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浙江嘉兴市海盐县2026年初中毕业生学科素养测试（二）数学试题卷
1． - 6的相反数是（　　)
A．6 B． C． D．- 6
2． 在2026年春节联欢晚会上，宇树科技机器人惊艳亮相，引起全球观众的瞩目. 宇树科技G1-D人形机器人的末端夹爪定位精度达到0. 0001mm，将数0. 0001用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3． 我国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵（qiàn dǔ). ”即把一长方体沿对角面一分为二，这样相同的两块叫做“堑堵”. 如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　)
A． B．
C． D．
4． 若 则整数m的值为（　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
5． 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A．
B．
C．
D．
6． 如图，“箭头”形状的图案是由正五边形设计而成. 其中A，B，C， D， E是正五边形的顶点，那么∠ABE等于（　　)
A．30° B．36° C．54° D．60°
7． 九（1）班一个小组有6名同学，老师对一次排球垫球个数进行了统计分析. 由于小明没有参加本次集体测试，因此计算其他5名同学的平均个数为38个，方差 后来小明进行了重考，成绩为38个，关于该小组垫球个数分析，下列说法正确的是（　　)
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数和方差都不变 D．平均数和方差都改变
8． 已知点A（m-2， y1)， B（m-1， y2)， C（m+1， y3)均在反比例函数 的图象上. 若 则m的取值范围是（　　)
A．m<-1 B．- 19． 如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上. 将该纸片沿EF折叠后，使点B落在边CD上的点G处. 若CG=4DG，则sin∠BEF 的值是（　　).
A． B． C． D．
10． 已知抛物线 的图象关于直线x=x0对称. 若该抛物线与直线y=x交于点 A（x1， y1)， B（x2， y2)，且 则下列说法正确的是（　　)
A． B．
C． D．
11．分解因式： 　 　
12． 方程组 的解是　 　.
13． 2026年“五一国际劳动节”期间有三部热门电影：《寒战1994》、《千金不换》、《森中有林》. 小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　 　.
14． 如图，∠P的两边与半径为2的⊙O相切于A，B两点. 若∠P=60°，则AB的长为　 　.
15． 如图1，将小正方形EFGH 放在大正方形ABCD的内部，剩余部分恰好可以分割成四个长为m，宽为n的矩形，且mn=3. 现将小正方形 EFGH 平移至两边与大正方形ABCD两边重合（如图2所示)，连结BG，CG，DG，则阴影部分的面积是　 　.
16． 如图 1，已知△ABC 中，∠A=60°， ∠ACB=90°. 点P是边AB上一动点，点Q在边BC上，且∠CPQ为定角. 设AP=x，BQ=y，若y关于x的函数图象如图2所示，则m的值是　 　.
17．计算：
18．先化简再求值： 其中
19．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.
（1）用圆规和无刻度的直尺作图：以AB为对角线，作平行四边形AEBC （要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
（2）连结CE交AB于点F，连结DF交AC于点G，求 的值.
20．某校八年级开展了科技竞赛活动，从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分五组： A. 90≤x≤100； B. 80≤x<90； C. 70≤x<80； D. 60≤x<70；E. x<60)，下面给出了部分信息：
八（1）班10名学生竞赛成绩是： 92，87，86，84，79，76，76，65，63，57.
八（2）班10名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 89，85，85，83，82.
两个班抽取学生的竞赛成绩分析表
班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 76.5 77.5 b
八（2）班 76.5 a 85
请你根据以上信息解答下列问题：
（1） ① 上述表格中a= ▲ ， b= ▲ ；
② 请你根据平均数、中位数、众数，判断哪个班成绩比较好，并说明理由；
（2）该校八（1）班有40名学生，八（2）班有45名学生，按竞赛规定，80分及80分以上成绩可以获奖. 若该校八年级共有510名学生，估计其中有多少学生获奖
21．如图，菱形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连结DE，BF，且 BF⊥BA.
（1）求证：
（2）若AE=3，EF=2，则 DE的长是多少
22．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为
（1）若二次函数的图象过点（1，4).
