≌△DFA；
（2）连结BD，交AE于点G，若AB=3， CE=1，求AD 的长．
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， ∠ABE=90°， AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE.
在 和 中，
∴△ABE≌△DFA(AAS)；
（2）解：设BE=a，
在 中，
由勾股定理得：
解得：a=4，

【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由矩形性质得AD=BC， ∠ABE=90°， AD∥BC，进而得∠AEB=∠DAF，由AE=BC得AE=AD，再由DF⊥AE得∠ABE=∠AFD=90°，据此可依据“AAS"判定△ABE和△DFA全等；
(2)设BE=a，则BC=BE+CE=a+1，进而得AE=BC=a+1，在Rt△ABE中，由勾股定理求出a=4得BC=a+1=5，据此可得AD的长.
22．2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发10min后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程y(km)和补给车队出发后的时间x(min)的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）补给车队的速度为　 　km/ min， b的值为　 　；
（2）求线段 BC 所在直线的函数表达式；
（3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为 7km．
【答案】（1）0.7；25
（2）设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+m，由题意得， k=0.7，
∵图象过点B(25， 14)，
∴函数表达式为y=0.7x-3.5；
（3）解：①当0∵补给车队的速度为0.7km/ min，
∴10min时补给车队的路程为7km，此时刚好小宁出发，符合题意；
②当x>25时，
由(2)得
∴令0.7x-3.5-(-1.4x+49)=7，则
答：补给车队出发10或 后，与小宁的距离为7km.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，结合图象可得，补给车队的速度=14÷20=0.7(km/min)；
∵补给车队出发10min后，志愿者小宁出发，
则20-10=10.
故答案为： 0.7； 25；
【分析】(1)依据题意，结合图象可得，补给车队的速度： 20=0.7(km/min)；又补给车队出发10min后，志愿者小宁出发，可得a=10，从而求出b的值解答即可；
(2)依据题意，设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+m，又由题意得，k=0.7，则y=0.7x+m，结合图象过点B(25，14)，进而计算可以得解；
(3)依据题意，分当 时和当x>25时两种情形讨论计算可以得解.
23．已知二次函数 (a为常数，且 a≠0)
（1）求二次函数的对称轴；
（2）若a>0，当-1≤x≤3时，函数的最大值为1，求a的值；
（3）在(2)的条件下，如果 A(x1，m)， B (x2，n)在二次函数 的图象上，其中0≤t<2，求m-n的最大值．
【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线的对称轴为直线x=2
（2）解：∵a>0
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为直线x=2且2-(-1)>3-2，
∴当-1≤x≤3时，函数值在x=-1处取得最大值1．
将x=-1， y=1，代入 ，
得a+4a+3a=1，解得
（3）解：由(2)得，
∵0≤t<2
∴自变量x的取值范围-4+2t≤x≤2-t 位于对称轴的左侧
∴如图，点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上，
∴当- 4+2t≤x≤2-t 时，函数值离对称轴越远值越大
∴要使m-n取得最大值， ，
整理得，
∵0≤t<2
∴当t=0时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用对称轴公式即可求解；
(2)由题意，抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，故当 时，函数值在x=-1处取得最大值1，据此即可求得a的值；
(3)由得到得出自变量x的取值范围 位于对称轴的左侧，即点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，要使m-n取得最大值，则A在B的左侧，即 ，由此得出整理得出 根据 利用二次函数的性质求出m-n的最大值即可
24．如图1，四边形ABCD 内接于⊙O， AC是⊙O 的直径，连结BD交AC于点E，∠ABD=2∠BDC．
（1）求证： AB=BD；
（2）求证：
（3）如图2，过点A作AF⊥BD交BD于点F，若DF=5， EF=7，求BE的长．
【答案】（1）证明：设∠BDC=α，则∠ABD=2α，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°-a，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-α，
∴∠ADB=∠BAD，
∴AB=BD；
（2）证明：连结OB
∵∠BOC=2∠BDC=2α且OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=α，
∴∠OBE=∠ABD-∠OBA=α，
∴∠OBE=∠BAE，
∵∠OEB=∠BEA，
∴△OBE∽△BAE，
，
即 ；
（3）解：过点O作OG⊥BD，交BD于点G
∴BD=2BG=2DG
设BE=a，则BD=12+a
由(2)得， △OBE∽△BAE
∵OG∥AF
得EG·AB=BE·FG
化简得，
解得 (舍去)
即BE=8
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；余角；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据统计奥德余角相等得到∠ADB=90°-α=∠BAD，即可证明结论；
(2)连结OB，根据两角对应相等证明△OBE∽△BAE，再根据对应边成比例解答即可；
(3)过点O作OG⊥BD，交BD于点G，设BE=a，则B 再根据 两边相乘可得 代入即可得解.