① 求该二次函数的表达式；
② 当 时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求P-Q的值；
（2）已知线段的两个端点坐标分别为A（-1，0)，B（3，0)，当二次函数的图象与线段AB有两个交点时，求m的取值范围.
23．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距15km的A、B两地同时匀速相向而行. 甲车出发10min后，由于交通管制，停止了2min，再出发时速度比原来减少15km/h并安全到达终点. 甲、乙两车距A地的路程y （单位： km)与两车行驶时间x （单位：h)的图象如图所示.
（1）求乙车的行驶速度：
（2）求甲车在交通管制前y关于x的函数表达式；
（3）求甲、乙两车之间的距离不大于6km时x的取值范围.
24．已知AB， CD是圆的两条弦， CD⊥AB，垂足为E（点C在优弧上，点D在劣弧上)，且AB=4.
（1）如图1， CD是直径， O是圆心，且OE=3，求⊙O的半径；
（2）如图2，连结CA并延长至点F，再连结AD， BC. 若∠DAF=4∠DAB且∠ACB=36°，求∠B的度数；
（3）如图3，若CD经过端点A，点M是弦AB上一点，点P， Q在圆上. 连结CM，CP， CQ，满足CP=CM=CQ. 连结PQ交AB于点N，求AN+BM的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与-6只有符号不同的数是6，即-6的相反数是6.
故答案为：A.
【分析】相反数就是只有符号不同的两个数.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故答案为：B.
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
∵整数m满足
故答案为：3.
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式(1)得： x<5-2， ∴x<3
解不等式(2)得： 2x≥4， ∴x≥2
∴不等式组的解集为： 2≤x<3
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：由正五边形可得∠BAE=，AB=AE，
∴∠ABE=，
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的性质得到∠A=108°，AB=AE，然后根据三角形的内角和和等边对等角解答即可.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小明的成绩和其他5人的平均分相同，都是38个，
∴6名同学的平均数为 分；
6人的方差为 ，
综上，平均数不变，方差变小.
故答案为：A.
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可判断结果.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k>0，双曲线位于一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵m-2∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，
∴m-1<0解得 - 1故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象和增减性得到点A，B在第三象限，点C在第一象限，然后求出m的取值范围即可.
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型；求正弦值
【解析】【解答】解：设AB=10a，则CD=10a，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=5a，
∵CG=4DG，
∴DG=2a，CG=8a，
过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GK ⊥AB于点K，则四边形BCFH、GKHF是矩形，
由折叠可得GE=BE=5a，∠BEF=∠GEF，
又∵ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DFE=∠FEB，
∴∠GEF=∠DFE，
∴FG=GE=5a，
∴CF=BH=3a，BH=2a，
∴KE=3a，
∴KG=FH=，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】设AB=10a，可得AE=BE=5a，CG=2a，过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GK ⊥AB于点K，则四边形BCFH、GKHF是矩形，根据折叠和矩形的性质得到HE=BE=FG=5a，然后根据勾股定理求出KG长，即可求出EF长，根据正弦的定义解答即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将直线y=x代入抛物线方程 ，得： ，
由韦达定理，可得 ，
抛物线对称轴 代入得：
已知 则： ，
∴
故答案为：A.
【分析】联立两解析式得到，根据根与系数的关系得到，根据对称轴公式的到，即可得到，求出x0和x1的关系解答即可.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：
①+②，得3x=3，即x=1，
把x=1代入②，得1-y=2，即y=-1，
则方程组的解是
故答案为：.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设 《寒战1994》、《千金不换》、《森中有林》 分别用A、B、C表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选择同一部电影的可能性有3种，
∴两人恰好选择同一部电影的概率为
故答案为：
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人恰好选择同一部电影的概率.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
在四边形APBO中，
∵OA=2，
的长
故答案为：.
【分析】根据切线的性质和四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可.
15．【答案】6
【知识点】整式的混合运算；平移的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则a2-b2=4mn=12，
∴S阴影=，
故答案为：6.
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由图1可得a2-b2=12，然后表示阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
16．【答案】
【知识点】动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：当点P在点A处时，∠CPQ=∠A=60°，
∵当点P与B重合时，AP=AB=2，
∵∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AC=1，BC=，
当BQ=时，作MQ=MB，过点M作MN⊥BC于点N，
∴BN=，
∵，
∴，
∴QM=BM=，
∴PM=AB-AP-BM=，
∵∠ACP+∠A=∠BPQ+∠CPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
又∵MQ=BM，
∴∠B=∠BQM=30°，
∴∠PMQ=∠A=60°，
∴△ACP∽△MPQ，
∴，即，
解得x=1或，
故答案为：.
【分析】由点P在A处时得到∠CPQ=60°，然后根据点P在B处时得到AB=2，然后求出AC和BC长，当BQ=时，作MQ=MB，过点M作MN⊥BC于点N，根据余弦的定义求出BM长，即可得到PM长，燃弧根据两角对应相等能得到△ACP∽△MPQ，再根据对应边成比例求出x的值解答即可.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值，零次幂和立方根，然后运算加减解答即可.
18．【答案】解：
当 时，上式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的加减运算，然后约分化简，再代入x的值解答即可.
19．【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一)；
图1
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， AB=CD，
∵四边形AEBC是平行四边形 ，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
，
图2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径作弧，再以B为圆心AC为半径作弧交于点E，则AEBC即为所作；
（2）根据平行四边形的性质得到△AFG∽△CDG，然后根据对应边成比例解答即可.
20．【答案】（1）解：①a=82. 5， b=76；
②八（2）班的成绩更好，因为两个班级的平均分一样，但八（2）班的中位数和众数都高于八（1）班，所以八（2）班的成绩更好；
（2）解：
∴估计八年级有258名学生获奖.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八（2）班A组学生数为10×10%=1人，
∴排列后居于中间的两个数为83和82，
∴a=；
八（1）班中76出现了两次，出现次数最多，
∴b=76，
故答案为：82.5；76；
【分析】（1）①根据中位数和众数的定义解答即可；
②比较两个班级的平均数、众数和中位数，作出决策即可；
（2）利用 80分及80分以上成绩的人数除以两个班的人数和求出占比，再乘以八年级的学生数解答即可.
21．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DE⊥DC，BF⊥BA，
∴∠CDE=∠ABF=90°，
在△CDE和△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（ASA)；
（2）解：如图，连结BD交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO⊥AC， AO=CO，
∵DE⊥DC ，
∴∠DEC+∠EDO=∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠EDO=∠ECD，
∴△DEO∽△CED，
，
∵△CDE≌△ABF，
∴CE=AF=3+2=5，
∴AC=5+3=8，
∴AO=CO=4，
∴EO=4-3=1，
，
，
∴DO=2，
由勾股定理得：
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；母子相似模型（公共边公共角）；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可；
（2）连结BD交AC于点O，先根据全等求出OC和EO的长，根据菱形的性质得到△DEO∽△CED，即可根据对应边成比例求出OD长，再根据勾股定理求出的长解答即可.
22．【答案】（1）解：①把（1， 4)代入 得：4=-1+m-1+m ，
∴m=3，
∴二次函数的表达式是
且-1≤x≤2，
∴当x=1时， y的最大值是4，即P=4，
当x=-1时， y的最小值是0，即Q=0，
∴P-Q=4-0=4；
（2）解：令y=0，得： ，
∴x2+（1-m)x-m=0，
∴（x-m)（x+1)=0，
解得 ，
∵二次函数的图象与线段AB有两个交点，
∴-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把(1，4)代入解析式求出m的值，解答即可；
②把二次函数配方为顶点式即可得到对称轴，然后根据二次函数的增减性求出最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值，然后根据 二次函数的图象与线段AB有两个交点 求出m的取值范围即可.
23．【答案】（1）解：，
∴乙车的速度是45km/h；
（2）解：设刚出发时甲车的速度是 akm/h，得：
，
，
∴a=60，
∴求甲车在交通管制前y关于x的函数表达式为y=60x；
（3）解：乙车离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=-45x+15，
甲车刚出发时离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=60x，
甲车再次出发时离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=45x+1，
∴-45x+15-60x=6 ，解得：，
∴45x+1-（-45x+15)=6 ， 解得： ，
∴甲、乙两车之间的距离不大于6km时x的取值范围是
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据路程÷时间=速度解答即可；
（2）设刚出发时甲车的速度是 akm/h，根据题意列方程求出a的值，然后得到函数关系式即可；
（3）求出甲，乙两人行驶过程中离开A地的路程与行驶时间的函数关系式，然后根据 甲、乙两车之间的距离为6km列方程求出x的临界值，即可得到x的取值范围.