1 / 1浙江省宁波市宁海县2026年九年级适应性考试数学二模试题卷
1．的绝对值是（　　）
A．2026 B． C． D．
2．如图放置的圆锥的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．在 2026 年的全球人工智能博览会上，国产大模型“DeepThink”展示了其强大的推理能力．该模型每秒可进行约1580000000次浮点运算．将数据“1580000000”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．某校为了解九年级学生对国防知识的掌握情况，组织了一次“心系国防”知识竞赛．赛后，从某个班中随机抽取了 7 名学生的成绩(单位：分)，数据如下： 85， 78， 86， 92， 85， 97， 88．则这组数据的中位数是(　　)
A．92分 B．86分 C．85分 D．78分
6．如图，在直角坐标系中， △OAB 的顶点A (3，4)， B (3，1) .以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的相似比为 的位似图形△OCD，则点 C 的坐标为(　　)
A． B．(-2，-2) C． D．(-1，-1)
7．我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何 ”(注：1贯=1000 文)意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱 设每匹绫值x文，每丈绸值y文，那么可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
8．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)，并拼出一个新图形如图所示，若AE=1，BE=2，则DE的长为(　　)
A．3 B． C． D．4
9． 已知点A(m，y1)在反比例函数的图象上，点 在一次函数y=x-1的图象上．下列判断正确的是 (　　)
A．当m≤-2时， B．当-2C．当010．如图1，在等腰三角形ABC中，D是底边BC的中点，点E在腰AB上，从点B出发，运动到点A时停止．设BE=x， DE2=y． 如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点P(0，36)， 最低点N(x1， n)， 最高点M(x2， m)， 且经过点Q(7.2， 36)．下列选项正确的是(　　)
A． B．m=64 C． D．
11．因式分解： 　 　．
12．若代数式 的值为1， 则x=　 　．
13．一个封闭的箱子里装有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是黑球的概率为　 　．
14．如图，点O是△ABC的AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点C，与AB 相交于点D，若∠A=24°，则∠B的度数为　 　．
15．如图是某机器人举起手帕的示意图，点A 为手帕的最高点，BC垂直水平地面，且B，C，E在同一直线上，其中机械手臂 AB=68cm，手臂与身体连接处到大腿上方 BC=56cm，大腿和小腿长度一样都是40cm，即CD=DE=40cm，此时手臂与身体所成角度∠ABC=120°，身体与大腿所成角度的正切值为 则此时手帕最高点A 到水平地面的距离是　 　cm(结果保留根号)．
16．如图，在 ABCD中，点E为BC上一点，将△DEC沿DE 翻折得到△DEF，点C的对应点F恰好落在AE的中点处，延长DF交AB 于点G，则△AFG与四边形 BEDG 的面积比为　 　．
17．计算：
18．解不等式组：
19．非物质文化遗产承载着一个民族的历史记忆，是人类文明的瑰宝．我国作为文明古国，非遗资源丰富多彩，涵盖了传统技艺、民间文学、传统音乐、舞蹈、戏剧、美术等多个领域．为助力非遗传承与发展，某校开展非物质文化遗产学习活动，为了解学生对中国非遗文化的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，统计结果描述如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1400名学生，根据统计信息，估计该校喜爱“传统手工艺类”的学生人数．
20．如图，在锐角△ABC中， AB小聪：分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧交于点D(BC的下侧)，则点D 即为所求．
小明：分别作AB，AC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA 长为半径画弧，在弧上任意取一点D (异于点A，B，C)，则点D 即为所求．
（1）填空(填“小聪”、“小明”)：
①：　 　的作法正确；②：　 　的作法不正确．
（2）证明①正确，写出证明过程；
（3）说明②中∠BDC 与∠A 的大小关系．
21．如图，在矩形ABCD中， E是BC上一点，连结AE， AE=BC，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证： △ABE≌△DFA；
（2）连结BD，交AE于点G，若AB=3， CE=1，求AD 的长．
22．2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发10min后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程y(km)和补给车队出发后的时间x(min)的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）补给车队的速度为　 　km/ min， b的值为　 　；
（2）求线段 BC 所在直线的函数表达式；
（3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为 7km．
23．已知二次函数 (a为常数，且 a≠0)
（1）求二次函数的对称轴；
（2）若a>0，当-1≤x≤3时，函数的最大值为1，求a的值；
（3）在(2)的条件下，如果 A(x1，m)， B (x2，n)在二次函数 的图象上，其中0≤t<2，求m-n的最大值．
24．如图1，四边形ABCD 内接于⊙O， AC是⊙O 的直径，连结BD交AC于点E，∠ABD=2∠BDC．
（1）求证： AB=BD；
（2）求证：
（3）如图2，过点A作AF⊥BD交BD于点F，若DF=5， EF=7，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且，
∴．
故选：A.
【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数即可解答.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆锥的俯视图为：
，
故答案为：D.
【分析】根据从上面看到的几何图形是附属图解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A、a与 不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
故该项不正确，不符合题意；
故该项正确，符合题意；
故该项不正确，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则进行解题即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据从小到大排列为： 78， 85， 85， 86， 88，92， 97.
所以中位数是：86，
故选：B.
【分析】根据一组数据从小到大排列后，局域中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可.
6．【答案】A
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；位似图形的性质
【解析】【解答】解：作 轴于H， 轴于G，
∵A(2， 2)，
且OA： OC=2，
故选： A.
【分析】作 轴于H， 轴于G，由 H，得 从而得出OG，CG的长.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵绫三匹、绸四丈，值钱五贯，
∵绫五匹、绸二丈，值钱四贯，
∴根据题意可列出方程组 ，
故选： B.
【分析】根据“绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等三角形纸板G ， △DAH，
故选： C.
【分析】根据全等三角形的性质得出AE=DH，BE=AH，进而利用勾股定理解答即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 在反比例函数 上，
点 在一次函数y=x-1上，
接下来分选项逐一验证：
选项A：当 时
则 即 A错误；
选项B：当-2m+2>0，m-1<0，m<0，
则 B错误；
选项C：当(0m+2>0，m-1<0，m>0，
则 即 C错误；
选项D：当 时
m+2>0，m-1≥0，m>0，
则 即 D正确.
故选： D.
【分析】先根据函数解析式，用含m的代数式表示出 和 再通过作差法比较大小，结合m的取值范围判断符号.作差后因式分解，再根据m的不同取值范围判断差的正负，从而比较 与 的大小.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连结AD，过点D作 交AB于点F，
由已知可得，y关于x的图象中的点P(0，36) ，Q(7.2，36) ，N(x1， n) ， M(x2， m)，
分别对应图中运动点E在点B，E，F，A四处，
∵∠BFD=∠BDA=90°，∠B=∠B，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴AD=8，BC=12，
∴，
故答案为：B.