24．【答案】（1）解：连接OA，
∵CD⊥AB且CD是直径，
，
∵AB=4，
∴AE=2，
∵OE=3，
，
∴圆的半径是
（2）解：设∠DAB=x，则∠DAF=4x，
∴∠BAF=5x，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=5x-90°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB=x，
∵∠ACB=36°，
∴5x-90+x=36，
∴x=21，
∵CD⊥AB，∴∠B=90°-21°=69°；
（3）解：以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，
图2
∵CP=CM=CQ，
∴P， Q两点在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴AM=AE，
∴EN=AM+AN，MN=AM-AN，
∵PN·NQ=AN·NB ，PN·NQ=EN·MN，
∴EN·MN=AN·NB，
∵AB=4，
∴（AM+AN)（AM-AN)=AN（4-AN)，
，
，
，
∴当AM=2时， AN+BM的最小值是3.
【知识点】二次函数的最值；三角形外角的概念及性质；相交弦定理；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得到AE=2，然后根据勾股定理求出OA长即可；
（2）设∠DAB=x，即可得到∠BAF=5x，然后根据三角形的外角得到∠ACD的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到∠DCB=x，根据角的和差列方程求出x的值解答即可；
（3）以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，则CP=CM=CQ，根据垂径定理得到AM=AE，然后根据相交弦定理得到EN·MN=AN·NB，即可得到，然后得到AN+BM关于AM的二次函数，配方得到顶点式即可得到最小值解答即可.
1 / 1浙江嘉兴市海盐县2026年初中毕业生学科素养测试（二）数学试题卷
1． - 6的相反数是（　　)
A．6 B． C． D．- 6
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：与-6只有符号不同的数是6，即-6的相反数是6.
故答案为：A.
【分析】相反数就是只有符号不同的两个数.
2． 在2026年春节联欢晚会上，宇树科技机器人惊艳亮相，引起全球观众的瞩目. 宇树科技G1-D人形机器人的末端夹爪定位精度达到0. 0001mm，将数0. 0001用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3． 我国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵（qiàn dǔ). ”即把一长方体沿对角面一分为二，这样相同的两块叫做“堑堵”. 如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故答案为：B.
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可.
4． 若 则整数m的值为（　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
∵整数m满足
故答案为：3.
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可.
5． 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式(1)得： x<5-2， ∴x<3
解不等式(2)得： 2x≥4， ∴x≥2
∴不等式组的解集为： 2≤x<3
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
6． 如图，“箭头”形状的图案是由正五边形设计而成. 其中A，B，C， D， E是正五边形的顶点，那么∠ABE等于（　　)
A．30° B．36° C．54° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：解：由正五边形可得∠BAE=，AB=AE，
∴∠ABE=，
故答案为：B.
【分析】根据正五边形的性质得到∠A=108°，AB=AE，然后根据三角形的内角和和等边对等角解答即可.
7． 九（1）班一个小组有6名同学，老师对一次排球垫球个数进行了统计分析. 由于小明没有参加本次集体测试，因此计算其他5名同学的平均个数为38个，方差 后来小明进行了重考，成绩为38个，关于该小组垫球个数分析，下列说法正确的是（　　)
A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大
C．平均数和方差都不变 D．平均数和方差都改变
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小明的成绩和其他5人的平均分相同，都是38个，
∴6名同学的平均数为 分；
6人的方差为 ，
综上，平均数不变，方差变小.
故答案为：A.
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可判断结果.
8． 已知点A（m-2， y1)， B（m-1， y2)， C（m+1， y3)均在反比例函数 的图象上. 若 则m的取值范围是（　　)
A．m<-1 B．- 1【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k>0，双曲线位于一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵m-2∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，
∴m-1<0解得 - 1故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的图象和增减性得到点A，B在第三象限，点C在第一象限，然后求出m的取值范围即可.