【分析】连结AD，过点D作 交AB于点F，根据图2可知y关于x的函数图象过P(0，36) ，Q(7.2，36) ，N(x1， n) ， M(x2， m)，几对应的为图中点B，E，F，A，即可得到BD和BF长，再根据两角对应相等得到△BDF∽△BAD，根据对应边成比例求出AB长，然后求出∠B的余弦，根据勾股定理求出m和n的值，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，逐一判断解答即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：.
【分析】提取公因式3a分解因式即可.
12．【答案】-3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得
去分母得： x-4=2x-1，
解得： x=-3，
经检验，x=-3是分式方程的解，
故答案为：-3.
【分析】由题意列得方程为 解方程并检验即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共3+2=5个球，其中黑球有2个，
∴从中任意摸出一个球是黑球的概率为
故答案为：
【分析】直接根据概率公式计算即可.
14．【答案】42°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
由圆周角定理得：
∵BC是⊙O的切线，
即
故答案为：
【分析】连接OC，根据切线的性质求出 根据切线的性质得到 再根据直角三角形的性质计算即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：作 交CB的延长线于点F， 作 交BC的延长线于点G，如图所示，
由已知可得，
设DG=acm，则CG=3acm，
解得
，
故答案为：
【分析】作 交CB的延长线于点F， 作 交BC的延长线于点G，根据30°的直角三角形的性质得到BF=34，根据正切的定义设DG=acm，则CG=3acm，根据勾股定理求出a的值，然后根据线段的和差解答即可.
16．【答案】1：5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设CE=x，GF=a，
沿DE翻折得到 点C的对应点F恰好落在AE的中点处，
DFE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
即
∴AG=2a， GD=4a，
∴DF=GD-GF=4a-a=3a，
∴AB=CD=3a，
∴BG=3a-2a=a，
连接BF，如图，
设△BFG的面积为S，
∵AG： BG=2a： a=2： 1，
∵DF： GF=3a： a=3： 1，
∵AF=EF，
∵AF=EF，
与四边形BEDG的面积比：=2S：(6S+S+3S)=1：5.
故答案为：1： 5.
【分析】设CE=x， GF=a，先根据折叠的性质得到AF=EF=CE=x， DC=DF， 根据平行四边形的性质得到AB=CD， AD=BC， AD∥BC，∠C=∠DAB，再证明∠AED=∠ADE得到AD=AE=2x，接着证明∠AFG=∠DAG，则可判断△GAF∽△GDA，根据相似三角形的对应边成比例得到AG=2a， GD=4a，从而计算出DF=3a， BG=a，连接BF，设△BFG的面积为S，根据三角形面积公式可得然后利用AF=EF得到 =3S，从而可求出△AFG与四边形BEDG的面积比.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的定义计算，再合并即可.
18．【答案】解：由①得， x<3
由②得，
所以原不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．【答案】（1）解：学生的总人数为：(人)， (人)，
补全统计图如下：
（2）解：(人)
答：该校喜爱“传统手工艺类”的学生人数为560人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据喜爱“民宿表演类”的学生人数为64，占比为32%求出总人数，再根据喜欢其他的学生人数占比求出其他类的人数，补全统计图即可；
(2)用总人数乘以样本中喜爱“传统手工艺类”的学生人数占比即可得到答案.
20．【答案】（1）小聪；小明
（2）解由作法可知BD=AC，CD=AB，

（3）解：由作法可知，根据圆周角定理得，∠BDC=∠A或∠BDC与∠A 互补．
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：(1)①小聪的作法正确；②小明的作法不正确.
故答案为：小聪，小明；
【分析】(1)利用全等三角形的判定和性质判断小聪的作法正确；利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质判断小明的作法错误；
(2)利用全等三角形的判定和性质解决问题；
(3)分点D在BC的上方或下方两种情形讨论求解.
21．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， ∠ABE=90°， AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE.