9． 如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上. 将该纸片沿EF折叠后，使点B落在边CD上的点G处. 若CG=4DG，则sin∠BEF 的值是（　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型；求正弦值
【解析】【解答】解：设AB=10a，则CD=10a，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=5a，
∵CG=4DG，
∴DG=2a，CG=8a，
过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GK ⊥AB于点K，则四边形BCFH、GKHF是矩形，
由折叠可得GE=BE=5a，∠BEF=∠GEF，
又∵ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DFE=∠FEB，
∴∠GEF=∠DFE，
∴FG=GE=5a，
∴CF=BH=3a，BH=2a，
∴KE=3a，
∴KG=FH=，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】设AB=10a，可得AE=BE=5a，CG=2a，过点F作FH⊥AB于点H，过点G作GK ⊥AB于点K，则四边形BCFH、GKHF是矩形，根据折叠和矩形的性质得到HE=BE=FG=5a，然后根据勾股定理求出KG长，即可求出EF长，根据正弦的定义解答即可.
10． 已知抛物线 的图象关于直线x=x0对称. 若该抛物线与直线y=x交于点 A（x1， y1)， B（x2， y2)，且 则下列说法正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：将直线y=x代入抛物线方程 ，得： ，
由韦达定理，可得 ，
抛物线对称轴 代入得：
已知 则： ，
∴
故答案为：A.
【分析】联立两解析式得到，根据根与系数的关系得到，根据对称轴公式的到，即可得到，求出x0和x1的关系解答即可.
11．分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12． 方程组 的解是　 　.
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：
①+②，得3x=3，即x=1，
把x=1代入②，得1-y=2，即y=-1，
则方程组的解是
故答案为：.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.
13． 2026年“五一国际劳动节”期间有三部热门电影：《寒战1994》、《千金不换》、《森中有林》. 小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设 《寒战1994》、《千金不换》、《森中有林》 分别用A、B、C表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选择同一部电影的可能性有3种，
∴两人恰好选择同一部电影的概率为
故答案为：
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人恰好选择同一部电影的概率.
14． 如图，∠P的两边与半径为2的⊙O相切于A，B两点. 若∠P=60°，则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
在四边形APBO中，
∵OA=2，
的长
故答案为：.
【分析】根据切线的性质和四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可.
15． 如图1，将小正方形EFGH 放在大正方形ABCD的内部，剩余部分恰好可以分割成四个长为m，宽为n的矩形，且mn=3. 现将小正方形 EFGH 平移至两边与大正方形ABCD两边重合（如图2所示)，连结BG，CG，DG，则阴影部分的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】整式的混合运算；平移的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则a2-b2=4mn=12，
∴S阴影=，
故答案为：6.
【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由图1可得a2-b2=12，然后表示阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
16． 如图 1，已知△ABC 中，∠A=60°， ∠ACB=90°. 点P是边AB上一动点，点Q在边BC上，且∠CPQ为定角. 设AP=x，BQ=y，若y关于x的函数图象如图2所示，则m的值是　 　.
【答案】
【知识点】动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：当点P在点A处时，∠CPQ=∠A=60°，
∵当点P与B重合时，AP=AB=2，
∵∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AC=1，BC=，
当BQ=时，作MQ=MB，过点M作MN⊥BC于点N，
∴BN=，
∵，
∴，
∴QM=BM=，
∴PM=AB-AP-BM=，
∵∠ACP+∠A=∠BPQ+∠CPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
又∵MQ=BM，
∴∠B=∠BQM=30°，
∴∠PMQ=∠A=60°，
∴△ACP∽△MPQ，
∴，即，
解得x=1或，
故答案为：.
【分析】由点P在A处时得到∠CPQ=60°，然后根据点P在B处时得到AB=2，然后求出AC和BC长，当BQ=时，作MQ=MB，过点M作MN⊥BC于点N，根据余弦的定义求出BM长，即可得到PM长，燃弧根据两角对应相等能得到△ACP∽△MPQ，再根据对应边成比例求出x的值解答即可.
17．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值，零次幂和立方根，然后运算加减解答即可.
18．先化简再求值： 其中
【答案】解：
当 时，上式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据同分母分式的加减运算，然后约分化简，再代入x的值解答即可.
19．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.
（1）用圆规和无刻度的直尺作图：以AB为对角线，作平行四边形AEBC （要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
（2）连结CE交AB于点F，连结DF交AC于点G，求 的值.
【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一)；
图1
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD， AB=CD，
∵四边形AEBC是平行四边形 ，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CDG，
，
图2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）以A为圆心，BC长为半径作弧，再以B为圆心AC为半径作弧交于点E，则AEBC即为所作；
（2）根据平行四边形的性质得到△AFG∽△CDG，然后根据对应边成比例解答即可.
20．某校八年级开展了科技竞赛活动，从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分五组： A. 90≤x≤100； B. 80≤x<90； C. 70≤x<80； D. 60≤x<70；E. x<60)，下面给出了部分信息：
八（1）班10名学生竞赛成绩是： 92，87，86，84，79，76，76，65，63，57.
八（2）班10名学生竞赛成绩在B组中的数据是： 89，85，85，83，82.
两个班抽取学生的竞赛成绩分析表
班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 76.5 77.5 b
八（2）班 76.5 a 85
请你根据以上信息解答下列问题：
（1） ① 上述表格中a= ▲ ， b= ▲ ；
② 请你根据平均数、中位数、众数，判断哪个班成绩比较好，并说明理由；
（2）该校八（1）班有40名学生，八（2）班有45名学生，按竞赛规定，80分及80分以上成绩可以获奖. 若该校八年级共有510名学生，估计其中有多少学生获奖
【答案】（1）解：①a=82. 5， b=76；
②八（2）班的成绩更好，因为两个班级的平均分一样，但八（2）班的中位数和众数都高于八（1）班，所以八（2）班的成绩更好；
（2）解：
∴估计八年级有258名学生获奖.
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）八（2）班A组学生数为10×10%=1人，
∴排列后居于中间的两个数为83和82，
∴a=；
八（1）班中76出现了两次，出现次数最多，
∴b=76，
故答案为：82.5；76；
【分析】（1）①根据中位数和众数的定义解答即可；
②比较两个班级的平均数、众数和中位数，作出决策即可；
（2）利用 80分及80分以上成绩的人数除以两个班的人数和求出占比，再乘以八年级的学生数解答即可.
21．如图，菱形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连结DE，BF，且 BF⊥BA.
（1）求证：
（2）若AE=3，EF=2，则 DE的长是多少
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DE⊥DC，BF⊥BA，
∴∠CDE=∠ABF=90°，
在△CDE和△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（ASA)；
（2）解：如图，连结BD交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO⊥AC， AO=CO，
∵DE⊥DC ，
∴∠DEC+∠EDO=∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠EDO=∠ECD，
∴△DEO∽△CED，
，
∵△CDE≌△ABF，
∴CE=AF=3+2=5，
∴AC=5+3=8，
∴AO=CO=4，
∴EO=4-3=1，
，
，
∴DO=2，
由勾股定理得：
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；母子相似模型（公共边公共角）；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可；
（2）连结BD交AC于点O，先根据全等求出OC和EO的长，根据菱形的性质得到△DEO∽△CED，即可根据对应边成比例求出OD长，再根据勾股定理求出的长解答即可.
22．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为
（1）若二次函数的图象过点（1，4).
① 求该二次函数的表达式；
② 当 时，此二次函数的最大值为P，最小值为Q，求P-Q的值；
（2）已知线段的两个端点坐标分别为A（-1，0)，B（3，0)，当二次函数的图象与线段AB有两个交点时，求m的取值范围.