在 和 中，
∴△ABE≌△DFA(AAS)；
（2）解：设BE=a，
在 中，
由勾股定理得：
解得：a=4，

【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由矩形性质得AD=BC， ∠ABE=90°， AD∥BC，进而得∠AEB=∠DAF，由AE=BC得AE=AD，再由DF⊥AE得∠ABE=∠AFD=90°，据此可依据“AAS"判定△ABE和△DFA全等；
(2)设BE=a，则BC=BE+CE=a+1，进而得AE=BC=a+1，在Rt△ABE中，由勾股定理求出a=4得BC=a+1=5，据此可得AD的长.
22．【答案】（1）0.7；25
（2）设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+m，由题意得， k=0.7，
∵图象过点B(25， 14)，
∴函数表达式为y=0.7x-3.5；
（3）解：①当0∵补给车队的速度为0.7km/ min，
∴10min时补给车队的路程为7km，此时刚好小宁出发，符合题意；
②当x>25时，
由(2)得
∴令0.7x-3.5-(-1.4x+49)=7，则
答：补给车队出发10或 后，与小宁的距离为7km.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，结合图象可得，补给车队的速度=14÷20=0.7(km/min)；
∵补给车队出发10min后，志愿者小宁出发，
则20-10=10.
故答案为： 0.7； 25；
【分析】(1)依据题意，结合图象可得，补给车队的速度： 20=0.7(km/min)；又补给车队出发10min后，志愿者小宁出发，可得a=10，从而求出b的值解答即可；
(2)依据题意，设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+m，又由题意得，k=0.7，则y=0.7x+m，结合图象过点B(25，14)，进而计算可以得解；
(3)依据题意，分当 时和当x>25时两种情形讨论计算可以得解.
23．【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线的对称轴为直线x=2
（2）解：∵a>0
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为直线x=2且2-(-1)>3-2，
∴当-1≤x≤3时，函数值在x=-1处取得最大值1．
将x=-1， y=1，代入 ，
得a+4a+3a=1，解得
（3）解：由(2)得，
∵0≤t<2
∴自变量x的取值范围-4+2t≤x≤2-t 位于对称轴的左侧
∴如图，点A，点B 位于对称轴左侧部分的图象上，
∴当- 4+2t≤x≤2-t 时，函数值离对称轴越远值越大
∴要使m-n取得最大值， ，
整理得，
∵0≤t<2
∴当t=0时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用对称轴公式即可求解；
(2)由题意，抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，故当 时，函数值在x=-1处取得最大值1，据此即可求得a的值；
(3)由得到得出自变量x的取值范围 位于对称轴的左侧，即点A，点B位于对称轴左侧部分的图象上，要使m-n取得最大值，则A在B的左侧，即 ，由此得出整理得出 根据 利用二次函数的性质求出m-n的最大值即可
24．【答案】（1）证明：设∠BDC=α，则∠ABD=2α，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB=90°-a，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-α，
∴∠ADB=∠BAD，
∴AB=BD；
（2）证明：连结OB
∵∠BOC=2∠BDC=2α且OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=α，
∴∠OBE=∠ABD-∠OBA=α，
∴∠OBE=∠BAE，
∵∠OEB=∠BEA，
∴△OBE∽△BAE，
，
即 ；
（3）解：过点O作OG⊥BD，交BD于点G
∴BD=2BG=2DG
设BE=a，则BD=12+a
由(2)得， △OBE∽△BAE
∵OG∥AF
得EG·AB=BE·FG
化简得，
解得 (舍去)
即BE=8
【知识点】圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；余角；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据统计奥德余角相等得到∠ADB=90°-α=∠BAD，即可证明结论；
(2)连结OB，根据两角对应相等证明△OBE∽△BAE，再根据对应边成比例解答即可；
(3)过点O作OG⊥BD，交BD于点G，设BE=a，则B 再根据 两边相乘可得 代入即可得解.
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