【答案】（1）解：①把（1， 4)代入 得：4=-1+m-1+m ，
∴m=3，
∴二次函数的表达式是
且-1≤x≤2，
∴当x=1时， y的最大值是4，即P=4，
当x=-1时， y的最小值是0，即Q=0，
∴P-Q=4-0=4；
（2）解：令y=0，得： ，
∴x2+（1-m)x-m=0，
∴（x-m)（x+1)=0，
解得 ，
∵二次函数的图象与线段AB有两个交点，
∴-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把(1，4)代入解析式求出m的值，解答即可；
②把二次函数配方为顶点式即可得到对称轴，然后根据二次函数的增减性求出最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值，然后根据 二次函数的图象与线段AB有两个交点 求出m的取值范围即可.
23．甲、乙两车分别沿着同一条笔直的公路，从相距15km的A、B两地同时匀速相向而行. 甲车出发10min后，由于交通管制，停止了2min，再出发时速度比原来减少15km/h并安全到达终点. 甲、乙两车距A地的路程y （单位： km)与两车行驶时间x （单位：h)的图象如图所示.
（1）求乙车的行驶速度：
（2）求甲车在交通管制前y关于x的函数表达式；
（3）求甲、乙两车之间的距离不大于6km时x的取值范围.
【答案】（1）解：，
∴乙车的速度是45km/h；
（2）解：设刚出发时甲车的速度是 akm/h，得：
，
，
∴a=60，
∴求甲车在交通管制前y关于x的函数表达式为y=60x；
（3）解：乙车离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=-45x+15，
甲车刚出发时离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=60x，
甲车再次出发时离开A地的路程与行驶时间的函数关系式为：y=45x+1，
∴-45x+15-60x=6 ，解得：，
∴45x+1-（-45x+15)=6 ， 解得： ，
∴甲、乙两车之间的距离不大于6km时x的取值范围是
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据路程÷时间=速度解答即可；
（2）设刚出发时甲车的速度是 akm/h，根据题意列方程求出a的值，然后得到函数关系式即可；
（3）求出甲，乙两人行驶过程中离开A地的路程与行驶时间的函数关系式，然后根据 甲、乙两车之间的距离为6km列方程求出x的临界值，即可得到x的取值范围.
24．已知AB， CD是圆的两条弦， CD⊥AB，垂足为E（点C在优弧上，点D在劣弧上)，且AB=4.
（1）如图1， CD是直径， O是圆心，且OE=3，求⊙O的半径；
（2）如图2，连结CA并延长至点F，再连结AD， BC. 若∠DAF=4∠DAB且∠ACB=36°，求∠B的度数；
（3）如图3，若CD经过端点A，点M是弦AB上一点，点P， Q在圆上. 连结CM，CP， CQ，满足CP=CM=CQ. 连结PQ交AB于点N，求AN+BM的最小值.
【答案】（1）解：连接OA，
∵CD⊥AB且CD是直径，
，
∵AB=4，
∴AE=2，
∵OE=3，
，
∴圆的半径是
（2）解：设∠DAB=x，则∠DAF=4x，
∴∠BAF=5x，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=5x-90°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB=x，
∵∠ACB=36°，
∴5x-90+x=36，
∴x=21，
∵CD⊥AB，∴∠B=90°-21°=69°；
（3）解：以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，
图2
∵CP=CM=CQ，
∴P， Q两点在⊙C上，
∵CD⊥AB，
∴AM=AE，
∴EN=AM+AN，MN=AM-AN，
∵PN·NQ=AN·NB ，PN·NQ=EN·MN，
∴EN·MN=AN·NB，
∵AB=4，
∴（AM+AN)（AM-AN)=AN（4-AN)，
，
，
，
∴当AM=2时， AN+BM的最小值是3.
【知识点】二次函数的最值；三角形外角的概念及性质；相交弦定理；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，根据垂径定理得到AE=2，然后根据勾股定理求出OA长即可；
（2）设∠DAB=x，即可得到∠BAF=5x，然后根据三角形的外角得到∠ACD的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到∠DCB=x，根据角的和差列方程求出x的值解答即可；
（3）以C为圆心，CM的长为半径作圆，交BA的延长线于点 E，则CP=CM=CQ，根据垂径定理得到AM=AE，然后根据相交弦定理得到EN·MN=AN·NB，即可得到，然后得到AN+BM关于AM的二次函数，配方得到顶点式即可得到最小值解答即可.
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